高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.3 两角和与差的正切课堂导学案 新人教B版必修4.docVIP

3.1.3两角和与差的正切课堂导学三点剖析一、两角和与差的正切公式的运用 两角和与差的正切公式可由同角三角函数关系式和正,余弦的和差公式导出.此外在公式中还要注意公式成立的条件k+,k+,+k+,-+k(kz),这是与两角和与差的正弦,余弦公式的不同之处.在运用公式时一定要注意这一点.【例1】 求值(1)tan105;(2).思路分析:(1)中105=60+45,故可用公式直接计算,(2)中的1=tan45,故可逆用公式.解：(1)原式=tan(60+45)=.(2)原式=tan(45-75)=tan(-30)=-tan30=.温馨提示 解题时,首先要认真观察和分析题目的已知条件和结论中各角度之间的相互关系,并根据这种关系来选择公式.各个击破类题演练 1求值:.思路分析:公式逆用时要注意公式中,在分子和分母的位置;应先由诱导公式进行转化,再用公式.解:原式=tan(55-25)=tan30=.变式提升 1求值:.思路分析:运用公式时,要注意观察240=180+60和390=360+30这两个角的拆分技巧.解:原式=tan(60+)-(30+)=tan30=.二、给值求值问题 解决此类问题首先要根据已给角的范围确定所求角的范围,然后正确运用和与差的正切公式.有时当所给角的范围较大时,可借助于该角的正切值的符号,进一步缩小所求角的范围,使问题能得以圆满解决.【例2】 已知tan=,tan=且,均为锐角,求+2的值.思路分析:因为+2=(+)+,也可以把+2看成角和2角的和.只需先求tan2即可.解：tan=,tan=,tan(+)=.又,均为锐角,+(0,).而tan(+)=0,+(0,).+2=(+)+(0,).tan(+2)=tan(+)+=1.+2=.类题演练 2若tan,tan是方程2x2+x-6=0的两根,求tan(+)的值.解:tan,tan是方程2x2+x-6=0的两根,tan+tan=-,tantan=-3.tan(+)=.变式提升 2已知,-0,且tan=-,tan=,求2+的值.思路分析:将2+化为+(+)后,利用已知条件先求tan(+)的值.解tan(+)=-0,且+(0,),+(,).又(,),2+(,2).又tan(2+)=tan+(+)=-1,2+=.三、公式的变式应用 两角和与差的正切公式tan()=可以改写为tantan=tan()(1tantan)的形式,在三角函数的化简和证明中经常用到.【例3】 化简:tan(18-x)tan(12+x)+tan(18-x)+tan(12+x).思路分析:因为(18-x)+(12+x)=30,所以可以用tan+tan=tan(+)(1-tantan)化简.解：原式=tan(18-x)tan(12+x)+tan（18-x）+(12+x)1-tan(18-x)tan(12+x)=tan(18-x)tan(12+x)+1-tan(18-x)tan(12+x)=tan(18-x)tan(12+x)+1-tan(18-x)tan(12+x)=1.类题演练 3求tan2+tan43+tan2tan43的值.思路分析:将tan(2+43)=变形后代入即可得到结果.解:原式=tan(2+43)(1-tan2tan43)+tan2tan43=tan45(1-tan2tan43)+tan2tan43=1.变式提升 3求值:(1+tan1)(1+tan2)(1+tan44)(1+tan45).思路分析:注意到问题中的角的特点:1+44=2+43=45,然后变式应用.解:(1+tan1)(1+tan44)=1+(tan1+tan