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文档简介
2.3.3 平面向量共线的坐标表示课堂导学三点剖析1.向量共线条件的坐标表示【例1】 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),若(a+kc)(2b-a).求实数k的值.a+kc与2b-a是同向还是反向?思路分析:将a、b、c的坐标代入a+kc和2b-a并分别求出其坐标,利用两向量共线的条件即可求得k值.a+kc与2b-a是同向还是反向可表示为a+kc=(2b-a),依据的正负判断.解:(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3,2)+(4k,k)=(3+4k,2+k),2b-a=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4) -(3,2)=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0.k=.此时a+kc=(3,2)+()(4,1)=(,),2b-a=2(-1,2)-(3,2)=(5,2),a+kc=(2b-a).0,a+kc与2b-a反向.温馨提示 两向量共线的条件有两种形式,在解题时应根据情况适当选用.2.向量共线条件的应用【例2】 如果向量=i-2j,=i+mj,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,试确定实数m的值使a、b、c三点共线.思路分析:根据向量共线的条件,解关于m的方程即可.解法1:a、b、c三点共线,即、共线,存在实数使得=,即i-2j=(i+mj).m=-2,即m=-2时,a、b、c三点共线.解法2:依题意知i=(1,0),j=(0,1),则=(1,0)-2(0,1)=(1,-2),=(1,0)+m(0,1)=(1,m)而,共线,1m+2=0.故当m=-2时,a、b、c三点共线.温馨提示 证明三点共线,只需构造两向量,证明它们共线即可.3.向量共线条件的综合运用【例3】 已知两点a(3,-4),b(-9,2),在直线ab上求一点p,使|=|.思路分析:由|=|是线段长度之间的比例关系,又由于p在ab上所以可得=或=-.解:p在ab上且|=|可得=或=-.设p(x,y),若=,则(x-3,y+4)=(-9-3,2+4)=(-4,2),p(-1,-2).若=-,则(x-3,y+4)=- (-9-3,2+4)=(4,-2),p(7,-6).各个击破类题演练1若a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时是同向还是反向?解:ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),a-3b与ka+b平行,(k-3)(-4)-10(2k+2)=0.解得k=-.此时ka+b=(-3,- +2)=-(a-3b),当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向.变式提升1若向量a=(x,1),b=(4,x),则当x=_时, a与b共线且方向相同.解析:ab,xx-4=0.x=2.当x=2时,a,b方向相同,当x=-2时,a、b方向相反.答案:2类题演练2向量=(k,12),=(4,5),=(10,k)当k为何值时,a、b、c三点共线?解法1:=-=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7),=-=(10,k)-(4,5)=(6,k-5).a、b、c三点共线,=,即(4-k,-7)=(6,k-5)=(6,(k-5).解可得k=11,或k=-2.解法2:接法1,a、b、c三点共线,(4-k)(k-5)=6(-7),解得k=11,或k=-2.变式提升2已知a(-2,-3)、b(2,1)、c(1,4)、d(-7,-4),试问:与是否共线?解:=(2,1)-(-2,-3)=(4,4),=(-7,-4)-(1,4)=(-8,-8).所以=-2,所以与共线.类题演练3如右图,已知a(-1,2),b(3,4)连结a、b并延长至p,使|=3|,求p点坐标.解:设p(x,y),由题意=3,代入坐标得(x+1,y-2)=3(x-3,y-4),p(5,5).变式提升3已知点a(4,0),b(5,5),c(2,6).求ac与ob的交点p的坐标.解:设=(5,5)=(5,5),则=(5
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