（江苏专用）高考数学二轮复习 专题4导数(II)学案.doc

专题4导_数()解答题中出现导数的几率非常大，导数的考查思路比较清晰，把导数作为工具仅限于理论上的分析和实践中的应用，考查导数有时会跟分类讨论、数形结合、函数与方程联系一起综合考查，特别是利用导数解决函数最值问题的实际操作，更是层出不穷，所以在平时的学习当中，注重函数模型化的识别.1设直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值是_解析：由题意得：y，令，得x2，故切点(2，ln 2)，代入直线方程yxb，得bln 21.答案：ln 212函数y4x2单调递增区间是_解析：令y8x0，(2x1)(4x22x1)0，x.答案：3设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如右图所示，则f(x)的图象最有可能的是_(填图象序号)解析：利用导函数的图象的零点，可知函数f(x)在(，0)及(2，)上单调递增，而在(0,2)上单调递减从而只有图象符合要求答案：4函数f(x)xa在1,4上单调递增，则实数a的最大值为_解析：法一：f(x)1，由已知，得10，即a2在区间1,4上恒成立a(2)min2，amax2.法二：令t，则把函数f(x)xa看成是函数yt2at，t1,2，与函数t，x1,4的复合函数，t在区间1,4上单调递增，要使函数f(x)xa在1,4上单调递增，只要yt2at在区间1,2上单调递增即可当且仅当1，即a2，amax2.答案：25(2012南通模拟)各项均为正数的等比数列满足a1a74，a68，若函数f(x)a1xa2x2a3x3a10x10的导数为f(x)，则f_.解析：各项为正的等比数列满足：a1a74，a68，推算出a1，q2，所以an2n3.又f(x)a12a2x10a10x9，将x代入得nanxn1n，所以f(1210)答案：(2012江苏高考)若函数yf(x)在xx0处取得极大值或极小值，则称x0为函数yf(x)的极值点已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点；(3)设h(x)f(f(x)c，其中c2,2，求函数yh(x)的零点个数解(1)由题设知f(x)3x22axb，且f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得a0，b3.(2)由(1)知f(x)x33x.因为f(x)2(x1)2(x2)，所以g(x)0的根为x1x21，x32.于是函数g(x)的极值点只可能是1或2.当x2时，g(x)0；当2x0，故2是g(x)的极值点当2x1时，g(x)0，故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极值点为2.(3)令f(x)t，则h(x)f(t)c.先讨论关于x的方程f(x)d根的情况，d2,2当|d|2时，由(2)可知，f(x)2的两个不同的根为1和2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)2的两个不同的根为1和2.当|d|0，f(1)df(2)d2d0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)f(2)2，此时f(x)d无实根同理，f(x)d在(，2)上无实根当x(1,2)时，f(x)0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)d0，yf(x)d的图象不间断，所以f(x)d在(1,2)内有惟一实根同理，f(x)d在(2，1)内有惟一实根当x(1,1)时，f(x)0，f(1)d0，yf(x)d的图象不间断，所以f(x)d在(1,1)内有惟一实根由上可知：当|d|2时，f(x)d有两个不同的根x1，x2满足|x1|1，|x2|2；当|d|2时，f(x)d有三个不同的根x3，x4，x5满足|xi|2，i3,4,5.现考虑函数yh(x)的零点()当|c|2时，f(t)c有两个根t1，t2满足|t1|1，|t2|2，而f(x)t1有三个不同的根，f(x)t2有两个不同的根，故yh(x)有5个零点()当|c|2时，f(t)c有三个不同的根t3，t4，t5满足|ti|2，i3,4,5，而f(x)ti(i3,4,5)有三个不同的根，故yh(x)有9个零点综上可知，当|c|2时，函数yh(x)有5个零点；当|c|0)，f(x)x10，x1，x2.f(x)在上单调递减，在上单调递增f(x)在x时取极小值(2)f(x)(x0)，令g(x)x22axa2a，4a23a22aa22a，设g(x)0的两根x1，x2(x10时，即a2时，若x10x2，则a2a0，即a0时，f(x)在(0，x2)上单调递减，(x2，)上单调递增，f(x)x2a，f(x)10，f(x)在(0，)上单调递增，不合题意；若x1x20，则即a时，f(x)在(0，)上单调递增，满足题意；若0x12时，f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增，不合题意综上得a的取值范围为0,2(2012徐州最后一卷)已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明对一切x(0，)，都有ln x成立解(1)f(x)ln x1，当x，f(x)0，f(x)单调递增0tt2，t无解；0tt2，即0t时， f(x)minf；t0)，则h(x)，x(0,1)，h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.因为对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.(3)问题等价于证明xln x(x(0，)，由(1)可知f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到设m(x)(x(0，)，则m(x)，易得m(x)maxm(1)，当且仅当x1时取到，从而对一切x(0，)，都有ln x成立本题第一问考查单调和分类讨论的思想；第二问是通过转化与化归思想解决h(x)的最小值问题；第三问有一定的难度，如果直接化成ln x0来解决，对p(x)ln x求导将无法得到极值点，通过将原不等式化归成xln x，分别求f(x)的最小值和m(x)的最大值来研究，则不难获得证明设a0，f(x)x1ln2 x2aln x(x0)(1)令f(x)xf(x)，讨论f(x)在(0，)内的单调性并求极值；(2)求证：当x1时，恒有xln2 x2aln x1.解：(1)根据求导法则有f(x)1，x0，故f(x)xf(x)x2ln x2a，x0，于是f(x)1，x0.列表如下：x(0,2)2(2，)f(x)0f(x)极小值f(2)故知f(x)在(0,2)内是减函数，在(2，)内是增函数，所以在x2处取得极小值f(2)22ln 22a.(2)证明：由a0知，f(x)的极小值f(2)22ln 22a0.于是由上表知，对一切x(0，)，恒有f(x)xf(x)0.从而当x0时，恒有f(x)0，故f(x)在(0，)内单调递增所以当x1时，f(x)f(1)0，即x1ln2 x2aln x0.故当x1时，恒有xln2 x2aln x1.(2012泰州中学期末)设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立 解(1)由题设知f(x)ln x，g(x)ln x，所以g(x)，令g(x)0得x1，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)是增函数，故(1，)是g(x)的单调递增区间因此，x1是g(x)的惟一极值点，且为极小值点，从而是最小值点所以g(x)的最小值为g(1)1.(2)gln xx，设h(x)g(x)g2ln xx，则h(x)，当x1时，h(1)0，即g(x)g，当x(0,1)(1，)时，h(x)0.因此h(x)在(0，)内单调递减，当0xh(1)0，即g(x)g.(3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以，g(a)g(x)0，成立g(a)1，即ln a1，从而得0ae.所以a的取值范围为(0，e)(1)先求出原函数f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性(单调区间)，并求出最小值；(2)作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；(3)对于恒成立问题可转化为求函数的最值问题若不等式|ax3ln x|1对任意x(0,1都成立，则实数a取值范围是_解析：显然x1时，有|a|1，a1或a1.令g(x)ax3ln x，g(x)3ax2.当a1时，对任意x(0,1，g(x)0，g(x)在(0,1上递减，g(x)ming(1)a1，此时g(x)a，)，|g(x)|的最小值为0，不符合题意当a1时，对任意x(0,1，g(x)0x.|g(x)|的最小值为gln (3a)1，解得a.答案：(1)利用导数研究函数极值问题需注意解题步骤(2)根据函数的极值求参数值一定要注意进行检验(3)利用导数研究函数最值问题讨论思路很清晰，但计算比较复杂，其次有时需要二次求导研究导函数的最值来判断导函数的正负1若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则实数a的取值为_解析：设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或x0，当x00时，由y0与yax2x9相切可得a，当x0时，由yx与yax2x9相切可得a1.答案：或12设p为曲线c：yx22x3上的点，且曲线c在点p处切线倾斜角的取值范围为，则点p横坐标的取值范围为_解析：由曲线c在点p处切线倾斜角的取值范围为.可得曲线c在点p处切线的斜率范围为0,1，又y2x2，设点p的横坐标为x0，则02x021，解得1x0.答案：3(2012启东期末)若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)上是减函数，在区间(6，)上是增函数，则实数a的取值范围是_解析：f(x)x2ax(a1)，令f(x)0，得x1或xa1，结合图象知4a16，故a5,7答案：5,74(2012通州中学期末)已知函数f(x)ln xax22x(a0)存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_解析：f(x)ax2.因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f(x)0有正解当a0时，yax22x1为开口向上的抛物线，ax22x10总有正解；当a0总有正解，则44a0，解得1a0.综上所述，a的取值范围为(1,0)(0，)答案：(1,0)(0，)5已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，br)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)在区间(1,1)上不单调，等价于f(x)0在区间(1,1)上有实数解，且无重根又f(x)3x22(1a)xa(a2)，由f(x)0，得x1a，x2.从而或解得或所以a的取值范围是.答案：6已知函数f(x)x3bx2cxd在区间1,2上是减函数，则bc的最大值为_解析：考查线性规划思想，有导函数f(x)0恒成立构造线性区域，得到bc的最大值为.答案：7已知函数f(x)满足f(x)f(1)ex1f(0)xx2，则f(x)的解析式为_解析：令x0列一个方程，然后求导，再令x1，列一个方程，从而求出f(1)e，f(0)1，f(x)exxx2.答案：f(x)exxx28(2012南通高中联考)设函数f(x)ax，x0，且f(x)1sin x，则a的取值范围_解析：因为f(x)1sin xax1sin x.当x0时，01sin 01恒成立当0x时，ax1sin xaamin.令g(x)(0x)，则g(x)，令c(x)xcos x1sin x，c(x)xsin x0，x(0，故c(x)在(0，上单调递减，c(x)c(0)10.综上可知x(0，时，g(x)0，故g(x)在区间(0，上单调递减所以g(x)ming().故a.答案：9设函数f(x)x2axa3，g(x)ax2a.若存在x0r，使得f(x0)0与g(x0)0同时成立，则实数a的取值范围是_解析：由f(x)x2axa3知，f(0)a3，f(1)4，又存在x0r，使得f(x0)0，即a6.又g(x)ax2a恒过(2,0)若a6时，a7，若a2时，4，显然不成立答案：(7，)10设函数f(x)ax33x1(xr)，若对于任意的x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_解析：若x0，则不论a取何值，f(x)10显然成立；当x0即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a，设g(x)，则g(x)，g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4；当x0，g(x)在区间1,0)上单调递增，因此g(x)ming(1)4，从而a4.综上a4.答案：411(2012南通学科基地)已知函数f(x)ax22xsin2和函数g(x)ln x，记f(x)f(x)g(x)(1)当时，若f(x)在1,2上的最大值是f(2)，求实数a的取值范围；(2)当a1时，判断f(x)在其定义域内是否有极值，并予以证明；(3)对任意的，若f(x)在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数a的取值范围解：(1)时，f(x)ax2x.当a0时，f(x)x，不合题意；当a0时，f(x)ax2x在上递减，在上递增，f(x)在1,2上的最大值是maxf(1)，f(2)f(2)，所以f(1)f(2)，即a2a3，所以a1.综上所述，实数a的取值范围是1，)(2)a1时，f(x)x22xsin2ln x的定义域为(0，)，f(x)x2sin222s