（试题 试卷 真题）第11讲 直线与圆

第11讲 直线与圆考纲要求：(1)理解直线斜率的概念,掌握两点的直线的斜率,掌握直线方程的点斜式两点式一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程.(2)掌握两条直线平行于垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.(3)了解二元一次不等式表示平面区域.(4)了解线性规划的意义,并会简单应用.(5)了解解析几何的基本思想,了解坐标法.(6)掌握圆的标准方程和一般方程.理解圆的参数方程.基础达标1若直线l的倾斜角为arctan()，且过点(1，0)，则直线l的方程为_x2y1=02已知定点A（0，1），点B在直线xy0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是_（，）3已知两条直线l1：yx，l2：axy0，其中a为实数当这两条直线的夹角在(0，)内变动时，a的取值范围是 ( C ) A(0，1) B(，) C(，1) (1，) D(1，)4过点A（1，1）、B（1，1）且圆心在直线xy20上的圆的方程是 ( C )A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)245圆2x22y21与直线xsiny10(R，k，kZ)的位置关系是 ( C )A相交 B相切 C相离 D不确定6已知圆C：(xa)2(y2)24（a0）及直线l：xy30当直线l被C截得的弦长为2时，则a （ C ）A B2 C1 D1例题选讲例1（1）过点M(2,1)作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点 若AOB的面积取得最小值,求直线l的方程，并求出面积的最小值； 直线在两条坐标轴上截距之和的最小值；若|MA|MB|为最小，求直线l的方程解：(1) 由于已知直线l在坐标轴上的截距,故选用直线的截距方程: （i）由已知a0,b0.故SAOBab （ii） 由已知,直线(i)经过点(2,1).故,就是a2bab,a(b1) (iii) a0, b0, a1. 将(iii)代入(ii),得Sb1(b1)2. 当b1时 S224.等号当且仅当 b1 即b2时成立.代入(iii)得a4. 所求的直线方程为1,即x2y40.解一：abbb2b b13.当b1时 , ab2332.等号当且仅当 b1， 即b1时成立，代入(iii). 得a2.解二：ab(ab)1(ab)()33232，等号当且仅当，即a22b2时成立，代入得a2，b1.由于直线l绕点M运动,故可选OABq为角参数,将|MA|、|MB|用q来表示,显然q(0,),于是, |MA|, |MB|,|MA|MB|，当sin21时，|MA|MB|有最小值4，此时tan1，所求直线l的方程为xy30.（2）已知圆C：(x2)2y21，P（x，y）为圆上任意一点求的最大值、最小值；求x2y的最大值、最小值解：（1）令k，则k表示经过P点和A（1，2）两点的直线的斜率，故当k取最大值或最小值时，直线PA：kxy2k0和圆相切，此时d1，解得k，所以的最大值为，最小值为；（2）方法一：令x2yt，可视为一组平行线系，由题意，直线应与圆C有公共点，且当t取最大值或最小值时，直线x2yt0和圆相切，则d1，解得t2，所以x2y的最大值为2，最小值为2；方法二：因为P（x，y）为圆C：(x2)2y21上的点，令x2cos，ysin，0，2)，所以x2y2cos2 sin2cos()( arctan2)，当2，即2arctan2时，cos()1，x2y取到最大值为2，当，即arctan2时，cos()1，x2y取到最大值为2；例2已知圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；圆心到直线l：x2y0的距离为求该圆的方程解：设圆P的圆心为P(a，b)，半径为，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90，知圆P截x轴所得的弦长为故r2=2b2又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有r2a2+1从而得2b2a21又因为P(a，b)到直线x2y=0的距离为，所以，即有 a2b1，由此有 解方程组得 于是r2=2b2=2，所求圆的方程是(x+1)2+(y+1)2=2，或(x1)2+(y1)2=2思考：求在满足条件、的所有圆中，圆心到直线l：x2y0的距离最小的圆的方程解法一:设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为b， a由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1从而得2b2a2=1 又点P(a，b)到直线x2y=0的距离为， 所以5d2=a2b2 =a2+4b24ab a2+4b22(a2+b2) =2b2a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值 由此有解此方程组得或由于r2=2b2知于是，所求圆的方程是(x1) 2+(y1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2 解法二:同解法一，得得将a2=2b21代入式，整理得把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即=8(5d21)0，得5d215d2有最小值1，从而d有最小值 将其代入式得2b24b+2=0解得b=1将b=1代入r2=2b2，得r2=2由r2=a2+1得a=1综上a=1，b=1，r2=2由=1知a，b同号于是，所求圆的方程是(x1) 2+(y1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2例3在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，3）为OAB的直角顶点.已知|AB|2|OA|，且点B的纵坐标大于零（1）求向量的坐标；（2）求圆x26xy22y0关于直线OB对称的圆的方程；（3）是否存在实数a，使抛物线yax21上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围解（1）设得 所以v30,得v=8,故=6，8.（2）由=10，5，得B（10，5），于是直线OB方程：由条件可知圆的标准方程为：(x3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，1），半径为.设圆心（3，1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则故所求圆的方程为(x1)2+(y3)2=10.（3）设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则故当时，抛物线y=ax21上总有关于直线OB对称的两点.4已知M：x2(y2)21，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点，（1）如果|AB|，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程解:（1）由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中， ， 故， 所以直线AB方程是（2）连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得由射影定理得即 把（*）及（*）消去a，并注意到，可得说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。一、选择题1已知直线l1的方向向量为a（1，3），直线l2的方向向量为b（1，k）若直线经过点（0，5），且l1l2，则直线l2的方程为 （B ）Ax3y50 Bx3y150Cx3y50 Dx3y1502在平面直角坐标系中，将直线l向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到直线l，l与l 间的距离为，则直线l的倾斜角 （B ） Aarctan Barctan Carctan Darctan3直线xy20截圆x2y24得的逆弧所对的圆心角为 （ C） A B C D4一束光线从A（1，1）出发经x轴反射到圆C：(x2)2(y3)21上的最短路程是（D ） A2 B5 C31 D45已知两点A(2,0)，B(0，2)，点C是圆x2y22x0上的任意一点，则ABC的面积最小值是 （D ） A3 B2 C3 D3二、填空题6已知ABC的三个顶点的坐标分别为：A(2，2)，B(5，3)，C(3，1)，则ABC的外接圆方程为_(x4)2(y1)247M是圆x2y26x8y0上的动点，O是坐标原点，N是射线OM上的点，若|，则N点的轨迹方程是_3x4y7508若直线yxm与曲线x有两个不同的交点，则实数m的取值范围为_（，1三、解答题9已知曲线C：x2+y22x4ym=0（1）当m为何值时，曲线C表示圆；（2）若曲线C与直线x+2y40交于M、N两点，且OMON(O为坐标原点)，求m的值。解：（1）方程表示圆当且仅当(2)2+(4)24m0,解得：m5.（2）把x+2y-40代入圆方程得：5y2-16y+8+m=0,由此可得：y1+y2=,y1y2=,x1x2=(4-2y1)(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1y2=,由OMON得x1x2+y1y2=0,解得m=.10已知圆C：x2(y1)25，直线l：mxy1m0(1)求证：对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)设直线l与圆C交于A、B两点，若|AB|，求l的倾斜角；(3)若定点P（1，1）分弦AB为，求此时直线l的方程；(4)求弦AB中点的轨迹方程解：(1)方法一：l：y1k(x1)，经过定点（1，1），因为12(11)25，所以点（1，1）在圆C内，所以直线l与圆C总有两个不同的交点；方法二：圆心C（0，1）到直线l的距离d，d250即圆心到直线的距离小于半径，所以直线和圆必有两个交点；方法三：由消去y并整理得(m21)x22 m2 xm250（），因为(2m2)24(m21)( m25)16 m2200对mR恒成立，所以直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)方法一：由(1)方法三，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（）的两实根，因为|AB|x1x2|，所以 ，解方程得m，所以直线l的倾斜角为或；方法二：圆半径r，所以圆心C（0，1）到直线l的距离d由点到直线的距离公式得，解方程得m，所以直线l的倾斜角为或；(3)方法一：因为，所以1， x232x1，又x1x2，x1x2，由消去x1，x2，解得m1，所以所求直线l的方程为xy0，或xy20；方法二：设M、N分别是过P点及圆心的弦与圆的交点，则PM1，PN1，由相交弦定理，得PAPBPMPN4，由PB2PA，所以PB2，PA，即|AB|3，圆心C（0，1）到直线l的距离d由点到直线的距离公式得，解方程得m1，所以所求直线l的方程为xy0，或xy20；(4)设M（x，y），因为（0，1）， P（1，1），|CM|2|PM|2|CP|2，所以x2(y1)2(x1)2(y1)21，整理得轨迹方程为：x2y2x2y10(x1) 11预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？技巧与方法：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解.解：设桌椅分别买x,y张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为由A点的坐标为(，)由B点的坐标为(25，)所以满足约束条件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0，0)为顶点的三角形区域(如右图)由图形直观可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为(25，)，但注意到xN,yN*,故取y=37.故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.12抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p0).一光源在点M(,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：2x4y17=0上的点N，再折射后又射回点M(如图所示)(1)设P、Q两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，证明：y1y2=p2；(2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由.(1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ必过抛物线的焦点F(，0)，设直线PQ的方程为y=k(x) 由式得x=y+,将其代入抛物线方程y2=2px中，整理，得y2yp2=0,由韦达定理，y1y2=p2.当直线PQ的斜率角为90时，将x=代入抛物线方程，得y=p,同样得到y1y2=p2.(2)解：因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点M(