数学建模案例汽车保险.pdf

1 汽车保险问题研究汽车保险问题研究 喻璐朱凡俞海乐 摘摘要要 针对实行安全法规 交通事故减少以后 汽车保险公司所定的保险费的变化情 况的问题 本文从总投保人数人均所担负的事故赔偿费的角度来讨论保险费用的变化情况 若人均所担负的赔偿费减少 则意味着人均所担负的风险变小 那么相应的投保人所交的保 险费也应减少 本文就是根据这样的原则通过对人均所担负的赔偿费的变化的讨论来回答题 目的保险费变化的问题 在建模过程中查阅了一些书籍 并根据实际情况作了适当假设 建 立了一般模型 代入题中所给数据得到了法规颁布后的保险费会减少的结果 关键词关键词 人均事故赔偿费净保费基本保险费泊松分布 1 1 问题重述问题重述 已知某汽车保险公司的保险规则 即 该公司只提供一年期的综合保险单 若客户在这 一年内没有提出赔偿要求 则给予额外补助 客户被分成 0 1 2 3 类 新客户属于 0 类 级别越高 从保险费中得到的回扣越多 当客户续保时 若上一年中没有要求赔偿 则提高 一个类别 若上一年中要求过赔偿 则降低两个类别或 0 类 客户不论是由于自动终止保险 还是则某种原因 例如事故死亡 保险公司将退还保险金的适当部分 现在政府为了减少 交通事故 参考其他城市的做法 制定了一系列安全法规 根据其他城市的经验 实行安全 法规以后 死亡的司机减少 40 一般来讲医疗费也会减少 20 至 40 问题是想知道这 样以后保险公司所制定的保险费是应该增加还是应该减少 提出一般的解答方法并运用已知 的该公司在某一年的保险数据来验证所提出的方法的正确性 2 2 问题分析问题分析 题目所要求的问题是实行安全法规前后该汽车保险公司所制定的保险费的变化情况 社 会保险的作用就在于分担风险 汽车保险费由净保费和附加保费两部份构成 附加保费用于 支付保险公司的营业费用 这部份费用可假定是不变的 因而问题的关键就在于净保费的变 化 净保费又叫做风险保费 在数量上等于保险期间赔款的期望值 因而通过对下一年的赔 款期望值的估算来确定下一年的净保费的金额 而赔款期望值即人均事故赔偿费的估算涉及 到总投保人数的估算和事故赔偿费总额的估算 虽然投保人数的变化与保险费的多少有关 但通过合理的假设 每辆车都必须投保 以及在颁布法规的情况下各个保险公司的保险费都 会发生相似的变化 就可以忽略各保险公司的竞争 可以得到投保人数的变化不依赖于保险 费的变化 所以本题所要解决的主要问题就是下一年的事故赔偿费总额的估算和总投保人数 2 的估算 最后通过得到的各类的净保费以及已知的该类的保险费折扣率来计算得到基本保险 费 模型建立部分分为两个过程 首先解决没有颁布法规的情况 再在此基础上解决法规颁 布了的情况 3 3 合理假设合理假设 a 该汽车保险公司只提供一年期的综合保险单 b 若客户在这一年内没有提出赔偿要求 则给予额外补助 c 客户被分成 0 1 2 3 类 新客户属于 0 类 d 当客户续保时 若上一年没有要求赔偿 则提高一个类别 若上一年中要求过赔偿 则降低两个类别或 0 类 e 客户注销时保险公司将退还保险金的适当部分 f 每辆汽车必须投保 g 投保人除注销外不会退出该保险公司而到其他保险公司投保 h 每一类别中总投保人数等于续保人数与新投保人数之和 i 注销人数等于自动终止保险人数与死亡人数之和 j 每一类别的没有索赔补比例 所交保险费的折扣率 不变 k 自动终止保险人数与总投保人数比例不变 l 死亡司机人数与索赔人数比例不变 m 新车使用三年后报销 即三年后的自动退保人数等于三年前的新投保人数 且每年 的新投保人数按等比例增长 n 下一年的平均死亡赔偿费不变 o 下一年的平均修理费不变 p 下一年的平均医疗费不变 q 下一年的平均偿还退回的保险金额不变 r 颁布了法规的情况下 每个类别的死亡司机比没有颁布法规时都减少 40 s 注销人平均所得到的偿还退回金金额不变 4 4 符号说明符号说明 n1984 1985 年度的人数 m没有颁布法规的情况下 下一年度的人数 mm颁布了法规的情况下 下一年度的人数 W1984 1985 年度的费用 S没有颁布法规的情况下 下一年度的费用 SS颁布了法规的情况下 下一年度的费用 3 i取 0 1 2 3 代表 0 1 2 3 类 k比例系数 i ri 类的没有索赔补比例 即所交基本保险费的折扣率 新投保人数的增长比例 i c各类投保人所承担的平均事故赔偿费 Y没有颁布法规的情况下 下一年的基本保险费 其中 中文下标 总 表示总投保人数或总索赔费用 续 表示续保人数 新 表示 新投保人数 注 表示注销人数 索 表示索赔人数 死 表示死亡人数或死亡赔偿费 修 表示修理费 医 表示医疗费 退索 表示自动退保人中索赔过的人数 5 5 模型建立模型建立 5 15 1 未颁布法规的情况下下一年的基本保险费估算未颁布法规的情况下下一年的基本保险费估算 根据假设 6 有以下四个式子 下一年 3 类总投保人数 3 类续保人数 3 类注销人数 3 类降为 1 类的人数 索赔人数 3 类注销人中索赔过的人数 包括 3 类死亡人数和 3 类自动退保人中索赔过的人数 因为 索赔人数和注销人数中都包括这部份人 2 类升为 3 类的人数 而 2 类升为 3 类的人数 2 类续保人数 2 类注销人数 2 类索赔人数 2 类死亡人数 即 2222333333死索注续退索死索注续总 nnnnnnnnnm 1 下一年 2 类总投保人数 1 类升为 2 类的人数 1 类续保人数 1 类注销人数 1 类降为 0 类的人数 即索赔人数 1 类死亡人数 1 类自动退保人中索赔过的人数 即 111112退索死索注续总 nnnnnm 2 下一年1类总投保人数 0类升为1类的人数 0类总投保人数 0类注销人数 0类索赔 人数 0 类死亡人数 0 类自动退保人中索赔过的人数 3 类降为 1 类的人数 3 类索赔人数 3 类死亡人数 3 类自动退保人中索赔过的人数 即 333000001退索死索退索死索注总总 nnnnnnnnm 3 下一年 0 类总投保人数 0 类索赔人数 0 类死亡人数 0 类自动退保人中索赔过的人数 1 类降为 0 类的人数 1 类索赔人数 1 类死亡人数 1 类自动退保人中索赔过的人数 2 类降为 1 类的人数 2 类索赔人数 2 类死亡人数 2 类自动退保人中索赔过的人数 下一 年的新投保人数 即 新退索死索退索死索退索死索总 mnnnnnnnnnm 2221110000 4 由假设 11 可得 下一年的自动退保人数与总投保人数成比例 再由假设 9 可得 注销 人数等于自动退保人数与死亡人数之和 即 iiii mkmm 死自总注 5 4 由假设 12 可得 下一年的死亡人数与索赔人数成比例 即 iii kmm 死索死 6 对于 i 类总投保人数中的每一个人 因为它服从泊松分布 所以它索赔 k 次的概率 p 为 kekKp k ii 0 i 7 所以 它至少索赔一次的概率 为 i eKpKp iii 0 1 1 8 所以在 i n总个人中有 x 个人向保险公司索赔的概率为 knk n xn i x i x ni eeCCxp 1 1 9 索赔人数用它的期望来表示即为 1 1 i i enxxpn i n x ii 总索 总 10 所以 ln ln iiii nnn 索总总 11 由上所述可得到索赔人数与总投保人数的关系为 1 i emm ii 总索 12 由假设 13 可得 下一年的新投保人数等于这一年的新投保人数与等比例之积 即 新新 nm 13 由假设 14 15 16 可得以下式子 ii ws 死死 ii ws 修修 ii ws 索索 14 所以 总的死亡赔偿费可表示为 iii sms 死死死 15 总的修理费用可表示为 iii sms 修修修 16 总的医疗费可表示为 iiii smms 医死索医 17 总赔偿费 总死亡赔偿费 总修理费 总医疗费 即 iiii ssss 医修死总 18 由假设 17 可得 退退 ws 19 所以总的偿还退回金额等于人均退回金额与注销人数之积 即 ii mss 注退退 20 根据以上所有式子 有各类投保人人均所承担的事故赔偿费 该类总赔偿费 该类总偿 还退回金额 该类总投保人数 可表示为 iiii mssc 总退总 21 5 下一年的基本保险费为 Y 可用各类人均事故赔偿费 即各类的净保费 和各类的保险费 折扣率表示为 0 类净保费 0 类总投保人数 1 类净保费 1 类总投保人数 2 类净保费 2 类总投保人数 3 类净保费 3 类总投保人数 基本保险费 0 类保费折扣率 0 类总投保人数 基本保险费 1 类保费折扣率 1 类总投保人数 基本保险费 2 类保费折扣率 2 类总投保 人数 基本保险费 3 类保费折扣率 3 类总投保人数 即 i i ii i i mcmrY 总总 3 0 3 0 1 22 所以 Y 为 i i ii i i mrmcY 总总 1 3 0 3 0 23 5 25 2 颁布了法规的情况下下一年的基本保险费的估算颁布了法规的情况下下一年的基本保险费的估算 根据假设 法规颁布了的情况下和没有颁布法规的情况下有下列这些因素不变 新投保人数 各类别总的投保人数 平均修理费 平均医疗费 平均死亡赔偿费 所以 有 新新 mmm ii mmm 总总 修修 sss 医医 sss 死死 sss 法规颁布了的情况下变动的因素有 死亡人数 索赔人数 注销人数 它们的变动如下 列三个式子所示 其余步骤与 一 中所列相同 在此不再重述 由假设 18 颁布了法规的情况下 每个类别的死亡司机比没有颁布法规时都减少 40 可 得 60 ii mmm 死死 24 由假设 12 死亡人数与索赔人数比例不变 可得 60 60 iiiiii mkmkmmmm 索死死死死索 25 因为注销人数等于自动退出人数和死亡人数之和 在死亡人数变动的情况下 注销人数 可表示为 40 iii mmmm 死注注 26 6 6 模型求解及结果分析模型求解及结果分析 题目中所给的表 1 表 2 的数据摘要如下 表 11984 1985 年度发放的保险单数 基本保险费为 775 类没有索赔补比例续保人数新投保人数注销人数总投保人数 6 别 001280708384620182641665328 12517648971282401764898 24011544610138751154461 350876005803241148760058 总收入 M 6182 偿还退回 M 70 净收入 M 6112 支出 M 149 索赔支出 M 6093 总支出 M 6242 超支 M 130 表 21984 1985 年度索赔款 类 别 索赔人数死亡司机人数平均修理费 平均医疗费 平均赔偿费 058275611652102015263195 158246323315122312313886 211585722929478232941 370087270138058142321 总修理费 M 1981 总医疗费 M 2218 总死亡赔偿费 M 1894 总索赔费 M 6093 将上表中的数据代入模型求解 首先 求解 根据假设 13 可得 1980 年新投保人数 等于 1984 年的自动退保人数 为 索赔人数 死亡人数 340221 81 年到 84 年的新投保人 数按等比例增长 有 340221 4 384620 所以等比例 103 1 其次 求解自动退保 中的索赔人数 解法如下所示 设第 I 类中某人在该年的第 K 天自动退出 则该人在前 K 天中索赔过的概率为 riP K K i 365 因 K 是随机变量 且 1 K 365 设rP K k 易知 1 365 从而 第 K 类 中自动退出的某一个人索赔过的概率在这一年中的期望为 i 365 1 k riP k 365 1 k k i 365 i 2 与前面计算索赔人数的期望同样的方法可求得该年中在第 i 类的自动退出的人群中向 保险公司索赔过的人数期望值是 n退赔 n索 i n死 i 1 e i 2 再根据模型步骤逐步求解得到没有颁布法规的情况的结果列表见表 3 及表后说明 表 3 7 1985 1986 年的总的自动退保人数 350768总死亡人数 44057总注销人数 394825 偿还退回金总额 人均偿还退回金的金额 总注销人数 为 71 88M 总索赔费 类的平均赔偿费类的总的索赔人数 3 0i ii 为 6064 72M 最后得到在没有颁布法规的情况下的基本保险费为 762 颁布了法规的情况与没有颁布法规的情况类似 计算得出的结果列表见表 4 及表后说 明 表 4 总死亡人数 26434 总注销人数 377202 偿还退回总金额 68 67 M 总索赔支出 6064 7 M 最后得到法规颁布了的情况下的基本保险费为 461 依据题中所给的 84 85 年的保险数据估算出下一年中没有颁布法规和颁布了法规这两 种情况下的基本保险费 分别为 762 461 因此 回答题中问题 在颁布了法规的情况 下保险公司所制定的基本保险费是减少的 7 7 误差分析误差分析 本题的结果与现实间的主要误差主要来自于假设 7 11 12 13 在现实生活中 在保 险公司间由于报单价格及声誉的影响 中途从一家保险公司改投另一家保险公司的投保人数 也有一定数目 自动退保的人数变化是由死亡人数变化和汽车报废到期人数及其他以外因素 共同决定 在我们的模型中将它假设成与总投保人成比例变化而产生了误差 车祸中死亡人 类 别 没有索赔补比例 续保人 数 新投保人 数 总投保人 数 索赔人 数 死亡人 数 平均赔偿 费 0012412663965431627809573124114603195 125175829101758291580274232273886 24011783230117832311825223392941 35087823720878237270265870312321 类 别 没有索赔补比例 续保人 数 新投保人 数 总投保人 数 索赔人 数 死亡人 数 平均赔偿 费 001241266396543162780934387468763195 125175829101758291348164