华约自主招生全真模拟-数学AAA(含答案以及详解).doc

教育部考试中心 高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟Advanced Assessment for Admission（AAA）数 学一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1 已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则ABC一定为( )A直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形2圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AMMP，则P点形成的轨迹的长度为_A. B. C. 3 D.3.设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为_A.1 B. 2 C. 3 D. 44. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0n-1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 A .1 104 B. 1 105 C.1 106 D.1 1075已知，直线与的交点在直线上，则 。A.0 B.1. C-1 D.26设，则。A 1 B 2 C 3 D 47 已知，则 A 4/5 B 3/5 C1 D -4/58顶点在同一球面上的正四棱柱中，则两点间的球面距离为（ ） A B C D9. 在平面直角坐标系内，将适合且使关于t的方程没有实数根的点所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为 。A 81/4 B 83/4 C 81/5 D 83/510. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q，则F1PQ内切圆面积的最大值是 A 2516 B 925 C 1625 D 916二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。一设若时，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值二、已知椭圆C：（），其离心率为，两准线之间的距离为。（1）求之值；（2）设点A坐标为(6, 0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角ABP（字母A，B，P按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程。三.（本小题满分25分）已知数列an中的相邻两项a2k-1，a2k是关于x的方程x2（3k+2k）x+3k2 k =0的两个根.（1）求数列an的前2n项和S2n.（2）记f（n）=（+3），Tn=+，求证：Tn（nN+）四、已知椭圆 过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线的交点为B、C。现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足 时，求实数m的取值范围。五、已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立。假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。若该研究所共进行四次实验，设表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值 （1）求随机变量的数学期望E； （2）记“关于x的不等式的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）。 高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟数学答案及详解1 解：因为，所以已知条件可改写为。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此 选 D。2 解：建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0), B(0,1,0), ，P(x,y,0).于是有由于AMMP，所以，即，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为。 因此 选 B。3. B 4. 答：若计算器上显示n的时候按下按键，因此时共有1n-1共n种选择，所以产生给定的数m的概率是。如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产生了，则概率为，所以所求概率为 注意到两式相除即得。5解：由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程，的两个根，即为方程的两个根。因此，即0。6解： 。7 8 B9. 答：令，原方程化为 所给方程没有实根等价于方程无实根或有实根但均为负根，所以，或点集N所成区域为图中阴影部分，其面积为10. 答：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且F1PQ的周长是定值8，所以只需求出F1PQ面积的最大值。设直线l方程为，与椭圆方程联立得，设，则，于是。因为，所以内切圆半径，因此其面积最大值是。二、解答题一 解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点取得，故有，从而且若有实根，则，在区间有即消去c，解出即，这时，且若无实根，则，将代入解得综上所以，单调递减故注重分类讨论二、解：（1）设c为椭圆的焦半径，则。于是有a5，b3。（2） 解法一：设B点坐标为，P点坐标为。于是有因为，所以有。 (A1 )又因为ABP为等腰直角三角形，所以有 AB=AP，即 。 (A2 ) 由（A1）推出，代入（A2），得 从而有 ，即（不合题意，舍去）或。 代入椭圆方程，即得动点P的轨迹方程解法二： 设,，则以A为圆心，r为半径的圆的参数方程为。设AB与x轴正方向夹角为，B点的参数表示为，P点的参数表示为.从上面两式，得到。又由于B点在椭圆上，可得。此即为P点的轨迹方程。三.（I）解：方程的两个根为， （5分） （10分）() 证明：，所以， （15分）当时， （20分）同时，综上，当时， （25分）四、解：椭圆过定点A（1，0），则，。由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线的交点，就必过椭圆与射线的交点。联立方程 ，解得 。，。设抛物线方程为：，。又 ， 把 ， 代入得，。令， 在内有根且单调递增， 综上得：。五、（1）由题意知的可能取值为0，2，4指的是实验成功2次，失败2次.指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次.指的是实验成功4