13从_开立圆_术看数学创造能力培养.pdf

第 卷第 期 年 月 数 学 教 育 学 报 数学创造能力 培养 中图分类号 6 文橄标识码 2 文章编号 针对当前数学教学中存在的一些 问题 探 讨 一 一 一 球体积公式创立的过程 开 立圆 术是中国古代数学的一项重要成就 6 古代学者将球称为 立圆 所 谓 开 立圆 术 就是计算球体积的公式 6 我国古代数学家刘徽 祖冲之 祖随等都对 此 作 出过杰出贡献 6 深 入研究球体积公式是如何逐步建立起来的 其间经历 了哪些困难和 挫折 又是如何被克服的 有些什么经验和教训 对于改进我们的数学教 学 尤其是加 强数学创造能力培养颇有启发 6 为了讨论方便 首先简要介绍一下球体积公式创立的过程 6 早在 多年前 在我 国第一部数学专著 九章算术 中 就已经有了球体积公式的记载 6 该书第四章 少广 中的 开立圆 术 将球的体积公式定为犷 兰2 5 其 中2是球的直径 6 公 元 年刘徽给 九章算术 作注时 指 出了上面这个公式是不精确的 6 他说 6 66 6 二 6 古代取 为圆 周平 于是得立万体内接圆枉 体积为止万体 体积的 又 估计圆枉内接 球 6 户 二 6 二 二 6 6 6 6 二 6 二 体积力圆枉 体积的一 故得出琢 体积力立万体体积的吸2 的 丁 6 刘徽研究球体积公式的思路是 取棱长 盖 即伞 牟合方盖 即上下正好相 合的方形伞 6 如图5所示 6 刘徽当时已经知道了截面原理 同高的两个立体 在 等高处各作一个与底平行的截 面 若截面面积之 比为一常数 则此二立体体积之 比也 等于这一常数 6彝 圈5 收稿日期 6卯 一 一 数学教育学报第 卷 刘徽 想借助截面原理解决体积 问题 并认识到牟合方 盖体积的计算是解决球体积计 算的关键 可惜他未能如愿 6 6 大约 年以后 祖啦在刘徽研究的基础 上 将注意力从 牟合方盖 转到从立方 体去掉 牟合方盖 的剩余部分 6 这个剩余正好是完全 相 同的 个立体 只要求出其中 一个的体积 问题 就 可解决 6 丁 二 如 图 所示 祖呕用 平行于底的平面在 高 处 截八分之一的立方体 截 口面积为尸 为球 体积 6 设 八分之一 牟合方盖 在 处的截 口面积为口 6 则面积差为尸 一了 根据 勾股定理有尸 一矿 护 这 就是八分之一 立方体 去掉八分之一 牟合方盖 的横截面 面积 6 祖随还 注意到 底边 为 6 高为 的倒 螂螂螂 图 立方锥在高 处截面 面 积亦为矛 6 根据截面原 理 6 体积 应 等于倒立方锥的体积工 6 于是 5 八分之一 牟合方 盖 的体积 二 一二 牟合 方盖 的体积厂 利用刘徽 的研究结果 球 牟合方盖 汀 6 祖啦在此研究中还提出了著名原理 便可得 球 这就是球体 缘幂势既同 则积不容异 由球体积公式的创立过程我们 可以获得如下几点启迪 6 重形式技艺训练 轻 数学思想方法教学 重知识学习 轻实际应用 6 这样做不利于 人才的成长 更不利于创 造精神和创造能力的培养 必须来一场大的变革 6 当前 可组织力量搜集 整理一批适 合中学生思考的数学问题 以作为培养创新能力的载体 6 一位优秀的数学教师应当有自 己设计和编制的数学问题 6 例如 以内的等差分析 宁波 打包问题 北京 数 学 教育学报 第 卷 简单邮路 问题 上海 等都是近年来设计 出的较新颖的数学问题 6 参考文献 钱宝琼 6 中国数学 史 6 北京 科 学出版社 6 中外数学 简史编写组 6 中国数学简史 6 济南 山东教育 出版社 6 5张奠宙 6 数学