数学建模森林救火建模ppt课件.ppt

森林救火模型 森林失火了 消防站接到火警后 立即决定派消防队员前去救火 一般情况下 派往的队员越多 火被扑灭的越快 火灾所造成的损失越小 但是救援的开支就越大 相反 派往的队员越少 救援开支越少 但灭火时间越长 而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失 那末消防站应派出多少队员前去救火呢 1 1 问题分析如题中所述 森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关 应综合考虑森林损失费和救援费 以总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小 救火的总费用由损失费和救援费两部分组成 损失费由森林被烧毁的面积大小决定 而烧毁面积与失火 灭火 指火被扑灭 的时间 即火灾持续的时间 有关 灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目 队员越多灭火越快 救援费除与队员人数有关外 也与灭火时间长短有关 救援费可具体分为两部分 一部分是灭火器材的消耗及消防队员的薪金等 与队员人数及灭火时间均有关 另一部分是运送队员和器材等一次性支出 只与队员人数有关 2 设火灾发生时刻为t 0 开始救火时刻为t t1 灭火时刻为t t2 t时刻森林烧毁面积为B t 则造成损失的被烧毁的森林的面积为B t2 而是森林被烧毁的速度 也表示了火势蔓延的程度 从火灾发生时刻开始到火被扑灭的过程中 被烧毁的森林的面积是不断扩大的 因而B t 应是时间t的单调递增的函数 即 3 从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时间内 火势是越来越大的 即 开始救火以后 即时 如果队员灭火能力足够强 火势会越来越小 即并且当t t2时 4 2 模型假设 森林中树木分布均匀 而且火灾是在无风的条件下发生的 损失费与森林烧毁面积B t2 成正比 比例系数为C1 即烧毁单位面积的损失费为C1 在建立数学模型之前 需要对烧毁森林的损失费 救援费及火势蔓延程度作出合理的假设 5 从失火到开始救火这段时间内 火势蔓延程度与时间t成正比 比例系数为 称之为火势蔓延速度 即 派出消防队员x名 开始救火以后 火势蔓延速度降为 线性化 其中可视为每个队员的平均灭火速度 且有 因为要扑灭森林大火 灭火速度必须大于火势蔓延的速度 否则火势将难以控制 6 每个消防队员单位时间费用为C2 包括灭火器材料的消耗及消防队员的薪金等 救火时间为t2 t1 于是每个队员的救火费用为C2 t2 t1 每个队员的一次性支出为C3 运送队员 器材等一次性支出 对于假设3可作如下解释 由于森林中树木分布均匀 且火灾是在无风条件下发生的 因而火势可看作以失火点为中心 以均匀速度向四周呈圆形蔓延 因而蔓延半径r与时间t成正比 又因为烧毁面积B与成正比 故B与成正比 从而与t成正比 7 3 模型建立总费用由森林损失费和救援费组成 由假设2 森林损失费等于烧毁面积B t2 与单位面积损失费C1的积 即C1B t2 由假设5 救援费为C2x t2 t1 C3x 因此 总费用为 由假设3 4 火势蔓延速度在内线性地增加 t1时刻消防队员到达并开始救火 此时火势用b表示 而后 在内 火势蔓延的速度线性地减少 如下图 8 9 即 因而有 10 烧毁面积为恰为图中三角形的面积 由b的定义有 于是 11 所以其中只有派出的消防队员的人数是未知的 问题归结为如下的最优化问题 12 4 模型求解这是一个函数极值问题 令容易解得 13 5 模型分析与改进 应派出的 最优 消防队员人数由两部分组成 其中是为了把火扑灭所必须的最低限度 因为 是火势蔓延速度 而 是每个队员的平均灭火速度 同时也说明这个最优解满足约束条件 结果是合理的 派出的队员数的另一部分 即在最低限度基础之上的人数 与问题的各个参数有关 当队员灭火速度 和救援费用系数C3增大时 队员数减少 当火势蔓延速度 开始救火时的火势b及损失费用系数C1增加时 消防队员人数增加 当救援费用系数C2增大时 队员人数也增大 14 改进方向 i取消树木分布均匀 无风这一假设 考虑更一般情况 ii灭火速度是常数不尽合理 至少与开始救火时的火势有关 iii对不同种类的森林发生火灾 派出的队员数应不同 虽然 火势蔓延速度 能从某种程度