（浙江专版）2018年高考数学二轮专题复习 知能专练（十八）圆锥曲线中的热点问题.doc

知能专练（十八） 圆锥曲线中的热点问题一、选择题1(2017河北衡水中学模拟)已知点q在椭圆c：1上，点p满足()(其中o为坐标原点，f1为椭圆c的左焦点)，则点p的轨迹为()a圆 b抛物线 c双曲线 d椭圆解析：选d因为点p满足()，所以点p是线段qf1的中点设p(x，y)，由f1为椭圆c：1的左焦点，得f1(，0)，故q(2x，2y)，又点q在椭圆c：1上，所以1，即1，所以点p的轨迹是椭圆，故选d.2.(2017安徽六安一中模拟)如图，已知f1，f2是椭圆：1(ab0)的左、右焦点，p是椭圆上任意一点，过f2作f1pf2的外角的角平分线的垂线，垂足为q，则点q的轨迹为()a直线 b圆 c椭圆 d双曲线解析：选b延长f2q，与f1p的延长线交于点m，连接oq.因为pq是f1pf2的外角的角平分线，且pqf2m，所以在pf2m中，|pf2|pm|，且q为线段f2m的中点又o为线段f1f2的中点，由三角形的中位线定理，得|oq|f1m|(|pf1|pf2|)根据椭圆的定义，得|pf1|pf2|2a，所以|oq|a，所以点q的轨迹为以原点为圆心，半径为a的圆，故选b.3已知f1，f2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，p为双曲线右支上的一点若8a，则双曲线的离心率的取值范围是()a(1,2 b2，) c(1,3 d3，)解析：选c设|pf2|y，则(y2a)28ay(y2a)20y2acae3，又因为e1，可得e的取值范围为(1,34已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦ab，则ab的中点到x轴的最短距离为()a. b. c1 d2解析：选d由题意知，抛物线的准线l：y1，过a作aa1l于a1，过b作bb1l于b1，设弦ab的中点为m，过m作mm1l于m1.则|mm1|.|ab|af|bf|(f为抛物线的焦点)，即|af|bf|6，|aa1|bb1|6,2|mm1|6，|mm1|3，故m到x轴的最短距离|mm1|min312.二、填空题5已知点a(，0)，点b(，0)，且动点p满足|pa|pb|2，则动点p的轨迹与直线yk(x2)有两个交点的充要条件为k_.解析：由已知得动点p的轨迹为一双曲线的右支且2a2，c，则b1，所以p点的轨迹方程为x2y21(x1)，其一条渐近线方程为yx.若p点的轨迹与直线yk(x2)有两个交点，则需k(，1)(1，)答案：(，1)(1，)6已知f1，f2分别为双曲线c：1的左、右焦点，p，q为c上的点，且满足条件：线段pq的长度是虚轴长的2倍；线段pq经过f2，则pqf1的周长为_若只满足条件，则pqf1的周长的最小值为_解析：由题意得a3，b2，c，|pq|4b8.由双曲线的定义得|pf1|pf2|6，|qf1|qf2|6，pqf1的周长为|pf1|qf1|pf2|qf2|(|pf1|pf2|)(|qf1|qf2|)2(|pf2|qf2|)(|pf1|pf2|)(|qf1|qf2|)2|pq|662828.若只满足条件，pqf1的周长为|pf1|qf1|pf2|qf2|(|pf1|pf2|)(|qf1|qf2|)2(|pf2|qf2|)122|pq|，当pqx轴时弦|pq|最短，令x，则有y24，解得y，此时|pq|，所以pqf1的周长的最小值为122.答案：28三、解答题7(2017浙东北三校模拟)已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，右焦点到直线1的距离为.(1)求椭圆c的方程；(2)若o为坐标原点，过点o作两条相互垂直的射线，与椭圆c分别交于a，b两点，证明：点o到直线ab的距离为定值，并求|ab|的最小值解：(1)由题意得椭圆的离心率e，右焦点为(c,0)，又右焦点到直线1的距离为，所以，又a2b2c2，故a2，b，c1.所以椭圆c的方程为1.(2)证明：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，当直线ab的斜率不存在时，x2x1，y1y2，且yx，又1，解得|x1|，即点o到直线ab的距离为.当直线ab的斜率存在时，设直线ab的方程为ykxm，与椭圆的方程联立消去y得(34k2)x28kmx4m2120，所以x1x2，x1x2.因为oaob，所以x1x2y1y20，所以x1x2(kx1m)(kx2m)0，即(k21)x1x2km(x1x2)m20，所以(k21)m20，整理得7m212(k21)，所以点o到直线ab的距离为.因为oaob，所以|oa|2|ob|2|ab|22|oa|ob|，当且仅当|oa|ob|时取等号由|ab|oa|ob|得|ab|2，即|ab|的最小值为.8在平面直角坐标系xoy中，已知点a(，0)，b(，0)，e为动点，且直线ea与直线eb的斜率之积为.(1)求动点e的轨迹c的方程； (2)设过点f(1,0)的直线l与曲线c相交于不同的两点m，n.若点p在y轴上，且|pm|pn|，求点p的纵坐标的取值范围解：(1)设动点e的坐标为(x，y)，依题意可知，整理得y21(x)所以动点e的轨迹c的方程为y21(x)(2)当直线l的斜率不存在时，满足条件的点p的纵坐标为0.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，将yk(x1)代入y21并整理得，(2k21)x24k2x2k220，8k280.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1x2，x1x2.设mn的中点为q，则xq，yqk(xq1)，所以点q的坐标为.由题意可知k0，又直线mn的垂直平分线的方程为y.令x0，解得yp.当k0时，因为2k2，所以0yp，当且仅当k时等号成立；当kyp，当且仅当k时等号成立综上所述，点p的纵坐标的取值范围是.9.(2017杭州模拟)已知抛物线c：x22py(p0)，直线l：yx1与抛物线c交于a，b两点，设直线oa，ob的斜率分别为k1，k2(其中o为坐标原点)，且k1k2.(1)求p的值；(2)如图，已知点m(x0，y0)为圆：x2y2y0上异于o点的动点，过点m的直线m交抛物线c于e，f两点若m为线段ef的中点，求|ef|的最大值解：(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，将yx1代入抛物线c：x22py，得x22px2p0，则x1x22p.所以k1k2，所以p2.(2)设e(x3，y3)，f(x4，y4)，直线m：yk(xx0)y0，与抛物线c：x24y联立，得x24kx4kx04y00，(*)则x3x44k2x0，所以kx0.此时(*)式为x22x0x2x4y00，所以x3x42x4y0.所以|ef|x3x4| .又xyy00，所以|ef|22y04(y01)，当且仅当即y01时取等号所以|ef|的最大值为4.三、解答题10(2017宁波模拟)已知椭圆1(ab0)经过点p(2,0)与点(1,1)(1)求椭圆的方程；(2)过p点作两条互相垂直的直线pa，pb，交椭圆于a，b.证明：直线ab经过定点；求abp面积的最大值解：(1)由题意得解得a24，b2，椭圆的方程为1.(2)证明：由对称性知，若存在定点，则必在x轴上，当kpa1时，lpa：yx2，x23(x24x4)4x1.以下验证：定点为(1,0)，由题意知，直线pa，pb的斜率均存在，设直线pa的方程为yk(x2)，a(xa，ya)，b(xb，yb)则x23k2(x24x4)4xa，ya，同理xb，yb，则，得证由于直线不与x轴平行，设直线ab方程为xty1，(t23)y22ty30，yayb，yayb，spab1|yayb|，令 3，)，则t2，spab1，当且仅当3，即t0时取等号11.(2017杭州模拟)设椭圆e：1(ab0)的左顶点为a(2,0)，离心率e，过点p(1,0)的直线交椭圆e于b，c两点，直线ab，ac分别交直线x3于m，n两点(1)求椭圆e的方程；(2)以线段mn为直径的圆是否过定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由解：(1)由题意，a2，e，则c，故b1，所以椭圆e的方程为y21.(2)过定点设直线bc的方程为xty1(tr)，点b，c的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)由得(t24)y22ty30，由根与系数的关系得所以x1x2(ty11)(ty21)t2y1y2t(y1y2)1，x1x2(ty11)(ty21)t(y1y2)2，又kab，直线ab的方程为y(x2)，点m的坐标为，同理，n，假设过定点q(m,0)，则(3m)2(3m)2(3m)20，m3或m3，即定点为或.12(2017台州模拟)如图，已知椭圆c：y21，过点p(1,0)作斜率为k的直线l，且直线l与椭圆c交于两个不同的点m，n.(1)设点a(0,2)，k1，求amn的面积；(2)设点b(t,0)，记直线bm，bn的斜率分别为k1，k2.问是否存在实数t，使得对于任意非零实数k，(k1k2)k为定值？若存在，求出实数t的值及该定值；若不存在，请说明理由解：(1)当k1时，直线l的方程为yx1.由得x0或x，当x0时，y1，当x时，y，不妨设n(0，1)，m.所以|an|3.所以