ch05-1 角动量习题课.pdf

第五章 角动量 角动量守恒定律第五章 角动量 角动量守恒定律 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 角动量角动量 转动 惯量 转动 惯量 角动量的 时间变化率 角动量的 时间变化率 力矩力矩 角动量 定理 角动量 定理 角动量 守恒定律 角动量 守恒定律 第五章角动量角动量守恒习题课 复习提要 第五章角动量角动量守恒习题课 复习提要 三个概念 两条规律 二 转动惯量 三个概念 两条规律 二 转动惯量 m i ii mrrmJd 2 2 一 角动量一 角动量 质点 质点系 定轴刚体 质点 质点系 定轴刚体 vmrL rr r i iiicc vmrvmrLLL rrrv rrr 自旋轨道自旋轨道 J Lz 三 力矩三 力矩 0 i iz MFrMFrM 内内 vr r r r v 质点质点 2 1 d d d t t LtM t L M vv v v 质点系 定轴刚体 质点系 定轴刚体 2 1 d d d t t LtM t L M vv v v 外外外外 J M z 2 1 d t t zz LtM 五 角动量守恒五 角动量守恒 恒量 恒矢量 恒量 恒矢量 外外 zz LM LM 0 0 vv 四 角动量定理四 角动量定理 注意 注意 0 0 o M F r r 0 0 o M F r r 合力为零时 其合力矩是否一定为零 合力矩为零时 合力是否一定为零 合力为零时 其合力矩是否一定为零 合力矩为零时 合力是否一定为零 F r F r o o F r F r 例 例 例 例 质量为 长为的细杆在水平粗糙桌面上 绕过其一端的竖直轴旋转 杆的密度与离轴距离成正 比 杆与桌面间的摩擦系数为 求摩擦力矩 质量为 长为的细杆在水平粗糙桌面上 绕过其一端的竖直轴旋转 杆的密度与离轴距离成正 比 杆与桌面间的摩擦系数为 求摩擦力矩 m L 解 解 rkrrmddd 设杆的线密度设杆的线密度kr 22 d2 d 2 L rmr m L m k 得 得 2 0 2 1 d d kLrkr mm L 由由 o md f r d z r v rr L mg mgf d 2 dd 2 frMdd mgLrr L mg MM L 3 2 d 2 d 0 2 2 2 d2 d L rmr m o md f r d z r v 例1 例1 一定滑轮的质量为 半径为 一轻绳 两边分别系和两物体挂于滑轮上 绳不伸 长 绳与滑轮间无相对滑动 不计轴的摩擦 初角 速度为零 求滑轮转动角速度随时间变化的规律 一定滑轮的质量为 半径为 一轻绳 两边分别系和两物体挂于滑轮上 绳不伸 长 绳与滑轮间无相对滑动 不计轴的摩擦 初角 速度为零 求滑轮转动角速度随时间变化的规律 m 1 m 2 m r 2 m 1 m r m 已知 已知 0 021 r m m m 求 求 t 思路 思路 质点平动与刚体定轴转动关联问题 隔离法 分别列方程 先求角加速度 质点平动与刚体定轴转动关联问题 隔离法 分别列方程 先求角加速度 解 解 在地面参考系中 分别以 为研究对象 用隔离法 分别以牛顿第二定律 和刚体定轴转动定律建立方程 在地面参考系中 分别以 为研究对象 用隔离法 分别以牛顿第二定律 和刚体定轴转动定律建立方程 m m m 21 思考 思考 TT aa 2121 2 m 1 m r m 1 T 1 a r gm1 amTgmm1 11111 向下为正向下为正 2 a r 2 T gm 2 amgmTm2 22222 向上为正向上为正 r 1 T 2 T N mg 四个未知数 三个方程 四个未知数 三个方程 T T aaa 2121 绳与滑轮间无相对滑动 由角量和线量的关系 绳与滑轮间无相对滑动 由角量和线量的关系 ra4 解得解得 rmmm gmm 2 1 21 21 rmmm gtmm t 2 1 21 21 0 滑轮滑轮 m 以顺时针方向为正方向 以顺时针方向为正方向 mrJrTrT3 2 1 2 21 如图示 两物体质量分别为和 滑轮质量 为 半径为 已知与桌面间的滑动摩擦系 数为 求下落的加速度和两段绳中的张力 如图示 两物体质量分别为和 滑轮质量 为 半径为 已知与桌面间的滑动摩擦系 数为 求下落的加速度和两段绳中的张力 1 m m 2 m r 2 m 1 m 2 m 1 m o mr 解 解 在地面参考系中 选取 和滑轮为研究 对象 分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得 在地面参考系中 选取 和滑轮为研究 对象 分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得 1 m 2 m 练习练习1 2 m 2 T a gm 2 gm 2 N 1 m 1 T a gm 1 列方程如下 列方程如下 ra mrr TT amgmT amTgm 2 21 222 111 2 1 可求解可求解 o 1 T 2 T x N y N 向里 向里 例例2 质量为质量为 M 的匀质圆盘 可绕通过盘中心垂直于盘的固定 光滑轴转动 绕过盘的边缘有质量为 的匀质圆盘 可绕通过盘中心垂直于盘的固定 光滑轴转动 绕过盘的边缘有质量为 m 长为 长为 l 的匀质柔软 绳索 如图 设绳与圆盘无相对滑动 试求当圆盘两侧绳 长差为 的匀质柔软 绳索 如图 设绳与圆盘无相对滑动 试求当圆盘两侧绳 长差为 s 时 绳的加速度的大小 时 绳的加速度的大小 解 解 在地面参考系中 建立如图在地面参考系中 建立如图 x 坐标 设绳两端坐标分别为坐标 设绳两端坐标分别为x1 x2 滑轮半径为滑轮半径为 r 有 有 rxxBBABAAl 21 x l m m x l m m 2BB1AA r l m m AB 21 xxs o x1 x2 s MAB A B r x m 用隔离法列方程 以逆时针方向为正 用隔离法列方程 以逆时针方向为正 22 2 1 rmMrJJJ ABABM amTgm AA 1 J rTrT 21 amgmT BB 2 T1 J T2 r CA T1 mAg CB T2 mBg BA o o x1 x2 s MAB A B r x m CB CA 解得 解得 l Mm mgs a 2 1 ra 又 又 21 xxs o x1 x2 s MAB A B r x m CB CA 例例1 一半径为一半径为R 质量为 质量为 M 的转台 可绕通过其中心 的竖直轴转动 的转台 可绕通过其中心 的竖直轴转动 质量为质量为 m 的人站在转台边缘 最初人 和台都静止 若人沿转台边缘跑一周 的人站在转台边缘 最初人 和台都静止 若人沿转台边缘跑一周 不计阻力不计阻力 相 对于地面 人和台各转了多少角度 相 对于地面 人和台各转了多少角度 R M m 思考 思考 1 台为什么转动 向什么方向 转动 2 人相对转台跑一周 相对于 地面是否也跑了一周 3 人和台相对于地面转过的角 度之间有什么关系 1 台为什么转动 向什么方向 转动 2 人相对转台跑一周 相对于 地面是否也跑了一周 3 人和台相对于地面转过的角 度之间有什么关系 选地面为参考系 设对转轴选地面为参考系 设对转轴 人 人 J J 台 台 J J 解 解 系统对转轴合外力矩为零 角动量守恒 以向上为正 系统对转轴合外力矩为零 角动量守恒 以向上为正 22 2 1 MRJmRJ 0 JJ M m2 R M m 设人沿转台边缘跑一周的时间为设人沿转台边缘跑一周的时间为 t 2dd 00 tt tt JJ 2d 2 d 00 tt t M m t 人相对地面转过的角度 人相对地面转过的角度 Mm M t 2 2 d t 0 台相对地面转过的角度 台相对地面转过的角度 Mm m t t 2 4 d 0 例1 例1 已知 已知 两平行圆柱在水平面内转动 两平行圆柱在水平面内转动 求 求 接触且无相对滑动时接触且无相对滑动时 20221011 Rm Rm 21 o1 m1 R1 o2 R2 m2 10 20 o1 o2 1 2 请自行列式 请自行列式 解解1 因摩擦力为内力 外力过轴 外力矩为零 则因摩擦力为内力 外力过轴 外力矩为零 则 J1 J2 系统角动量守恒 以顺时针方向旋转为正 系统角动量守恒 以顺时针方向旋转为正 1 2211202101 JJJJ 接触点无相对滑动 接触点无相对滑动 2 2211 RR 又 又 3 2 1 2 111 RmJ 4 2 1 2 222 RmJ 联立1 2 3 4式求解 对不对 联立1 2 3 4式求解 对不对 o1 o2 1 2 1 R 2 R 问题 问题 1 式中各角量是否对同轴而言 式中各角量是否对同轴而言 2 J1 J2系统角动量是否守恒 系统角动量是否守恒 0 2 0 1 1 2 2 1 F F Mo Mo r r 为轴 为轴 为轴 为轴 系统角动量不守恒 系统角动量不守恒 分别以分别以m1 m2为研究对象 受力如图 为研究对象 受力如图 o2 F2 o1 F1 f1 f2 1 R 2 R 解解2 分别对分别对m1 m2 用角动量定理列方程 设 用角动量定理列方程 设 f1 f2 f 以顺时针方向为正以顺时针方向为正 m1对对o1 轴 轴 2 111 101111 2 1 d RmJ JJtfR m2对对o2 轴 轴 2 222 202222 2 1 d RmJ JJtfR 接触点 接触点 2211 RR o2 F2 o1 F1 f1 f2 1 2 1 R 2 R 联立各式解得 联立各式解得 221 20221011 2 121 20221011 1 Rmm RmRm Rmm RmRm 解解1 m 和和 m 2 系统动量守恒系统动量守恒 m v 0 m m 2 v 解解2 m 和和 m1 m 2 系统动量守恒系统动量守恒 m v 0 m m 1 m 2 v 解解3 m v 0 m m 2 v m 1 2v 以上解法对不对 以上解法对不对 m2 m1 m 0 v r 2L 2L A 例例2 已知 已知 轻杆 轻杆 m 1 m m 2 4m 油灰球油灰球 m m 以速度以速度v 0 撞击撞击 m 2 发生完全非弹性碰撞 发生完全非弹性碰撞 求 求 撞后撞后m 2的速率的速率 v 因为相撞时轴因为相撞时轴A作用力不能忽略 不计 故 作用力不能忽略 不计 故系统动量不守恒系统动量不守恒 因为重力 轴作用力过轴 对轴 力矩为零 故 因为重力 轴作用力过轴 对轴 力矩为零 故系统角动量守恒系统角动量守恒 由此列出以下方程 由此列出以下方程 Lvm L vmm L mv 2 22 120 或 或 v v Lmmmm LL LL 2020 2 1 2 220 2 2 得 得 9 0 v v m2 m1 m 2L 2L Ny Nx A 注意 区分两类冲击摆注意 区分两类冲击摆 水平方向 水平方向 Fx 0 px守恒守恒 m v 0 m M v 对对 o 点 守恒点 守恒 m v 0 l m M v l 0 M r L r 轴作用力不能忽略 动量不守恒 但对 轴作用力不能忽略 动量不守恒 但对 o 轴合力矩为零 角动量守恒轴合力矩为零 角动量守恒 lvMlmllmv 22 0 3 1 1 o l m M 0 v r 质点质点质点质点柔绳无切向力柔绳无切向力 质点定轴刚体质点定轴刚体 不能简化为质点 不能简化为质点 2 0 v r o l m M Fx Fy 回顾习题回顾习题 P84 4 10 vRMmRghm OM mM pMmF 2 0 0 点角动量守恒对系统 不守恒系统 点角动量守恒对系统 不守恒系统 轴 轴 轴 轴 r r v m M F O 0 轴轴 F v A B C系统不守恒 系统不守恒 p r 0 轴轴 M r A B C系统对系统对 o 轴角动量守恒轴角动量守恒 vRmmmRvmm cBABA 1 回顾习题回顾习题 P84 4 11 C B Nx Ny A o 练习 练习 已知已知 m 20 克 克 M 980 克克 v 0 400米米 秒 绳不可伸长 求 秒 绳不可伸长 求 m 射入射入M 后共同的后共同的 v 思考 思考 系统哪些物理量守恒 系统哪些物理量守恒 总动量 动量分量 角动量 总动量 动量分量 角动量 解 解 m M系统水平方向动量守恒 系统水平方向动量守恒 F x 0 竖直方向动量不守恒 绳冲力不能忽略 对 竖直方向动量不守恒 绳冲力不能忽略 对o 点轴角动量守恒 外力矩和为零 点轴角动量守恒 外力矩和为零 o m M v r o 30 0 v r vMmmv 0 0 30sin 或 或 00 0 90sin30sin lMmvlmv v 4 m s 1得 得 解 解 碰撞前后碰撞前后AB棒对棒对O的角动量守恒的角动量守恒 思考 思考 碰撞前棒对碰撞前棒对O角动量角动量 L 碰撞后棒对碰撞后棒对O角动量角动量 L 例例3 已知 已知 匀质细棒匀质细棒 m 长长 2l 在光滑水平面 内以 在光滑水平面 内以 v 0平动 与固定支点平动 与固定支点 O 完全非弹性碰撞 完全非弹性碰撞 求 求 碰后瞬间棒绕碰后瞬间棒绕 O 的的 v0 c l B A l 2 l 2 O m 撞前 撞前 自旋轨自旋轨 LLL rvr 0 2 0 l mvL 1 思考 思考 碰撞后的旋转方向 碰撞后的旋转方向 2 各微元运动速度相同 但到 各微元运动速度相同 但到O距离不等 棒上段 下段对轴 距离不等 棒上段 下段对轴O角动