（通信与信息系统专业论文）柔性形态滤波器的优化算法及其应用的研究.pdf

摘要 柔性形态学是数学形态学发展的一个重要分支。 1 9 9 1 年， l . k o s k in e n 提 出了 柔性形态滤波器， 它将排序加权统计方法代替最小、 最大法， 将一个结 构元分成边界和硬核两大部分。 柔性形态滤波器具有更强的抗噪声干扰能力， 对加性噪声和微小形状变化不敏感，是一种效果较好的形态滤波器。本文围 绕柔性形态滤波器的优化算法及其应用做了以下研究。 首先，通过正向布尔函数建立柔性形态滤波器与层叠滤波器的联系，在 此基础上，分析与介绍柔性形态滤波器的重要特性，显示其多种优良 性能。 对遥感图 像去噪处理的仿真结果也说明， 柔性形态滤波器可以 在有效滤除噪 声的同时，保留图像的细节信息。 本文的重点是对柔性形态滤波器优化算法的研究。 针对柔性形态滤波器 的高效快速优化问题， 基于ms e和ma e准则， 本文采用自适应遗传算法和 并行退火 自 适应遗传算法实 现柔性形态滤波器的 优化设计。 此外， 针对 柔性形态滤波器优化设计中去噪与细节保持的控制问 题，在分析以分解概率 和抽样选择概率作为约束条件的优化方法的基础上， 提出以 重复度参数与边 界大小的比 值作为约束条件， 利用基于传统的m a e 或ms e 误差准则构造新 的误差函数 ( 代价函数) 实现柔性形态滤波器优化设计的新方法。 各种算法 都进行相应的仿真实验，验证了它们的可行性和有效性。 最后，利用柔性形态滤波器进行水下超声波图像的边缘检测，同时也完 成了去噪处理。实验结果进一步证明了柔性形态滤波器是一种具有许多理想 特性的滤波器，在图像处理中 可以 得到较好的应用。 关键词:柔性形态滤波器;自 适应遗传算法;模拟退火算法;图像处理 一一一 一一一- 一j丝遂三兰遗湮主 些一一一一一一一一一 a b s t r a c t s o ft m o r p h o l o g y i s a n i m p o r t a n t s u b c l a s s o f d e v e l o p m e n t o f m a t h e m a t i c a l m o r p h o l o g y . i n 1 9 9 1 , l . k o s k i n e n i n t r o d u c e d s o fl mo r p h o l o g i c a l f i l t e r s . t h e k e y i d e a o f s o ft m o r p h o l o g i c a l f i l t e r s i s t h a t t h e s t r u c t u r i n g s e t i s d i v i d e d in t o t w o p a rt s : t h e h a r d c e n t e r a n d t h e s o ft b o u n d a r y ， w h e r e m a x i m u m a n d m i n i m u m a r e r e p l a c e d b y o t h e r o r d e r s t a t i s t i c s - t h i s m a k e s t h e fi l t e r m o r e t o l e r a n t t o n o i s e a n d ma k e s t h e fi l t e r l e s s s e n s i t i v e t o a d d i t i v e n o i s e a n d s ma l l v a r i a t i o n s i n t h e s h a p e s o f t h e o b j e c t s t o b e f i l t e r e d . i n t h i s p a p e r , s o m e r e s e a r c h e s o f o p t im a l a l g o r it h m s a n d i t s a p p l i c a t i o n o f s o ft m o r p h o l o g i c a l f i l t e r s h a v e b e e n m a d e a s f e l l o w. a t fi r s t , d i ff e r e n t p r o p e r t i e s o f s o ft m o r p h o l o g i c a l f i lt e r s a r e i l l u s t r a t e d a n d a n a l y z e d b y e s t a b l i s h i n g t h e c o n n e c t i o n t o s t a c k fi l t e r s t h ro u g h p o s i t i v e b o o l e a n f u n c t i o n s . i t i s s h o w n t h a t s o ft m o r p h o l o 咨 c a l fi l t e r s a r e w i t h m a n y d e s i r a b l e p r o p e rt i e s . t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f re m o t e s e n s i n g i m a g e p r o c e s s i n g i l l u s t r a t e d t h a t s o ft m o r p h o l o g i c a l fi lt e r s c a n p r e s e r v e w e l l d e t a i l s o f i m a g e w h i l e f i l t e r i n g t h e n o i s e . t h i s p a p e r f o c u s e s o n t h e r e s e a r c h o f o p t i m a l a l g o r i t h m s f o r s o ft m o r p h o l o g i c a l fi l t e r d e s i g n . u n d e r m s e a n d m a e c r i t e r i a , t h i s p a p e r p r o p o s e s t w o e ff e c t iv e a n d e a s y - t o - b e im p l e m e n t e d a l g o r it h m s f o r o p t i m i z a t i o n o f s o ft m o r p h o l o g i c a l f il t e r s , i .e . a d a p t iv e g e n e t i c a l g o r i t h m s a n d p a r a l l e l a n n e a l i n g - a d a p t i v e g e n e t i c a l g o r i t h m s . w h a t i s m o r e , in o r d e r t o c o n t r o l l i n g t h e t r a d e - o ff b e t w e e n n o i s e a t t e n u a t i o n a n d d e t a i l p r e s e r v a t i o n i n s o ft m o r p h o l o g i c a l f i l t e r d e s i g n , a n e w m e t h o d i s p r e s e n te d b y a n a l y z i n g t h e t w o o p t i m a l m e t h o d u n d e r b r e a k d o w n p r o b a b i l i t y c o n s t r a i n t a n d s a m p l e s e l e c t i o n p r o b a b i l it y c o n s t r a i n t . t h e r a t i o b e t w e e n h a r d c e n t e r a n d t h e s i z e o f s o ft b o u n d a r y i s u s e d a s c o n s t r a i n t d i r e c t l y . t h e n , n e w e r r o r f u n c t i o n ( c o s t f u n c t io n ) w i t h r e s p e c t t o t h e t r a d i t i o n a l c r i t e r i a ma e o r ms e i s e s t a b l i s h e d f o r o p t i m i z a t i o n o f s o ft -一一-一j迎犯巡蟹巴撑望 m o r p h o lo g ic a l f il e r s . t h e p re s e n te d a lg o r it h m s a r e a p p l i e d i n n o i s y im a g e p r o c e s s i n g . t h e i r f e a s i b i l i t y a n d e ff e c t i v e n e s s a r e a l l p ro v e d b y r e s u l t s o f s i m u l a t e d e x p e r i m e n t s . f in a l ly , e d g e d e t e c t io n a n d n o i s e r e m o v a l o f s u b a q u e o u s u l t r a s o n ic im a g e a r e a c h i e v e d s u c c e s s f u l l y b y u s i n g s o ft m o r p h o l o g i c a l o p e r a t i o n s . t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t i l l u s t r a t e s t h a t s o ft m o r p h o l o g i c a l f i l t e r c a n b e u s e d i n i m a g e p r o c e s s i n g a s a k i n d o f f i l t e r w it h m a n y d e s i r a b l e p r o p e rt ie s . k e y w o r d s : s o ft m o r p h o l o g i c a l f i l t e r s , a d a p t i v e g e n e t i c a l g o r i t h m , s i m u l a t e d a n n e a l i n g a l g o r it h m , i ma g ep mc e s s mg 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明: 本论文的所有工作， 是在导师的指导下， 由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引 用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用 的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表 的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结 桌由 本 人 承 担 。 作者 ( 签字) : 日 期: 7 0 0 3 年i 二月z a e a , z e e ) ， 则x关 于b 的膨胀与腐蚀定义为 x.b= z : 买nx# ( d 卜 v x ,n c a ( 1 - 9 ) x o b = z : b z c x ) = 瓜 x - h ( 1 一 1 0 ) 其中巾表示空集。 ( a ) ( ) 图1 . 1膨胀与腐蚀的效果图 ( c ) 堕玺鎏三堡盔兰鎏圭兰垒鎏銮 反扩展性： y ( x ) 匕肖v x 舻( e )( 1 - 5 ) 幂等性： 妒p 伍) 】= 妒) v x 舻( e )( 1 6 ) 其中：p 表示形态变换，p ( e ) 表示e u c l i d e a n 空间的幂集。 1 3 2 二值形态学 二值形态学的研究对象是二值图像( 集合) ，二值图像的灰度只能取0 和l 两个值，一般认为取值为1 的点集x 对应于图像中的物体，而取值为0 的点集x 。对应背景。即： x = z ：f ( z ) = 1 ，z = ( z ，y ) r2 )( 1 7 ) x 。= z ：，( z ) = o ，z = ( x ，y ) r2 )( 1 8 ) 二值形态学有四种基本变换：膨胀( d i l a t i o i l ) 、腐蚀( e r o s i o n ) 、开( o p e n ) 、 闭( c l o s e ) i o l 。 定义1 1 设z 表示一幅二值图像，b 为结构元，曰关于原点的对称集合 为b 5 = 一b ：b b ) 的平移集合为a ：= a + z ；a a ，z e ”) ，则关于占 的膨胀与腐蚀定义为 x o b 2 臼：彰n x 中) 。撼x 6 ( 1 - 9 ) 其中。表示空集。 ( a ) g o b = ( z ：b ：c x =x 一(),90 1 - 1 0 _ - c u ( b )( c ) 图1 1 膨胀与腐蚀的效果图 哈尔滨工程大学硕士学位论文 图1 1 给出了细胞图像二值膨胀和腐蚀的例子，( a ) 为原始二值图像，( b ) 为膨胀后的图像，( c ) 为腐蚀后的图像。可以看出膨胀扩展了原图像，腐蚀缩 小了原图像。 膨胀与腐蚀运算具有以下一些性质，它们的证明可以参阅有关文献。 性质1 1 对偶性( d u a l i t y ) ： ( x 0 功。= j 。 占 ( 1 - 1 1 ) ( x o b ) 。= x 。0 b ( 1 - 1 2 ) 其中c 表示集合求补运算。 性质1 2 平移不变性( t r a n s l a t i o ni n v a r i a n c e ) ： x o 口= ( x o b ) = x o b h x o 丑= ( x o b ) = x o b 性质1 3 单调性( i n c r e a s i n g ) x x j z o b x o b ，x 。 b 互x o b 曰b j x o b 。x o b ，x o bj x o b 性质1 4 扩展性( e x t e n s i v e ) ：若0 表示坐标原点，则有 0 b j x x o b ，旧 性质1 5 互换性( c o m p a t i b i l i t y ) ： zob=box 腐蚀运算不满足互换性。 - i 生质1 6 分配性( d i s t r i b u t i o n ) ： o ( b u c ) = ( o 召) u ( z o c ) 婀( b u c ) = ( x o b ) n ( j 固c ) ( x u r ) o b = ( x 0 口) u ( y o b ) f x n y ) o b = ( x o n ) n ( r o b ) 性质1 7 组合性( a s s o c i a b i l i t y ) ： ( x o 口) o c = x 0 ( b o c ) ( x o n ) o c = x o ( b o c ) 若曰= b 。0 8 2o o b ，则性质1 7 可推广为 x o b = ( x o b 。) o b 2 ) o ) o b 6 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) n 一1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) ( - 2 0 ) f l 一2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 - 2 4 ) ( 1 2 5 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 x o b = ( ( ( x o b l ) b 2 ) 0 ) o b ( 1 - 2 6 ) 以上两式说明复杂的形态变换可用简单形态交换的串联复合来实现。 形态开、闭运算是膨胀与腐蚀的串行复合运算，定义如下： 定义1 。2 设x 表示一幅二值图像，露为结构元，则关于8 的形态开、 闭运算分别定义为 x o b = ( x o b 、0 b b = f j o b ) 0 8 符号。和分别表示开运算和闭运算。 图1 2 开运算与闭运算的效果图 ( c ) ( 1 - 2 7 ) ( 1 - 2 8 ) 图1 2 给出了一个二值开和闭的例子，( a ) 为原始二值图像，( b ) 为开运算 后的图像，( c ) 为闭运算后的图像。可以看出开、闭运算后与原图像很相似。 它们有去除边缘毛刺和孤立斑点的作用。 形态开、闭运算具有以下性质： 性质1 8 对偶性( d u a l i t y ) ： ( o 口) = x 。b ( 1 2 9 ) ( b ) 。= x 。b( 1 - 3 0 ) 性质1 9 扩展性( e x t e n s i v e ) ： xo 口z x b ( 1 3 1 ) 性质1 1 0 单调性( i n c r e a s i n g ) ： x xj x 。b x 。b ，x b x b ( 1 3 2 ) 性质1 11 平移不变性( t r a n s l a t i o ni n v a r i a n c e ) ： 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 x o b = ( xo 动 = xo b ( 1 - 3 3 ) 五b = ( x 露) = x b ( 1 3 4 ) 性质1 1 2 幂等性( i d e m p o t e n c y ) ： ( 工o b ) 。b = xo b( 1 - 3 5 ) ( b ) b = x b( 1 3 6 ) 幂等性是开、闭运算的重要性质，它意味一次开、闭运算后，已得到最终结 果，再重复运算不会得到新的信息。 二值形态滤波器是建立在二值形态变换基础上的，它属于集合一集合处 理系统( s ps y s t e m ) 。 1 3 3 灰度形态学 在介绍灰度形态学之前，先定义顶和伞的概念。 定义1 3 设a e n , f = 缸ee “1 ：y e ，( x ，y ) a ) ，则a 的顶t a ： f _ 争e 定义为 r 【4 】( x ) = m a x y ：( x ，y ) 4 )( 1 3 7 ) 定义1 - 4 设f e “1 ，：f 专e ，则，的伞u f 】：u f 】f e 定义为 u f 】= ( x ，y ) f e ：y 厂( z ) )( 1 - 3 8 ) 不难看出伞和顶是一对互逆变换，即： r 【u ( ，) 】( 功= 厂( z )( 1 - 3 9 ) 根据顶和伞的定义，我们可以建立灰度形态变换。 定义1 5 设f ，置e “1 ，f ：f _ e ，k ：k _ e ，这里厂是输入函数， k 为结构元，厂关于k 的灰度膨胀与腐蚀定义为 ( ，o 。) ( x ) = r u ( f ) 0 6u ( 七) 】= s u p f ( x z ) + 七( z ) ) ( 1 - 4 0 ) ( 归。) ( x ) = 丁 【，( ，) 0 。u ( 七) 】= i n f f ( x + z ) 一七( z ) ( 1 - 4 1 ) 这里z k ，x + z f ，x z f 。 厂关于k 的灰度开与闭定义为 ( ，ot ) ( x ) = 【( ) 0t ( 工) ( 1 - 4 2 ) ( ，t ) ( x ) = 【( ，o ) o 女】( x )( 1 4 3 ) 灰度形态滤波器是建立在灰度形态变换之上的，它属于函数一函数处理 哈尔滨工程大学硕士学位论文 x h 0 b = ( x 功h = xo b h 戈 . b= ( x b ) h = xo b , 性质1 . 1 2幕等性( i d e m p o t e n c y ) : ( 1 - 3 3 ) ( 1 - 3 4 ) ( x- b ) - b= x o b ( 1 - 3 5 ) ( x b ) b= x b ( 1 - 3 6 ) 幕等性是开、闭运算的重要性质，它意味一次开、闭运算后，已得到最终结 果，再重复运算不会得到新的信息。 二值形态滤波器是建立在二值形态变换基础上的，它属于集合一集合处 理系统 ( s p s y s t e m) . 1 . 3 . 3灰度形态学 在介绍灰度形态学之前，先定义顶和伞的概念。 定义1 . 3设a c e , f = x e e n - : y e , ( x , y ) 。 a ) ， 则a 的 顶t a : f- + e定义为 t a ( x ) = m a x ( y : ( x , y ) e a ) ( 1 - 3 7 ) 定义1 . 4设f c_e - , f : fe ， 则f 的 伞u f : u f cf x e 定义为 u f ， ( ( x , y ) e f x e : y f ( x ) ) ( 1 - 3 8 ) 不难看出伞和顶是一对互逆变换，即: t u ( f ) ( x ) = ax ) ( 1 - 3 9 ) 根据顶和伞的定义，我们可以建立灰度形态变换。 定义 1 . 5设f , kce n - , f : f- + e , k : k-4e ， 这里f 是 输入函 数， k 为结 构元，f 关于k 的 灰 度膨胀与 腐蚀定 义为 ( f . 8 k ) ( x ) = t u ( f ) . h u ( k ) = s u p ( f ( x 一 z ) + k ( z ) ) ( 1 - 4 0 ) ( .1 0 r k ) ( x ) = t u ( f ) o b u ( k ) = i n f f ( x + z ) 一 k ( z ) ) ( 1 - 4 1 ) 这里z k , x + z f , x 一 z e f。 .f 关于k 的灰度开与闭定义为 ( f o k ) ( x ) = ( j o k ) . k ( x ) ( 1 - 4 2 ) ( f k ) ( x ) 二 ( f 0 k ) o k ( x ) ( 1 - 4 3 ) 灰度形态滤波器是建立在灰度形态变换之上的，它属于函数一函数处理 哈尔滨工程大学硕士学位论文 系统( f p s y s t e m ) ， 当结构元k ( x ) = 0 : x e k时称此时的结构元为平面结构元 ( fl a t s t r u c t u r in g e l e m e n t ) ， 用 平面 结 构 元定 义的 灰 度 形 态滤 波 器有 一 个 特殊的 名 字 一标 准 形 态 滤 波 器， 它 属 于 函 数 一 集 合 处 理 系 统( f s p s y s t e m ) ， 这类 滤波器能用层叠滤波器的理论来分析，易于优化，在理论与应用中都有重要 意义。灰度形态变换与二值形态变换具有相似的性质，这里不再赘述。 1 . 4本文的主要研究内容 针对柔性形态滤波器的优化设计，本文从优化算法，优化准则以及优化 约束条件几个方面进行研究，主要内容有: 1 .介绍柔性形态算子与柔性形态滤波器基本定义与概念;借助层叠滤 波器的理论，系统分析柔性形态滤波器的主要性质与特性。 2 由于简单遗传算法不易收敛，参数选择过于繁琐，采用自适应遗传 算法进行滤波器的优化设计;应用于灰度图像的去噪，将仿真结果 与基本的遗传算法优化结果比较，显示出算法更具全局优化性。 3 .将模拟退火与自 适应遗传算法进行有机结合，利用两种算法的优势， 采用并行退火一自 适应遗传算法实现柔性形态滤波器的优化设计。 通过仿真实验，证明新算法的可行性与高效性。 4 .针对图像滤波器中去噪与细节保持两个矛盾方面的有效控制问 题， 介绍利用分解概率与抽样选择概率作为约束条件进行优化设计的方 法。结合柔性形态滤波器的重要参数性质比 ( 重复度数与边界大小 的比值)变化规律，设计新的判定准则，实现去噪与细节保持的有 效 控 制， 并 通过 仿 真实 验， 比 较三 种方 式， 证明 新 算 法的 有效 性。 5 .利用柔性形态滤波器的优良 特性，将它应用于水下超声波图像的边 缘检测。通过仿真实验，与传统的边缘检测算子的检测结果相比较， 显示出柔性形态算子的优良 特性，它能在去噪的同时有效保留细节 信息。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第z 章 柔性形态滤波器的基本理论 为了改善标准形态滤波器在噪声条件下的性能，柔性形态滤波器作为一 种新型层叠滤波器被引入。本章将介绍和分析柔性形态滤波器的重要性质， 借助它与层叠滤波器的关系来分析其统计特性。对确定性质的分析进一步显 示出柔性形态滤波器是一种具有许多理想特性的滤波器。 2 . 1柔性形态算子 柔性形态变换是在经典形态变换基础上提出的一类非线性算子，它放宽 了经典形态算子的定义以获得一定程度的鲁棒性，同时还保留了经典形态算 子的优良 特性。两个基本柔性形态运算是柔性膨胀和柔性腐蚀。基于这两个 运算， 复合运算柔性开启和闭合被定义， 在定义它们之前， 先给出几个概念: 定义 2 . 1结构系统 b , a , r 包括三个参数， 有限集合 a和 b ， 满足 a c 瓦b e z , : 为自 然 数 ， 满 足1 :5 r :5 c a r d ( b ) , c a r d ( b ) 代 表集 合b 的 基数( c a r d i n a l it y ) , 集合b 称为 结 构元， 集合a 为 硬核， b a 为( 柔性) 边界， r 为重复度参数。 定 义 2 . 2平 移 集合t为 t 一 x + s : s e t , x cm z ( 2 - 1 ) 定义 2 . 3集合 t 的对偶集合t 为 t 一 一 ， : t e t ) ( 2 - 2 ) 在实数范围内，我们引入0 表示重复算子，r 为x 的重复度 尸 次 r o x= 一、. -、 x， 二， x( 2 - 3 ) 例 如仁 ,1 ,1 ,2 ,3 ,3 = 仁 0 1 ,2 ,2 0 3 表 示 一 个 多 重 集 合 。 2 . 1 . 1基本柔性形态算子 定义2 . 4 设f ( x ) 为 输入的离散信号，x e z , b , a , r 是结构系统， 则 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章柔性形态滤波器的基本理论 为了改善标准形态滤波器在噪声条件下的性能，柔性形态滤波器作为一 种新型层叠滤波器被引入。本章将介绍和分析柔性形态滤波器的重要性质， 借助它与层叠滤波器的关系来分析其统计特性。对确定性质的分析进一步显 示出柔性形态滤波器是一种具有许多理想特性的滤波器。 2 1 柔性形态算子 柔性形态变换是在经典形态变换基础上提出的一类非线性算子，它放宽 了经典形态算子的定义以获得一定程度的鲁棒性，同时还保留了经典形态算 子的优良特性。两个基本柔性形态运算是柔性膨胀和柔性腐蚀。基于这两个 运算，复合运算柔性开启和闭合被定义，在定义它们之前，先给出几个概念： 定义2 1 结构系统【曰，一，】包括三个参数，有限集合a 和曰，满足 a c b ，b z ”，为自然数，满足1 r s c a r d ( b ) ，c a r d ( b ) 代表集合b 的 基数( c a r d i n a l i t y ) ，集合占称为结构元，集合a 为硬核，冉a 为( 柔性) 边界， ，为重复度参数。 定义2 2 平移集合r 为 = x + 占：s r ) ，x z ” ( 2 一1 ) 定义2 3 集合r 的对偶集合r 5 为 t 5 = 一川t ( 2 - 2 ) 在实数范围内，我们引入o 表示重复算子，为z 的重复度 r 欢 ，l r o x = _ ：c ，z ( 2 3 ) 例如 1 ，l ，1 ，2 ，3 ，3 ) = 3 0 1 ，2 ，2 0 3 ) 表示一个多重集合。 2 1 1 基本柔性形态算子 定义2 4 设f ( x ) 为输入的离散信号，x e z ”，【b ，a ，r 】是结构系统，则 1 0 ：窒筌鎏三堡盔兰鎏圭兰垒鲨銮 一 柔性腐蚀和柔性膨胀分别定义为： ，o 【曰，a ，r l ( x ) = m i n r o f ( a ) ，口a x ui y c a r d ( b a ) ，柔性形态运算变成结构元为a 的标准形态运算。 例2 1 结构元和硬核分别为：b = ( ( 一l ，o ) ，( o ，1 ) ，( 0 ，o ) ，( o ，一1 ) ，( 1 ，0 ) ) ， a = ( 0 ，0 ) ) ，结构系统为【b ，a ，4 】的柔性腐蚀为 归 b ，a ，4 1 ( x ) = f ( x l 一1 ，工2 ) ，f ( x i ，x 2 + 1 ) ，f ( x 1 ，x 2 ) ，f ( x 1 x 2 ) ， f ( x j ，x 2 ) ，f ( x 1 ，x 2 ) ，f ( x l ，工2 一1 ) ，f ( x l + 1 ，x 2 ) 的第4 个最小值 当集合u ( 6 ) ：be ( 曰彳) ，b 中的所有元素都小于f ( x ) ，点x = ( ，x 2 ) 滤波后 的输出就是驴( 6 ) ：b ( 口、爿) ，b 中的最大值，否则，输出就是，( x ) 。 柔性膨胀与腐蚀可以看作是对原始图像的扩展与收缩，扩展与收缩的程 度取决于以下几点：结构元b 的尺寸与形状，硬核a 的尺寸与形状，原始图 像的形状，重复度，。一般来说，参数r 越小，原始图像被扩展与收缩的程度 越大，从图2 1 和图2 2 可以看出。 图2 1 中，( a ) 是结构元b 和硬核a ( o 表示硬核，同时是原点，表示 结构元占中的元素) ，( b ) 是原始图像( 表示原始图像中的点) ，( c ) 表示 芦陴，a ，1 】，( d ) 表示芦【b ，a ，2 】，( e ) 表示归f b ，a ，3 】，( d 表示徊【丑，a ，4 】( o 表 示原图像中被腐蚀掉的点) 。 图2 2 中，( a ) 是结构元b 和硬核a ( o 表示硬核，同时是原点，表示 结构元口中的元素) ，( b ) 是原始图像( 表示原始图像中的点) ，( c ) 表示 厂o 【b ，a ，1 】，( d ) 表示，0 b ，a ，2 ，( e ) 表示厂毋 b ，a ，3 ，( f ) 表示 f e 【b ，a ，4 ( 。表示膨胀后图像中的点，丽在原图像中没有该点) 。 一般柔性腐蚀不是柔性膨胀的逆运算，就是说在同一个结构系统下，腐 蚀运算的结果再经过膨胀运算是不能获得原图像的，反之亦然。 哈尔滨工程太学硕士学位论文 ( a ) 0oo0 o oo ( e ) o ooo ( c ) 0 oo ( f ) 图2 1 二值图像的柔性腐蚀 ( a )( b )( c ) 图2 2 二值图像的柔性膨胀 2 1 2 复合柔性形态算子 柔性开和闭都是腐蚀与膨胀运算的串行复合。 定义2 5 设f ( x ) 为输入的离散信号，x z ”， b ，a ，】是结构系统，则 柔性开启和闭合分别定义为： 1 2 0 o o o ) o o m o o o 0 o 哈尔滨工程大学硕士学位论文 f t 口_ ，1 ( x ) = ( y o b ，a ，】) o 【b 5 ，a 5 ，r 】( x ) ( 2 - 6 ) f e 8 ，。，l ( 工) = ( ，o b ，a ，】) 口。，a 。，r l ( x )( 2 7 ) 从几何角度说，柔性开启和柔性闭合可以被认为是平滑原始图像轮廓的运算， 如图2 3 ，2 4 所示。 ( d ) ( a ) ( b ) o00o o 尊oo 图2 t 3 二值图像的柔性开 ( d )( e ) 图2 4 二值图像的柔性闭 ( c ) 图2 3 中。( a ) 是结构元b 和硬核a ( o 表示硬核，同时是原点，表 1 3 0 0 o o o o o o o o o 0 ) 0 o o o o 0 o 哈尔滨工程大学硕士学位论文 示结构元四中的元素) ，( b ) 是原始图像( 表示原始图像中的点) ，( c ) 表示 彳口 1 1 ，( d ) 表示如 a ，( e ) 表示知 ，( f ) 表示知，_ ，4 i ( 。表示开运算后原图 像中被去除的点，。表示开运算后图像中的点，但是在原图像中没有该点) 。 图2 4 中，( a ) 是结构元曰和硬核a ( 0 表示硬核，同时是原点，表示 结构元口中的元素) ，( b ) 是原始图像( 表示原始图像中的点) ，( c ) 表示 fj 8 - 。，”，( d ) 表示f 1 8 ，。一，( e ) 表示f 1 日，4 一，( f ) 表示f 1 8 ，。，1 ( 0 开运算后原图像 中被去除的点，。表示开运算后图像中的点，但是在原图像中没有该点) 。 在柔性形态滤波中，开闭与闭开运算并不象标准形态滤波中那样重要， 因为通过合理的选择重复度，相似的滤波效果同样可以得到 1 引。 2 2 柔性形态滤波器与层叠滤波器的联系f 3 】 掌握数字形态滤波器的统计特性，对了解其滤波过程和性能是十分重要 的。由于形态滤波器是一种非线性滤波器，所以对其进行输出特性分析是比 较困难的，曾有人试图用传统的频域分析方法来研究形态滤波器输出特性， 但未取得令人十分满意的结果。在本节我们利用层叠滤波法来进行特性分析， 通过分析柔性形态滤波器与层叠滤波器的联系，证明柔性形态滤波器实际上 就是一种形态滤波器，并借助正向布尔函数给出柔性形态滤波器的层叠表示 的具体公式。 2 2 1 层叠滤波器的基本理论 w e n d t 等人于1 9 8 6 年提出层叠滤波器，它是一种非线性滤波器。层叠滤 波器的两个重要性质是阙值分解性质和层叠性质。前者是一种有限叠加的性 质，为非线性滤波器建立了一种新的结构：后者是一种排序性质，给予阈值 分解结构一种有效的v l s i 实现。这两个性质是定义层叠滤波器的基础。 定义2 6 设输入离散信号矢量为牙= x i ，x 2 ，- ，x 】， ， o ，1 ，麒1 ) ，1 脚m l ，m 是分解层数。利用闽值分解函数囊， 信号x 。( 1 s n ) 的阈值分解定义为： h + 吲阳= 瞿凳加 ( 2 8 ) 1 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 示结 构 元b 中 的 元素) ， ( b ) 是 原 始图 像 (. 表示 原 始图 像中的 点) ，( c ) 表示 爪a ,ti ( d ) 表 示 f b .a .a ( e ) 表 示 命 ,a ,n ( 1 l 表 示 f b ,a ,4 1 ( o 表 示 开 运 算 后 原 图 像中被去除的点，。表示开运算后图像中的点， 但是在原图像中没有该点) 。 图2 .4中， ( $ ) 是 结 构 元b 和 硬 核a ( o表 示 硬核， 同 时 是原 点， .表示 结构元 b中的元素) ， ( b ) 是原始图像 ( 。表示原始图像中的点) ，( c ) 表示 f jb ,a ,lj , ( d ) 表 示f ib ,a ,2 1 , ( e ) 表 示f ib ,a ,a , ( f) 表 示f ib ,a a ( o开 运 算 后 原 图 像 中被去除的点，。表示开运算后图像中的点，但是在原图像中没有该点) 。 在柔性形态滤波中，开闭 与闭开运算并不象标准形态滤波中那样重要， 因为通过合理的选择重复度; ， 相似的滤波效果同 样可以 得到p z l 2 . 2柔性形态滤波器与层扭滤波器的联系3 掌握数字形态滤波器的统计特性，对了解其滤波过程和性能是十分重要 的。由 于形态滤波器是一种非线性滤波器， 所以 对其进行输出 特性分析是比 较困难的，曾有人试图用传统的频域分析方法来研究形态滤波器输出特性， 但未取得令人十分满意的结果。 在本节我们利用层叠滤波法来进行特性分析， 通过分析柔性形态滤波器与层叠滤波器的联系，证明柔性形态滤波器实际上 就是一种形态滤波器，并借助正向 布尔函数给出 柔性形态滤波器的 层叠表示 的具体公式。 2 . 2 . 1层皿 滤波器的基本理论 w e n d t 等人于1 9 8 6 年提出 层叠滤波器， 它是一种非线性滤波器。 层叠滤 波器的两个重要性质是闽值分解性质和层叠性质。前者是一种有限叠加的性 质，为非线性滤波器建立了一种新的 结构:后者是一种排序性质， 给予闽值 分解结构一种有效的us 工 实现。 这两个性质是定义层叠滤波器的基础。 定义 2 . 6设输入离散信号矢量为戈= i x i , x 2 , . . . , x n i , x , e 0 , 1 , ,m - 1 , 1 m _ x m ， 称矢量序列具有层叠性。 定 义2 . 8 一 个 有n 个 输 入 的 布 尔 函 数 f : 0 ,1 n _ ). 0 ,1 ， 任 取 两 个 包 含n 个分量的二值矢量戈 ，夕 ， 若 x y -.f ( x ) z .f ( y ) ( 2 - 1 0 ) 称布尔函数具有层叠性， 或正布尔函数 ( p b f ) o 定义2 . 9通过正布尔函 数8 ( ) ，可以 定义层叠滤波器s ( ) 一， s ( x ) = y,9 ( 交 ， )( 2 - 1 1 ) 其中i , m 二 t , ( x ) ， 为 输 入 信 号的 闽 值分 解 信 号。 层叠滤波器的闽值分解特性与层叠性使它可以通过多值矢量转换为二 值矢量来处理， 如图2 . 5 ，图中 描述的布尔函数为g ( 习= x _ 1 x o 十 x - 1 x , + x o x 1 a 不仅如此，二值矢量的独立运算能够用快速的并行处理，易于硬件实现。 输入输出 x . . 0 0 3 1 4 1 3 2 0 4 1 4 0 0 . . 中值滤波器 . 01 3 1 3 2 2 21 41 0 未 阅值分解 未 1 二进制相加 t 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 01 01 0 0 0 0 1 0 0 x 2 . . 0 01 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 x 1 . . 0 01 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 二 值中值滤波器 9 ( . ) 二值中值滤波器 9 ( . 二值中值滤波器 9 . 二值中 值法波器 h ( . ) 0 01 01 1 1 1 0 1 0 0 011 1 1 1 1 1 1 1 1 0 图2 .5三点标准中值滤波器的阐值分解与层叠性质 哈尔滨t程大学硕十学位论文 我们把层叠滤波器的定义推广到更一般的形式，即广义层叠滤波器。广 义层叠滤波器与层叠滤波器的区别在于，多值信号经过阐 值分解后，对于不 同级二值信号无 . ， 广义层叠滤波器允许使用不同的布尔函数; 其次， 广义滤 波器允许把阐值分解后的不同级信号合成一组输入给一个布尔函数。 我们用下式表示二值分解矩阵: x 2 + 二 + r - ix z. ( 2 - 1 2 ) 、leseseseseseeeseseeeseeeses ，.月 jjj月 门n升。引n 州nwe口. x尸冲戈 x， x 2 - l 们1.叫 丫x:+:邪 子了一一、 -一 、一，护 俨:.尸产 尹一、 -一 ，用 一x 其