【精华版】北师大版八年级数学下册教案【强烈推荐，一份非常好的教案】

1北师大版八年级数学下册北师大版八年级数学下册北师大版八年级数学下册北师大版八年级数学下册教案（精华版）教案（精华版）教案（精华版）教案（精华版）21. 1 不等关系教学目的和要求：理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系教学重点和难点：重点：对不等式概念的理解难点：怎样建立量与量之间的不等关系。从问题中来，到问题中去。1. 如图 1- 1 ，用用根长度均为 l 的绳子，分别围成一个正方形和圆。（ 1 ）如果要使正方形的面积不大于 25 2 ，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？（ 2 ）如果要使圆的面积大于 100 2 ，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？（ 3 ）当 l = 8 时，正方形和圆的面积哪个大？ l = 12 呢？（ 4 ）改变 l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为 2)4( l ，圆的面积可以表示为22 l 。（ 1 ） 要使正方形的面积不大于 25 2 ，就是25)4( 2 l ，即 25162 l 。（ 2 ） 要使圆的面积大于 100 2 ，就是22 l 100 ，即 42l 100（ 3 ） 当 l = 8 时，正方形的面积为 )(4168 22 c m= ，圆的面积为 )(1.548 22 c m ，4 5. 1 ，此时圆的面积大。3当 l = 12 时，正方形的面积为 )(91612 22 c m= ，圆的面积为 )(5.11412 22 c m ，9 11. 5 ，此时还是圆的面积大。（ 4 ） 不论怎样改变 l 的取值 ， 通过计算发现 ： 总是圆的面积大 ， 因此 ， 我们可以猜想 ， 用长度增色为 l的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论 l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即42l 162l2. （ 1 ） 通过测量一棵树的树围 （ 树干的周长 ） 可能计算出它的树龄 ， 通常规定以树干离地面 1. 5m 的地方作为测量部位 。 某树栽种时的树围为 5 ， 以后树围每年增加约 3 ， 这棵树至少要生长多少年其树围才能超过 2. 4m ？（只列关系式）（ 2 ） 燃放某种礼花弹时 ， 为了确保安全 ， 人在点燃导火线后要在燃放前转移到 10m 以外的安全区域 。已知导火线的燃烧速度为 0. 2m / s ， 人离开的速度为 4m / s ， 导火线的长度 x （ m ） 应满足怎样的关系式？答案 ： （ 1 ）设这棵树生长 x 年其树围才能超过 2. 4m ，则 5+ 3 x 240 。（ 2 ） 人离开 10m 以外的地方需要的时间 ， 应小于导火线燃烧的时间 ， 只有这样才能保证人的安全 ：410 2.0x分析巩固练习：用不等式表示：（ 1 ） a 的相反数是正数；（ 2 ） m 与 2 的差小于 32 ；（ 3 ） x 的 31 与 4 的和不是正数；（ 4 ） y 的一半与 x 的 2 倍的和不小于 3 。解答 ： （ 1 ） a 的相反数是 - a ，正数是比零大的数，所以 “ a 的相反数是正数 ” 就是 - a 0 ；（ 2 ） “ m 与 2 的差 ” 就是 m - 2 ， “ 差小于 32 ” 即是 m - 2 32 ；（ 3 ） “ x 的 31 ” 就是 31 x ， “ x 的 31 与 4 的和不是正数 ” 就是 31 x+ 4 0 ；（ 4 ） “ y 的一半 ” 不是 21 y, “ x 的 2 倍 ” 就是 2x ， “ 不小于 3 ” 即指大于 或等于 3 ，故 “ y 的一半与 x的 2 倍的和不小于 ” 就是 21 y+ 2x 3 。3. 下列各数： 21 ， - 4 ， ， 0 ， 5. 2 ， 3 其中使不等式 2x 1 ，成立是 （ ）A - 4 ， ， 5. 2 B ， 5. 2 ， 3 C 21 ， 0 ， 3 D ， 5. 2答案： D4. 有理数 a ， b 在数轴上的位置如图 1- 2 所示，所 ba ba + 的值 （ ）A 0 B 0 C 0 D 04答案： B小结提问，快速回答：1. 表示不等式关系的符号有哪些 ?2. 用适当的符号表示下列关系 :（ 1 ） x 的 5 倍与 3 的差比 x 的 4 倍大；（ 2 ） a 的 41 的相反数是非负数；（ 3 ） x 的 3 倍不小于 y 的 8 倍。3. 下列不等式中，总能成立的是 （ ）A 2a 0 B 02 a C 2 a a D 2a a作业要求：作业本1. 2 不等式的基本性质一、教学目标1 经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。2 掌握不等式的基本性质。二、 教学重难点不等式的基本性质的掌握与应用。三、教学过程设计1. 比较归纳，产生新知我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变。请问 ： 如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式 ， 那么结果会怎样？请兴几例试一试 ， 并与同伴交流。类比等式的基本性质得出猜想：不等式的结果不变。试举几例验证猜想。如 3 7 ， 3+1=4， 7+1=8， 4 8 ， 所以 3+1 7+1； 3-5=-2， 7-5=2， -2 2 ， 所以 3-5 7-5； 3+a 7+a； 3 7,3-a 7-a 等 。 都能说明猜想的正确性。2. 探索交流，概括性质完成下列填空。2 3 ， 2 5 3 5 ；52 3 ， 2 （ - 1 ） 3 （ - 1 ） ；2 3 ， 2 （ - 5 ） 3 （ - 5 ） ；你发现了什么？请再举几例试试，与同伴交流。通过计算结果不难发现：前两个空填 “ ” ，后三个空填 “ ” 。得出不等式的基本性质：不等式的基本性质 1 ：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。不等式的基本性质 2 ：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的基本性质 3 ：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。（通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象）3. 练习巩固，促进迁移1 （ 1 ）用 “ ” 号或 “ ” 号填空，并简说理由。 6+2 - 3+2 ； 6 （ - 2 ） - 3 （ - 2 ） ； 6 2 - 3 2 ； 6 （ - 2 ） - 3 （ - 2 ）（ 2 ）如果 a b ，则2 利用不等式的基本性质，填 “ ” 或 “ ” ：（ 1 ）若 a b ，则 2a+ 1 2b+1；（ 2 ）若 10，则 y - 8 ；（ 3 ）若 a b ，且 c 0 ，则 a c + c bc+ c ；（ 4 ）若 a 0 ， b 0 ， c 0 ， （ a - b ） c 0 。4. 巩固应用，拓展研究 .1. 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。（ 1 ） a b 两边都加上 - 4 ； （ 2 ） - 3 a b 两边都除以 - 3 ；（ 3 ） a 3b 两边都乘以 2 ； （ 4 ） a 2b 两边都加上 c ；2. 根据不等式的性质，把下列不等式化为 x a 或 x a 的形式（ a 为常数 ） ：5. 课内深化，提升能力比较下列各题两式的大小：6. 回顾联系，形成结构6想一想：本节课学了哪些知识？有哪些性质？在运用性质时应注意什么？（通过问题的回答 ， 引导学生自主总结 ， 把分散的知识系统化 、 结构化 ， 形成知识网络 ， 完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解 ）7. 课外作业与拓展课外作业：课本第 9 页 “ 习题 1. 2 ”1. 3 不等式的解集一、教学目标1 理解不等式解与解集的意义。2 了解不等式解集的数轴表示。二、 教学重难点重点是区分不等式解与解集的概念，难点是在数轴上表示不等式的解集。三、 教学过程设计1. 创设情景，导出问题（课本问题）燃放某中礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前 10m 以外的安全区域 。已知导火线的燃烧速度为 0. 02m/ s ，人离开的速度为 4m / s ，那么导火线的长度应为多少厘米？（ 在建立不等式之前 ， 先让学生分析清楚问题中量与量之间的关系 ： 为了使人有足够的时间到达安全区域，导火线燃烧的时间应大于人到达安全区域的时间 。 ）设导火线的长度应为 x c m ，根据题意，得即 x52. 探索交流，得出概念1 想一想 ： （ 1 ）你能找出几个使不等式 x5 成立的 x 的值吗？（ 2 ） x 5, 6,8 能使不等式 x5 成立吗？( 字母可以表示任 何数，但对于满足 x5 中的字母 x ，它能够取任意 数吗？如果不能，它能取哪些数呢？启发学生动手验证、动脑思考，并从中初步体会不等式解的意义及不等式解与方程解的不同之处。 )能使不等式成立得未知数得值 ， 叫做 不等式的解 。 例如 ， 6 是不等式 x5 一个解 ， 7, 8,9, 也是不等式 x5 的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个 不等式的解集 。例如不等式 x- 5 - 1 的解集为 x 4 ；不等式 x 2 0 的解集是所有非零实数。求不等式解集的过程叫做 解不等式 。2 议一议 ： 请你用自己的方式将不等式 x 5 的解集和 x- 5 - 1 的解集分别表示在数轴上 ， 并与同伴交流 。（引导学生回忆实数与数轴上点的对应关系 ， 认识数轴上的点是有序的 ， 实数是可以比较大小的 ， 让学生7用具体实数对应的点加以说明）3. 练习巩固，促进迁移1. 判断下列说法是否正确：（ 1 ） x=2 是不等式 x+3 4 的解；（ 2 ） x=2 是不等式 3x 7 的解集；（ 3 ）不等式 3x 7 的解是 x=2 ；（ 4 ） x=3 是不等式 3x 9 的解。答案 ： （ 1 ）不正确； （ 2 ）不正确； （ 3 ）不正确； （ 4 ）正确。2. 在数轴上表示出下列不等式的解集：（ 1 ） x - 1 ； （ 2 ） x - 1 ； （ 3 ） x - 1 ； （ 4 ） x - 1答案：（ 1 ）数轴上实心与空心的区别在于：空心点表示解集不包括这一点，实心点表示解集包括这一点。（ 2 ）数轴上表示不等式的解集遵循 “ 大于向右走，小于向左走 ” 这一原则。4. 回顾联系，形成结构想一想：本节课学了哪些知识？在运用时应注意什么？（通过问题的回答 ， 引导学生自主总结 ， 把分散的知识系统化 、 结构化 ， 形成知识网络 ， 完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解）5. 课外作业与拓展课外作业：课本第 12 页 “ 习题 1. 3 ”1. 4 一元一次不等式 ( 1)教学目的和要求 : 会用一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。8教学重点和难点：重点：一元一次不等式的解法难点：解决一元一次不等式时等号方向的改变。教学过程：1. 观察下列不等式：（ 1 ） 155.22 x ； （ 2 ） 75.8x （ 3 ） x 4 （ 4 ） x35 + 240这些不等式有哪些共同特点？这些等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 ，象这样的不等式 ， 叫做一元一次不等式。2. 先阅读每（ 1 ）题的解法，然后仿做第（ 2 ）题，最后谈谈自己读题、做题的体会。（ 1 ）解不等式 372 2 xx ，并把它的解集表示在数轴上。解 去分母，得 )7(2)2(3 xx 去括号，得 xx 21463 移项、合并同类项，得2 05 x两边都除以 5 ，得4x这个不等式的解集在数轴上表示如下（图 1- 13 ）（ 2 ）解不等式 2 235 + xx ，并把它的解集表示的数轴上。答案： 320x其解集在数轴上表示如下图 1- 403. 解不等式 )1(2)3(41 0 xx ，并把它的解集在数轴上表示出来。解答：去括号，得 221 241 0 + xx ，移项，得 xx 421 221 0 + 。合并同类项，得 24 x6系数化为 1 ，得 x4 。得 4x 。在数轴上表示不等式解集如图94. 解不等式 6 12 13 1 + yyy ，并把它的解集在数轴上表示出来。解答：去分母，得 11)(3)1(2 + yyy答案： 3y这个不等式的解集数轴上表示如图5. y 取何正整数时，代数式 2( y- 1) 的值不大于 10- 4 （ y- 3 ）的值。解答：根据题意列出不等式：)3(41 0)1(2 yy答案：解这个不等式，得 4y ，解集 4y 中的正整数解是： 1 ， 2 ， 3 ， 4 。6. 解关于 x 的不等式： k( x+ 3) x+ 4；解答：去括号，得 kx+ 3k x+ 4；答案：若 k- 1= 0 ，即 k= 1 时， 0 1 不成立， 不等式无解。若 k- 1 0 ，即 k 1 时， 134 k kx 。若 k- 1 0 ，即 k 1 时， 134 m解得 m 28. 是否存在 整数 m ，使关于 x 的不等式 22 931 mmxm x + 与 132 + xmx 是同解不 等式？如果存在，求出整数 m 和不等式的解集；如果不存在，请说明理由。答案： x - 8因此，存在符合题意的 m ，当 m = - 1 1 时，两个不等式同解，解集为 x - 8 。小结：本节课我们学了什么？作业布置10一元一次不等式（ 2 ）目的、要求：加强巩固一元一次不等式的解法及用数轴表示不等式的解集了解不等式在生活中的应用重点、难点：有分母的一元一次不等式的解法一元一次不等式的特殊解的求法以及一元一次不等式的应用例。解下列不等式。并把它们的解集s 在数轴上表示出来解：在不等式的两边同时解乘以 8 得；即化简得；例一教师师范板演。其他学生模仿联系解下列不等式并把它们的解集在数轴上表示出来例 3 、一次环保知识竞赛，共有 25 道题，规定答对一题得 4 分，答错一或不答扣一分。 1 小明得了 85 分，他答对了多少题？ 2 小立在这次竞赛 中被评为优秀（ 85 分或 85 分以上 ） ，小立可能答对 了多少题？她至少答对了多少题？( )( ) ( )3 1 12 38 42 1 2 5 10 17 12 3 411 37 13 1 3 73 6 2 5y yx x xxx x x+ + + ( )3 1 18 2 3 88 4y y+ + 3 6 24 6 16 3y y+ + 119y 1 1 23 4x x + = 85解这个不等式，得 x = 22因为 x 答对题的个数 ， 所以取不等式的正整数解 ， 又只有 25 道题 ， 因此小立可能答对了 22， 23，24， 25 道题。她至少答对了 22 道题。说明 ： 第一小题是列一元一次方程解应用题 ， 第二小题是列一元一次不等式解应用题 ， 目的是让学生认识两者的区别与联系。二 、 出示投影片 2 ： 例四 、 小颖准备用 21 元钱买笔和笔记本 。 已知每支笔 3 元 ， 每个笔记本 2.2元，她买了 2 个笔记本，请你帮她算一算她还可能买几支笔。解：设小颖还可能买 n 支笔。根据题意，得 3n+2. 2 21解这个不等式，得 n 16.6 3因为 n 表示笔的支数，所以应取不等式的正整数解。因此小颖还可能买 1 支， 2 支， 3 支，4 支或 5 支笔。三、让学生交流对列不等式解应用题的认识，归纳列不等式解应用题的基本步骤。四、做 17 页随堂练习第二题五、课下作业，习题 1.5,1题， 2 题六 、 课后小结 ； 列不等式解应用题的一般步骤 ： 1 、 分析题意 ， 清楚已知量与未知量之间的关系 ，找到题中适当的不等关系。 2 、正确的设未知数，根据不等关系列出不等式。3 、解不等式。 4 、在不等式的解集中选取符合题意的解。 5 、做出正确的结论。随堂练习作业布置1. 5 一元一次不等式与一次函数一、教学目标1. 通过作函数图象 、 观察函数图象 ， 进一步理解函数的概念 ， 并从中初步体会一元一次不等式与一次函数的内在联系。2.通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系。3.感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系。二、 教学重难点教学重点初步建立 “ 数 ” （ 一元一次不等式 ） 与 “ 形 ” （ 一次函数 ） 之间的关系 ， 根据一次函数图象求一元一次不等式的解集。教学难点是理解一元一次不等式与一次函数的关系。三、 教学过程设计121.创设情景，导出问题小明听了爸爸的字如其人的一番教诲，想到自己龙飞凤舞的 “ 草书 ” 作品连自己都认不出来的笑话 ，下决心练字 ， 在第一周的前 3 天每天练字 6 页 。 设每周计划练字 x 页 。 你能写出 x 与 y 之间的关系式吗？这是一个什么函数？若周计划为 y=38 页，则 x 取怎样的值，小明才能超额完成计划？（由实际问题出发引导学生回顾一次函数相关概念以及一次函数与方程的关系 。 回顾所学知识作好新知识的衔接 。 ）回顾： 一次函数的定义。 一次函数的图象。 直线 y=kx+b 与方程的联系。2.探索交流，发现规律我们来看下面这个问题。作出函数 y = 2x - 5 的图象，观察图象回答下列问题：（ 1 ） 、 x 取何值时， y=0 ？ 提示：（ 此题摘自 励 耘精品 系列丛书 课时导航 北师大版八年级 （ 下 ） P 9 第 8 题 ）( 让学生认 真 观察图象，分析图象，初步学会用分段函数的思想去考虑问题 ，初步建立 “ 数 ” （一元一次不等式）与 “ 形 ” （一次函数）之间的关系。使学生初步体会函数 、方程 、 不等式都 是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型 ， 通过具体例子渗透三者之间的内在联系 ， 帮助学生从整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式的作用。 )5. 回顾联系，形成结 构通过本节课的学习，你有哪些收获？( 学生小结 , 教师对学生小结内容作肯定或补充 。 通过学生自我总结使之 进一步理解函数的概念 ， 并从中初步体会一元一次不等式与一次函数的内在联系 。 通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系。使学生从整体上认识不等式，感受函数、方程、不等式的作用。 )6.课外作业与拓展课外作业：课本第 19 页 “ 读一读 ” 、第 20 页 “ 习题 1. 6 ”课外拓展： 参见 励耘精品 系列丛书 课时导航 北师大版八年级（下） P 7 P 10131. 6 一元一次不等式组第一课时一、教学目标：1. 知识目标 : 理解一元一次不等式组解集的概念，掌握一元一次不等式组的解法 会利用数轴较简单的一元一次不等式组 通过练习，理解并掌握一元一次不等式组解集的几种情况2. 能力目标： 通过利用数轴来寻求不等式组的解，培养学生的观察能力、分析能力， 让学生从练习中发现不等式组解集的四种情况，以培养学生归纳总结能力3. 情感目标：将不等式组的解法和归纳留给学生在交流、讨论中完成，培养学生养成良好的学习习惯和转变一种观念 将老师与学习伙伴看成是自己有利的学习资源。二、教学重难点：教学重点 ： 在紧密联系不等式的同时 ， 理解不等式组解集的意义 。 教学难点 ： 借助数形结合的方法找出不等式的解集。三、教学过程设计：1. 回顾旧知，探索 发展回顾 ：解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。（ 1 ） 2x+3 5 （ 2 ） 6x 5 1（让学生上台演示，注意指导其解题的规范性）探索 ： 用每分钟可抽 30 吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水 ， 估计积存的污水在 1200吨到 1500吨之间，那么大约需要多长时间才能将污水抽完？分析：设需要 x 分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量应为 30x吨。由题意，积存的污水在 1200吨到 1500吨之间，因此，应有1200 30x 1500（通过一个具体的问题引入一元一次式组的概念 。 学生在研究这一具体问题时 ， 自然感知到要解决的问题同时满足两个约束条件，而这两个约束条件都是不等式。这样引入不等式组比较自然）上式实际上包括了两个不等式30x 1200 和 30x 1500它说明要这个实际问题中，未知量 x 应同时满足这两个条件。14我们把这两个一元一次不等式合在一起，就得到 一个一元一次不等式组 ：（你能尝试找出符合上面一元一次不等式组的未知数的值吗？与同伴交流 。 学生可以通过列表 、 画数轴图的方法，寻求不等式组的解。要让学生在充分交流的基础上体会寻找不等式的公共解的方法 。 ）分别求这两个不等式的解集，得同时满足 的未知数 x 应是个不等式的解集的公共部分。在数轴上表示出来 x 应取 40 x 50这就是所列不等式组的解集。即答案为：大约需要 40 到 50 分钟才能将污水抽完。概括 ：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。解一元一次不等式组，其步骤通常为：( 1)先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集；( 2)在数轴上把它们的解集表示出来；( 3)找出解集的公共部分，即不等式组的解集。2. 练习巩固，促进迁移( 1)例题：解不等式组解：解不等式 ，得 x 2解不等式 ，得 x 4在数轴上表示出 的解集 原不等式组的解集为 x 4（要让学生认识到准确 、 熟练得解不等式是解不等式组的基础 ， 而运用数轴表示 （ 找公共部分 ） 是关键。让学生再次体会数形结合思想的魅力 。 ）（ 2 ） 练习：15（ 3 ）问题探讨：从练习的情况来看，请同学们认真观察它与下面几种图示的关系： 当不等号的方向一致时 ( 称同向不等式 ) ，即：对这类不等式组可按 “ 同大取大；同小取小 ” 的法则，即取公共部分为它的解 ( 如图 ) 当不等号的方向相反时 ( 称异向不等式 ) ，即：则若未知数的取值比大数小，比小数大时，不等式组的解集在两数之间，取公共部分 ( 如图 ) ； 若未知数的取值比大数还大，比小数还小，不等式组的解集是空集，即没有公共部分 ( 如图 3) ( 先让学生通过练习 ， 从感性上了解不等式组解集的基本情况 ； 其次引导学生通过 “ 练习解答的形式与所给图示 ” 的对比，引发出不等式组解集的四种基本情况；从而加深学生对不等式组解集的理解，更重要的是学生区分出这四种不同的情况后，在结合图形能更快更准地找出不等式组的解集。 )3. 巩固应用，拓展研究（ 1 ）找出下列不关 x 的公共部分。( 2) 解不等式组16( 3)求不等式组 的整数解( 巩固应用的设计突出一个层次性 ， 满足不同基础水平的同学的需要 。 其中第 1 题主要训练学生的定向思维 ， 巩固不等式组解集的四种情况 ； 第 2 题则是以训练学生解不等式组的方法 。 第 3 题则以发散思维为主，其目的是让优生吃得饱。在挑战难题的过程中，培养学生学习的意志力。 )4. 回顾联系，形成结构通过本节课的学习，你有哪些收获？( 学生小结 , 教师对学生小结内容作肯定或补充 。 启发学生动脑思考 、 归纳 、 总结所学知识 ， 从而培养学生简明的语言概括能力和准确的语言表达能力 。 通过学生自我总结使之进一步理解一元一次不等式组的概念，并从中初步体会一元一次不等式与一元一次不等式组的内在联系。促进学生对数学知识的记忆 , 并把所学知识结构化系统化。 )5. 课外作业与拓展课外作业：课本第 26 页 “ 习题 1. 8 ”第二课时一、教学目标：1 、一元一次不等式组的解集的表示，尤其是在数轴上的表示让学生们必需掌握。2 、让学生理解一元一次不等式组及其解的意义。利用不等式来解决实际问题，让学生进一步感受数形结合的作用。3 、让学生经历具体具体问题抽象出不等式组的过程。二、教学重难点：教学重点 ： 掌握一元一次不等式组的解法 ； 会用数轴表示一元一次不等式组解集的几种情况 教学难点：不等式组解集几种情况的灵活应用。三、教学过程设计：1. 基础运用，例 1. 解不等式组 ，并将解集标在数轴上 .( 解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分 ， 在解的过程中各个不17等式彼此之间无关系 ， 是独立的 ， 在每一个不等式的解集都求出之后 ， 才从 “ 组 ” 的角度去求 “ 组 ” 的解集，在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题。 )步骤：解： 解不等式 ( 1) 得 x解不等式 ( 2) 得 x 4（利用数轴确定不等式组的解集） 原不等式组的解集为 -1,解不等式 (2) 得 x 1,解不等式 (3) 得 x2,18 在数轴上表示出各个解为： 原不等式组解集为 -14x-5 得： x3 ，解不等式 1 得 x 2 ， 原不等式组解集为 x 2 ， 这个不等式组的正整数解为 x=1或 x=21 、 先求出不等式组的解集 。2 、在解集中找出它所要求的特殊解， 正整数解。例 4.m 为何整数时，方程组 的解是非负数？( 本题综合性较强 ， 注意审题 ， 理解方程组解为非负数概念 ， 即 。 先解方程组用 m 的代数式表示 x, y, 再运用 “ 转化思想 ” ，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求 m 的取值范围，最后切勿忘记确定 m 的整数值。 )解： 解方程组 得19 方程组 的解是非负数， 即解不等式组 此不等式组解集为 ,又 m 为整数， m = 3 或 m=4。例 5.解不等式 0。( 由 ” “ 这部分可看成二个数的 “ 商 ” 此题转化为求商为负数的问题。两个数的商为负数 ,这两个数异号，进行分类讨论，可有两种情况。 (1) 或 (2) 因此，本题可转化为解两个不等式组。 )例 6 . 解不等式 -3 3x-15 。解法（ 1 ） : 原不等式相当于不等式组20解不等式组得 - x2 ， 原不等式解集为 - x2 。解法（ 2 ） : 将原不等式的两边和中间都加上 1 ，得 -2 3x6,将这个不等式的两边和中间都除以 3 得，- x2, 原不等式解集为 - x+ + + xx ；（ 4 ）+33222)4(21xxx解 ： （ 1 ）去括号，得 6 x + 15 8 x + 6移项、合并同类项，得 2 x 9两边都除以 2 ，得 x 29 .（ 2 ）去括号，得10 4 x + 12 2 x 2移项、合并同类项，得 6 x 24两边都除以 6 ，得 x 4.（ 3 ）去分母，得 5 （ x 3 ） 2 （ x + 6 ）去括号，得 5 x 15 2 x + 12移项、合并同类项，得 3 x 27两边都除以 3 ，得 x 9（ 4 ）+33222)4(21xxx)2()1(解不等式（ 1 ） ，得 x 0解不等式（ 2 ） ，得 x 0这两个不等式的解集在同一数轴上表示为：图 1 47所以，原不等式组的解集为无解 . . 课时小结回顾本章的知识点，并进行有关练习 . . 课后作业复习题 A 组 . 活动与探究某化工厂 2000年 12 月在判定 2001年某种化肥的生产计划时，收集到了如下信息：1. 生产该种化肥的工人数不超过 200 人；2. 每个工人全年工作时数不得多于 2100个；3. 预计 2001年该化肥至少可销售 80000袋；4. 每生产一袋该化肥需要工时 4 个；5. 每袋该化肥需要原料 20 千克；6. 现库存原料 800 吨，本月还需用 200 吨， 2001年可以补充 1200吨 .请你根据以上数据确定 2001年该种化肥的生产袋数的范围 .28解：设 2001年可生产该化肥 x 袋 . 根据题意得+800001000)1200200800(2020021004xxx解得 80000 x 90000且 x 为整数 .答 2001年该化肥产量应确定在 8 万到 9 万袋之间 . 板书设计 1. 7 回顾与思考一、 1. 简述本章的知识点2. 重点知识讲解（ 1 ）不等式的基本性质、以及与等式的基本性质的异同 .（ 2 ）解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同？（ 3 ）举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式（组）的解集 .（ 4 ）说一说运用不等式解决实际问题的基本过程 .（ 5 ）一元一次不等式与一次函数 .二、课堂练习三、课时小结四、课后作业2. 1 分解因式一、教学目标1 经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解 ） 。2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。3 感受整式乘法在解决问题中的作用。二、 教学重难点29探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义。三、 教学过程设计1. 创设情景，导出问题（ 1 ）读一读：首先教师进行章首导图教学，指出本章将要学习和探索的对象 . 教师进行情景的多媒体演示 （演示章头图） .章首图力图通过一幅形象的图画 对开的两量列车和有对比性的两个式子 ， 向大家展现了本章要学习的主要内容 ， 并渗透本章的重要思想方法 类比思想 ， 让学生体会因式分解与整式乘法之间的互逆关系。（ 2 ）想一想：993 - 99 能被 100整除吗？你能把 a 3 - a 化成几个整式的乘积的形式吗？今天我们大家一起来研究一下这个问题。2. 探索交流，概括概念想一想 ： 993 - 99 能被 100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。小时是这样做的（ 1 ） 小明在判断 993 - 99 能否被 100 整除时是怎么做的？（ 2 ） 993 - 99 还能被哪些正整数整除。答案：（ 1 ）小明将 993 - 99 通过分解因数的方法，说明 993 - 99 是 100 的倍数，故 993 - 99 能被 100 整除。（ 2 ）还能被 98， 99， 49， 11 等正整数整除。归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。议一议： 现在你能尝试把 a 3 - a 化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流。鼓励学生类比数的分解将 a3 -a 分解。做一做： 计算下列各式：（ 1 ） （ m + 4 ） （ m - 4 ） = ；（ 2 ） （ y - 3 ） 2 = ；（ 3 ） 3 x （ x - 1 ） = ；（ 4 ） m （ a+b+c ） = .根据上面的算式填空：（ 1 ） 3x2 - 3x= （ ） （ ）（ 2 ） m 2 - 16=（ ） （ ）（ 3 ） m a+m b+m c = （ ） （ ）30（ 4 ） y 2 - 6y + 9=（ ） （ ）请问，通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？答案：第一组 ： （ 1 ） m2 - 16； （ 2 ） y 2 - 6y + 9 ； （ 3 ） 3x2 - 3x； （ 4 ） m a+m b+m c ；第二组 ： （ 1 ） 3 x （ x - 1 ） ； （ 2 ） （ m + 4 ） （ m - 4 ） ； （ 3 ） m （ a+b+c ） ； （ 4 ） （ y - 3 ） 2 。第一组是把多项式乘以多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式 ，它们这间恰好是一个互逆的关系。议一议： 由 a( a+1) ( a- 1)得到 a 3 - a 的变形是什么运算 ？由 a 3 - a 得到 a( a+1) ( a- 1)的变形与这种运算 有什么不同？你还能在举一些类似的例子加以说明吗？与同伴交流。（引导学生区分这良种互逆的恒等变形，从而引出下面分解因式的概念 。 ）概 括： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。3. 巩固应用，拓展研究课本 P 40 随堂练习。（学生单独完成，然后相互评价结果，互相指正，让学生在这一过程加深对分解因式概念的掌握 。 ）教师在学生相互评价之后可指出因式分解的要求：（ 1 ） 分解的结果要以积的形式表示；（ 2 ） 每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；（ 3 ） 必须分解到每个多项式因式不能再分解为止。4. 练习巩固，促进迁移（ 1 ）下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）A （ x + 3 ） （ x - 3 ） = x 2 - 9 B x 2 + x - 5=（ x - 2 ） （ x + 3 ） + 1C a 2 b+ab2 = ab（ a+b ） D 答案： C（ 2 ）证明：一个三位数的百位数字与个位数字交换位置，则新数与原数之差能被 99 整除。证明：设原数百 位数字为 x ，十位数字为 y ，个位数字为 z ，则原数可表示 为 100x + 10 y + z ，交换位置后数字为 100 z + 10 y + x 。则 ： （ 100 z + 10 y + x ） - （ 100x + 10 y + z ）= 100 z - 100x + x - z= 100（ z - x ） - （ z - x ）= 99（ z - x ）则原结论成立。（ 3 ） （陕西省，中考题）如图 3- 1 所示，在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长了 b 的小正方形（ a b ） ，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图 所示 ） ，通过教育处两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A （ a+2b） （ a- b ） = a 2 + ab-2b2 B （ a+b ） 2 = a 2 + 2 ab+b 231C （ a- b ） 2 = a 2 - 2 ab+ b 2 D a 2 - b 2 = （ a+ b ） （ a- b ）答案： D 。5. 回顾联系，形成结构想一想：分解因式与整式乘法有什么关系？（如果把整式乘法看作一个变形过程 ， 那么多项式的因式分解就是它的逆过程 ； 如果把多项式的因式分解看作一个变形过程 ， 那么整式乘法就是它的逆过程 。 因此 ， 整式乘法与多项式的因式分解互为逆过程。这种互逆关系，一方面说明两者的密切关系，另一方面又说明了两者的根本区别 。 ）（通过归纳总结 ， 使学生对 多项式的因式分解与整式乘法两者的密切关系 ， 从而更好得理解多项式的因式分解 。 ）6. 课外作业与拓展北师大版八年级（下） P 17 P 18322. 2 提公因式法一、教学目标1 经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。2 会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况 ） 。3. 进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。二、 教学重难点教学重点用提公因式法把多项式分解因式教学难点探索多项式因式分解方法的过程三、 教学过程设计第一课时1. 创设情景，导出问题张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品。他来到文具商店，经过选择决定买单价 16 元的钢笔 10 支 ， 5 元一本的笔记本 10 本 ， 4 元一瓶的墨水 10 瓶 ， 由于购买物品较多 ， 商品售货员决定以 9 折出售，问共需多少钱。( 让学生独立完成，然后选取两种比较多用的方法展示 )关于这一问题两位同学给出了各自的做法。方法一： 16 10 90%+ 5 10 90%+ 4 10 90%= 144+45+36=225（元）方法二： 16 10 90%+ 5 10 90%+ 4 10 90%= 10 90%（ 16+5+4 ） = 225（元）请问：两位同学计算的方法哪一位更好？为什么？答案 ： 第二位同学 （ 第二种方法 ） 更好 ， 因为第二种方法将因数 10 90%放在括号外 ， 只进行过一次计算 ，很明显减小计算量。（使学生在具体的实际问题解决过程中发现提取公因数便于计算 ， 从而使他们初步感知提取公因式方法的实际应用 。 ）2. 探索交流，概括概念（ 1 ）多项式 ab+bc 各项都含有相同的因式吗？多项式 3 x 2 + x 呢？多项式 m b 2 + nb-b 呢？（ 2 ）将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位交流。讨论概括：（ 1 ）多项式 ab+bc 各项都含有相同的 因式 b ， 我们把多 项式各项都含有的 相同因式，叫做 这个多项式的公因式 。 如 b 就是多项 式 ab+b c 的公因式 。 同样 ， 多项 式 3 x 2 + x 各项都含有相同的公因 式 x ， 多 项 m b 2 + nb-b各项都含有相同的公因式 b 。（有了上面的情景，学生在刚回顾因数意义的同时，很容易说明因式的含义 。 ）（ 2 ）这里意在让学生根据因式分解的意义尝试进行分解。如果一个多项式的各项含有公因式 ， 那么就可以把这个公因式提出来 ， 从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做 提公因式法 。3. 巩固应用，拓展研究例 1 将下列各式分解因式：（ 1 ） 3 x + 6 ；（ 2 ） 7 x 2 - 21 x ；33（ 3 ） 8a3 b 2 - 12ab3 c + abc；（ 4 ） - 24x3 - 12x2 + 28x答案 ： （ 1 ） 3 x + 6=3 x + 3 2=3 （ x + 2 ） （ 2 ） 7 x 2 - 21 x = 7 x x - 7 x 3=7x（ x - 3 ）（ 3 ） 8a3 b 2 - 12ab3 c + abc= ab 8a2 b- ab 12b2 c + ab c= ab（ 8a2 b- 12b2 c + c ）（ 4 ） - 24x3 - 12x2 + 28= - （ 24x3 + 12x2 - 28）= - （ 4x 6x2 + 4x 3x - 4x 7 ）= - 4x ( 6x2 + 3x - 7)想一想： 提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？（进一步体会分解因式与整式乘法的互逆关系）4. 练习巩固，促进迁移（ 1 ）写出下列多项式的公因式： ( 课本练习 ) m a+m b 4k x - 8k y 5y3 + 20y2 a 2 b- 2ab2 + ab（ 2 ）把下列各式分解因式： 3 x 2 - 6x y + x - 4m3 + 16m2 - 26m答案 ： （ 1 ） 3 x 2 - 6x y + x = x （ 3 x - 6y + 1 ） （ 2 ） - 4m3 + 16m2 - 26m= - 2m（ 2m2 - 8m+ 13）（ 3 ）利用分解因式计算： 33 0. 48+85 0. 48-18 0. 48 7. 18 2. 25+28.5 0. 225-2. 03 2. 255. 回顾联系，形成结构想一想：这节课我们学了写什么？（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解）6. 课外作业与拓展北师大版八年级（下） P 12 P 13第二课时1. 课前热身， 复习回顾想一想：什么是公因式？怎样提取公因式？做一做：（ 1 ）下列用提取公因式法分解因式正确的是（ ）A a 3 + 2a2 + a = a ( a 2 + 2a) B - x2 y+4x2 y 2 - 7xy=- xy(x- 4xy+7)C 6( x- 2)+ x( 2-x) = ( x-2) ( x+6) D a ( a - b)2 + a b( a - b) = ( a + a b) ( a - b)34（ 2 ） （ - 3 ） 2 0 0 5 + （ - 3 ） 2 0 0 4 等于（通过提问和几个练习使学生回忆上节课的内容，为本节课的学习作好准备 。 ）2. 应用拓展，深化研究把下列各式分解因式： a （ x - 3 ） + 2b（ x - 3 ） ； 5 （ x - y ） 3 + 10（ y - x ） 2 。答案： a （ x - 3 ） + 2b（ x - 3 ） =（ x - 3 ） （ a+2b） 5 （ x - y ） 3 + 10（ y - x ） 2 = 5 （ x - y ） 3 + 10- （ x - y ） 2= 5 （ x - y ） 3 + 10（ x - y ） 2= 5 （ x - y ） 2 （ x - y + 2 ）（此题是上节课的延伸 ， 公因式由前节课的单项式过渡到多项式 ， 难度逐渐提高 ， 符合学生的认知规律 。 ）第 1 小题在教学时引导学生把（ x - 3 ）看作一个整体，从而解决工艺市是多项式的情况；第 2 小题是在第 1 小题的基础上 ， 进一步解决符号问题 。 教学时要引导学生正确理解 （ x - y ） 与 （ y - x ） ，（ x - y ） 2 与（ y - x ） 2 的关系。3. 练习巩固，促进迁移课本练习 P 45“ 做一做 ”（加强学生的符号感）3. 巩固应用，拓展研究（ 1 ）把下列各式分解因式： 3 x 2 - 6x y + x - 4m3 + 16m2 - 26m答案： 3 x 2 - 6x y + x = x （ 3 x - 6y + 1 ） - 4m3 + 16m2 - 26m= - 2m（ 2m2 - 8m+ 13）（ 2 ）（ 3 ）把下列各式分解因式： 4q（ 1- p ） 3 + 2 （ p- 1 ） 2 3 m （ x - y ） - n （ y - x ） m （ 5 ax + ay - 1 ） - m （ 3ax- ay - 1 ）答案： 4q（ 1- p ） 3 + 2 （ p- 1 ） 2 = 2 （ 1- p ） 2 （ 2 q- 2pq+1 ） 3 m （ x - y ） - n （ y - x ） = （ x - y ） （ 3 m + n ） m （ 5 ax + ay - 1 ） - m （ 3ax- ay - 1 ） = 2 am（ x + y ）（ 4 ）计算 已知 a+b=13,ab=40,求 a 2 b+ab2 的值； 1998+19982 - 19992答案： a 2 b+ab2 = ab（ a+b ） , 当 a+b=13 时，原式 = 40 13=520 1998+19982 - 19992 = - 1999（ 5 ）比较 2002 20032003与 2003 20022002的大小。解答：设 2002=x 2002 20032003-2003 20022002=x 10001（ x + 1 ） - （ x + 1 ） 10001x = 0 2002 20032003=2003 200220025. 回顾联系，形成结构想一想：这节课我们学了写什么？（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解）356. 课外作业北师大版八年级（下） P 1 P 22. 3 运用公式法一、教学目标1 经历通过整式乘法的平方差 、 完全平方公式逆向得出公式法分解因式的方法的过程 ， 发展学生的逆向思维。2 会用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数 ） 。二、 教学重难点用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）三、 教学过程设计第一课时1. 创设情景，导出问题( 1) 观察多项式 x 2 - 25， 9x2 - y 2 , 它们有什么共同特征？（这是对平方差公式的再认识 ， 通过整式乘法的逆变形得到分解因式的方法 ， 让学生进一步感受到整式乘法与分解因式的互逆关系 。 ）( 2) 将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。（让学生充分交流，加深对这种方法的理解 。 ）2. 探索交流，概括概念讨论：（ 1 ） 多项式的各项都能写成平方的形式 。 如 x 2 - 25 中 ： x 2 本身是平方的形式 ， 25=5 2 也是平方的形式 ；9x2 - y 2 也是如此。（ 2 ） 逆用乘法公式 ( a+b ) ( a- b ) = a 2 - b2 ,可知 x 2 - 25=x 2 - 5 2 = ( x + 5 ) ( x - 5 ) , 9 x 2 - y 2 = ( 3 x ) 2 - y 2 = ( 3 x + y ) ( 3x - y ) .所以我们可以借助乘法公式 ( a+b ) ( a- b ) = a 2 - b2 的逆过程得到乘法公式 a2 - b2 = ( a+b ) ( a-b )363. 巩固应用，拓展研究例 1 把下列各式分解因式：（直接利用平方差公式分解因式，让学生体会公式中的 a ， b 在此例中分别是什么）提问 ： a 2 - b 2 = ( a+b ) ( a- b ) 中 a ， b 都表示单项式吗？它们可以是多项式吗？例 2 把下列各式分解因式：( 1) 9 ( m + n ) 2 - ( m - n ) 2 ； ( 2) 2 x 3 - 8x ；解 ( 1) 9 ( m + n ) 2 - ( m - n ) 2 = 4( 2 m + n ) ( m + 2n)（进一步让学生理解平方差公式中的字母 a ， b 不仅可以表示数，而且可以表示其他代数式 。 ）( 2) 2 x 3 - 8x = 2x ( x 2 - 4) = 2x ( x 2 - 2x ) = 2x ( x + 2) ( x - 2)（引导学生体会多项式中若含有公因式 ， 就要先提公因式 ， 然后进一步分解 ， 直至不能再分解为止 。 ）4. 应用加强，课内深化1 把下列各式分解因式：2 如图 ， 在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形 （ a b ） ， 把余下的部分拼成一个矩形 ，通过计算两个阴影部分的面积 ， 可以得到一个矩形 ， 通过计算两个阴影部分的面积 ， 可以得到一个分解因式的公式，这个公式是怎样的？5. 练习巩固，促进迁移（ 1 ）把下列各式分解因式 - ( x+y)2 + z 2 ( 让学生比较（ x+y+z ） ( z - x- y)与 - ( x+y+z ) ( x+y- z ) 是否相等 ) 9 （ a + b ） 2 - 4 （ a - b ） 2 m 4 - 16m 4（ 2 ） 如图 ， 水压机有四根空心钢立柱 每根的高 h 都是 18 米 ， 外径 D 为 1 米 ， 内径 d 为 0. 4 米 ， 每立方米钢的重量为 7. 8 吨求四根立柱的总重量 ( 取 3. 14，结果保留两个有效数字 ) 解：设四根立柱总重量为 w 吨，则原式 = ( x 2 + 5x+5- 1) ( x 2 + 5x+5+1) + 137= ( m - 1)( m + 1)+ 1=m 2 = ( x 2 + 5x+5)2（ 3 ）已知 a , b, c 是 AB C 的三条边，且满足 a 2 + b 2 + c 2 - a b- bc- c a = 0 试判断 AB C 的形状。答案： a 2 + b 2 + c 2 - a b- bc- c a = 0 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab- 2bc- 2ac = 0即 a 2 - 2ab+b2 + b 2 - 2bc+ c 2 + a 2 - 2ac + c 2 = 0 ( a - b) 2 + ( b- c ) 2 + ( a - c ) 2 = 0 ( a - b) 2 0 ， ( b- c ) 2 0 ， ( a - c ) 2 0 a - b=0 ， b- c = 0 ， a - c = 0 a = b ， b=c ， a = c 这个三角形是等边三角形 .（ 4 ）设 x+2z= 3y, 试判断 x 2 - 9y2 + 4z2 + 4xz 的值是不是定值？答案：当 x+2z= 3y 时， x 2 - 9y2 + 4z2 + 4xz的值为定值 0 。（ 5 ）分解因式：（ 6 ）分解因式：5. 回顾联系，形成结构想一想：怎样通过整式乘法的平方差公式逆向用法来分解因式，分解时应注意什么？（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解 ）6. 课外作业与拓展北师大版八年级（下） P 23 P 2438回顾与思考 教学目标（一）教学知识点1. 复习因式分解的概念 ， 以及提公因式法 ， 运用公式法分解因式的方法 ， 使学生进一步理解有关概念 ，能灵活运用上述方法分解因式 .2. 熟悉本章的知识结构图 .（二）能力训练要求通过知识结构图的教学 , 培养学生归纳总结能力 , 在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力 .（三）情感与价值观要求通过因式分解综 合练习 , 提高学生观察、 分析能力；通过应用因式分解方法 进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识 . 教学重点复习综合应用提公因式法 , 运用公式法分解因式 . 教学难点利用分解因式进行计算及讨论 . 教学方法引导学生自觉进行归纳总结 . 教具准备投影片三张第一张（记作 2. 6 A ）第二张（记作 2. 6 B ）第三张（记作 2. 6 C ） 教学过程 . 创设问题情境 , 引入新课师 前面我们已学习了因式分解概念 , 提公因式法分解因式 , 运用公式法分解因式的方法 , 并做了一些练习 . 今天 , 我们来综合总结一下 . . 新课讲解（一）讨论推导本章知识结构图师请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些 ?生 （ 1 ）有因式分解的意义 , 提公因式法和运用公式法的概念 .（ 2 ）分解因式与整式乘法的关系 .（ 3 ）分解因式的方法 .师很好 . 请大家互相讨论 , 能否把本章的知识结构图绘出来呢 ? （若学生有困难 , 教师可给予帮助）生（二）重点知识讲解师下面请大家把重点知识回顾一下 .1. 举例说明什么是分解因式 .39 生 如 15 x 3 y 2 + 5 x 2 y 20 x 2 y 3 = 5 x 2 y （ 3 x y + 1 4 y 2 ）把多项 式 15 x 3 y 2 + 5 x 2 y 20 x 2 y 3 分解成为因 式 5 x 2 y 与 3 x y + 1 4 y 2 的乘积的形式 , 就是把多项 式 15 x 3 y 2 + 5 x 2 y 20 x 2 y 3 分解因式 . 师 学习因式分解的概念应注意以下几点 :（ 1 ）因式分解是一种恒等变形 , 即变形前后的两式恒等 .（ 2 ）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止 .2. 分解因式与整式乘法有什么关系 ?生分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形 .如 : m a + m b + m c = m （ a + b + c ）从左到右是因式分解 , 从右到左是整式乘法 .3. 分解因式常用的方法有哪些 ?生提公因式法和运用公式法 . 可以分别用式子表示为 :m a + m b + m c = m （ a + b + c ）a 2 b 2 = （ a + b ） （ a b ）a 2 2 ab+ b 2 = （ a b ） 24. 例题讲解投影片（ 2. 6 A ）例 1 下列各式的变形中 , 哪些是因式分解 ? 哪些不是 ? 说明理由 .（ 1 ） x 2 + 3 x + 4=（ x + 2 ） （ x + 1 ） + 2（ 2 ） 6 x 2 y 3 = 3 x y 2 x y 2（ 3 ） （ 3 x 2 ） （ 2 x + 1 ） = 6 x 2 x 2（ 4 ） 4 ab+ 2 ac= 2 a （ 2 b + c ）师 分析 ： 解答本题的依据是因式分解的定义 ， 即把一个多项式化成几个整式的积的形式是因式分解，否则不是 .生解 : （ 1 ）不是因式分解 , 因为右边的运算中还有加法 .（ 2 ）不是因式分解 , 因为 6 x 2 y 3 不是多项式而是单项式 , 其本身就是积的形式 , 所以不需要再因式分解 .（ 3 ）不是因式分解 , 而是整式乘法 .（ 4 ）是因式分解 .投影片（ 2. 6 B ）例 2 将下列各式分解因式 .（ 1 ） 8 a 4 b 3 4 a 3 b 4 + 2 a 2 b 5 ；（ 2 ） 9 ab+ 18 a 2 b 2 27 a 3 b 3 ；（ 3 ） 41 91 x 2 ；（ 4 ） 9 （ x + y ） 2 4 （ x y ） 2 ；（ 5 ） x 4 25 x 2 y 2 ；（ 6 ） 4 x 2 20 x y + 25y 2 ；（ 7 ） （ a + b ） 2 + 10 c （ a + b ） + 25 c 2 .解 : （ 1 ） 8 a 4 b 3 4 a 3 b 4 + 2 a 2 b 5= 2 a 2 b 3 （ 4 a 2 2 ab+ b 2 ） ；（ 2 ） 9 ab+ 18 a 2 b 2 27 a 3 b 3= （ 9 ab 18 a 2 b 2 + 27 a 3 b 3 ）= 9 ab（ 1 2 ab+ 3 a 2 b 2 ） ；（ 3 ） 41 91 x 2 = （ 21 ） 2 （ 31 x ） 240= （ 21 + 31 x ） （ 21 31 x ） ；（ 4 ） 9 （ x + y ） 2 4 （ x y ） 2= 3 （ x + y ） 2 2 （ x y ） 2= 3 （ x + y ） + 2 （ x y ） 3 （ x + y ） 2 （ x y ） = （ 3 x + 3 y + 2 x 2 y ） （ 3 x + 3 y 2 x + 2 y ）= （ 5 x + y ） （ x + 5 y ） ；（ 5 ） x 4 25 x 2 y 2 = x 2 （ x 2 25 y 2 ）= x 2 （ x + 5 y ） （ x 5 y ） ；（ 6 ） 4 x 2 20 x y + 25y 2= （ 2 x ） 2 2 2 x 5 y + （ 5 y ） 2= （ 2 x 5 y ） 2 ；（ 7 ） （ a + b ） 2 + 10 c （ a + b ） + 25 c 2= （ a + b ） 2 + 2 （ a + b ） 5 c + （ 5 c ） 2= （ a + b ） + 5 c 2 = （ a + b + 5 c ） 2投影片 （ 2. 6 C ） 例 3 把下列各式分解因式 :（ 1 ） x 7 y 3 x 3 y 3 ；（ 2 ） 16 x 4 72 x 2 y 2 + 81 y 4 ；解 : （ 1 ） x 7 y 3 x 3 y 3= x 3 y 3 （ x 4 1 ）= x 3 y 3 （ x 2 + 1 ） （ x 2 1 ）= x 3 y 3 （ x 2 + 1 ） （ x + 1 ） （ x 1 ）（ 2 ） 16 x 4 72 x 2 y 2 + 81 y 4= （ 4 x 2 ） 2 2 4 x 2 9 y 2 + （ 9 y 2 ） 2= （ 4 x 2 9 y 2 ） 2= （ 2 x + 3 y ） （ 2 x 3 y ） 2= （ 2 x + 3 y ） 2 （ 2 x 3 y ） 2 .师从上面的例题中 , 大家能否总结一下分解因式的步骤呢 ?生可以 .分解因式的一般步骤为 :（ 1 ）若多项式各项有公因式 , 则先提取公因式 .（ 2 ）若多项式各项没有公因式 , 则根据多项式特点 , 选用平方差公式或完全平方公式 .（ 3 ）每一个多项式都要分解到不能再分解为止 . . 课堂练习1. 把下列各式分解因式（ 1 ） 16 a 2 9 b 2 ；（ 2 ） （ x 2 + 4 ） 2 （ x + 3 ） 2 ；（ 3 ） 4 a 2 9 b 2 + 12 ab；（ 4 ） （ x + y ） 2 + 25 10（ x + y ）解 : （ 1 ） 16 a 2 9 b 2 = （ 4 a ） 2 （ 3 b ） 2= （ 4 a + 3 b ） （ 4 a 3 b ） ；（ 2 ） （ x 2 + 4 ） 2 （ x + 3 ） 2= （ x 2 + 4 ） + （ x + 3 ） （ x 2 + 4 ）（ x + 3 ） = （ x 2 + 4+x + 3 ） （ x 2 + 4 x 3 ）41= （ x 2 + x + 7 ） （ x 2 x + 1 ） ；（ 3 ） 4 a 2 9 b 2 + 12 ab= （ 4 a 2 + 9 b 2 12 ab）= （ 2 a ） 2 2 2 a 3 b + （ 3 b ） 2 = （ 2 a 3 b ） 2 ；（ 4 ） （ x + y ） 2 + 25 10（ x + y ）= （ x + y ） 2 2 （ x + y ） 5+5 2= （ x + y 5 ） 22. 利用因式分解进行计算（ 1 ） 9 x 2 + 12 x y + 4 y 2 , 其中 x = 34 , y = 21 ；（ 2 ） （ 2 ba + ） 2 （ 2 ba ） 2 , 其中 a = 81 , b = 2.解 : （ 1 ） 9 x 2 + 12 x y + 4 y 2= （ 3 x ） 2 + 2 3 x 2 y + （ 2 y ） 2= （ 3 x + 2 y ） 2当 x = 34 , y = 21 时原式 = 3 34 + 2 （ 21 ） 2= （ 4 1 ） 2= 3 2 = 9（ 2 ） （ 2 ba + ） 2 （ 2 ba ） 2= （ 2 ba + + 2 ba ） （ 2 ba + 2 ba ）= ab当 a = 81 , b = 2 时原式 = 81 2= 41 . . 课时小结1. 师生 共同回顾 , 总结 因式分解 的意义 , 因式 分解的方 法及一般 步骤 , 其中 要特别指 出 : 必须 使每一个 因式都不能再进行因式分解 .2. 利用因式分解简化某些计算 . . 课后作业复习题 A 组 . 活动与探究求满足 4 x 2 9 y 2 = 31 的正整数解 .分析 : 因为 4 x 2 9 y 2 可分解为（ 2 x + 3 y ） （ 2 x 3 y ） （ x 、 y 为正整数 ） ，而 31 为质数 .所以有 = =+ 132 3132 yx