高等光学教程-第4章参考答案.pdf

第四章第四章 标量衍射理论基础标量衍射理论基础 4 1 证明 4 21 式所示的索末菲辐射条件成立 证明 球面是中心位于面上的发散球面波的波面 假定面 上的光场分布表示为 2 S 1 S 2 S r jkr 式中 exp Ur表示产生发 散球面波的点光源到球面 2 S上任意一点的距离 1 exp cos cos rj jk nrnrrr UUU n rn r kr 当时 有 R r 所以这时有 1 cos rn 2 exp exp 1 r jkr jk r jkr r jkjk n UU U 当时 上式分母中的 Rr可用R来代替 于是 2 exp 1 limlimlim cossin RRR jkr RjkRkrjkr nRR U U lim0 jkr R e R 4 2 参考图 4 8 考虑在瑞利 索末菲理论中采用下式所表示的格林函数 即 0101 1 0101 exp exp jkrjkr P rr G 1 证明 G的法线方向的导数在孔径平面上为零 2 利用这个格林函数 求出用孔径上的任意扰动来表示 0 pU的表达式 要得到这个结 果必须用什么样的边界条件 3 利用 2 的结果 求出当孔径被从 2 P点发散的球面波照明时 0 pU的表达式 证明 下面是教材中图 4 8 1 1 由两项迭加而成 它们分别表示从互为镜像的点和 1 P G 0 P 0 P发出的两个初相位相 同的单位振幅的球面波 孔径平面上任一点的 1 S 1 P G值为 01 01 01 01 1 exp exp r rjk r jkr P G P4 2 1 1 P G的法向导数为 01 01 01 01 01 01 01 01 exp 1 cos exp 1 cos r r r rnrn Gjk jk r jkr r jk n P4 2 2 对于互为镜像点的和 0 P 0 P来说 有 cos cos 0101 rnrn 0101 rr P4 2 3 将以上关系式代入 P4 2 2 式 得到 0 n G P4 2 4 2 根据 4 22 式 观察点的光扰动可以用整个平面上的光扰动U和它的法向导数 来表示 0 P 1 S 1 d 4 1 0 S s nn P G UG U U P4 2 5 由 得 0101 rr 01 01 1 exp 2 r jkr P G P4 2 6 将上式和 P4 2 4 式一同代入 P4 2 5 式 得到 11 d exp 2 1 d 4 1 01 01 0 SS s r jkr n sG n P UU U P4 2 7 为了将上式所表示的结果进一步简化 根据孔径 上的场去计算点的复振幅分布 只需要规定如下两个边界条件 0 P 0 PU a 在孔径上 场分布的法向导数 nU 与不存在衍射屏时的值完全相同 b 在面上除去孔径外的其余部分 即位于衍射屏的几何阴影区的那一部分上面 1 S 0n U 2 根据上述边界条件 01 0 01 exp 11 dd 42 jkr Ps nnr UU UGs P4 2 8 3 参考教材中图 4 5 孔径 由位于点的发散球面波照明 即 2 P exp 21 21 1 jkr r A P U 21 21 2121 exp 1 cos jkr Ajk nr U n r r 因为 21 r 即 21 1 r k 因此有 21 21 21 exp cos jkr Ajk nr U n r 将上式代入 P4 2 8 式 得到点光场的复振幅 0 P s r jkr r jkr AjkPd exp exp cos 2 1 01 01 21 21 210 rnU s rr rrjk j A d cos exp 21 0121 0121 rn 4 3 考虑非单色扰动 其中心频率为 P tu 而带宽为 定义 一个相关的复数值扰动 它只是由的负频分量 构成 因此 P t exp 2j u P P tu 0 P tt d uU 其中 P U是的傅里叶谱 假定几何关系如图 p4 3 P tu 所示 证明若 01 nr v 则 图 p4 3 01 01 01 exp 1 cos jkr P tP trds jr uun 01 式中 v 而 2 k 为介质的折射率 为光在其中的传播速度 nv 3 证明 根据方程 4 52 我们写出 sePj vr r tP v r tj dd 2 2 cos 01 2 1 01 01 0 U n u tP u的中心频率为 带宽为 当 2 2 时 上式中第一个积 分才不为 0 在 的条件下 变化很小 因此可以用 代替 并将它拿出积分号 之外 在vr01 的条件下用 2exp j 01 vr 代替 2exp 01 vrj 因此有方程 201 0011 01 cos 1 exp dd jt P tjkrPes jr n r uU 当点在之外时 上式改写为 1 P 0 1 tPu s r rk j tP j tPd cos exp 1 01 01 01 0 rnuu 式中 v 2 k 4 4 1 一个半径为 1cm 的圆孔用 500nm 的单色平面波垂直照明 希望在垂直于光轴平 面上 1cm 的观察区内观察菲涅耳衍射 求观察距离至少为多少 2 有一个边长为 2 5cm 的正方形孔径 若要观察夫琅和费衍射 求观察距离至少为多少 解答 1 运用 4 109 式 代入数据 得 2 22 3 max 0 25 4 xy m 取 得 33 2 5zm 1 36zm 2 运用 4 118 式 22 max 2 2 z 代入数据 得 1636zm 4 5 用单位振幅的单色平面波垂直照明下列衍射屏 分别求出衍射屏后表面复振幅的角谱 1 直径为 d 的圆孔 2 直径为 d 的不透明圆屏 3 宽度为的单缝 a 4 直径为的金属细丝 a 解答 1 22 22 1 coscos 2 coscos cos cos ddJ At 4 2 22 22 1 coscos 2 coscos cos coscos cos ddJ At 3 coscos sinc cos cosa aAt 4 coscos sinc cos coscos cosa aAt 以上运用了巴比涅原理 4 6 有一单位振幅的单色平面波垂直照明如图p4 6 所示的双缝 缝关于 轴对称 缝长 为X 缝宽为Y 中心相距 设光波波长为 双缝所在的平面与观察平面相距di 求 屏上夫琅和费衍射的强度分布 图 p4 6 解答 透射光波场 YXYX 2 rectrect 2 rectrect 0 tUU exp exp sinc sinc yyyx fjfjYfXfXY UF 2sincsinccos iii XxYy XY dd y d 夫琅和费衍射图样 22 1 exp exp 2sincsinccos 2 iiiii jkXxYy x yjkzxyXY y j dddd U d 光强分布 2 2 222 2 sincsinccos iiii XYXxYy Ix y ddd U y d 4 7 若用一个单位振幅的单色平面波垂直照明 5 1 图 p4 7 a 所示的方形环带 图中所示的两正方形中心重合 对应边平行 大小两 正方形的边长分别为和2 0 2L i L 2 图 p4 7 b 所示的环状孔径 图中所示的两正方形中心重合 大小两圆的直径分别 为和2 0 2L i L 设光波波长为 孔径到观察平面的距离为 z 试导出该方形环带和环状孔径的夫琅 和费衍射图样的表达式 图 p4 7 a 图 p4 7 b 解答 解答 1 00 rectrectrectrect 2222 ii LLLL t 2 2 22 00 22224 sincsincsincsinc ii oi L xL yL xL y I x yLL zzzz z 2 0 i rr rcirccirc LL t 不计 4 8 8 式中的指数因子 z kr j jkze e 2 2 得到 0101 0 2 2 ii L JLW JL r aa UU tF r z 2 rxy 2 2222 2 01010101 22222222 00 2 2 2 2 2 iiii ii L JLL JLL L JLJL I LLL L U 4 8 设光沿z方向传播 在计算菲涅耳衍射时 一种方法是先从平面上的孔径开始 计算与相距并垂直于 1 P 0 0 1 zz轴的二维平面上的场分布 再由处计算到处 最 后计算到观察平面上的场分布 另一种计算方法是由孔径 1 P 1 P 2 P n P 0 出发直接一次按 计算到观察平面 证明上述两种方法是等价的 式中为平面 n zz 1 z z2 n P i z 1i P 6 至平面间的距离 i 1 2 3 i P n 解答 设孔径上的场分布为 0 U 垂直于的面上由菲涅耳公式得到场分布 1 P 1 dd 101 yxyxhU U U 即 10 yxyxyxhU 2 exp 22 11 1 1 yx z jk zj e jkz h yx exp exp 22 1111yx ffzjjkz hHF U yx F 1 100 HUhUyxyxyxyxFFF 2 U 21 yxyxyhU x 所以 21021 HHUHUyxyxyFFF 2 U x nn yHHUU 0 FF x yx H 12 exp exp exp 22 21210yxnn ffzzzjjkzjkzy UFexp xjkz exp 22 0yx ffzjy UFexp F n U x x jkz x 00 yxyxyhUHUFF 所以 0 yxyxyhU 结论成立 4 9 有一波长为 的点光源 位于直角坐标系中的 0 0 0 z 点 0 0 z xoy平面上球面波的相位分布 1 求在 2 若以轴为光轴 求该球面波相位因子的二次曲面近似 z 3 在使用了上述二次曲面近似以后 与严格球面波的相位比较 相位是超前还是落后 请说明理由 解答 发散球面波的一般表达式为 krtj e r A 1 在xoy平面上 222 0 jk 近似表达式为 22 0 2 0 xy jk jkzz ee xyz ee jkr 2 发散球面波指数因子的一般表达式为 7 22 222 0 00 2 xy jk jkxyz zjk z zz zjkr eeee 3 krt 1 22 20 0 2 xy tk zz zz 当b为一小量时有展开式 22 1 8 1 2 1 1 1 bbb 因此有 bb 2 1 1 1 2 1 所以 22 210 0 0 2 xy k zzkr zz 所以相位落后 4 10 有一波长为 朝着点会聚的球面波 0 0 0 z 0 0 z 1 求在xoy平面上球面波的相位分布 2 若以轴为光轴 求该球面波相位因子的二次曲面近似 z 3 在使用了上述二次曲面近似以后与严格球面波的相位比较 相位是超前还是落后 请 说明理由 解答 会聚球面波的一般表达式为 krt e r A 1 在xoy平面上 2 0 22 zyxjk jkr ee 近似式为 0 22 0 2z yx jk jkz ee 2 会聚球面波指数因子的一般表达式为 2 0 22 0 2 0 22 zz yx jk zzjkzzyxjkjkr eeee 3 krt 1 2 0 22 02 zz yx zzkt 当b为一小量时 有展开式 22 1 8 1 2 1 1 1 bbb 因此有 bb 2 1 1 1 2 1 所以 0 2 0 22 012 kr zz yx zzk 所以相位超前 4 11 在图 4 17 中设衍射孔径的宽度为 亮区和暗区之间为过渡区 证明过渡区的边界W2 8 由抛物线或来描述 zxW 4 2 zxW 4 2 证明证明 图 p4 11 教材 4 7 6 式所表示的衍射积分中主要贡献来自于图 4 17 中 平面上宽度为4 z的正方 形部分 该正方形的中心点位于 y x和 面积与成正比 表示观察点 与zz x y 平面之间的距离 观察点的三维坐标直接决定了 x y z 平面上对积分有贡献的正方形的 中心和边长 在图 p4 11 中共有 4 条曲线 分别用 1 2 3 4 编号 画曲线 1 2 时对应的坐标x 0 曲线 1 是亮区与过渡区的交界线 对于亮区来说要求积分区域全部在孔径平面上透光的范围 之内 因此由边长为的正方形确定 1 x2 W 1 4z2 Wx 所以 2 1 4Wxz 曲线 2 是暗区与过渡区的交界线 对于暗区来说要求积分区域全部在孔径平面上不透光 的范围之内 因此由边长为的正方形确定 2 2 Wx 2 2 4xWz 所以 2 2 4Wxz 代替 1 x或 2 x 将曲线方程表示为 x考虑一般情况 用 2 4Wxz 曲线 3 曲线 4 与曲线 1 曲线 2 不同之处在于坐标x取负值 对于曲线 3 来说长度差 33 Wx4Wxz 2 3 4Wxz 曲线 4 44 4xWWxz 2 4 4Wxz 或 4 x 将曲线方程表示为 2 4Wxz 3 xx考虑一般情况 用代替 综上所述 过渡区的边界由抛物线或来描述 zxW 4 2 zxW 4 2 9 4 12 在圆孔的夫琅和费衍射图样中设观察平面上的决光能流为E 半径为W的圆面内所分布 的光能流占总光能流的百分比为L W0 试求出L W0 的表达式 解答 设衍射圆孔的半径为W 由 4 129 式 夫琅和费衍射的复振幅分布为 z kWr z kWr J zj A eer z kr j jkz 1 2 2 2 U 观察平面上光强分布为 2 1 0 2 z kWr z kWr J IrI 式中 2 0 zAI r为观察平面上从光斑中心量起的径向坐标 若以 0 Wr 为半径画一个 圆 用代表落在此圆内的能量百分数 则有 0 WL 00 0 2 1 2 0 0 000 2 1 d d2d WW w kWr J E Iz L WI r r rr r kWr EEE z 令 kwr z 则 0 0 22 1 0 0 8d kWW z w zJ EI kW 22 1 0 0 8d zJ EI kW 利用贝塞耳函数递推关系式 d d 1 1 1 xJxxJx x n n n n 取 并乘以 再利用贝塞耳函数另一递推关系式 0 n 1 xJ d d 1 xJxxJx x n n n n 得到 d d 2 1 d d 2 1 2 01 1 10 2 1 xJxJ x xJ x xJ xJxJ x xJ 将此式代入和E 0 w E的表达式 并利用1 0 0 J 0 0 1 J最后得到 z kWW J z kWW JWL 02 1 02 00 1 10 4 13 有一薄的周期光栅 它的振幅透过率函数由下面复数形式的傅里叶级数给出 k L k j kA eCt 2 式中为光栅的周期 而系数 L 2 2 2 d 1 L L L k j Ak et L C 1 证明光栅第阶的衍射效率为 k 2 kk C 2 又设有一个透过率函数为 L tA cos 的周期光栅 计算第一级衍射光的效率 解答 1 由傅氏变换的公式 得振幅透过率函数的傅里叶变换为 2 afe x axj F 2 n j L AKnx nn n tC F eCf L F n 阶的空间频率为 x n f L 假定有一单位振幅的单色平面波垂直照明 所得任一衍射级的 光强度正比于该级傅里叶展开系数的平方 更一般地说 对于任意强度的照明光波 某级的 衍射效率等于该级 函数的傅里叶系数的平方 这就是说衍射效率为 2 kk C 2 先求下述振幅透过率函数的傅里叶展开式的系数 cos A t L 系数 2 2 2 11 cos k Lj L k L Ced LLL Fcos x fk L rect LL 111 sinsin 222 x xx fk L Lc LfLc Lf LLL 12121 sinsin 222 kk cc 第级的衍射效率为 k 2 212121 sinsin 422 kk kk Ccc 11 所以第一级的衍射效率为 2 2 2 11 2 1131 224 sinsin4 5 422439 Ccc 4 14 有一薄的方波吸收光栅 振幅透过率函数 t如图 p4 14 所示 一单色平面波垂直照 明该光栅 求以下部分占总入射光强的比例 1 入射光为光栅所吸收的部分 2 入射光为光栅所透过的部分 3 透射光中第一级衍射光部分 图 p4 14 解答 在区间2L 图 p4 14 中的振幅透过率函数表示为 1 2 22 Amm ttrectt rect LL 根据上式求振幅透过率函数 A t 的傅里叶展开式系数 与上题中求系数所用的方法相 同 得到 k C 2 2 2 11 2 22 n Lj L nmm L Ctrectt recte LLL d 11 2 22 x mm fn L trectt rect LLL F 1 sin sin 22 mm n tc ntc 1 入射光为光栅所吸收的部分等于 1 减去 2 x t 在一个周期内的空间平均 它就是 22 2 2 2 2 1111 1 1 22224 L Amm L LL tdtt LL 3 m t 2 入射光为光栅所透过的部分等于 1 减去吸收的部分 即 12 22 31 1 44 mm tt 3 透射光中第一级衍射光部分可由的表达式求出 令 n C1n 得 1 211 sin 1 sin 22 m mm t Ctctc 第一级衍射光部分的相对份额为 2 2 1 2 4 m t C 4 15 正弦型振幅光栅的振幅透过率函数 t 0 1 cos 2 22 m frectrect ll 0 f 为光栅的空间频率 为物平面上的坐标 求上述光栅的线色散 dx d 和分辩本 领 x为像平面上的坐标 解答 1 参考 4 137 式 有 0 yxI sin 4 sin 4 sinsin 2 0 2 2 0 2 2 22 2 2 zfx z l c m zfx z l c m z lx c z ly c z l 2 图 p4 15 由次极大点的x坐标所满足的关系式0 0 zfx 得到线色散 0 ddzfx 分辨本领的 求法如下 设 1 和 11 是按照瑞利判据恰好能分开的两个波长 它们1 级最大值的位置对应 为和 1 xlzx1 1 将它们分别代入0 0 zfx 得方程组 0 0 011 1 1 011 zf l z x zfx 13 解之得 Nlf 0 1 为光栅的总线条数 N 4 16 将两个正弦形振幅光栅G G 按条纹方向垂直地紧密地迭放在一起 设它们的振幅透 过率函数分别是 G 010 cos 2 x t xttf x G 010 cos 2 y t yttfy 当用单位振幅的单色平行光垂直照明时求夫琅和费衍射斑的方向角 解答 入射的单位振幅的单色平面波的复振幅为1 i U 设两正交重叠光栅后方的光场的复 振幅为 则有 t U ytxtyx it UU 由 4 119 式 exp exp 22 yxFffzj zj jkz ff tyxyx UU 2 exp exp 1 0 10 00 22 yyxyxyx fff tt ffttffzjjkz zj 2 2 0 0 0 10 yxxyyx fff tt fff tt 4 4 00 11 00 11 yyxxyyxx ffff tt ffff tt 4 2 00 11 0 01 yyxxyxx ffff tt fff tt 4 00 11 yyxx ffff tt 2 yx ffyxIU 结果有 9 项对应于 9 个不同的方向 这 9 个不同方向所对应的方 向余弦列于下表之中 x f y f 0 0 x f 0 x f 0 0cos 0cos 1cos 0 cos x f 0cos 2 0 2 1cos x f 0 cos x f 0cos 2 0 2 1cos x f 14 0cos 0 cos y f 2 0 2 1cos y f 0 cos x f 0 cos y f 2 0 22 0 2 1cos yx ff 0 cos x f 0 cos y f 2 0 22 0 2 1cos yx ff 0y f 0cos 0y cosf 2 0 2 1cos y f 0 cos x f 0 cos y f 2 0 22 0 2 1cos yx ff 0 cos x f 0 cos y f 2 0 22 0 2 1cos yx ff 0y f 4 17 单位振幅的单色平面波垂直照明如图 p4 17 所示的 N 个全同狭缝 缝宽为 周期为 d 证明其夫琅和费衍射的强度分布为 a x sin sin sin 2 2 22 y xd y Nxd y ax ca I 式中x为观察平面上的坐标 y为观察平面与狭缝所在平面的距离 为光波波长 图 p4 17 解答 振幅透过率函数 a dN a d a d a t 1 rect 2 rectrectrect 1 0 rect n n a nd 不计 4 119 式中傅里叶变换式前的系数得到该光栅夫琅和费衍射的复振幅为 0 tFfx x UU 运用傅里叶变换的相似性定理和相移定理 见附录 A 得到 1 0 1 0 0 2exp sinc 2exp sinc N n xx N n xxx ndfjafandfjafaf U 15 sin sin 1 exp sinc df dNf dfNjafa x x xx sin sin sinc 2 2 222 00 df dNf afaffIxI x x xxx U 将 zxfx 代入上式得到 z xd z Nxd z xa axI 2 2 22 sin sin sinc 4 18 正弦型相位光栅的振幅透过率函数 0 expsin 2 2 m tjfrectrect ll 证明上述光栅的分辩本领为 式中为贝塞耳函数的阶数 0 qlfqNq 证明 参考教材中 4 150 式 衍射光强分布为 q q z ly zqfx z lm J z l yxI 2 0 22 2 2 sinc sinc 2 由上式可以看出 波长为 1 的光所产生的级衍射分量的峰值偏离衍射图样中心的距离为q zqfx 10 波长为 1 的光所产生的q级衍射分量的第一个零点位置满足 1 20 2 zqfx z l 即应有 zqf l z x 20 2 根据瑞利判据 我们认为波长为 1 的光产生的q级谱线峰值与波长为 2 的光产生的 级谱线的第一个零点相重叠时两条谱线刚好分辨 于是 q 1 0201 z qfzqfz l 1 021 z qf z l 令 21 整理后得到 1 0 qlfqM 16 式中M为光栅空间周期条纹的总数 4 19 图 p4 19 a 为一菲涅耳直边衍射的示意图 图 p4 19 b 为在观察平面上的光强分布图 它是由图 p4 19 c 所示的考纽蜷线得到的 请画出在确定图 p4 19 b 中 A B C D 四点 的光强值时在考纽蜷线上所作的线段 并写出对应线段的名称 线段及相应字母标图 p4 19 c 上 注明该线段与图 p4 19 b 中哪一点相对应 图 p4 19 解答 观察屏上某点的光强计算公式 2 2 1 线段长度 I b 图中 A 点 CQ B 点 CR C 点 CB D 点 OC 4 20 有一圆对称的物体 在范围上无限 其振幅透过率函数 4 4 2 2 00 rJrJrtA 式中是第一类零阶贝塞耳函数 0 Jr为二维平面上的半径 设有一单位振幅的单色平面波 垂直照明物体 假设近轴条件成立 在该物体之后什么距离上除了一个复常数因子外 我 们能够得到与物分布形式上相同的场分布 解答 该问题具有圆对称性 将 2 0 rJ F表示成 2 0 rJB 1 2 1 2 0 rJB 式中 z r 2 1 1 22 1 2 2 4 00 rJBrJB 10 yxhyxUyxU 110yx ffHyxUyxhyxUyxUFFFF 由 4 7 10 式 exp exp 2 zjjkz H 所以 exp exp 4 4 2 2 2 00 zjjkzrJrJffyx yxii FFFHUU 17 exp exp 2 4 1 2 zjjkz 2 4 1 exp 4 zjzj eejkz 4 4 2 2 exp 0 4 0 1 rJerJejkz zjzj ii UUFF 所以 3cos 4 2 16 4 4 2 2 00 22 0 2 0 zrJrJrJrJ i U 令 mz23 得到 3 2m z 式中 2 1 0 m 4 21 1 设有一个一维周期性物体 其振幅透过率为 2 sint X 其中X 为周期性 物的空间周期 物体所在平面垂直于 z 轴 并位于 z 0 处 试计算在任一平面 z 处 菲涅耳衍射的场分布和强度分布 2 z 取什么值时重现原物体 解答 运用 4 7 11 式 注意本题是一维问题 1 0 2 sint X UU 设单位振幅的平面波垂直照明 即 0 1 U 运用求菲涅耳衍射的公式 得 22 exp 2 expd expexp 22 jkzkxk xjj j zzzz jx UU 22 exp exp exp 22 jkzkxk jFj j zz z U 2 2 exp exp 2 k j z jkzkx jFF e j zz U 其中 F U可查表 2 2 expexp 2 x k Fjj zjzf z 最后得到 xfzfje z j x jkz 0 2 0 2sin exp U 式中 X f 1 0 xf z xxI 0 22 2sin 1 U 18 2 在任一常数的面上都可以看到物体的象 z 4 22 利用菲涅耳衍射积分 4 103 求圆形孔径的菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布 设单位振幅的单色平面波垂直照明孔径 解答 圆形孔径的透过率函数 22 circ t 孔径受到单位振幅的单色平面波垂直照明 孔径平面上透射光场分布为 22 0 circ ttUU 由菲涅耳衍射积分 4 103 式 2222 exp 2 exp exp exp d d 22 z jkzkk x yjxyjjxy j zzzz UU 当 时 得到轴上光场的复振幅分布 0 x0 y 2222 exp 0 0 circexp d d 2 z jkzk j j zz U P4 23 1 上式积分得到轴上不同点的复振幅分布 z 0 0 exp 1expexp expexpexp 244 z kkk jkzjjkzjjj zzz U 4 k z z k z k jjkzj 4 sin 4 exp exp 2 光强度分布 222 0 0 0 0 4sin4sin 42 zz k I zz U 由此可见 圆孔菲涅耳衍射图样随着距离的增大中心有亮暗的变化 这一结论与用波 带法作出的解释是一致的 z 4 23 一单位振幅的单色平面波垂直照明如图 p4 23 所示的圆环形 孔径 求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布 图 p4 23 解答 圆环形孔径的振幅透射率函数 19 1 0 11 22 a a t 其它地方 同单位振幅的单色平面波垂直照明 孔径平面上透射光场分布为 0 tt UU 在极坐标系中计算菲涅耳衍射积分 得到轴上不同的复振幅分布 z 21 22 0 exp 0 0 dexpdexp expexp 22 z a 2 jkzkjkk jrr rjkzaj j zzz z U 强度分布 22 0 0 0 0 2exp 1 exp 1 22 zz kk 2 Ijaja zz U 1 2 sin4 1 2 cos22 222 a z a z k 由上式看到 当逐渐增大时 衍射图样有亮暗的变化 z 当 na z 1 2 2 即 2 1 n n a z 2 1 2 时 0 0 0 z I 为极小值 当 2 12 1 2 2 na z 时 2 1 n 即 12 1 2 n a z时 为极大 值 0 0 4 z I 本题中圆环形孔径的振幅透射率函数可以表示为 a r rrtcirc circ 求出 rtU 以后 代入菲涅