2011年中考数学高分冲刺之二次函数

共 49 页 第 1 页 中考数学专题复习之二次函数 一、二次函数的图像和性质 1、二次函数的三种形式 : 一般式 : )0,(2 acbacbxaxy 为常数，且 顶点式 : )0()( 2 akhxay ；交点式 : )0)()( 21 axxxxay . 2、一般地 ,抛物线 khxay 2)( 与 2axy 的形状相同 ,位置不同 .把抛物线 2axy 向 共 49 页 第 2 页 上 (下 )向左 (右 )平移 ,可得到抛物线 khxay 2)( .平移的方向、距离要根据 h ,k 的值来决定 . 抛物线 khxay 2)( 有如下特点 : (1)当 0a 时 ,开口向上 ,函数 有最小值 k ；当 0a 时 ,开口向下 ,函数 有最大值 k ； (2)对称轴是 hx ； (3)顶点是 ),( kh . 3、二次函数 )0,(2 acbacbxaxy 为常数，且的图像是 抛物线 . 1 顶点是： )44,(2a bacab ，对称轴是：abx 2. 2 开口方向： 0a 时， 开口向上 ； 0a 时， 开口向下 . 3 增减性：当 0a ，在abx 2时， y 随 x 的增大而 减小 ，在abx 2时 ,y 随 x 的增大而 增大 ；当 0a 时，在abx 2时， y 随 x 的增大而 增大 ，在abx 2时 ,y 随 x 的增大而 减小 . 4 最值 :当 0a 时，函数有 最小值 ,且当 abx 2 时， y 有 最小值是a bac442 ； 0a 时，函数有 最大值 ,且当abx 2时， y 有 最大值是a bac442 . 5 开口大小 :a 越 大抛物线的开口 越小 ,反之 越大 . 4、我们可以利用根的判别式来判断函数 )0,(2 acbacbxaxy 为常数，且与 x 轴交点的个数 (1)当 042 acb 时 ,抛物线与 x 轴有 两个交点 ； (2)当 042 acb 时 ,抛物线与 x 轴 有一个交点 ； (3)当 042 acb 时 ,抛物线与 x 轴 无交点 . 5、抛物线 )0,(2 acbacbxaxy 为常数，且与 y 轴的交点是 ),0( c . 共 49 页 第 3 页 二 、 快 速 练 习 1、 (2009 年四川省内江市 )抛物线 3)2( 2 xy 的顶点坐标是（ ） A（ 2， 3） B（ 2， 3） C（ 2， 3） D（ 2， 3） 2、（ 2009 年广州市）二次函数 2)1( 2 xy 的最小值是（ ） A.2 （ B） 1 （ C） -1 （ D） -2 第3题 3、（ 2009 年深圳市）二次函数 cbxaxy 2 的图象如图所示，若点 A（ 1， y1）、 B（ 2， y2）是它图象上的两点，则 y1与 y2的大小关系是（ ） A 21 yy B 21 yy C 21 yy D不能确定 4、抛物线 2axy 向左平移 5个单位 ,再向下移动 2个单位得到抛物线 5、（ 2009 湖北省荆门市）函数 ( 2 ) ( 3 )y x x 取得最大值时， x _ 6、（ 2009 年淄 博市） 请 写出符合以 下三个条件 的一个函 数的解析式 过点 (31)， ； 当 0x 时， y 随 x的增大而减小；当自变量的值为 2 时，函数值小于 2 7、 求函数 962 xxy 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标。 三、 重点突破 1、（ 2009 湖北省荆门市）函数 1 axy 与 )0(2 acbxaxy 的图象可能是（ ） 2、（ 2009 年济宁市）小强从如图所示 的二次函数 2y a x b x c 的图象中，观察得出了下面五条信息：（ 1） 0a ；（ 2） 1c ；（ 3） 0b ；（ 4） 0abc ； （ 5） 0a b c . 你认为其中正确信息的个数有 A 2个 B 3个 C 4个 D 5 个 3、 (2009 年南充 )抛物线 ( 1 ) ( 3 ) ( 0 )y a x x a 的对称轴是直线（ ） A B C D 1 1 1 1xo yyo xyo xxo y 共 49 页 第 4 页 A 1x B 1x C 3x D 3x 4.已知抛物线 y=-x2+mx+n 的顶点坐标是（ -1， - 3 )，则 m 和 n 的值分别是（ ） A.2,4 B.-2,-4 C.2,-4 D.-2,0 5二次函数 y = ax2+bx+c 的图像如图所示，则点（ ,abcc） 在直角坐标系中的 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 6、抛物线 y=x2-(m+2)x+3(m-1)与 x轴的交点有 ( ) A.一定有两个交点 B只有一个交点 C有两个或一个交点 D没有交点 7、已知抛物线过点 )0,1(A ， )3,0( B ，且对称轴是直线 2x （ 1）求该二次函数的解析式； （ 2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点 ？并直接写出平移后所得图象与 轴的另一个交点的坐标 8、抛物线 2 23y x x 与 x 轴相交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C ，顶点为 D . 直接写出 A 、 B 、 C 三点的坐 标和抛物线的对称轴 . 10、如图，抛物线 2 54y a x a x a 与 x 轴相交于点 A、 B，且过点 (54)C ， （ 1）求 a 的值和该抛物线顶点 P的坐标； （ 2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式 四、拔高训练 1、（ 2009 年娄底）如图 7， O 的半径为 2， C1是函数 y=12x2的图象， C2是函数y=-12x2的图象，则阴影部分的面积是 . 2、 (2009 年鄂州 )把抛物线 y ax2 +bx+c 的图象先向右平移 3个单位，再向下平A B P x y O （第 10 题） C（ 5,4） 共 49 页 第 5 页 移 2 个单位，所得的图象的解析式是 y x2 3x+5，则 a+b+c=_ 3、（ 2009 年烟台市）二次函数 2y a x b x c 的图象如图所示，则一次函数2 4y b x b a c 与反比例函数 abcy x 在同一坐标系内的图象大致为（ ） 4、（ 2009 年江苏省）如图，已知二次函数 2 21y x x 的图象的顶点为 A 二次函数 2y ax bx的图象与 x 轴交于原点 O 及另一点 C ，它的顶点 B 在函数2 21y x x 的图象的对称轴上 （ 1）求点 A 与点 C 的坐标； （ 2）当四边形 AOBC 为菱形时，求函数 2y ax bx的关系式 5、（ 2009 年浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线1F得到抛物线2F，使2F经过1F的顶点 A 设2F的对称轴分别交12FF，于点 DB， ，点 C 是点 A 关于直线BD 的对称点 （ 1）如图 1，若1F： 2yx ，经过变换后，得到2F： 2y x bx， 点 C 的坐标为(20)， ，则 b 的值等于 _； 四边形 ABCD 为（ ） A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 （ 2）如图 2，若1F： 2y ax c，经过变换后，点 B 的坐标为 (2 1)c， ，求 ABD的面积； 1 1 O x y y x O y x O B C y x O A y x O D 共 49 页 第 6 页 （ 3）如图 3，若1F： 21 2 73 3 3y x x ，经过变换后， 23AC ，点 P 是直线 AC上的动点，求点 P 到点 D 的距离和到直线 AD 的距离之和的最小值 五、即学即练 1、（ 2009 年遂宁）把二次函数 341 2 xxy用配方法化成 khxay 2 的形式 A. 2241 2 xy B. 4241 2 xy C. 4241 2 xy D. 321212 xy 2、 (2009 年上海市 )抛物线 22 ( )y x m n （ mn， 是常数）的顶点坐标是（ ） A ()mn， B ()mn ， C ()mn， D ()mn， 3、（ 2009 威海）二次函数 23 6 5y x x 的图象的顶点坐标是（ ） A ( 18)， B (18)， C ( 12)， D (1 4)， 4 (2007 广州 )抛物线 2 21y x x 与 x轴交点的个数是（ ） （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 5、（ 2009 年嘉兴市）已知 0a ，在同一直角坐标系中，函数 axy 与 2axy 的图象有可能是 （ ） Oyx1 1A xyO1 1B xyO1 1C xyO1 1D 共 49 页 第 7 页 C O A B x y 9 题 6.抛物线 y=-2x+x2 7 的开口向 ，对称轴是 ，顶点是 , 所在象限是 . 7.若二次函数 y=mx2-3x+2m-m2的图像过原点，则 m 的值是 . 8.如果把抛物线 y=2x2-1向左平移 l个单位，同时向上平移 4 个单位，那么得到的新的抛物线 是 . 9（ 2007 广州） 如图 6，一个 二次函数的图象经过 点 A、 C、 B 三点，点 A 的坐标为（ 1, 0 ），点 B 的坐标为（ 4,0 ），点 C 在 y 轴的正半轴上，且 AB=OC （ 1）求点 C 的坐标； （ 2）求 这个二次函数的解析式 ，并求出该函数的最大值 10、（ 2009 年贵州省黔东南州）已知二次函数 22 aaxxy 。 （ 1）求证：不论 a 为何实数，此函数图象与 x轴总 有两个交点。 （ 2）设 a0 则与 x 轴有两个交点，可由方程x2 bx c=0 求出 若 =0则与 x轴有一个交点，可由方程 x2 bx c=0求出若 0 则与 x 轴有无交点。 确定图象与 y 轴的交点情况 ,令 x=0 得出 y=c，所以交点坐标为（ 0， c） 由以上各要素出草图。 练习： 作出以下二次函数的草图 ： （ 1） 62 xxy (2) 122 xxy (3) 12 xy 例 2 某种产品的成本是 120 元 /件 ，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表所示： 若日销售量 y是销售价 x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？ 分析：由于每天的利润日销售量 y( 销售价 x 120)，日销售量 y 又是销售价 x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价 x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值 。 解：由于 y 是 x 的一次函数，于是，设 y kx b， 将 x 130， y 70； x150， y 50 代入方程，有 7 0 1 3 0 ,5 0 1 5 0 ,kbkb 解得200b1k 。 y x 200。 设每天的利润为 z（元），则 z ( x+200)(x 120) x2 320x 24000 (x 160)2 1600， 当 x 160 时， z 取最大值 1600。 答：当售价为 160 元 /件时，每天的利润最大，为 1600 元 。 例 3 把二次函数 y x2 bx c的图像向上平移 2个单位，再向左平移 4个单位，得到函数 y x2的图像，求 b， c的值 。 解法一： y x2 bx c (x+2b)2 24bc，把它的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到 22( 4 ) 224bby x c 的图像，也就是函数 y x2的图像，所以， 共 49 页 第 15 页 24 0,22 0,4bbc 解得 b 8， c 14。 解法二：把二次函数 y x2 bx c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4个单位，得到函数 y x2的图像，等价于把二次函数 y x2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4个单位，得到函数 y x2 bx c 的图像 。 由于把二次函数 y x2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 y (x 4)2 2 的图像，即为 y x2 8x 14 的图像， 函数 y x2 8x 14 与函数 y x2 bx c 表示同一个函数， b 8， c 14。 说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律 。 这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量 相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点 。 今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题 。 例 4 已知函数 y x2， 2 x a，其中 a 2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x的值 。 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对 a的取值进行讨论 。 解：（ 1）当 a 2 时，函数 y x2的图象仅仅对应着一个点 ( 2， 4)，所以，函数的最大值和最小值都是 4，此时 x 2； （ 2）当 2 a 0 时，由图 2 2 6 可知，当 x 2时，函数取最大值 y 4；当 x a时，函数取最小值 y a2； （ 3）当 0 a 2时，由图 2 2 6 可知，当 x 2时，函数取最大值 y 4；当 x 0时，函数取最小值 y 0； （ 4）当 a2 时，由图 2 2 6 可知，当 x a 时，函数取最大值 y a2；当 x 0 时，函数取最小值 y 0。 说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对 a的所有可能情形进行讨论 。此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问 题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题 。 练习 1选择题： （ 1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ） x y O 2 a a2 4 图 2.2 6 x y O a 2 2 4 a2 2 x y O a a2 4 共 49 页 第 16 页 （ A） y 2x2 （ B） y 2x2 4x 2 （ C） y 2x2 1 （ D） y 2x2 4x （ 2）函数 y 2(x 1)2 2 是将函数 y 2x2（ ） （ A）向左平移 1个单位、再向上平移 2个单位得到的 （ B）向右平移 2个单位、再向上平移 1个单位得到的 （ C）向下平移 2个单位、再向右平移 1个单位得到的 （ D）向上平移 2个单位、再向右平移 1个单位得到的 2填空题 （ 1）二次函数 y 2x2 mx n 图象的顶点坐标为 (1， 2)，则 m ， n 。 （ 2）已知二次函数 y x2+(m 2)x 2m，当 m 时，函数图象的顶点在 y 轴上； 当 m 时，函数图象的顶点在 x 轴上；当 m 时，函数图象经过原点 。 （ 3）函数 y 3(x 2)2 5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当 x 时，函数取最 值 y ；当 x 时， y随着 x 的增大而减小 。 3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及 y 随 x的变化情况，并画出其图象 。 （ 1） y x2 2x 3； （ 2） y 1 6 x x2。 4已知函数 y x2 2x 3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值：；）（ 2x.1 2x.2 ）（ ； 1x2.3 ）（ ； 3x0.4 ）（ 。 2.2 二次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1一般式： y ax2 bx c(a0) ； 2顶点式： y a(x h)2 k (a0) ，其中顶点坐标是 ( h， k)。 除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示 。 为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数 y ax2 bx c(a0) 的图象与 x轴交点个数 。 当抛物线 y ax2 bx c(a0) 与 x 轴相交时，其函数值为零，于是有 ax2 bx c 0。 ， 并且方程 的解就是抛物线 y ax2 bx c(a0) 与 x 轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线 y ax2 bx c(a0) 与 x轴交点个数与方程 的解的个数有关，而方程 的解的个数又与方程 的根的判别式 b2 4ac 有关，由此可知，抛物线 y ax2 bx c(a0) 与 x 轴交点个数与根的判别式 b2 4ac存在下列关系： （ 1）当 0 时，抛物线 y ax2 bx c(a0) 与 x 轴有两个交点； 反过来，若抛物线 y ax2 bx c(a0) 与 x 轴有两个交点，则 0 也成立 。 （ 2）当 0 时，抛物线 y ax2 bx c(a0) 与 x 轴有一个交点（抛物线的顶点）； 反过来，若抛物线 y ax2 bx c(a0) 与 x 轴有一个交点，则 0 也成立 。 （ 3）当 0 时，抛物线 y ax2 bx c(a0) 与 x 轴没有交点； 共 49 页 第 17 页 反过来，若抛物线 y ax2 bx c(a0) 与 x轴没有交点，则 0 也成立 。 于是，若抛物线 y ax2 bx c(a0) 与 x 轴有两个交点 A(x1， 0)， B(x2， 0)，则 x1， x2是方程 ax2 bx c 0 的两根，所以 x1 x2 ba， x1x2 ca，即 ba(x1 x2)， ca x1x2。 所以， y ax2 bx c a( 2 bcxxaa)= ax2 (x1 x2)x x1x2 a(x x1)(x x2)。 由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线 y ax2 bx c(a0) 与 x轴交于 A(x1， 0)， B(x2， 0)两点， 则其函数关系式可以表示为 y a(x x1)(x x2)(a0) 。 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法： 3交点式： y a(x x1)(x x2)(a0) ，其中 x1， x2是二次函数图象与 x轴交点的横坐标 。 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题 。 例 1 已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 y x 1 上，并且图象经过点（ 3， 1），求二次函数的解析式 。 分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件 最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数 a。 解： 二次函数的最大值为 2，而最大值一定是其顶点的纵坐标， 顶点的纵坐标为 2。 又顶点在直线 y x 1 上，所以， 2 x 1， x 1。 顶点坐标是（ 1， 2） 。 设该二次函数的解析式为 2( 2 ) 1 ( 0 )y a x a ， 二次函数的图像经过点（ 3， 1）， 21 (3 2 ) 1a ，解得 a 2。 二次函数解析式为 22 ( 2 ) 1yx ，即 y 2x2 8x 7。 说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题 。 因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题 。 例 2 已知二次函数的图象过点 ( 3， 0)， (1， 0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此二次函数的表达式 。 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式 。 解法一： 二次函数的图象过点 ( 3， 0)， (1， 0)， 可设二次函数为 y a(x 3)(x 1)(a0) ， 展开，得 ： y ax2 2ax 3a， 顶点的纵坐标为 221 2 4 44aa aa ， 由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2， | 4a| 2，即 a 12。 共 49 页 第 18 页 所以，二次函数的表达式为 y 21322xx，或 y 21322xx。 分析二：由于二次函数的图象过点 ( 3， 0)， (1， 0)，所以，对 称轴为直线x 1，又由顶点到 x 轴的距离为 2，可知顶点的纵坐标为 2，或 2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点 ( 3， 0)，或 (1，0)，就可以求得函数的表达式 。 解法二： 二次函数的图象过点 ( 3， 0)， (1， 0)， 对称轴为直线 x 1。 又顶点到 x 轴的距离为 2， 顶点的纵坐标为 2，或 2。 于是可设二次函数为 y a(x 1)2 2，或 y a(x 1)2 2， 由于函数图象过点 (1， 0)， 0 a(1 1)2 2，或 0 a(1 1)2 2。 a 12，或 a 12。 所以，所求 的二次函数为 y 12(x 1)2 2，或 y 12(x 1)2 2。 说明：上述两种解法分别从与 x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题 。 例 3 已知二次函数的图象过点 ( 1， 22)， (0， 8)， (2， 8)，求 此二次函数的表达式 。 解：设二次函数为 ）（ 0acbxaxy 2 。 由函数图象过点 ( 1， 22)， (0， 8)， (2， 8)， 可得8c2ba48c22cb-a ， 解得8c12b2a 故 所求二次函数为 y 2x2 12x 8。 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？ 练习 1.选择题 :（ 1）函数 y x2 x 1 图象与 x轴的交点个数是（ ） （ A） 0 个 （ B） 1 个 （ C） 2个 （ D）无法确定 （ 2）函数 y 12 (x 1)2 2 的顶点坐标是（ ） （ A） (1， 2) （ B） (1， 2) （ C） ( 1， 2) （ D） ( 1，2) 2.填空： （ 1）已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点 ( 1， 0)和 (2， 0)，则该二次函数的解析式可设为 y a (a0) 。 （ 2）二次函数 y x2+2 3x 1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 。 3.据下列条件，求二次函数解析式 。 （ 1）图象经过点 (1， 2)， (0， 3)，( 1， 6)； 共 49 页 第 19 页 （ 2）当 x 3时，函数有最小值 5，且经过点 (1， 11)； （ 3）函数图象与 x 轴交于两点 (1 2， 0)和 (1 2， 0)，并与 y 轴交于 (0， 2)。 2.3 二次函数的简单应用 一、函数图象的平移变换与对称变换 1平移变换 问题 1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在对二 次函数的图象进行平移时，具有这样的特点 只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可 。 例 1 求把二次函数 y x2 4x 3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （ 1）向右平移 2个单位，向下平移 1 个单位；（ 2）向上平移 3个单位，向左平移 2 个单位 。 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函 数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式 。 解：二次函数 y 2x2 4x 3的解析式可变为 y 2(x 1)2 1，其顶点坐标为 (1， 1)。 （ 1）把函数 y 2(x 1)2 1的图象向右平移 2个单位，向下平移 1 个单位后，其函数图象的顶点坐标是 (3， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y 2(x 3)2 2。 （ 2）把函数 y 2(x 1)2 1的图象向上平移 3个单位，向左平移 2 个单位后，其函数图象的顶点坐标是 ( 1， 2)， 故 平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y 2(x 1)2 2。 2对称变换 问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点 只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题 。 x y O x 1 A(1, 1) A1( 3, 1) 图 2.2 7 x y O y 1 A(1, 1) B(1， 3) 图 2.2 8 共 49 页 第 20 页 例 2 求把二次函数 y 2x2 4x 1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应函数解析式： （ 1）直线 x 1； （ 2）直线 y 1。 解：（ 1）如图 2 2 7，把二次函数 y 2x2 4x 1的图象关于直线 x 1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状 。 由于 y 2x2 4x 1 2(x 1)2 1，可知，函数 y 2x2 4x 1 图象的顶点为 A(1, 1)，所以，对称后所得到图象的顶点为 A1( 3， 1)，所以，二次函数 y 2x2 4x 1的图象关于直线 x 1对称后所得到图象的函数解析式为 y 2(x 3)2 1， 即 y 2x2 12x 17。 （ 2）如图 2 2 8，把二次函数 y 2x2 4x 1 的图象关于直线 x 1 作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状 。 由于 y 2x2 4x 1 2(x 1)2 1，可知，函数 y 2x2 4x 1 图象的顶点为 A(1, 1)，所以，对称后所得到图象的顶点为 B(1， 3)，且开口向下，所以，二次函数 y 2x2 4x 1图象关于直线 y 1对称后所得到图象的函数解析式为 y 2(x 1)2 3，即 y 2x2 4x 1。 中考真题讲解 1 （ 2010 江苏泰州 ） 如 图，二次函数 cxy 221的图象经过点 D 29,3 ，与 x 轴交于 A、 B 两点 求 c 的值； 如图，设点 C 为该二次函数的图象在 x 轴上方的一点，直线 AC 将四边形 ABCD 的面积二等分，试证明线段 BD 被直线 AC 平分，并求此时直线 AC 的函数解析式； 设点 P、 Q 为该二次函数的图象在 x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、 Q，使 AQP ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由 （图供选用） 共 49 页 第 21 页 2 （ 2010 福建福州） 如图，在 ABC 中， C 45， BC 10， 高 AD 8， 矩 形 EFPQ 的一边QP 在 BC 边上， E、 F 两点分别在 AB、 AC 上， AD 交 EF 于点 H （ 1） 求证： AHAD EFBC； （ 2） 设 EF x，当 x 为何值时，矩形 EFPQ 的面积最大 ?并求其最大值； （ 3） 当矩形 EFPQ 的面积最大时，该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 QC 匀速运动 (当点 Q 与点 C 重合时停止运动 )，设运动时间为 t 秒，矩形 EFFQ 与 ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式 3 （ 2010 福建福州） 如图 1，在平面直角坐标系中，点 B 在直线 y 2x 上，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 A， OA 5若抛物线 y 16x2 bx c 过 O、 A 两点 （ 1） 求该抛物线的解析式； （ 2） 若 A 点关于直线 y 2x 的对称点为 C，判断点 C 是否在该抛物线上，并说明理由； （ 3） 如图 2，在 （ 2） 的条件下 ， O1 是以 BC 为直径的圆过原点 O 作 O1 的切线 OP， P为切点 (点 P 与点 C 不重合 )抛物线上是否存在点 Q，使得以 PQ 为直径的圆与 O1 相切 ?若存在，求出点 Q 的横坐标；若不存在，请说明理由 (第 21 题 ) 共 49 页 第 22 页 4（ 2010 江苏无锡） 如图，矩形 ABCD 的顶点 A、 B 的坐标分别为（ -4， 0）和（ 2， 0）， BC=23设直线 AC 与直线 x=4 交于点 E （ 1）求以直线 x=4 为对称轴，且过 C 与原点 O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点 E； （ 2）设（ 1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 N， M 是该抛物线上位于 C、 N 之间的一动点，求 CMN 面积的最大值 x = 4xyED CBA O 5 （ 2010 湖南邵阳 ）如图 （十四） ， 抛物线 y 21 34 xx 与 x 轴交于点 A、 B，与 y 轴相交于点 C，顶点为点 D，对称轴 l 与直线 BC 相交于点 E，与 x 轴交于点 F。 （ 1）求直线 BC 的解析式； （ 2）设点 P 为该抛物线上的一个动点，以点 P 为圆心， r 为半径作 P。 当点 P 运动到点 D 时，若 P 与直线 BC 相交 ，求 r 的取值范围； 若 r=455，是否存在点 P 使 P 与直线 BC 相切，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 提示：抛物线 y 2 ( 0 )a x b x c a 的顶点坐标 24,24b a c baa，对称轴 x2ba. 共 49 页 第 23 页 图（十四） 6 （ 2010 年上海） 如图 8，已知平面直角坐标系 xOy，抛物线 y x2 bx c 过点 A(4,0)、B(1,3) . （ 1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （ 2）记该抛物线的对称轴为直线 l，设抛物线上的点 P(m,n)在第四象限， 点 P 关于直线 l 的对称点为 E，点 E 关于 y 轴的对称点为 F，若四边形 OAPF 的面积为 20，求 m、 n 的值 . 7 （ 2010 重庆綦江县） 已知抛物线 y ax2 bx c（ a 0）的图象经过点 B（ 12,0）和 C（ 0， 6），对称轴为 x 2 （ 1）求该抛物线的解析式； （ 2）点 D 在线段 AB 上且 AD AC，若动点 P 从 A 出发沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速图 8 yxFEPA1234- 1- 2- 3- 4- 5- 61 2 3 4 5- 1- 2o 共 49 页 第 24 页 度匀速运动，同时另一动点 Q 以某一速度从 C 出发沿线段 CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 PQ 被直线 CD 垂直平分？若存在，请求出此时的 时间 t（秒）和点 Q 的运动速度；若不存在，请说明理由； （ 3）在（ 2）的结论下，直线 x 1 上是否存在点 M 使， MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点 M 的坐标，若不存在，请说明理由 xyOQP DBCA 8 （ 2010 山东临沂） 如图，二次函数 2y x a x b 的图象与 x 轴交于 1( ,0)2A , (2,0)B两点，且与 y 轴交于点 C . （ 1）求该抛物线的解析式，并判断 ABC 的形状； （ 2）在 x 轴上方的抛物线上有一点 D ,且以 A C D B、 、 、 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出 D 点的坐标； （ 3）在此抛物线上是否存在点 P ,使得以 A C B P、 、 、 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由 . 共 49 页 第 25 页 9 （ 2010 四川宜宾） 将直角边长为 6 的等腰 Rt AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 C、 A 分别在 x、 y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点 A、 C 及点 B(3，0) (1)求该抛物线的解析式； (2)若点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P 作 AB 的平行线交 AC 于点 E，连接 AP，当 APE 的面积最大时，求点 P 的坐标； (3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点 G，使 AGC 的面积与 （ 2） 中 APE 的最 大面积相等 ?若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由 10 （ 2010 江苏连云港） （本题满分 8 分）已知反比例函数 y k x 的图象与二次函数 y ax2 x 1 的图象相交于点（ 2， 2） （ 1）求 a 和 k 的值； （ 2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什 么？ 11 （ 2010 黄冈） （ 15 分）已知抛物线 2 ( 0 )y a x b x c a 顶点为 C（ 1， 1）且过原点第 26 题图 yxCBOA24 题图 共 49 页 第 26 页 O.过抛物线上一点 P（ x， y）向直线 54y作垂线，垂足为 M，连 FM（如图） . （ 1）求字母 a， b， c 的值； （ 2）在直线 x 1 上有一点 3(1, )4F，求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标，并证明此时 PFM 为正三角形； （ 3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（ 1， t），使 PM PN 恒成立，若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由 . 12 （ 2010 山东省德州） (已知二次函数 cbxaxy 2 的图象经过点 A(3， 0)， B(2， -3)，C(0， -3) (1)求此函数的解析式及图象的对称轴； (2)点 P 从 B 点出发以每秒 0.1 个单位的速度沿线段 BC 向 C 点运动，点 Q 从 O 点出发以 相同的速度沿线段 OA 向 A 点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动设运动时间为 t 秒 当 t 为何值时，四边形 ABPQ 为等腰梯形； 设 PQ 与对称轴的交点为 M，过 M 点作 x 轴的平行线交 AB 于点 N，设四边形 ANPQ 的面积为 S，求面积 S 关于时间 t 的函数解析式， 并 指出 t 的取值范围 ； 当 t 为何值时， S 有最大 值或最 小值 13 （ 2010 山东莱芜） 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 cbxaxy 2 交 x 轴于)0,6(),0,2( BA 两点，交 y 轴于点 )32,0(C . （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）若此抛物线的 对称轴与直线 xy 2 交于点 D，作 D 与 x 轴相切， D 交 y 轴于点 E、F 两点，求劣弧 EF 的长 ； （ 3） P 为 此抛物线在第二象限图像上的一点， PG 垂直于 x 轴，垂足为点 G，试确定 P 点的x y O A B C P Q M N 第 23 题图 共 49 页 第 27 页 位置，使得 PGA 的面积被直线 AC 分为 1 2 两部分 . 14 （ 2010 广东珠海） 如图，平面直角坐标系中有一矩形 ABCD（ O 为原点），点 A、 C 分别在x 轴、 y 轴上，且 C 点坐标为（ 0,6）；将 BCD 沿 BD 折叠（ D 点在 OC 边上），使 C 点落在 OA边的 E 点上，并将 BAE 沿 BE 折叠，恰好使点 A落在 BD的点 F上 . (1)直接写出 ABE、 CBD 的度数，并求折痕 BD 所在直线的函数解析式； (2)过 F 点作 FG x 轴，垂足为 G， FG 的中点为 H，若抛物线 cbxaxy 2 经过 B、 H、 D三点，求抛物线的函数解析式； (3)若点 P 是矩形内部的点，且点 P 在（ 2）中的抛物线上运动（不含 B、 D 点），过点 P 作PN BC 分别交 BC 和 BD 于点 N、 M，设 h=PM-MN，试求出 h与 P 点横坐标 x 的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使 PMMN 成立的 x 的取值范围。 15 （ 2010 福建宁德） 如图，在梯形 ABCD 中， AD BC， B 90， BC 6， AD 3， DCB 30 .点 E、 F 同时从 B 点出发，沿射线 BC 向右 匀速 移动 .已知 F 点移动速度是 E 点移动速度的 2 倍，以 EF 为一边在 CB 的上方作等边 EFG 设 E点移动距离为 x（ x 0） . EFG 的边长是 _（用含有 x 的代数式表示），当 x 2 时，点 G 的位置在 _； 若 EFG 与 梯形 ABCD 重叠部分面积是 y，求 当 0 x 2 时 ， y 与 x 之间 的 函数关系 式 ； 当 2 x 6 时， y 与 x 之间 的 函数关系 式 ； 探求 中得到的函数 y 在 x 取含何值时，存在 最大值， 并 求出最大值 . （第 24 题图） x y O A C B D E F 共 49 页 第 28 页 16 （ 2010 江西） 如图，已知经过原点的抛物线 y=-2x2+4x 与 x 轴的另一交点为 A，现将它向右平移 m(m0)个单位，所得抛物线与 x 轴交与 C、 D 两点，与原抛物线交与点 P. （ 1）求点 A 的坐标，并判断 PCA 存在时它的形状（不要求说理） （ 2）在 x 轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可 用含 m 的式子表示）；若不存在，请说明理由； （ 3） CDP 的面积为 S，求 S 关于 m 的关系式。 17 （ 2010 武汉 ）如图 1，抛物线 baxaxy 221 经过点 A（ 1， 0）， C（ 0，23）两点，且与 x 轴的另一交点为点 B （ 1）求抛物线解析式； （ 2）若抛物线的顶点为点 M，点 P 为线段 AB 上一动点（不与 B 重合）， Q 在线段 MB 上移动，且 MPQ=45，设 OP=x， MQ=222y ，求 2y 于 x 的函数关系式，并且直接写出自变量的取值范围； （ 3）如图 2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线 x=m， x=n 分别与抛物线交于 E、 G 两点，与（ 2）中的函数图像交于 F、 H 两点，问四边形 EFHG 能否为平行四边形？若能，求出m、 n 之间的数量关系；若不能，请说明理由 x y D A C O P B E F C A D G 共 49 页 第 29 页 18 （ 2010 四川 巴中 ） 如图 12 已知 ABC 中， ACB 90以 AB 所在直线为 x 轴，过 c 点的直线为 y 轴建立平 面直角坐标系此时， A 点坐标为（一 1 ， 0）， B 点坐标为（ 4， 0 ） （ 1）试求点 C 的坐标 （ 2）若抛物线 2y a x b x c 过 ABC 的三个顶点，求抛物线的解析式 （ 3）点 D（ 1， m ）在抛物线上，过点 A 的直线 y= x 1 交（ 2）中的抛物线于点 E，那么在 x 轴上点 B 的左侧是否存在点 P，使以 P、 B、 D 为顶点的三角形与 ABE 相似？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由。 19 （ 2010 浙江湖州 ） 如图 ，已知在直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上， OC 在 x 轴的正半轴上， OA AB 2， OC 3，过点 B 作 BD BC，交 OA 于点 D，将 DBC 绕点 B按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的正半轴于 E 和 F （ 1）求经过 A， B， C 三点的抛物线的解析式； （ 2）当 BE 经过（ 1）中抛物线的顶点时，求 CF 的长； （ 3）连接 EF，设 BEF 与 BFC 的面积之差为 S，问：当 CF 为何值时 S 最小，并求出这个最小值 . D G H 共 49 页 第 30 页 20 （ 2010 江苏常州） 如图，已知二次函数 2 3y a x b x 的图 像与 x 轴相交于点 A、 C，与 y 轴相较于点 B， A（ 9,04），且 AOB BOC。 （ 1）求 C 点坐标、 ABC 的度数及二次函数 2 3y a x b x 的关系是； （ 2）在线段 AC 上是否存在点 M（ ,0m ）。使得以线段 BM 为直径的圆与边 BC 交于 P 点（与点 B 不同），且以点 P、 C、 O 为顶点的三 角形是等腰三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由。 21 （ 2010 江苏常州） 如图，在矩形 ABCD 中， AB=8， AD=6，点 P、 Q 分别是 AB 边和 CD 边上的动点，点 P 从点 A 向点 B 运动，点 Q 从点 C 向点 D 运动，且保持 AP-CQ。设 AP=x （ 1）当 PQ AD 时，求 x 的值； （ 2）当线段 PQ 的垂直平分线与 BC 边相交时，求 x 的取值范围； （ 3）当线段 PQ 的垂直平分线与 BC 相交时，设交点为 E，连接 EP、 EQ，设 EPQ 的面积为S，求 S 关于 x 的函数关系式，并写出 S 的取值范围。 22 （ 2010 山东滨州） 如图，四边形 ABCD 是菱形，点 D 的坐标是 )3,0( ，以点 C 为 顶点的抛物线 cbxaxy 2 恰好经过 x 轴上 A、 B 两点 (1)求 A、 B、 C 三点的坐标； 共 49 页 第 31 页 (2) 求经过 A、 B、 C 三点的的抛物线的解析式； (3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过 D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少各单位？ 23 （ 2010 湖北荆门） 已知 一次 函数 y 121 x的图象 与 x 轴交于 点 A与 y 轴交于点 B ；二次函数 cbxxy 221图象与一次函数 y 121 x的图象交于 B 、 C 两点，与 x 轴交于 D 、 E 两点且 D 点的坐标为 )0,1( （ 1）求 二次函数的解析式 ； （ 2） 求四边形 BDEF 的面积 S； （ 3）在 x 轴上是否存在点 P，使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P ，若不存在，请说明理由。 24 （ 2010 湖南株洲） （本题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，抛物线过原点 O，且与 x 轴交于另一点 A ，其顶点为 B 孔明同学用一把宽为 3cm 带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量： 量得 3OA cm ； 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图 1），测得抛物线与直尺右边的交点 C 的刻度读数为 4.5 请完成下列问题： （ 1）写出抛物线的对称轴； 共 49 页 第 32 页 （ 2）求抛物线的解析式； （ 3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点 A 的右边（如图 2），直尺的两边交x 轴于点 H 、 G ，交抛物线于点 E 、 F 求证： 21 ( 9 )6E F G HS E F梯 形 25 （ 2010 四川成都） 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2y a x b x c 与 x 轴交于AB、 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ，点 A 的坐标为 ( 30)， ，若将经过 AC、两点的直线 y kx b沿 y 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x （ 1）求直线 AC 及抛物线的函数表达式； （ 2）如果 P 是线段 AC 上一点，设 ABP 、 BPC 的面积分别为ABPS、BPCS，且: 2 : 3A B P B P CSS ，求点 P 的坐标； （ 3）设 Q 的半径为 l， 圆心 Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在 Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，请说明理由并探究：若设 Q的半径为 r ，圆心 Q 在抛物线上运动，则当 r 取何 值时， Q 与两坐轴同时相切？ 图 1 图 2 B 共 49 页 第 33 页 26 （ 2010 山东潍坊） 如图所示，抛物线与 x 轴交于 A（ 1， 0）、 B（ 3， 0）两点，与 y 轴交于 C（ 0， 3）以 AB 为直径做 M，过抛物线上的一点 P 作 M 的切线 PD，切点为 D，并与 M 的切线 AE 相交于点 E连接 DM 并延长交 M 于点 N，连接 AN （ 1）求抛物线所对应的函数的解析式及抛物线的顶点坐标； （ 2）若四边形 EAMD 的面积为 4 3 ，求直线 PD 的函数关系式； （ 3）抛物线上是否存在点 P，使得四边形 EAMD 的面积等于 DAN 的面积？若存在，求出点 P 的坐标，若 不存在，说明理由 27 （ 2010 广东中山） 已知二次函数 cbxxy 2 的图象如图所示，它与 x 轴的一个交点坐标为（ -1， 0），与 y 轴的交点坐标为（ 0， 3） （ 1）求出 b， c 的值，并写出此二次函数的解析式； （ 2）根据图象，写出函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围 共 49 页 第 34 页 28 （ 2010 广东中山） 如图（ 1），（ 2）所示，矩形 ABCD 的边长 AB=6， BC=4，点 F 在DC 上， DF=2 动点 M、 N 分别从点 D、 B 同时出发，沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动（点 M 可运动到 DA 的延长线 上），当动点 N 运动到点 A 时， M、 N 两点同时停止运动 连接 FM、 MN、 FN，当 F、 N、 M 不在同一直线时，可得 FMN，过 FMN 三边的中点作 PQW 设动点 M、 N 的速度都是 1 个单位 /秒， M、 N 运动的时间为 x 秒 试解答下列问题： （ 1）说明 FMN QWP； （ 2）设 0 x 4（即 M从 D 到 A 运动的时间段） 试问 x 为何值时， PQW 为直角三角形？ 当 x 在何范围时， PQW 不为直角三角形？ （ 3）问 当 x 为何值时， 线段 MN 最短？求此时 MN 的值 29 （ 2010 湖南常德） 如图 9, 已知抛物线 212y x b x c 与 x 轴交于 A ( 4， 0) 和 B(1，0)两点 ， 与 y 轴交于 C 点 （ 1） 求此抛物线的解析式； （ 2） 设 E 是线段 AB 上的动点 ， 作 EF/AC 交 BC 于 F， 连接 CE， 当 CEF 的面积是 BEF 面积的 2 倍时 ， 求 E 点的坐标 ； （ 3） 若 P 为抛物线上 A、 C 两点间的一个动点，过 P 作 y 轴的平行线，交 AC 于 Q，当 P 点运动到什么位置时，线段 PQ 的值最大，并求此时 P 点的坐标 x y O B C A 图 9 共 49 页 第 35 页 30 （ 2010 湖南郴州） 如图（ 1），抛物线 42y x x 与 y 轴交于点 A， E（ 0， b）为 y轴上一动点，过点 E 的直线 y x b与抛物线交于点 B、 C. （ 1）求点 A 的坐标； （ 2)当 b=0 时（如图（ 2）， ABE 与 ACE 的面积大小关系如何？当 4b 时，上述关系还成立吗，为什么？ （ 3）是否存在这样的 b，使得 BOC 是以 BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出 b；若不存在，说明理由 . 31 （ 2010 湖南怀化） 图 9 是二次函数 kmxy 2)( 的图象，其顶点坐标为 M(1,-4). （ 1）求出图象与 x 轴的交点 A,B 的坐标； （ 2）在二次 函数的图象上是否存在点 P，使MABPAB SS 45,若存在，求出 P 点的 坐标；若不存在，请说明理由； （ 3）将二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变， 得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线 )1( bbxy 与此 图象有两个公共点时， b 的取值范围 . 32 （ 2010 湖北鄂州） 如图，在直角坐标系中， A（ -1， 0）， B（ 0， 2），一动点 P 沿过 B 点且垂直于 AB 的射线 BM 运动， P 点的运动速度为每秒 1 个单位长度，射线 BM 与 x 轴交与点 C （ 1）求点 C 的坐标 图 9 yxCBAOEyxCBAOE第 26 题 图（ 1） 图（ 2） 共 49 页 第 36 页 （ 2）求过点 A、 B、 C 三点的抛物线的解析式 （ 3）若 P 点开始运动时， Q 点也同时从 C 出发，以 P 点相同的速度沿 x 轴负方向向点 A 运动， t 秒后，以 P、 Q、 C 为顶点的三角形为等腰三角形（点 P 到点 C 时停止运动，点 Q 也同时停止运动）求 t 的值 （ 4）在（ 2）（ 3）的条件下，当 CQ=CP 时，求直线 OP 与 抛物线的交点坐标 33 （ 2010 湖北省咸宁 ） 已知二次函数 2y x bx c 的图象与 x 轴两交点的坐标分别为（ m ，0），（ 3 m ， 0）（ 0m ） （ 1）证明 243cb ； （ 2）若该函数图象的对称轴为直线 1x ，试求二次函数的最小值 34 （ 2010 湖北恩施自治州） 如 图，在平面直角坐标系中，二次函数 cbxxy 2 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点， A 点在原点的左侧， B 点的坐标为（ 3， 0），与 y 轴交于 C（ 0，-3） 点， 点 P 是直线 BC 下方的 抛物 线上一动点 . （ 1）求这个二次函数的表达式 （ 2） 连结 PO、 PC， 并把 POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP/ C， 那么是否存在点 P，使四边形 POP/ C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 （ 3） 当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积 . 35 （ 2010 北京） 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 23454 1 22 mxxmxmy与x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B（ 2， n）在这条抛物线上 （ 1）求 B 点的坐标； （ 2）点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向 A 点运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线 OB 交与点 E，延长 PE 到点 D，使得 ED=PE，以 PD 为斜边，在 PD 右侧 做等等腰直角三角形 PCD（当 P 点运动时， C 点、 D 点也随之运动） 共 49 页 第 37 页 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长； 若 P 点从 O 点出发向 A 点作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一个点Q 从 A 点出发向 O 点作匀速运动，速度为每秒 2 个单位（当 Q 点到达 O 点时停止运动， P点也同时停止运动）过 Q 点做 x 轴的垂线，与直线 AB 交与点 F，延长 QF 到点 M，使得FM=QF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN（当 Q 点运动时， M 点、 N 点也随之运动）若 P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分 别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻 t 的值 36 （ 2010 云南 红河 哈尼族彝族 自治州 ） 二次函数 2xy 的图像如图 8 所示，请将此图像向右平移 1 个单位，再向下平移 2个单位 . （ 1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式 . （ 2）求经过两次平移后的图像与 x 轴的交点坐标，指出当 x 满足什么条件时，函数值大于 0？ 37 （ 2010 云南楚雄） 已知：如图，抛物线 2y a x b x c 与 x 轴相交于两点 A(1， 0)， B(3，0).与 y 轴相较于点 C（ 0， 3） （ 1）求抛物线的函数关系式； （ 2）若点 D（ 7,2m）是抛物线 2y a x b x c 上一点，请求出 m 的值，并求处此时 ABD 的面积 38 （ 2010 湖北随州） 已知抛物线 2 ( 0 )y a x b x c a 顶点为 C（ 1， 1）且过原点 O.过抛物线上一点 P（ x， y）向直线 54y作垂线，垂足为 M，连 FM（如图） . （ 1）求字母 a， b， c 的值； 31 2 41234O1212xy 共 49 页 第 38 页 （ 2）在直线 x 1 上有一点 3(1, )4F，求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标，并证明此时 PFM 为正三角形； （ 3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（ 1， t），使 PM PN 恒成立，若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由 . 39 （ 2010 河 南） 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(4， 0)， B(0，一 4)， C(2， 0)三点 . (1)求抛物线的解析式； (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m， AMB 的面积为 S.求 S 关于 m的函数关系式，并求出 S 的最大值； (3)若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y= x 上的动点，判断有几个位置能使以点 P、Q、 B、 0 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标 . 40 （ 2010 四川乐山） 如图 (13.1)，抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点C(0， 2)，连接 AC，若 tan OAC 2 (1)求抛物线对应的二次函数的解析式； (2)在抛物线的对称轴 l 上是否存在点 P，使 APC 90，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 (13.2)所示，连接 BC， M 是线段 BC 上 (不与 B、 C 重合 )的一个动点，过点 M 作直线 l l，交抛物线于点 N，连接 CN、 BN，设点 M 的横坐标为 t当 t 为何值时， BCN 的面积最大？最大面积为多少？ 共 49 页 第 39 页 41 （ 2010 江苏徐州） 如图，已知二次函数 y= 42341 2 xx的图象与 y 轴交于点 A，与x 轴 交于 B、 C 两点，其对称轴与 x 轴交于点 D，连接 AC 全品中考网 (1)点 A 的坐标为 _ ，点 C 的坐标为 _ ； (2)线段 AC 上是否存在点 E，使得 EDC 为等腰三角形 ?若存在，求出所有符合条件的点 E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点 P 为 x 轴上方的抛物线上 的一个 动 点， 连接 PA、 PC，若所得 PAC 的面积为 S，则 S取何值时，相应的点 P 有 且只有 2 个 ? 42 （ 2010 云南昆明） 在平面直角 坐标系中，抛物线经过 O（ 0， 0）、 A（ 4， 0）、 B（ 3， 233）三点 . （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）以 OA 的中点 M 为圆心， OM 长为半径作 M，在（ 1）中的抛物线上是否存在这样的点 P，过点 P 作 M 的切线 l ，且 l 与 x 轴的夹角为 30，若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 .（注意：本题中的结果可保留根号） 共 49 页 第 40 页 43 （ 2010 陕西西安） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）， C（ 0， 1）三点。 （ 1）求该抛物 线的表达式； （ 2）点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使以点 Q、 P、 A、 B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标。 44 （ 2010 四川内江） 如图， 抛物线 y mx22mx3m(m 0)与 x 轴交于 A、 B 两点， 与 y轴交于 C 点 . （ 1） 请求 抛物线 顶点 M 的坐标（用含 m 的代数式表示）， A， B 两点 的坐标 ； （ 2） 经探究可知， BCM 与 ABC 的面积比不变， 试 求出这个比值； （ 3） 是否存在使 BCM 为直角三角形的 抛物线 ？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由 . x M A B C y O 共 49 页 第 41 页 45 （ 2010 广东东莞） 已知二次函数 cbxxy 2 的图象如图所示，它与 x 轴的一个交点坐标为（ 1， 0），与 y 轴的交点坐标为（ 0， 3） 求出 b,c 的值，并写出此时二次函数的解析式； 根据图象，写出函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围 46 （ 2010 福建三明） 已知抛物线 )0(2 acbxaxy 经过点 B（ 2， 0）和点 C（ 0， 8），且它的对称轴是直线 2x 。 （ 1）求抛物线与 x 轴的另一交点 A 坐标；（ 2 分） （ 2）求此抛物线的解析式；（ 3 分） （ 3）连结 AC、 BC，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、点 B）不重合，过点 E 作 EF AC 交 BC 于点F，连结 CE，设 AE 的长为 m， CEF 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式； （ 4）在（ 3）的基础上试说明 S 是否存在最大值，若 存在，请求出 S 的最大值，并求出此时点 E 的 坐标，判断此时 BCE 的形状；若不存在，请 说明理由。 47 （ 2010 湖北襄樊） 如图 7，四边形 ABCD 是平行四边形， AB=4， OB=2，抛物线过 A、 B、C 三点，与 x 轴交于另一点 D一动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从 B 点出发沿 BA向点 A 运动，运动到点 A 停止，同时一动点 Q 从点 D 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿 DC 向点 C 运动，与点 P 同时停止 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）若抛物线的对称轴与 AB 交于点 E，与 x 轴交于点 F，当点 P 运动时间 t 为何值时，四边形 POQE 是等腰梯形？ （ 3）当 t 为何值时，以 P、 B、 O 为顶点的三角形与以点 Q、 B、 O 为顶点的三角形相似？ x y 3 1 O 共 49 页 第 42 页 48 （ 2010 山东东营） 如图，已知二次函数 2 4y ax x c 的图象与坐标轴交于点 A（ -1， 0）和点 B（ 0， -5） （ 1）求该二次函数的解析式； （ 2）已知该函数图象的对称轴上存在一点 P，使得 ABP 的周长最小请求出 点 P 的坐标 49 （ 2010 四川绵阳） 如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A（ 4，0）、 B（ 2， 0），与 y 轴交于点 C，顶点为 D E（ 1， 2）为线段 BC 的中点， BC 的垂直平分线与 x 轴、 y 轴分别交于 F、 G （ 1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标； （ 2）在直线 EF 上求一点 H，使 CDH 的周长最小，并求出最小周长； （ 3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时， EFK 的面积最大？并求出最大面积 50 （ 2010 湖北孝 感） 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（ 2， 0），直线 1 xy 与C E D G A x y O B F x O A （第 23 题图） B y 共 49 页 第 43 页 二次函数的图像交于 A、 B 两点，其中点 A 在 y 轴上。 （ 1）二次函数的解析式为 y= ；（ 3 分） （ 2）证明点 )12,( mm 不在（ 1）中所求的二次函数的图像上；（ 3 分） （ 3）若 C 为线段 AB 的中点，过 C 点作 xCE 轴于 E 点， CE 与二次函数的图像交于 D点。 y 轴上存在点 K，使以 K、 A、 D、 C 为 顶点的四边形是平行四边形，则 K 点的坐标是 ；（ 2 分） 二次函数的图像上是否存在点 P，使得ABDPOE SS 2？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由。（ 4 分） 51 （ 2010 江苏镇江） 运算求解 已知二次函数 mxxy 22 的图象 C1 与 x 轴有且只有一个公共点 . （ 1）求 C1 的顶点坐标； （ 2）将 C1 向下平移若干个单位后，得抛物线 C2，如果 C2 与 x 轴的一个交 点为 A（ 3，0），求 C2 的函数关系式，并求 C2 与 x 轴的另一个交点坐标； （ 3）若 nyyCyQynP 求实数且上的两点是 ,),2(),( 21121 的取值范围 . 52 (2010 江苏苏州 ) (本题满分 9 分 )如图，以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B已知 A、B 两点的坐标分别为 (3， 0)、 (0， 4) (1)求抛物线的解析式； (2)设 M(m， n)是抛物线上的一点 (m、 n 为正整数 )，且它位于对称轴的右侧若以 M、 B、O、 A 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点 M 的坐标； (3)在 (2)的条件 下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点 P， PA2+PB2+PM2 28 是 否总成立 ?请说明理由 共 49 页 第 44 页 53 （ 2010 广东广州， 21， 12 分） 已知抛物线 y x2 2x 2 （ 1） 该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ； （ 2） 选取适当的数据填入下表，并在图 7 的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； x y （ 3） 若该抛物线上两点 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）的横坐标满足 x1 x2 1，试比较 y1与 y2 的大小 54 （ 10 湖南益阳） 如图，在平面直角坐标系中，已知 A、 B、 C 三点的坐标分别为 A（ 2，0）， B（ 6， 0）， C（ 0， 3） . (1)求经过 A、 B、 C 三点的抛物线的解析式； (2)过 点作 CD 平行于 x 轴交抛物线于点 D，写出 D 点的坐标，并求 AD、 BC 的交点 E 的坐标； (3)若抛物线的顶点为 ，连结 C、 D，判断四边形 CEDP 的形状，并说明理由 . 55 （ 2010 江苏南京 ）（ 7 分）已知点 A（ 1， 1）在二次函 数 2 2y x a x b 图像上。 （ 1）用含 a 的代数式表示 b ； - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 O 1 2 3 4 5 xy- 11PAC DEBo xy1 11 共 49 页 第 45 页 （ 2）如果该二次函数的图像与 x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图像的顶点坐标。 56 （ 2010 江苏盐城） （本题满分 12 分）已知：函数 y=ax2+x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点 （ 1）求这个函数关系式； （ 2）如图所示，设 二次 函数 y=ax2+x+1 图象的顶 点为 B，与 y 轴的交点为 A， P 为图象上的一点，若以线段 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B，求 P 点的坐标； （ 3）在 (2)中，若圆与 x 轴另一交点关于直线 PB 的对称点为 M，试探索点 M 是否在抛物线 y=ax2+x+1 上，若在抛物线上，求出 M 点的坐标；若不在，请说明理由 57 （ 2010 辽宁 丹东 市 ） 如图，平面直角坐标系中有一直角梯形 OMNH，点 H 的坐标为（ 8，0），点 N 的坐标为（ 6， 4） （ 1）画出直角梯形 OMNH 绕点 O 旋转 180 的图形 OABC，并写出顶点 A， B， C 的坐标（点M 的对应 点为 A， 点 N 的对应点为 B， 点 H 的对应点为 C）； （ 2）求出过 A， B， C 三点的抛物线的表达式； （ 3）截取 CE=OF=AG=m，且 E， F， G 分别在线段 CO， OA， AB 上，求 四边形 BEFG 的面积S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；面积 S 是否存在最小值 ?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； （ 4）在（ 3）的情况下，四边形 BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请 直接 写出此时 m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由 58 （ 2010 山东 济宁 ） 如图，在平面直角坐标系中，顶点为（ 4 ， 1 ）的抛物线交 y 轴A x y O B xyOMN （- 6 ，- 4 ）H （- 8 ，0 ）第 26 题图 共 49 页 第 46 页 于 A 点，交 x 轴于 B ， C 两点（点 B 在点 C 的左侧） . 已知 A 点坐标为（ 0 ， 3 ） . （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D ， 如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切，请判断抛物线的对称轴 l 与 C 有怎样的位置关系，并给出证明； （ 3）已知点 P 是抛物线上的一个动点，且位于 A ， C 两点之间，问：当点 P 运动到什么位置时， PAC 的面积最大？并求出此时 P 点的坐标和 PAC 的最大面积 . 59 （ 2010 甘肃兰州） （本题满分 11 分）如图 1，已知矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合， AD、AB 分别在 x 轴、 y 轴上，且 AD=2， AB=3；抛物线 cbxxy 2 经过坐标原点 O 和 x轴上另一点 E（ 4,0） （ 1）当 x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？ （ 2）将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点 P 也以 相同的速度 从点 A 出发向 B 匀速移动 .设它们运动的时间为 t 秒（ 0 t 3），直线 AB 与该 抛物线的交点为 N（如图 2 所示） . 当 411t 时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由； 以 P、 N、 C、 D 为顶点的多边形面积是否可能为 5，若有可能，求出此时 N 点的坐标；若无可能，请说明理由 60 （ 2010 山东青岛） 已知：把 RtABC 和 RtDEF 按如图（ 1）摆放（点 C 与点 E 重合），点 B、 C（ E）、 F 在同一条直线上 ACB = EDF = 90， DEF = 45， AC = 8 cm， BC = 6 cm，EF = 9 cm A x y B O C D (第 23 题 ) 共 49 页 第 47 页 如图（ 2）， DEF 从图（ 1）的位置出发，以 1 cm/s 的速度沿 CB 向 ABC 匀速 移 动 ，在DEF 移 动 的同时，点 P 从 ABC 的顶点 B 出发，以 2 cm/s 的速度沿 BA 向点 A 匀速移 动 .当DEF 的顶点 D 移动到 AC 边上时， DEF 停止移 动，点 P 也随之停止移动 DE 与 AC 相交于点 Q，连接 PQ，设 移 动时间为 t（ s）（ 0 t 4.5） 解答下列问题： （ 1）当 t 为何值时，点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上？ （ 2）连接 PE，设四边形 APEC 的面积为 y（ cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻 t，使面积 y 最小？若存在，求出 y 的最小值；若不存在，说明理由 （ 3）是否存在某一时刻 t，使 P、 Q、 F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由 （图（ 3）供同学们做题使用） 61 （ 2010 山东烟台） （本题满分 14分） 如图， ABC 中