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知能专练(十八) 圆锥曲线中的热点问题一、选择题1(2017河北衡水中学模拟)已知点q在椭圆c:1上,点p满足()(其中o为坐标原点,f1为椭圆c的左焦点),则点p的轨迹为()a圆 b抛物线 c双曲线 d椭圆解析:选d因为点p满足(),所以点p是线段qf1的中点设p(x,y),由f1为椭圆c:1的左焦点,得f1(,0),故q(2x,2y),又点q在椭圆c:1上,所以1,即1,所以点p的轨迹是椭圆,故选d.2.(2017安徽六安一中模拟)如图,已知f1,f2是椭圆:1(ab0)的左、右焦点,p是椭圆上任意一点,过f2作f1pf2的外角的角平分线的垂线,垂足为q,则点q的轨迹为()a直线 b圆 c椭圆 d双曲线解析:选b延长f2q,与f1p的延长线交于点m,连接oq.因为pq是f1pf2的外角的角平分线,且pqf2m,所以在pf2m中,|pf2|pm|,且q为线段f2m的中点又o为线段f1f2的中点,由三角形的中位线定理,得|oq|f1m|(|pf1|pf2|)根据椭圆的定义,得|pf1|pf2|2a,所以|oq|a,所以点q的轨迹为以原点为圆心,半径为a的圆,故选b.3已知f1,f2分别是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,p为双曲线右支上的一点若8a,则双曲线的离心率的取值范围是()a(1,2 b2,) c(1,3 d3,)解析:选c设|pf2|y,则(y2a)28ay(y2a)20y2acae3,又因为e1,可得e的取值范围为(1,34已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦ab,则ab的中点到x轴的最短距离为()a. b. c1 d2解析:选d由题意知,抛物线的准线l:y1,过a作aa1l于a1,过b作bb1l于b1,设弦ab的中点为m,过m作mm1l于m1.则|mm1|.|ab|af|bf|(f为抛物线的焦点),即|af|bf|6,|aa1|bb1|6,2|mm1|6,|mm1|3,故m到x轴的最短距离|mm1|min312.二、填空题5已知点a(,0),点b(,0),且动点p满足|pa|pb|2,则动点p的轨迹与直线yk(x2)有两个交点的充要条件为k_.解析:由已知得动点p的轨迹为一双曲线的右支且2a2,c,则b1,所以p点的轨迹方程为x2y21(x1),其一条渐近线方程为yx.若p点的轨迹与直线yk(x2)有两个交点,则需k(,1)(1,)答案:(,1)(1,)6已知f1,f2分别为双曲线c:1的左、右焦点,p,q为c上的点,且满足条件:线段pq的长度是虚轴长的2倍;线段pq经过f2,则pqf1的周长为_若只满足条件,则pqf1的周长的最小值为_解析:由题意得a3,b2,c,|pq|4b8.由双曲线的定义得|pf1|pf2|6,|qf1|qf2|6,pqf1的周长为|pf1|qf1|pf2|qf2|(|pf1|pf2|)(|qf1|qf2|)2(|pf2|qf2|)(|pf1|pf2|)(|qf1|qf2|)2|pq|662828.若只满足条件,pqf1的周长为|pf1|qf1|pf2|qf2|(|pf1|pf2|)(|qf1|qf2|)2(|pf2|qf2|)122|pq|,当pqx轴时弦|pq|最短,令x,则有y24,解得y,此时|pq|,所以pqf1的周长的最小值为122.答案:28三、解答题7(2017浙东北三校模拟)已知椭圆c:1(ab0)的离心率为,右焦点到直线1的距离为.(1)求椭圆c的方程;(2)若o为坐标原点,过点o作两条相互垂直的射线,与椭圆c分别交于a,b两点,证明:点o到直线ab的距离为定值,并求|ab|的最小值解:(1)由题意得椭圆的离心率e,右焦点为(c,0),又右焦点到直线1的距离为,所以,又a2b2c2,故a2,b,c1.所以椭圆c的方程为1.(2)证明:设a(x1,y1),b(x2,y2),当直线ab的斜率不存在时,x2x1,y1y2,且yx,又1,解得|x1|,即点o到直线ab的距离为.当直线ab的斜率存在时,设直线ab的方程为ykxm,与椭圆的方程联立消去y得(34k2)x28kmx4m2120,所以x1x2,x1x2.因为oaob,所以x1x2y1y20,所以x1x2(kx1m)(kx2m)0,即(k21)x1x2km(x1x2)m20,所以(k21)m20,整理得7m212(k21),所以点o到直线ab的距离为.因为oaob,所以|oa|2|ob|2|ab|22|oa|ob|,当且仅当|oa|ob|时取等号由|ab|oa|ob|得|ab|2,即|ab|的最小值为.8在平面直角坐标系xoy中,已知点a(,0),b(,0),e为动点,且直线ea与直线eb的斜率之积为.(1)求动点e的轨迹c的方程; (2)设过点f(1,0)的直线l与曲线c相交于不同的两点m,n.若点p在y轴上,且|pm|pn|,求点p的纵坐标的取值范围解:(1)设动点e的坐标为(x,y),依题意可知,整理得y21(x)所以动点e的轨迹c的方程为y21(x)(2)当直线l的斜率不存在时,满足条件的点p的纵坐标为0.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为yk(x1),将yk(x1)代入y21并整理得,(2k21)x24k2x2k220,8k280.设m(x1,y1),n(x2,y2),则x1x2,x1x2.设mn的中点为q,则xq,yqk(xq1),所以点q的坐标为.由题意可知k0,又直线mn的垂直平分线的方程为y.令x0,解得yp.当k0时,因为2k2,所以0yp,当且仅当k时等号成立;当kyp,当且仅当k时等号成立综上所述,点p的纵坐标的取值范围是.9.(2017杭州模拟)已知抛物线c:x22py(p0),直线l:yx1与抛物线c交于a,b两点,设直线oa,ob的斜率分别为k1,k2(其中o为坐标原点),且k1k2.(1)求p的值;(2)如图,已知点m(x0,y0)为圆:x2y2y0上异于o点的动点,过点m的直线m交抛物线c于e,f两点若m为线段ef的中点,求|ef|的最大值解:(1)设a(x1,y1),b(x2,y2),将yx1代入抛物线c:x22py,得x22px2p0,则x1x22p.所以k1k2,所以p2.(2)设e(x3,y3),f(x4,y4),直线m:yk(xx0)y0,与抛物线c:x24y联立,得x24kx4kx04y00,(*)则x3x44k2x0,所以kx0.此时(*)式为x22x0x2x4y00,所以x3x42x4y0.所以|ef|x3x4| .又xyy00,所以|ef|22y04(y01),当且仅当即y01时取等号所以|ef|的最大值为4.三、解答题10(2017宁波模拟)已知椭圆1(ab0)经过点p(2,0)与点(1,1)(1)求椭圆的方程;(2)过p点作两条互相垂直的直线pa,pb,交椭圆于a,b.证明:直线ab经过定点;求abp面积的最大值解:(1)由题意得解得a24,b2,椭圆的方程为1.(2)证明:由对称性知,若存在定点,则必在x轴上,当kpa1时,lpa:yx2,x23(x24x4)4x1.以下验证:定点为(1,0),由题意知,直线pa,pb的斜率均存在,设直线pa的方程为yk(x2),a(xa,ya),b(xb,yb)则x23k2(x24x4)4xa,ya,同理xb,yb,则,得证由于直线不与x轴平行,设直线ab方程为xty1,(t23)y22ty30,yayb,yayb,spab1|yayb|,令 3,),则t2,spab1,当且仅当3,即t0时取等号11.(2017杭州模拟)设椭圆e:1(ab0)的左顶点为a(2,0),离心率e,过点p(1,0)的直线交椭圆e于b,c两点,直线ab,ac分别交直线x3于m,n两点(1)求椭圆e的方程;(2)以线段mn为直径的圆是否过定点,若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由解:(1)由题意,a2,e,则c,故b1,所以椭圆e的方程为y21.(2)过定点设直线bc的方程为xty1(tr),点b,c的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)由得(t24)y22ty30,由根与系数的关系得所以x1x2(ty11)(ty21)t2y1y2t(y1y2)1,x1x2(ty11)(ty21)t(y1y2)2,又kab,直线ab的方程为y(x2),点m的坐标为,同理,n,假设过定点q(m,0),则(3m)2(3m)2(3m)20,m3或m3,即定点为或.12(2017台州模拟)如图,已知椭圆c:y21,过点p(1,0)作斜率为k的直线l,且直线l与椭圆c交于两个不同的点m,n.(1)设点a(0,2),k1,求amn的面积;(2)设点b(t,0),记直线bm,bn的斜率分别为k1,k2.问是否存在实数t,使得对于任意非零实数k,(k1k2)k为定值?若存在,求出实数t的值及该定值;若不存在,请说明理由解:(1)当k1时,直线l的方程为yx1.由得x0或x,当x0时,y1,当x时,y,不妨设n(0,1),m.所以|an|3.所以
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