浅谈数学建模在三角函数应用中的运用[文档资料]

浅谈数学建模在三角函数应用中的运用 本文档格式为 WORD,感谢你的阅读。 一、对数学建模的基本理解 （一）数学建模的概念 数学建模是一种新的数学学习方式，是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，也就是把现实世界中的实际问题提炼、抽象，做出相应的数学模型，然后求出模型的解，验证模型的合理性，并能用该数学模型的解来解释一类现实问题的过程。 数学建模的一般步骤为： 分析问题：了解对象的实际背景知识，根据实 际背景和要求进行 “ 问题分析 ” 。 假设模型：根据问题分析和建立数学模型的目的做出合理简化的 “ 模型假设 ” 。 建立模型：在问题分析与模型假设的基础上 “ 建立数学模型 ” 。 求解模型：选择适当的数学工具 “ 求解数学模型 ” 。 分析解决：对模型结果进行 “ 模型分析 ” ，如果合乎实际要求就用来解决实际问题，如果不合乎实际要求就回到 继续。 数学建模的特点有： 问题来源于实际， 需要假设， 需要验证、讨论， 没有唯一解， 模型逼真可行， 模型可渐进， 模型可转移， 没有统一固 定方法。 （二）三角函数的应用教材分析 普通数学课程标准（以下简称标准）将三角函数作为刻画现实世界的数学模型。学习数学模型的最好方法是经历数学建模的过程，即 “ 问题情景 建立模型 数学结果 解释、应用与拓展 ” 。标准对三角函数内容的处理，首先提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象，建立三角函数模型（引出三角函数概念），再运用数学的方法研究三角函数模型的性质，最后运用三角函数模型及其性质去解决包括现实原型在内的更加广泛的一类实际问题。这样处理体现了数学知识 的产生、发展过程，反映了数学的 “ 来龙去脉 ” ，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识。 三角函数的应用学习要求是会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 教学重点是建立三角函数的模型，进而运用三角函数的相关知识与方法解决有关实际问题；教学难点是：建立三角函数的模型。 二、三角函数的应用教学内容 教材举了两个例子：一个是物理学中的简谐运动问题，一个是水车问题。 （一）物理学中的简谐振动 例 1：如图 1，点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为 3cm，周期为 3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时。 （ 1）求物体对平衡位置 的位移 x（ cm）和时间 t（ s）的 函数关系； （ 2）求该物体在 t=5s 时的位置。 由于简谐运动的物体对平衡位置的位移 x（ cm）和时间t（ s）满足函数关系 x=Asin（ tx+ ），所以本题在教学时采用待定系数法就可以解决，只是在开始计时时要注意位移的值。 （二）有关水车圆周运动的问题 例 2：图 2，一半径为 3m的 水轮如图所示，水轮圆心 O 距 离水面 2m，已知水轮每分钟转 动 4 圈，如果当水轮上点 P 从水 中浮现时（图中点 P0）开始计算 时间。 （ 1）将点 P 距离水面的高度 z（ m）表示为时间 t（ s）的函数； （ 2）点 P 第一次到达最高点大约要多长时间？ （参考数据： sin0.73=23） （三）两个例子的区别与联系 例 1 是简谐振动，是动点到某定点的位移问题，例 2圆周运动，是点到某定线的位 移问题；例 2 中点 P 在 y 轴上的射影就转化为动点到某定点的位移问题，也就是例 1 了。 三、教学实验方案及课堂实录 在例 1 中，由于简谐运动的物体对平衡位置的位移 x（ cm）和时间 t（ s）满足函数关系 x=Asin（ tx+ ），所以本题在教学时采用待定系数法就可以解决，只是在开始计时时要注意位移的值。例 2 的处理是个难点，为使本例题的作用最大化，特别制定了如下教学方案： 【情景展示、布置任务】 中国自古就是以农立国， 与农业相关的科学技术取得 了卓越的成就。水利 作为农 业中最不可缺的一环，各朝政 府虽致力于兴修水利工程，不 论是灌溉渠道或是运河都动员了大量的人力、物力和财力去营建。但是这些渠道大都分布在各大农业区，至于高地或是离灌溉渠道及水源较远之地，显然是无法顾及。于是中国人善用其智慧，发明了另一种能引水灌溉的农具 水车。 这次的社会实践（利用假期社会实践），我们就会看到这种水车（图 3），请同学们在现场测量你认为用到的数据，回到教室后我们再交流，探究。 【问题提出、探究解决】 数据收集与整理。 同学们看到水车，感觉很新奇吧，你们来说说，都测量了哪些数据啊？ 生 1：半径是 2 米差点，就算 2 米吧，池塘水深145cm。 取近似值，估算 生 2：我量的半径是 2 米。 师：我们知道在测量时是允许存在一定的误差的，为了我们研究的方面，我们取近似值 2 米。还有什么数据吗？ 生 3：我还看到水车上有个地方坏的，木条上少一块，（同学们笑），坏的地方转一下要 20秒的时间。 师：哦，你可真仔细！你能详细说下怎么记这 20秒的吗？ 生 3：我从坏处经过我的手开始的，我 把手放在固定的地方。转了三圈用了一分钟，所以一圈是 20分钟。 师：有其他的数据吗？ 生 4：我量的是水车转轴的中心距水面是 1 米，水车宽度是 40厘米。 根据数据画出示意图。 讨论需要探究哪些问题？ 这是本堂课的比较精彩的地方，往往是老师提出问题后让学生去思考，这里尝试让学生自我提出需要解决的问题，更能体现以学生为主体的教学理念，培养了学生发现问题的能力。学生讨论不久后就有如下两个问题： a.水车转动的速度是多少？根据物理学知识是研究角速度还是线速度？ b.坏点处的高度问题？ 问题探究。 问题 1：学生能根据物理学知识得到角速度为：3260 （ rad/s） 师：是不是这么多啊？ 学生在小声地议论，都说是的啊。 老师边在讲台前来回踱步，边说：我一分钟走 20米，你说我行走的速度是多少啊？速度是个什么量啊？ 生：啊！要注意方向，因为速度是矢量！其他学生立即表示认同。 师：很好！能注意到速度的定义，速度和向量一样，都要大小和方向。 师问生 3：你没量时水车是按什么方向转的啊？ 生 3：按 ，按逆时针方向。 师：那么我们就以逆时针方向为正方向，那角速度就是 3260 （ rad/s）。 问题 2： 师：坏点处的高度，显然是个相对高度，根据以往的经验（做题的经验很重要，以往教学强调双基，现在我们强调的三基：基本知识，基本技能，基本思想方法），这里我们应该搭建一个平台。 生：（异口同声）建系。 师：哪位同学说说看？ 生 4：以水面为 x 轴或以水车 中心为坐标原点建系。 师：这位同学提供了两种方案， 选哪个呢？ 生 5：以水车中心为坐标原点建系。 学生说，老师作图（图 4）： 师：好的，下面我们还看看 坏点的相对高度问题。设坏点 为点 P，那是相对于哪里的高度 问题呢？（图 5） 生 6：相对于 x 轴。 生 7：相对于水面。 师：其实相对于水面的高度比相对于轴的高度多多少啊？（生： 1 米）哎，对了，我们就选相对于水面吧。那点 P相对于水面的高度是？ 生 8： 1+2sinAOP ，其实就是点 P 的纵坐标问题，纵坐标为 sin AOP 师：好，现在关键问题是怎么求 sinAOP ？ 生 8：我知道要求角度，但看不出来，怎么求？ 师：这样，我们各个学生小组内讨论下，看看有没有什么进展。（学生分组讨论，学生有较充分的独立思考时间，能培养阅读与交流能力，小组活动有组织） 生 9：由于点 P 是转过去的，所以跟角速度有关，只要知道从哪里开始转的，再跟据时间就可以算出 AOP 的大小了。 师：他指出了要算角的大小就得先知道从哪里开始转的，也就是从哪里开始计时。还记得生 3 是从坏处经过手开始计时的。（手放在 固定的地方）。由于各人的手的位置具有不确定性，我们可以以一个固定的参照物为准来记时。 生 9：可以在点 P 在最低点处时开始，也可以在点 P 从水中浮现时开始计时。 师：好，我们就以点 P 从水中浮现时开始计时。（为什么这样记时，其实两种记时方案都可以） 下面思考一个问题：图 6 中三个角（ AOP0 ， AOP ，P0OP ）的关系是什么？怎么来表示 AOP ？ 生 9： AOP=P0OP -AOP0+ 2k （ kZ ）。 师：是加还是减啊？ 生 10：考虑到角 的正负就应 该是 AOP=P0OP -AOP0+2k （ kZ ）（ AOP0 是负角）。 师：那么 P0OP 是多大呢？ 生 10：根据角速度的大小，P0OP=3260t=10t ，其中 t 是转动的时间。进而可以得到点 P 相对于水面的高度为： 2sin（ 10t -6t ） +1，其中 6 是由于 sinAOP0= -12。 师：好，如此一来，我们就得到了点 P 相对于水面的高度 z（ m）与水车转动时间 t（ s）的关系式 z=2sin（ 10t - 6t） +1，想一下这里面什么量是最重要的？起决定作用的？ 生： 2sin（ 10t -6t ） +1。 师：这里面最重要的又是什么呢？ 学生思考后有一学生说：就是点 P 的纵坐标。 师：好！这个量是解决这个问题的关键啊！不错！ 【师生小结】 师生共同小结下问题 2 的解决方法： 1.阅读实际问题，理解题意， 明确要求的量，建立坐标系（搭建 平台），通过研究点的坐标来研究 线段的长度。 2.在实际问题中凡 涉及旋转 角的问题常可考虑用角的知识加以解决，而呈现 “ 周期 ” 现象的问题则可考虑用三角函数加以模拟；在数学学习中三角函数是个工具，如圆与椭圆上点的运动都具有周期性，与此相近的问题借助于三角函数来求解通常较为方便。 【题后思考】 如图 7，如果 P0在水面上方，距离水面的高度是 2m，如果从 P0开始计时，其他条件不变，请将点 p 距离水面的高度 z（ m）表示为时间 t（ s）的函数。 若点 P 距离水面的高度 z（ m）表示为时间 t（ s）的函数为 z=2sin（ 512 t-6 ） +0.5，请说出题目中的条件。 【作业布置、延时探究】 1.电视台的不同栏目播出的