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浙江省富阳市场口中学高三数学 立体几何大题复习训练1已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正(主)视图为矩形,侧(左)视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形(1)证明:bn平面c1nb1;(2)求平面cnb1与平面c1nb1所成角的余弦值2如图1,在rtabc中,c90,bc3,ac6,d,e分别是ac,ab上的点,且debc,de2.将ade沿de折起到a1de的位置,使a1ccd,如图2.(1)求证:a1c平面bcde;(2)若m是a1d的中点,求cm与平面a1be所成角的大小;(3)线段bc上是否存在点p,使平面a1dp与平面a1be垂直?说明理由3如图,已知斜三棱柱abca1b1c1的底面是正三角形,侧面abb1a1是菱形,且a1ab60,m是a1b1的中点,mbac.(1)求证:mb平面abc;(2)求二面角a1-bb1-c的余弦值4如图在四棱锥pabcd中,pc底面abcd,abcd是直角梯形,abad,abcd,ab2ad2cd2.e是pb的中点(1)求证:平面eac平面pbc;(2)若二面角pace的余弦值为,求直线pa与平面eac所成角的正弦值1(1)证明该几何体的正(主)视图为矩形,侧(左)视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,ba,bc,bb1两两垂直以ba,bb1,bc分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图则b(0,0,0),n(4,4,0),b1(0,8,0),c1(0,8,4),c(0,0,4)(4,4,0)(4,4,0)16160,(4,4,0)(0,0,4)0.nbnb1,bnb1c1.又nb1与b1c1相交于b1,bn平面c1nb1.(2)解bn平面c1nb1,是平面c1b1n的一个法向量n1(4,4,0),设n2(x,y,z)为平面ncb1的一个法向量,则所以可取n2(1,1,2)则cosn1,n2.所求二面角cnb1c1的余弦值为.2(1)证明因为acbc,debc,所以deac.所以eda1d,decd,所以de平面a1dc.所以dea1c.又因为a1ccd.所以a1c平面bcde.(2)解如图,以c为坐标原点,建立空间直角坐标系cxyz,则a1(0,0,2),d(0,2,0),m(0,1,),b(3,0,0),e(2,2,0)设平面a1be的法向量为n(x,y,z),则n0,n0.又(3,0,2),(1,2,0),所以令y1,则x2,z.所以n(2,1,)设cm与平面a1be所成的角为.因为(0,1,),所以sin |cosn,|.所以cm与平面a1be所成角的大小为.(3)解线段bc上不存在点p,使平面a1dp与平面a1be垂直,理由如下:假设这样的点p存在,设其坐标为(p,0,0),其中p0,3设平面a1dp的法向量为m(x,y,z),则m0,m0.又(0,2,2),(p,2,0),所以令x2,则yp,z.所以m.平面a1dp平面a1be,当且仅当mn0,即4pp0.解得p2,与p0,3矛盾所以线段bc上不存在点p,使平面a1dp与平面a1be垂直3(1)证明侧面abb1a1是菱形,且a1ab60,a1bb1为正三角形,又点m为a1b1的中点,bma1b1,aba1b1,bmab,由已知mbac,mb平面abc.(2)解如图建立空间直角坐标系,设菱形abb1a1边长为2,得b1(0,1,),a(0,2,0),c(,1,0),a1(0,1,)则(0,1,),(0,2,0),(0,1,),(,1,0)设面abb1a1的法向量n1(x1,y1,z1),由n1,n1得,令x11,得n1(1,0,0)设面bb1c1c的法向量n2(x2,y2,z2),由n2,n2得令y2,得n2(1,1),得cosn1,n2.又二面角a1bb1c为锐角,所以所求二面角的余弦值为.4(1)证明pc平面abcd,ac平面abcd,acpc,ab2,adcd1,acbc,ac2bc2ab2,acbc,又bcpcc,ac平面pbc,ac平面eac,平面eac平面pbc.(2)解如图,以c为原点,、分别为x轴、y轴、z轴正向,建立空间直角坐标系,则c(0,0,0),a(1,1,0),b(1,1,0)设p(0,0,a)(a0),则e,(1,1,0),(0,0,a),取m(1,1,0),则mm0,m为面pac的法向量设n(x,y,z)为面eac的法向量,则nn0,即取xa,ya,z2,
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