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数学问题解答 1998年 4月号问题解答 在圆 O3上.若 ABC有两边相等 ,不妨设 AB = AC,此时(解答由问题提供人给出 ) 圆 O1退化为 BC边的中垂线 ,同理可证此线与圆 1126证明任意三角形内必存在一点 ,使其O2关于三边的对称点构成正三角形 .作法作给定三角形 ABC的内角平分线 此题是数学通报问题 1097的一个推证明假定 W点在 ABC内 ,关于三边 BC, CA, AB的对称点分别是 W 1 ,W 2 ,W 3 ,且 W 1 W 2 W 3是正三角形 ,显然有 BW 1= BW = BW 3 , W 3 BW 1=2 B,则由余弦定理易得 W 3 W 1=2 BW sin B,同样 W 1 W 2=2 CW sin C, W 2 W 3 =2 AW sin A.由正弦定理得 WB = c ,WC WC bWA aWA b = , = .cWB a 设三边 a, b,c两两不等 ,由 AB = BD WB AC CD WC = bc ,利用熟知的结论 :“和两定点距离之比等于定长 (不为 1)的点的轨迹是一个圆 (称为阿氏圆) ”,得出 :W在以 B,C为定点 ,定比为 bc 的阿氏圆 O1上.同理 A,D在圆 O1上 ;W,B, E在以 C, A为定点 ,定比为 ca 的阿氏圆 O2上 ;W,C, F在以 A,B为定点 ,定比为 b 的阿氏圆 O3上.从而 W是 O1 , O2 , O3的点.我们进一步指出 ,这三个圆确实有交点 .理由如下 :由圆 O1和圆 O2的弦 AD与 BE交于三角形内 ,故两弧 AD与BE交于学通 WBc三角形内一点 W,由轨迹纯粹性得 WC = b, WCa WAb WA = c,则 WB = a,再由轨迹完备性得 W点1127有 12个球 ,颜色、大小完全一样 ,在重量上 ,其中有一个球不合格 ,但不知这个球比标准的是重还是轻 .能否在一架天平上只称三次 (不用珐码 ),把这个不合格的球找出来 .解把 12个球编成 1 , 2 , , 12号 ,则可设计下面的称法 :左盘右盘第一次 1 ,5 ,6 ,12 2 ,3 ,7 ,11第二次 2 ,4 ,6 ,10 1 ,3 ,8 ,12第三次 3 ,4 ,5 ,11 1 ,2 ,9 ,10每次称都可能有平、左重、右重三种结果 .搭配起来总共有 27种结果 ,但平、平、平的结果不会出现 ,因与题意不符 .同样左、左、左 ,右、右、右的结果也不会出现 ,因为在我们设计称法时 ,没有同一个球三次在左边或三次在右边的情况 ,所以在只有一个不合格球的情况下 ,便不出现上述结果 .在其余可出现的 24种情况中 ,每两种结果可以确定一个球是重还是轻 .例如 :如果称的结果是平、平、左 ,就可以断定不合格球是 9号 ,且 9号球轻些 ;如果结果是平、平、右 ,仍可以断定不合格球是 9号 ,且 9号球重些 .同理 ,如果出现其他情况 ,按照这一方法 ,也可以顺利地把不合格球找出来 . 1128设 x,y,z, a,b,c都是正数 ,证明 : 3331 22(1)x + y + z (x + y + z) ( x + y + z 2); 3 3 3 3 2 c a(2 ) 2 前四 ba +55 cb ,球甲 + 3 +bb a + ac , 1 c 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 数学通报 1998年第 5期48证明(1)由 (x -y) ( x 2-y 2 ) 0 ,可得 x 3+ + x n) + (x2+ x3+ + xn) + + xn ,所以 3 22 max xi (+x1 + 2 x2 + + nxn)y xy + xy1 i n 同理 y 3+ z 3 yz 2+ y 2 z x1 (x1 +x2 + +xn) +x2 (x2 + + xn) 33 22 z + x zx + z x.22+ +xn = xi+ xixj三式相加的 2 (x 3+ y 3+ z 3 ) x(y 2+ z 2 ) + i = n1 ij 22 y(z + x 2) + z(y + x 2 )1 xi 2 + 6 2 6xixj62 i = n1 ij 两端再加上 x 3+ y 3+ z 3 ,便得 6 33 223 (x +y+z 3) (x+y+ z)( x +y+z 2)即 (1)式成立 . 点 ,过点 D作过 C的切线的垂线 ,垂足为 E.试证 : AB AE2 + BE2 = CD2 + 2 EC23 DE a 三ba上2 2 2b 圆13c 得出a+b+ 以c 论 :ba + 点距 + ac bcac而由平均值不等式 ba + cb + ac 3 3 3 3 2 2 2b c a b c a+ , + + + .b c a bc a 证明设 AE交半圆 O于 F,连结 B F.易再应用不等式 x 2+ y 2+ z 2 xy + yz + zx ,便可推知EC2= 有EFEA ,即 2 EC2=2 EF EA易得 出 (2)式右端不等式 . AB2= AF2+ BF2 , BF2= BE2-EF2 ,3 3 c 3 AB2= AF2-EF2+ BE2 . AB 等 ,A 中a b( 3 )由 + + 此线 b ca+ 2 EC2 2 2 21 abc a bW+ + + ac O及AB2=-是轻一架 在AF2 EF2 + BE2 + 2 EF EA 3 bcabc = BE2 +(AF+ EF)( AF -EF) + 2 EA (EA -AF) 2 2 2 a b + + ac 3 ,=BE2 + AE (AF -EF) + 2 AE2 2 AE AF b c =BE2 + 2 AE2 +AE (AF -EF -2 A F) 便可推出 (3)式. =BE2 + 2 AE2 + AE (-EF -AF) 1129设有正数组 x1 ,x2 , , x n,试证明 : =BE2 + 2 AE2 -AE (AF+ EF) =BE2 + 2 AE2 -AE2 max xi) 结果一个 (x1 + 2 x2 + + nx n=BE2 + AE2 (1)1 i n 再作 OM CD于 M,连结 OC.由垂径定理易知 m 三 b 12 (x1 +x2 + + xn) 2 .MOC = m 12 CD由弦切角定理易知 ECD = 1 证明因为 x1 +2 x2+ + nxn = (x1+ x2+ 2 CD = 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. MOC = ECD.1132试证 :对任何正整数 n和 k,有 111 1k 易知 Rt MOC Rt ECD CM = k+ OC 1 + 2 k+ 3 k+ + nk 1 n(n + 1) k. CD ,而 OC =1 AB ,CM =1 CD(朱尧辰提供 ) DE 22 1133在锐角 ABC中 , BD垂直 AC于 D, AB = CD2 (2)CE垂直 AB于 E,以 AB为直径的圆交直线 CE于 DE M,N,以 AC为直径的圆交直线 BD于 P, Q.若 由 (1)和 (2)得 AB =, MN =1 ,试求 BN 的值 .AC PQ k CQAB (袁安全提供 )AE2 + BE2 = CD2 + 2 EC2 .DE 1134设 ABC的三边长为 a, b,c,相应各1998年 5月号问题 边上的高与傍切圆的半径分别为 ha,hb, hc与 ra , h2 h2 h2 a b c rbrc rcra rarb + + h2 h2 h2 1131试证 :一元多项式 P( x) = xk -xk -1-rbrc rcra rarb a b(邹明c 提供 ) 1的复根 z 一定满足 1135 ABC中 ,O为内心 ,D, E, F分别为 r 2 k-2 r 2 k-1cos +r 2 k-2 -1 = 0. BC,CA,AB的中点 ,射线 DO交 EF于 K.求证 : DE + EK = DF + FK. (黄全福提供 )(朱尧辰提供 ) 教育部关于现行普通高中数学教学内容调整范围一、将以下教学内容改为不作考试要求的选学内容 1.代数 (上册 )第四章 “4. 6简单的三角方程” . 2.立体几何第二章 “2. 6球冠”中的 “球冠的面积” . 3.立体几何第二章 “2. 12球缺的体积” . 4.平面解析几何第三章 “3. 3圆的渐开线” . 5.平面解析几何第三章 “极坐标”第 3. 5节中的“三种圆锥曲线的统一的极坐标方程”和“3. 7等速螺线” .二、限制、降低以下教学与考试要求 6.在考查学生对函数性质的掌握和运用函数性质解决问题时 ,所涉及的幂函数 f (x) = x 中的 限于在集合 -2 , -1 , -21 , 31 , 21 ,1 ,2 ,3中取值 . 7.对三角函数中有关和差化积、积化和差的 8个公式 ,不要求记忆 . 8.在有关 “不等式”的教学要求中 ,用“两个 (或三个 )正数的算术平均数不小于其几何平均数”这一性质解决问题时 ,