高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 二 平面与圆柱面的截线学案 新人教A版选修4-1.doc

二平面与圆柱面的截线1通过圆柱形水杯中水面的倾斜，感受平面截圆柱的形式，并能证明定理1.2通过dandelin双球探求椭圆的性质，体会这种证明问题的方法1定理1文字语言圆柱形物体的斜截口是_符号语言平面与圆柱oo的轴_，则截口是椭圆图形语言作用判断截口形状是椭圆【做一做1】圆柱形物体的截口是()a双曲线 b圆 c抛物线 d椭圆或圆2椭圆(1)定义：平面上到两个定点的距离之_等于_的点的轨迹叫做椭圆(2)组成元素：如图所示，f1，f2是椭圆的焦点，b1b2是f1f2的中垂线我们把_叫做椭圆的长轴，_叫做椭圆的短轴，_叫做椭圆的焦距如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距2c=_.(3)dandelin双球探究椭圆性质：如图所示，设球o1，o2与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为，椭圆所在的斜截面与它们的交线分别为l1，l2，与所成的二面角为，母线与平面的交角为.由于，都是确定的，因此交线l1，l2也是确定的当点p在椭圆的任意位置时，过p作l1的垂线，垂足为q，过p作平面的垂线，垂足为k1，连接k1q，得rtpk1q，则qpk1.从而有_定值椭圆上任意一点到焦点f1的距离与到直线l1的距离之比为定值_我们把直线l1叫做椭圆的一条_椭圆上任意一点到焦点f2的距离与到直线l2的距离之比也为定值cos ，所以l2是椭圆的另一条准线记ecos ，我们把e叫做椭圆的_e的几何意义是，椭圆上一点到焦点的距离与它到准线的距离的比当e越接近于1时，c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，从而b越接近于a，椭圆越接近于圆当e0时，c0，ab，两个焦点重合，图形就是圆了可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量【做一做21】f1和f2是椭圆的焦点，p是椭圆上的任一点，pf1d1，pf2d2，则()ad1d2是常数 bd1d2是常数cd1d2是常数 d是常数【做一做22】椭圆的离心率e，焦距为8，则长轴长为_【做一做23】椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则焦距等于()a6 b8 c10 d3答案：1椭圆斜交【做一做1】d当截面与圆柱的底面平行时，截口是圆，否则是椭圆2(1)和定长(2)a1a2b1b2f1f22(3)cos cos 准线离心率【做一做21】a【做一做22】10设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c，则由题意，知2c8，故c4.又e，故长轴长2a10.【做一做23】a设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c，则由题意，知2a10，2b8，故a5，b4，即2c26.dandelin双球探求椭圆性质的过程剖析：通过一条直线与相离的两个等圆的内公切线的情形，类比为两个半径相等的球在一个平面的两侧均与球相切的情形，从而得到定理1及有关结论，因而对于平面内直线与两个相离的等圆的内公切的情形要注意研究，这有助于理解椭圆和下一节的知识圆柱内嵌入两个球，使它们分别位于斜截面的上方和下方，并且与圆柱和斜截面均相切，这是证明定理的关键这种方法是数学家dandelin创立的，故将嵌入的两球称为dandelin双球要注意对于dandelin双球的研究题型一 椭圆的度量性质【例题1】已知平面与一圆柱的母线成60角，那么该平面与圆柱截口图形的离心率是()a b1 c d反思：圆柱形物体的斜截口是椭圆，因此，椭圆的度量性质与底面半径、截面及母线夹角密切相关题型二 探讨椭圆的性质【例题2】如图所示，已知球o1，o2分别切平面于点f1，f2，p1p2为o1的一条直径，q1，q2分别为p1，p2在平面内的平行射影，g1g22a，q1q22b，g1g2与q1q2垂直平分，求证：f1f22.反思：探究圆柱体的斜截口椭圆的性质，要仔细考查dandelin双球与圆柱及其截平面的关系，综合地应用切线长定理、三角形的相似与全等、解直角三角形，以及平行射影的性质等答案：【例题1】d平面与圆柱截口图形为椭圆，其离心率ecos 60.【例题2】证明：如图，过g1作g1hbg2，h为垂足，则四边形abhg1是矩形g1hab.q1，q2分别是p1，p2的平行射影，p1q1綉p2q2.p1q1q2p2是平行四边形q1q2=p1p2，即q1q2等于底面直径g1h=ab=q1q2=2b.又由切线长定理，知g1a=g1f1=g2f2，g2f1=g2b，g2f1g2f2=g2bg1a.又g1a=bh，g2f1g2f2=g2bbh.f1f2=g2h.在rtg1g2h中，g2h=，故f1f2=.1已知平面与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为，则平面与圆柱母线的夹角是()a30 b60 c45 d902椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是()a b c d3两个圆柱的底面半径分别为r，r(rr)，平面与它们的母线的夹角分别为，(90)，斜截口椭圆的离心率分别为e1，e2，则()ae1e2 be1e2ce1e2 d无法确定4已知圆柱的底面半径为2，平面与圆柱的斜截口的离心率为，则椭圆的长半轴是()a2 b4 c d5如图所示，设两个焦点的距离f1f22c，两个端点的距离g1g22a，求证：l1与l2之间的距离为.答案：1a设与母线夹角为，则cos ，故30.2d设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c，由a2c，得，即e.3ae1cos ，e2cos ，又90时，cos cos ，e1e2.4d设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c.由题意，知b2，则，解