江苏省高考数学二轮复习 专题7 三角恒等变换与解三角形.doc

江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题7 三角恒等变换与解三角形回顾20082012年的考题，在填空题中主要考查了三角公式的运用、正、余弦定理的运用.在解答题中有2008、2011年主要考查了三角化简求值，2009年考查了向量与三角化简的综合问题，2012年考查角的恒等变换及正、余弦定理.在近五年的应用题考查中，有两年考查了与三角函数有关的应用题.,在近四年的考查中，同角三角函数关系与诱导公式没有两角和与差的公式考查力度大，但作为三角化简的基本功还是要掌握的.预测在2013年的高考题中：(1)填空题依然是考查简单的三角函数化简、解三角形，随着题目设置的顺序，难度不一.(2)在解答题中，三角函数的化简、三角函数的性质与解三角形和平面向量的交汇问题仍是考查的重点.1(2012南京名校4月阶段性考试)若3，tan()2，则tan(2)_.解析：由题意得3.所以tan 2.又tan()2，所以tan()2.所以(2)tan().答案：2.sin 10(tan15tan 5)_.解析：原式sin 102cos 10cos 30.答案：3在锐角abc中，bc1，b2a，则的值等于_，ac的取值范围为_解析：设a，则b2.由正弦定理得，12.由锐角abc得0290045，又01803903060，故3045cos ，ac2cos (，)答案：2(，)4(2012西安名校三检)在abc中，已知a，b，c分别为a，b，c所对的边，s为abc的面积若向量p(4，a2b2c2)，q(，s)，满足pq，则c_.解析：由pq4s(a2b2c2)0，又4s4absinc(a2b2c2)，可得sinccos c，即tan c，故c.答案：5在abc中，a为最小角，c为最大角，已知cos(2ac)，sin b，则cos 2(bc)_.解析：a为最小角，2acaacabc180.cos(2ac)，sin(2ac).c为最大角，b为锐角又sin b，故cos b.即sin(ac)，cos(ac).cos(bc)cos acos(2ac)(ac)，cos 2(bc)2cos2(bc)1.答案：已知，cos()，sin().(1)用，表示2；(2)求sin 2，cos 2的值解(1)2()()(2)因为，所以0，c2，则c2c，则c；若a3b3c3，则c；若(ab)c；若(a2b2)c2.解析abc2cos cc2ccos cca3b3与a3b3c3矛盾；取ab2，c1满足(ab)c2ab得c；取ab2，c1满足(a2b2)c22a2b2得c.答案利用正、余弦定理可实现三角形中的边角转化，常用方法是：化边为角结合内角和定理求解；化角为边结合勾股定理、三边关系求解在abc中，sin a，判断这个三角形的形状解：应用正弦定理、余弦定理，可得a，所以b(a2b2)c(a2c2)bc(bc)所以(bc)a2(b3c3)bc(bc)所以a2b2bcc2bc.所以a2b2c2.所以abc是直角三角形(1)在三角化简、求值、证明中，表达式往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中的角，使问题获解如角的变形：1545306045，()，2()().特别地，与为互余角，它们之间可以互相转化，在三角变形中使用频率高(2)两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解1(2012连云港调研)在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin c2sin b，则a_.解析：由sin c2sin b，得c2b.又a2b2bc，所以cos a，所以a.答案：2设，cos，sin，则sin()_.解析：，又cos，sin.，sin，cos.sin()sincoscoscossinsin.即sin().答案：3已知sin ，tan()，则tan(2)_.解析：sin ，cos .则tan .由tan()，可得tan ，tan 2.tan(2).答案：4.如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形abc的三顶点分别在l1、l2、l3上，则abc的边长是_解析：因为l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，所以过a作l2的垂线，交l2、l3分别于点d、e，如图，则badbaccae，即bad60cae，记正三角形abc的边长为a，两边取余弦得cos 60cos caesin 60sin cae，即整理得，1，解之得，a.答案：5已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值是_解析：tan tan()，tan(2)1.tan ，2.2.答案：6在abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边，如果a，b，c成等差数列，b30，abc的面积为，那么b_.解析：2bac，a2c2(ac)22ac4b22ac.在abc中，b30，abc的面积，所以acsin b，即ac6，于是a2c24b212，由余弦定理得cos b，即，解得b242，于是b1.答案：17abc中，a，b，c所对的边分别为a，b，c，tan c，sin(ba)cos c则b_.解析：因为tan c，即，所以sin ccos asin ccos bcos csin acos csin b，即sin ccos acos csin acos csin bsin ccos b，得sin(ca)sin(bc)，所以cabc或ca(bc)(不成立)即2cab，得c，所以ba.又因为sin(ba)cos c，则ba或ba(舍去)，得a，b.答案：8已知圆内接四边形abcd的边长分别为ab2，bc6，cdda4，则四边形abcd的面积为_解析：如图：连结bd，则有四边形abcd的面积ssabdscdbabadsin abccdsin c.ac180，sin asin c.故s(abadbccd)sin a(2464)sin a16sin a.由余弦定理，在abd中，bd2ab2ad22abadcos a2016cos a，在cdb中，bd2cb2cd22cbcdcos c5248cos c，2016cos a5248cos ccos ccos a，64cos a32，cos a.又0a180，a120，故s16sin 1208.答案：89在正三角形abc的边ab、ac上分别取d、e两点，使沿线段de折叠三角形时，顶点a正好落在边bc上，在这种情况下，若要使ad最小，则adab_.解析：按题意，设折叠后a点落在边bc上改称p点，显然a、p两点关于折线de对称，又设bap，dpa，bdp2，再设aba，adx，dpx.在abc中，apb180abpbap120，由正弦定理知：.bp.在pbd中，所以bp，从而，x.060，60602180.当60290，即15时，sin(602)1，此时x取得最小值(23)a，即ad最小，addb23.答案：2310(2012江苏高考)设为锐角，若cos，则sin的值为_解析：因为为锐角，cos，所以sin，sin 2，cos 2，所以sinsin.答案：11已知abc的三个内角a、b、c满足ac2b.，求cos的值解：由题设条件知b60，ac120设，则ac2，可得a60，c60，所以，依题设条件有，又cos b，2.整理得4cos22cos30，即(2cos )(2cos 3)0.2cos 30，2cos 0.从而得cos.12.(2012苏锡调研)如图，在四边形abcd中，已知ab13，ac10，ad5，cd，50.(1)求cos bac的值；(2)求sin cad的值；(3)求bad的面积解：(1)因为| | |cos bac，所以cos