7.1 结构的离散化.doc

7.1 结构的离散化把分析结构离散为子块（有限元）是有限元法的第一步，这相当于用一个具有有限自由度数目的系统来代替具有无限自由度数目的系统.离散的实施基本上是靠工程判断力，在选择单元的形状、尺寸、数量和排列时必须谨慎，以便尽可能精确地模拟原物体，而又不增加求解的计算工作量.7.1.1基本单元形状 对任一个给定的物体，必须靠工程判断力来选择适当的单元进行离散化.在大多数情况下，单元类型的选择取决于物体的几何形状以及描述系统所需要的独立的空间坐标数.图7-1、图7-2、图7-3分别示出了某些常用的一维、二维和三维单元.图7-1：一维单元 当几何形状、材料性质和其他参数（如应力、位移）仅需用一个空间坐标描述时，我们就可以采用如图7-1所示的一维单元，虽然这种单元有横截面面积，但一般在示意图中都用线段来表示.在某些问题中，单元的横截面面积可沿长度变化.当问题的几何形状和其他参数可以用二个独立的空间变量来描述时，我们就可以采用图7-2所示的二维单元.二维分析中常用的基本单元是三角形单元.虽然四边形（或其特殊形式矩形或平行四边形）单元可以用二个或四个三角形单元集合而成（如图7-4所示），但在某些情况下用四边形（或矩形，平行四边形）单元仍然是有利的.如果物体的几何形状，材料性质和其他参数可以用三个独立的空间坐标来描述，我们就可以采用图7-3所示的三维单元来离散物体.与二维问题中的三角形单元类似，基本三维单元是四面体单元.在某些情况下用六面图7-2 二维单元 图7-3 三维单元 图7-4 由二个或四个三角形单元集合成的四边形单元体单元更有利.对于某些实际上是三维问题，可以仅用一个或两个独立坐标来描述.对这种问题可以采用图7-5所示的轴对称型或环型单元来理想化各类属于轴对称的问题.图7-5 轴对称单元 对涉及曲线几何形状的问题进行离散时，具有曲边的单元是有用的.具有曲边的典型单元如图7-6所示.通过增加中间结点数可以提高模拟曲边的能力.具有直边的有限元称为线性元，而具有曲边的有限元称为高次元.图7-6 具有曲边的有限元 7.1.2离散过程 下面给出在离散过程中应有的各种考虑.1单元的类型 通常，应根据物理问题本身来选择单元的类型.例如，如果问题属于分析在给定的一组载荷条下的桁架结构，那么，为了理想化而选用的单元类型显然是如图7-7所示的杆单元或线单元.图7-7在对图7-8所示的短梁作应力分析时，可以用三维体单元进行有限元理想化.但是，在某些情况下，用作理想化的单元类型可能不明显.此时，必须谨慎地选择单元的类型.例如，在分析如图7-9所示的薄壁壳体问题时，可以用几种类型的单元把壳体理想化，此时，需要的自由度数目，预期的精度，容易推导所需的方程以及实际结构可模拟的准确程度将决定理想化所用单元类型的选择.在某些问题中，给定的物体不能仅用一类单元的集合体表示，此时，可能要用两种或两种以上的单元来理想化，飞机机翼的分析就属这种例子.由于机翼是由上蒙皮和下蒙皮，加筋腹板和凸缘等部分组成.故按图7-10所示的理想化，使用了三种类型的单元，即三角形板单元（用于蒙皮），矩形剪切板（用于腹板）和刚架单元（用于凸缘）.图7-8图7-9 承受压力的薄壁壳体 2单元的尺寸 由于单元的尺寸直接影响解的收敛性，因而必须小心地加以选择.单元尺寸越小，最后的解就越精确.但应当记住，采用小尺寸的单元也就意味着需要更长的计算时间.有时，对同一物体可能要使用不同尺寸的单元.例如，对如图7-11所示的箱形梁做应力分析时，全部单元的尺寸可以几乎相同.7-10 用不同类型的单元进行机翼的理想化 图7-11但对如图7-12所示带孔板进行应力分析时就必须用不同尺寸的单元，见图7-12.孔洞附近（此处存在应力集中）的单元尺寸应远小于远离孔洞的单元尺寸，通常，每当预料会有陡的应力梯度时，在这些区域总是要采用更密的网格.另一个影响有限元解的与单元尺寸有关的性质是单元的纵横比.纵横比描述了单元的单元集合中的形状，对一个二维单元来说，纵横比取为单元的最长尺寸与最短尺寸之比.纵横比几乎等于1的单元往往能得出最好的结果.图7-123结点的设置 如果物体在几何形状、材料性质和外部条件（如载荷、温度）方面没有突然变化，则可把物体分为相等的小部分，从而可使结点的间距均匀.另一方面，如果问题存在有任何间断，则显然应当在这些间断处设置结点，见图7-13.图7-13 间断处设置的结点 4单元的数量 为了理想化而选择的单元数量，与所要求的精度，单元尺寸以及所涉及的自由度数目有关.虽然增加单元数量通常意味着有更精确的结果，但对某一个给定问题来说，存在着某个单元数，超过了这个数目，再也不会在有效数上增加精度，图7-14中曲线示出了这种特点.此外，由于采用大量单元包含了大量的自由度，因此，在可用的计算机内存中可能没有能力来存放由此产生的矩阵.图7-14 改变单元数量的效果 5利用物体的物理条件进行简化 工程实际中，很多结构具有对称性.如能恰当地加以利用，可以使结构的有限元计算模型以及相应的计算规模得到减缩，从而使数据准备工作和计算工作量大幅度地降低.如果物体的形状以及外加条件都是对称的，则在进行有限元理想化时，就可以只考虑物体的一半.但是在求解过程中，必须加入对称条件，如图7-15所示为一具有中心圆孔的矩形板.由于板不可能在对称线A-A有水平位移，所以在解时必须在对对称线上引入这一条件.图7-15 具有对称的几何形状载荷作用的带孔板 对称面上的边界条件可以按以下规则确定： （1）在不同的对称面上，将位移分量区分为对称分量和反对称分量.例如在面上，是对称分量，是反对称分量，而在面上，是对称分量，而是反对称分量.（2）将载荷也按不同的对称面，分别区分为对称分量和反对称分量.（3）对于同一个对称面，如载荷是对称的，则位移的反对称分量为0；如载荷是反对称的，则位移的对称分量为0.上述规则表示：一个结构若外载及结构相对于某轴（面）对称，则对称面上自由结点相对于对称轴（面）作为反对称移动的位移为零.反之，若结构结称，载荷反对称，则相对于对称轴（面）作为对称移动的位移分量为零.利用这个性质，可以确定对称轴（面）上结点的支持情况，只需计算结构的一部分.如图7-16（a）所示的桁架，全结构四个结点，五个杆单元，但杆元77-3的轴线是对称线，而且载荷也是对称的.对称线上的结点为1、3，利用上述性质，在对称线上（即结点1、3）为反对称位移，它必等于零.这也相当于在方向，在1，3结点处加了刚性支座，于是计算简化为图7-16（b）所示结构.图7-16? 具有对称的几何形状和载荷作用的桁架结构 图7-17为机身结构，若机身隔框为垂直于轴平面框，纵向元素为长桁，机身上每个结点有四个移分量，在对称载荷作用下，对称机上结点边界条件为反对称位移为零 在反对称载荷作用下，边界条件为对称位移为零 图7-17 机身结构 （i为对称面上结点序号） 如果结构是对称的，载荷是任意的，这时根据叠加原理可把载荷分为对称载荷加反对称载荷，去分别计算对称情况和非对称情况，然后将计算结果相加，即得真实解.6总刚度矩阵的性质与结点编号方案 用有限元法分析结构时，通常结点的自由度数目巨大，从而使方程组有大型的特点，K往往的数百阶甚至几千阶，而且K中的每一行势必含有大量的零元素，叫做稀疏矩阵.总刚度矩阵中非零元素集中在主对角线两侧，又使总刚度矩阵呈带状.考虑到刚度矩阵的对称性，因而定义包括主对角元素在内的一侧非零元素最大延伸长度，叫刚度矩阵的半带宽.以图7-18所示常应变三结点单元网格为例，考虑和结点对应的刚度系数.对单元，它的刚度系数加到总刚度矩阵的位置如图7-18，和结点对应的子矩阵位于主对角线上，结点和、点的交叉刚度系数子阵位于主对角线两侧.对和结点相关和其他单元也是如此.如果和相邻结点编号比较接近，则第行的非零元素不会离主对角线太远.显然，每一行带宽的计算，要视相邻结点的最大差值而定，相差越大则带宽越大.仍以图7-18为例，结点的相邻结点为阴影线周围的结点，若和结点最大差值的点是结点，则两结点的最大序号差为，又因为每个结点有两个自由度，那么和相距最远，二者相 图7-18 刚度系数在总刚度矩阵中的位置 差个22子矩阵，于是行的最大半带宽为 一般说来，计算最大半带宽的公式为 （3-1） 其中，B是最大半带宽，D是从全部单元集合中得到的单元结点编号差值的最大值，是每个结点的自由度数.由于有限元法中线性代数方程组的系数矩阵是稀疏、带状的，这样就有可能只存储矩阵带宽内的元素.而且，由于所涉及的刚度矩阵都是对称的，所以，只需存储半带宽中的元素而不必存储整个矩阵，从而降低对计算机存储空间的要求.显然，总刚度矩阵采用带宽存储时，带宽越窄，存储效率越高.以下将会看到，总刚的带宽和结构网格的结点编号方式有密切关系.考虑图7-19所示的20层高的三跨刚接框架.假设框架的每个结点三个自由度，则在最后的方程中，就有240个未知数，（相应于固定结点的自由度除外），如全部存储整个刚度矩阵中