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直接证明与间接证明例1 已知、,求证:。 例2 当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面积比正方形的面积大。 例3 已知三个关于的方程,中,至少有一个方程有实根,求实数的取值范围。参考答案例1: 分析:不等式中的、为对称的,所以从基本的不等式定理入手,先考虑两个正数的平均数定理,再据不等式性质推导出证明的结论。 证明:,、,。 同理:, 将三式相加得。 。 。 评注:在运用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,如同向不等式相加,同向不等式相乘等,但在运用这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件。例2: 分析:应用分析法证题时,语气总是假定的,通常用“欲证只需证”的语句,在证明过程中一个终结代替另一个终结时,必须注意它们间的等价性。 证明:设圆和正方形的周长为,依题意,圆的面积为,正方形的面积为,因此本题只需证明。 为了证明成立,只需证明,两边同乘以正数得,因此,只需证明。 因为上式是成立的,所以。 这就证明了,如果一个圆和一个正方形的周长相等,那么这个圆的面积比这个正方形的面积大。 评注:在分析法证明中,从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件,最后一步归结到已被证明了的事实。因此,从最后一步可以倒推回去,直到结论,但这个倒推过程可以省略。例3: 分析:含有至多、至少字样的问题,往往用反证法去解决。 解析:三个方程都没有实根的充要条件是 即 解得。 使三个方程至少有一个方程有实根的实数的取值范围为。评注:反证法的逻辑根据为:要证明命题“若则为真
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