拓扑学导论_朱培勇_第二章习题详解.pdf

拓扑学导论 1 练习二参考答案练习二参考答案 1 设X为集合 为 AX的一族子集 试证 de Morgan 公式 1 X AX A 2 XA XA 证明证明 只证 1 2 同理可证 对于x XA 则 有xA 因此 有 x XA 即x XA 于是 XAX A 反过来 x XA 有 x XA 则 xA 故xA 即 xXA 则 XAXA 综上 X AX A 2 分别定义 1 2 为 n n 1 yx max 1 ii ni yx 和 2 yx n i ii yx 1 证明 1 2 都是集合上的度量 n 证明 证明 1 yx 和 2 yx 满足度量条件 D1 和 D2 是显然的 X 下证三角不 等式成立 事实上 x y z n 1 x z 1 max ii i n xz 1 max iiii i n xyyz 11 11 max max iiii i ni n xyyzx yy z 并且 2 x z 1 n ii i xz 1 n iiii i xyyz 1 n ii i xy 1 n ii i yz 2 x y 2 y z 因此 D3 真 即 1 x z 与 2 yx 都是X上的度量 第二章练习题 2 3 设 X为度量空间 分别定义 1 2 XX 为 1 yx 1 yx yx Xyx 并且 试证明 1 1 1 2 yx yxyx yx 当 当 1 2 都是X上的度量 证明证明 同 2 题的情形一样 我们只需证明 D3 真 事实上 x y zX 因为 x zx yy z 并且一元函数 1 t f t t 在时严格递增 因为0t 2 1 0 1 ft t 所以 1 x z 1 x z x z 1 x yy z x yy z 1 x y x yy z 1 y z x yy z 1 x y x y 1 y z y z 1 x y 1 y z 而关于 2 始终有 2 x y 2 x y 2 y z 因此 1 2 都是X上的度 量 4 设是一映射 我们称在是连续的 如果 f n f n 0 x n 0 0 使得 xBx 时 恒有 xf开于 n 证明证明 记U x n 0 xf 对于 0 xU 因为 取 0 0f x 0 20f x 由已知 0 使得 0 xB x 时 恒有 00 2f xf xf x 所以 0 xB x 时 恒有 00 0 2 f xf xf x 使得 x B xA 因 为 x B x 中每个点都是A的内点 则 x B xIntA 因此 x IntAx IntAx IntAxB xIntA 即 x IntAx IntAB x 由定理 2 1 3 是IntAX中开集 记并且U开于 U UA O X 因为IntA O 则 IntA O 反过来 x OU O使得 则xU 0 使得 B x U A 则 因此 xIntA OIntA 从而 IntA O 2 因为 AXInt XA 由 1 的证明 有 Int XA 并且U开于 U UXA X 故 AXInt XA X 并且U开于 U UXA X X U UXA 并且U开于 X F AF 并且闭于F X 6 若A是度量空间X的稠密子集 为OX中开集 证明 OAO 证明证明 法一 xO 因为开集 则O0 使得 B xO 又因对于 0 取min r 则 B xAOB x rA 所以 xAO 故 OAO 法二 若OAO 即 0 xO 使得 0 x AO 则0 0 B x O并且 AOB x 因此 AB xAOB xAOB x 这与A是X的稠密子集矛盾 于是 OAO 7 证明 度量空间中任何子集的导集都是闭集 证明证明 设X是一个度量空间 AX 若 xA 则0 使得 第二章练习题 4 B xAx 下证 B xA 从而 A是X中闭子集 事实上 yB x 若yx 则 xA 不妨设yx 取 min x yx y 则0 并且 B y B xx 于是 B yAyB xxAB xAx 从而 故yA B xA 8 证明 集合上的任意两个拓扑的交也是上的一个拓扑 集合上 两个拓扑的并一定是上一个拓扑吗 为什么 XXX X 证明证明 设 是 1 T 2 TX上的两个拓扑 我们证 是 12 TTX上的一个拓扑 事实上 因为 i X T i T 则1 2i X 12 TT 1 TT2 故 真 又因为 1 O A B 1 TT2 则 A B i T 1 2i 因此 则 即 真 最后 对于 AB i T AB 1 TT2 2 O U 1 TT2 则 U i T 1 2i 于是 U i T 1 2i 故U 12 TT 真 从而 是 3 O 12 TT X上的一个拓扑 另外 集合上两个拓扑的并不一定是上一个拓扑 XX 事实上 我们可取 Xa b c 1 T aX 2 T bX 则 都是 1 T 2 TX上的拓扑 但 12 TT abX 不是X上的一个拓扑 因 为 不真 2 O 9 设是拓扑空间 G X T T 则xG 有 Gx U 反之 若 为其中任意点的邻域 则U必为中开集 UX 证明证明 设G T 对于xG 使得UG TxUG 故由邻域 的定义 有 Gx U 反过来 若x U 有 Ux U 则 x G T使得 x xGU 所以 x Ux Ux UxG U G 于是 x Ux U 根据 U 3 O T 拓扑学导论 5 10 设是拓扑空间 F为中的闭集的全体 则F满足条件 X TX F1 X F F2 若 1 F 2 F F 则 12 FF F F3 若 则 F FF F 证明证明 因为 X T c XX F c XXX F 故 F1 真 若 1 F 2 F F 则 1 c F 2 c F T 故 1212 ccc FFFF T 因此 即 F2 真 12 FF F 最后证 F3 真 事实上 若 则 根据 有 F F c F T 3 O cc FF T 于是 F F 11 设是一个拓扑空间 X TAX 则 i A T当且仅当 0 AA ii A等于包含A的一切闭集的交 证明证明 i 必要性 设A T 因为 xA x GA T使得 x xGA 则为xA的内点 所以 而是显然的 所以 o AA o A A 0 AA 充分性 设 0 AA 则xA 有 x G T x xGA 故A x Ax G 所以 A T ii 设C F FA 且闭于F X 因为F C 有AF 故A FF 则A C 反过来 因为AA 并且A C 则 CA 从而 A C 12 设是有限余拓扑空间 X TAX 求证 AA A XA 当 为有限集 当 为无限集 第二章练习题 6 证明证明 当A为有限集时 因为有限余拓扑空间是空间 所以 有限集 1 TA为 闭集 故AA 当A为无限集时 我们证明 AX 事实上 xX Ux U G 开于X使得xGU 如果AU 则AG 因此 而有限 故 AX G X GA有 限 这与A是无限集的假设矛盾 从而 AU 所以 xA 故 AX 13 设是拓扑空间 对于 X TAX 对应着一个 o A 称为 内核算子 求证内核算子满足条件 o i AA I1 o XX I2 o AA I3 o oo AA I4 ooo ABAB A BX 证明证明 由内部的定义 I1 和 I2 的正确性是明显的 关于 I3 的证明 是直接的 只需证明 ooo A A o oo AA 事 实 上 对 于 o xA G T使 得xGA 而 所 以 o GA oo xA 即 从而 oo AA oo oo AA 最后证明 I4 因为 则 于是 ABA ABB o o ABA o ABB o o o o ABAB o 反过来 o xAB 则使得U并且 Ux UAx V U使得 于是 VB GUV xU使得GA 因此 B o xAB 即 oo ABAB o o 从而 oo ABAB 14 设为实数集 赋予右序拓扑 01 A 求 o A A和A 拓扑学导论 7 解解 1 首先证明 o A 事实上 若 o xA 则 y B Gy x U使得 0 1 y B xGyA 因此 使得yB 0 1 xy 由此推出 2 0 1 显然 这不可能 故 o A 2 再证 1 A 若 则对于 xA Gxx U 有 0 1 xAxxAx 则 所以 1x 1 A 反过来 对于 1x Ux U y B Gy T使得 xGU 于是 yB 使得 xyU 则1yx 取 1 rx 则 0 1 1 UAxyxr 即 UAx 因 此 1 A 3 0 1 1 1AAA 15 设是拓扑空间 X TA为的子空间 若 X x 为A中的网 则 x 在A收敛于xA 当且仅当 x 在收敛于XxA 证明 证明 必要性 社 x 在A收敛于点xA 则对于 Ux U 0 使 得 0 时 有xUA 于是 0 有xU 故 x 在收 敛于 X x 充分性 对于 A Ux U V xU使得UAV 因为 x 在 收敛于XxA 则 0 使得 0 时 有xV 又因为 xA 所以 0 时 有xVAU 于是 x 在A收敛于x 16 设是拓扑空间 则为中开集当且仅当 X TGXxG 及网 x 收敛于x 有 xG 证明 必要性 设G为中开集 XxG 并且xx 因为 Gx U 第二章练习题 8 则 0 使得 0 有xG 因此 0 xx G 故 xG 充分性 设xG 及 网 x 收敛于x 有 xG 如果G不是开 集 则 0 xG 使得 Ux U U 取G U xU G 则网收 敛于并且 UU x x U x GxG UU x U 这与假设矛盾 17 设是拓扑空间 X TA X 集族 A 称为在 中是局 部有限 离散 的 如果 X xX Ux U使得 UA 是一个有 限集 至多单点集 试证明 1 离散集族是局部有限集族 2 若 A 局部有限 则 A 也局部有限 3 若 A 局部有限并且 BA 则 B 也局部有限 4 若 A 局部有限 则 AA 证明 1 设 A 是 中的离散集族 则XxX Ux U使得 UA 是至多单点集 因此 UA 是有限集合 故 局部有限 A 2 对于 xX 因为 A 局部有限 则 Ux U使得 UA 有限 而 UA UA 则 UA 有限 从而 A 局部有限 3 设 有BA xX 因 A 局部有限 则 使得 Ux U UA 有限 而 UB UA 则 UB 有限 从而 B 局部有限 4 因AA 则A A 故AA 下面证明 AA 事实上 如果x A 则 有x A 因为 局部有限 则使得 A Ux U UA 为有限集 对于 因为x A 则O x U使得OA 令 VUO 则V xU 拓扑学导论 9 并且 VA 因此 xA 故 AA 于是 AA 18 设为欧氏空间 下列子集族是否构成的一个拓扑基 2 2 1 中所有开等边三角形 2 2 所有其边平行于坐标轴的开长方形 解 1 中所有开等边三角形构成的一个拓扑基 2 2 事实上 设是的开圆盘的全体 B 2 O P B QO P 以 为重心在Q O P 内作等边三角形 Q O P 则 O P Q O PQ 从而 是 按通常拓扑 的一个拓扑基 B 2 2 中所有其边平行于坐标轴的开长方形也构成的一个拓扑基 证法 与 1 的相同 这里从略 2 2 19 设 fXY 连续 AX 证明 f在A上的限制 A f AY 是A上 的连续映射 证明证明 对于Y中任何开集V 因为 fXY 连续 则 1 fV 开于X 所 以 1 fVA 开于A 又因为 1 A fV 1 fV A 则开于 1 A fV A 故 A f AY 连续 20 求解下列两个问题 1 设为拓扑空间 为平凡拓扑空间 则从到Y的任何映射都是 连续映射 XYX 2 设为离散拓扑空间 Y为任意拓扑空间 则从到的任何映射 也是连续映射 XXY 证明 证明 1 设为拓扑空间 为平凡拓扑空间 因为Y上拓 扑为 XY fXY Y U 1 f 开于X并且 1 fYX 开于X 由定理 2 6 1 连续 fXY 2 设为离散拓扑空间 为任意拓扑空间 对于任何UXY fXY 第二章练习题 10 开于Y 则 1 fU X 因为离散空间的任何子集都是开集 故 1 fU 开于 X 因此 连续 fXY 21 设X是一个拓扑空间 AYX 试证明 1 如果Y是X的开子集 则A开于Y当且仅当A开于X 2 如果Y是X的闭子集 则A闭于Y当且仅当A闭于X 证明证明 1 必要性 设A开于 由子空间拓扑的定义 存在YX中开集使得 又因Y是 G AGY X的开子集 则G是Y X中开集 故A开于X 充分性 设A开于X 则开于Y 而AY AYA 因此 A开于Y 2 必要性 设A闭于Y 由定理 2 3 7 1 知 存在X中闭集使得 又因Y是 F AFY X的闭子集 则是FY X中闭集 故A闭于X 充分性 设A闭于X 则闭于Y 而AY AYA 因此 A闭于Y 22 设X是一个拓扑空间 AYX 证明 in int t X A int YX AY 证明 证明 int X xA 则 Ux U 使得U 因此 A VUY Y xU使得VUA 故int Y xA 又因UAY 则int X xY 于是 int int YX xAY 反过来 int int YX xAY 则 Y Ux U使得U并且 A V xU使得V 对于Y Y Ux U 又 Wx U使得UWY 则 O 使 得 因 此 VWx U OVYWVWYVUA int X xA 从而 int int X A int YX AY 23 邻域基与邻域子基 设X是一个拓扑空间 xX xU为点的邻 域系 x xB xU x xU i xB称为是点的邻域基 如果x U xU B xB使得B U ii x 称为是点的邻域子基 如 果 x U xU 12 n S SSx 使得 1 n ii SU 设X与Y都是拓扑空间 fXY xX 试证明下列各条等价 拓扑学导论 11 1 在点处连续 fx 2 点有邻域基 f x f x V使得V f x V 有 1 fV xU 3 点有邻域子基 f x f x W使得W f x W 有 1 fW xU 证明 1 2 与 2 3 都是平凡的 下面我们只证 3 1 事实上 U f xU 因为 f x W是的邻域子基 则 f x 12 n S SS f x W使得 又因 1 n ii SU 1 iin 1 i fS xU 则并且 111 11 nn iiii fSfSfU 1 1 n ii fS xU 则 1 fU xU 从而 在点连续 即 1 真 fx 24 举例说明从拓扑空间到另一个拓扑空间Y的 1 1 连续映射未必是同胚 映射 X 解解 取XY 是无限集 T是X的离散拓扑 U是Y上的平庸