高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 二 圆内接四边形的性质与判定定理互动课堂学案 新人教A版选修4-1.doc

二 圆内接四边形的性质与判定定理互动课堂重难突破一、圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理包括两个:定理1是圆的内接四边形对角互补;定理2是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.这两个定理表述形式稍有差别,但反映的本质相同,都反映了圆内接四边形所具有的特征.利用这两个定理,可以借助圆变换角的位置,得到角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明.利用这两个定理可以得出一些重要结论,如内接于圆的平行四边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程.二、圆内接四边形的判定定理1.定理:如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形内接于圆.2.符号语言表述:在四边形abcd中,如果b+d=180,那么四边形abcd内接于圆.3.证明思路:要证明四边形abcd内接于圆,就是要证明a、b、c、d四点在同一个圆上.根据我们的经验,若能证明这四个点到一个定点距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来.不过对于不在同一条直线上的三点来说,总可以确定一个圆.因此我们可以先经过a、b、c、d中的任意三个点,譬如过a、b、c三点作一个圆,再证明第四个点d也在这个圆上就可以了.但是直接证明点d在圆上很困难,所以我们采用反证法证明.也就是假设点d不在圆上,经过推理论证,得出错误的结论,这就说明点d不在圆上是错误的,因此点d只能在圆上.图2-2-1由于点d不在圆上时,可能出现点d在圆外和点d在圆内两种情况,所以应分别加以证明,下面先讨论点d在圆内的情况.假设点d在圆内,若作出对角线bd,延长bd和圆交于d,连结ad、cd,则abcd为圆内接四边形(如图221),则abc+adc=180.另一方面,因为adb、bdc分别是add和cdd的外角,所以有adbadb,bdcbdc,于是有adcadc.因为已知abc+adc=180,所以abcadc180,这与圆内接四边形的性质定理矛盾.因此可证点d不能在圆内.用类似的方法也可以证明点d也不能在圆外.因此点d在圆上,即四边形abcd内接于圆.三、判定四点共圆的方法(1)如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆.(2)如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.(4)如果两个直角三角形有公共的斜边,那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等).四、刨根问底问题 圆内接四边形判定定理的证明,推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果,体现了反证法证明几何命题的基本思路.反证法是证明问题的有效方法,那么与正面证明相比较,反证法有什么特点？它证明问题的步骤怎样？它有什么优点？探究:反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法. 反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n -1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个.归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾,与已知的公理、定义、定理、公式矛盾,与反设矛盾,自相矛盾.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不止一种),如在上述定理证明中,假设点d不在圆上,则有点d在圆外和点d在圆内两种情况,必须一一证出这两种情况都不成立后,才能肯定点d在圆上.用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论.对于一些从正面难以说明的问题,反证法往往有着出奇制胜的作用.活学巧用【例1】圆内接四边形abcd中,若abc=234,则d=.思路解析:由圆内接四边形性质可知:a+c=180,根据ac=24,可求出a和c,从而求出b和d.方法一:四边形abcd内接于圆,a+c =180.又ac =24,a =60,c =120.又ab =23,b =90.d =180-b =90.方法二:abc=234,又a+c =b +d,abcd =2343.b =d.又b +d =180,d =90.答案:90【例2】如图2-2-2,已知abcd为平行四边形,过点a和b的圆与ad、bc分别交于e、f.求证:c、d、e、f四点共圆.图2-2-2思路解析:连结ef.由b +aef=180,bc =180,可得aef =c.证明:连结ef.abcd为平行四边形,bc =180.a、b、f、e内接于圆,b+aef =180.aef =c.c、d、e、f四点共圆.【例3】 两圆相交于a、b,过a作两直线分别交两圆于c、d和e、f.若eab =dab.求证:cd=ef.图2-2-3思路解析:要证cd=ef,只需证明cbdebf即可.从图2-2-3可以看出c =e,d =f,因此,尚需找一条对应边相等即可.比如,能否推出bc=be呢？要证bc=be,只需ceb=ecb.有无可能呢？可以发现ecb =1,又已知1=2,所以,只需证2 =ceb即可.这时我们发现abec是圆内接四边形,根据性质定理,它的外角2与它的内对角ceb当然相等.至此,思路完全沟通.证明:连结ec、df,abec为圆内接四边形,2=ceb.又1=ecb,且1=2,ceb =ecb.bc =be.在cbd与ebf中,c=e,d=f,bc =be,cbdebf.cd=ef.【例4】在锐角abc中,bd、ce分别是边ac、ab上的高线,dgce于g,efbd于f.求证:fgbc.图2-2-4思路解析:证fgbc,只需证dfg =dbc即可.我们设法由共斜边的两个直角三角形的四顶点共圆来分析角的关系,探求证明的思路.证明:如图2-2-4,连结de,由于rtbce与rtbcd共斜边bc,所以b、c、d、e四点共圆.由同弧上的圆周角,有dbc=deg.同理,rtedf与rtdge共斜边de,所以d、e、f、g四点共圆.于是,deg =dfg.因此,dbc =dfg.于是fgbc.【例5】如图2-2-5,四边形abcd为o的内接四边形,ab =ad,bcd=120.图2-2-5(1)当o的半径为8 cm时,求abd的内切圆面积;(2)求证:ac =bc + cd.思路解析:(1)要求内切圆面积,则先求内切圆半径和圆心,因此先研究abd的性质.(2)证明线段的和的问题,先在ac上截取ce =bc,然后再证ae =cd.(1)解:过o点作ohbd,垂足为h,连结bo.四边形abcd为o内接四边形,bad +bcd =180.bad =60.ab=ad,abd为正三角形.oh为abd的内切圆半径.在r