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2.3.1 平面向量基本定理课堂导学三点剖析1.平面向量基本定理【例1】 如右图所示,在平行四边形abcd中,ah=hd,bf=mc=bc,设=a,=b,以a,b为基底表示、.思路分析:本题考查用两已知向量表示未知向量.由于=b,这样可表示,又 =b,这样又可表示,进一步可表示mh,进一步表示.解:由于bf=bc=ad.=b.在abf中,=+=a+b;又bf=mc=bc,fm=bc.=b.则=+=a+b+b=a+b.又ah=hd,=b.=-=b-(a+b)=-a-b.又hd=b,=-a-b+b=-a+b.温馨提示 根据平面向量基本定理表示向量时,如果所给向量无法直接用基底进行表示时,可先将目标向量分解成可以用基底表示的向量,再进一步用基底表示.2.平面向量基本定理再理解【例2】 设两非零向量e1和e2不共线.(1)如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1,-e2),求证:a、b、d三点共线;(2)试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.思路分析:本题主要考查向量基本定理和向量共线的条件.(1)可以将e1,e2看作一组基底表示我们需要的向量,如,=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5e1+5e2然后利用向量共线条件进行证明.(2)由于向量ke1+e2,e1+ke2都是用基底e1,e2表示出来的两个向量,既然两向量共线,就可以用共线条件得到(ke1+e2)=(e1+ke2),解出k值即可.(1)证明:=e1+e2,+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5,、bd共线.又有公共点b,a、b、d三点共线.(2)解:ke1+e2与e1+ke2共线,存在使ke1+e2=(e1+ke2),则(k-)e1=(k-1)e2.由于e1与e2不共线,只能有则k=1.温馨提示 题目中已给出一组基底e1,e2,则该平面中任一向量都可以与之建立联系,以该基底为纽带,可以沟通不同向量之间的联系.本题要证三点共线,由这三点中任意两点确定两个向量.然后用基底e1,e2表示,并依据向量共线的条件来证明这两个向量共线.又这两个向量有公共点,于是证三点共线.3.平面向量基本定理的应用【例3】 如果e1、e2是平面内所有向量的一组基底,那么,下列命题正确的是( )a.若实数1 、2使1e1+2e2=0,则1=2=0b.空间任一向量a都可以表示为a=1e1+2e2,其中1、2rc.1e1+2e2不一定在平面内,1、2rd.对于平面内任一向量a,使a=1e1+2e2的实数1、2有无数对思路分析:要深刻理解平面向量基本定理.a正确;b错,这样的a只能与e1,e2在同一平面内,不能是空间任一向量.c错,1e1+2e2在内.d错,这样的1,2是唯一的,而不是无数对,故选a.答案:a温馨提示应用平面向量基本定理要注意以下几点:(1)e1,e2是同一平面内的两个不共线向量;(2)基底的选取不唯一;(3)该平面内的任意向量a都可用e1,e2线性表示,而且这种表示是唯一的.各个击破类题演练1如右图所示,已知梯形abcd中,adbc,e、f分别是ad、bc边上的中点,且bc=3ad,设=a,=b,以a、b为基底表示、.解:adbc且ad=bc,=b,=b.=,=b,+=-+(+)=-+=-b-a+b=b-a,=-=-b-(b-a)=-b+a.变式提升1如右图所示,平行四边形abcd中,m、n分别为dc、bc的中点,已知=c,=d,试用c、d表示和.解:设=a,=b,则由m、n分别为dc、bc的中点可得:=b,=a.从abn和adm中可得:2-,得a=(2d-c).2-,得b=(2c-d).即:=(2d-c),=(2c-d).类题演练2e1,e2是两个不共线向量,且=2e1+ke2, =e1+3e2, =2e1-e2,若a、b、d三点共线,由k的值为.解析:=+=2e1+ke2-e1-3e2+2e1-e2=3e1+(k-4)e2.a、b、d三点共线,存在实数使=,即3e1+(k-4) e2=(2e1+ke2).k=-8.答案:-8变式提升2(2005山东理,7)已知向量a、b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )a.a、b、d b.a、b、c c.b、c、d d.a、c、d解析:=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2.a、b、d共线.答案:a类题演练3下面三种说法:一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底;一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;零向量不可作为基底中的向量,其中正确的说法是( )a. b. c. d.解析:平面内向量的基底不唯一,只要在同一平面内,任一组不共线的向量都可以作为基底;而零向量与任何向量共线,故不可作为基底中的向量.故选.答案:b变式提升
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