赣州市2014―2015学年第二学期高三理科数学期中试题

20142015学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考高三年级数学（理科）试卷命题学校：会昌中学 寻乌中学 命题人：黄小锋 审题人：陈兴盛、蓝元伦一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合，集合，则 （ ） A B （，1 C D 2已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则的值为 ( ) A. B. C. 1 D. 新|课 |标|第 |一| 网3直线与圆相交于A，B两点，则“OAB的面积为”是“”的 （ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4设随机变量服从正态分布N（0，1），若 （ ） ABCD5设满足约束条件，则目标函数的取值范围为 （ ） A B C D 新 课 标 第 一 网6在中，的对边分别为，且，则的面积为 ( ) A B C D 7定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有.则（ ） A BC D8的展开式中不含的项的系数和为 ( )A32 B C64 D9已知抛物线y22px（p0）与双曲线1（a0，b0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为 ( ) A2 B1 C1 D1正视图侧视图俯视图5343（11题图）10.设函数的所有正的零点从小到大依次为.设，则的值是 （ ） A.0 B. C. D.1X|k | B| 1 . c|O |m11若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积等于( ) A B C D 12已知函数和函数，若的反函数为，且与两图象只有3个交点，则的取值范围是 （ ）A B C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若复数为纯虚数，则的值为 14设，则 15当输入的实数时，执行如图所示的程序框图，则输出的 不小于103的概率是 。16若，则的最小值为 。 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，满足成等比数列，。 求数列an的通项公式； 令，是否存在正整数M，使不等式恒成立，若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由http:/w w w.x kb1. com18（本小题满分12分）某大学自主招生分笔试和面试两部分，老师把参加笔试的 40 名学生的成绩分组： 第1组75,80），第2组 80,85），第3组85, 90），第4组 90, 95），第5组95,100），得到频率分布直方图如图所示：分别求成绩在第4，5组的人数；新 课 标 第 一 网若该教师决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名进入面试，已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲和乙同时进入面试的概率；若决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官 D 的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望19、（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，求证：；求二面角的余弦值X|k | B| 1 . c|O |m20、（本小题满分12分）设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点.（I）求椭圆的方程； （II）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值.21（本小题满分12分）已知函数。（）函数的单调增区间和最小值；（）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.新课 标 第 一 网请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22、（本小题满分10分）如图，设AB为O的任一条不与直线垂直的直径，P是O与的公共点，AC，BD，垂足分别为C，D，且PC=PD（）求证：是O的切线；（）若O的半径OA=5，AC=4，求CD的长23、（本小题满分10分）已知直线的参数方程是（是参数），C的极坐标方程为（）求圆心C的直角坐标；（）试判断直线与C的位置关系新|课 |标|第 |一| 网24（本小题满分10分）已知函数（）求不等式的解集；（）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围20142015学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考高三年级数学（理科）参考答案一、选择题15:ABBCD 610：CABDA 1112：BC二、填空题13、 14、-2 15、 16、三、解答题17（本小题满分12分）解(1)设公差为d,由已知，得新- 课-标 -第 -一 - 网，2分由得5分(2)由(1)得，.6分pn2，.8分p1p2p3pn2n2n21.由n是整数可得p1p2p3pn2n311分故存在最小的正整数M3，使不等式p1p2p3pn2nM恒成立.12分18（本小题满分12分）解（）第4组学生人数为 ，第5组人数为 所以第4，5组的学生人数分别为8人，4人 -4分（）因为第3组学生人数为，所以第3，4，5中抽取的人数分别是3人，2人，1人，则甲，乙同时进入面试的概率为 -8分由知，X的可能取值为0，1，2所以X分布列为X012Pw W w .X k b 1. c O m - 12分19、（本小题满分12分）ABCA1B1C1zyxO解：（）证明：连AC1，CB1，则ACC1和B1CC1皆为正三角形取CC1中点O，连OA，OB1，则CC1OA，且OA=OB1=，AB1由勾股定理可知OAOB1，5分（）解：如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，则C(0，1，0)，B1(，0，0)，A(0，0，)，6分设平面CAB1的法向量为m(x1，y1，z1)， 因为(，0，)，(0，1，)，所以取m(1，1)8分设平面A1AB1的法向量为n(x2，y2，z2)， 因为(，0，)， (0，2，0)，所以取n(1，0，1)10分则cosm，n，因为二面角C-AB1-A1为钝角，所以二面角C-AB1-A1的余弦值为-12分20（本小题满分12分）（I）由题意得，.1分由题意得椭圆的右焦点到直线即的距离为，.3分新|课 |标|第 |一| 网椭圆C的方程为.4分（II）当直线AB斜率不存在时，直线AB方程为，此时原点与直线AB的距离.5分当直线AB斜率存在时，设，直线AB的方程为则，直线AB的方程与椭圆C的方程联立得新 课 标 第 一 网消去得整理得则是关于的方程的两个不相等的实数根，.6分，整理得，O到直线AB的距离综上：O到直线AB的距离定值. 9分，当且仅当OA=OB时取“=”号.，又，,即弦AB的长度的最小值是.12分21（本小题满分12分）解：（1）f（x）=1+lnx，.1分令f（x）=1+lnx0解得，x；故f（x）的单调增区间为（，+）；新 课 标 第 一 网f（x）的单调减区间为（0，）；.3分故f（x）的最小值为f（）=；4分（2）由题可得5分设，即.6分 若，这与题设矛盾7分若方程的判别式当，即时，. 在上单调递减，即不等式成立9分当时，方程，其两根满足：，X|k | B| 1 . c|O |m当时， ，单调递增，与题设矛盾11分综上所述，12分22、（本小题满分10分）（）证明：连接OP，因为ACl，BDl，所以ACBD又OA=OB，PC=PD，所以OPBD，从而OPl因为P在O上，所以l是O的切线.5分（）解：由上知OP=（AC+BD），所以BD=2OPAC=6，过点A作AEBD，垂足为E，则BE=BDAC=64=2，在RtABE中，AE=4，CD=4.10分23、（本小题满分10分）解：（I）由C的极坐标方程为，展开化为，即，化为圆心C.5分（II）由直线l的参数方程（t是参数），消去参数t可得xy-4=0，圆心C到直线的距离