几何概型课件.ppt

3 3 1几何概型 1 古典概型的特点 2 古典概型的概率计算公式 试验中所有可能出现的基本事件为有限个 每个基本事件出现的可能性相等 知识回顾 P A 2 等可能性 1 有限性 下面是运动会射箭比赛的靶面 靶面直径为122cm 靶心直径为12 2cm 现一人随机射箭 假设每箭都能中靶 且射中靶面内任一点都是等可能的 请问射中黄心的概率是多少 设 射中黄心 为事件A 不是为古典概型 问题一 500ml水样中有一只草履虫 从中随机取出2ml水样放在显微镜下观察 问发现草履虫的概率 设 在2ml水样中发现草履虫 为事件A 不是古典概型 问题2 某人在7 00 8 00任一时刻随机到达单位 问此人在7 10 7 20到达单位的概率 问此人在7 40 7 50到达单位的概率 设 某人在7 10 7 20到达单位 为事件A 不是古典概型 问题3 类比古典概型 这些实验有什么特点 概率如何计算 1比赛靶面直径为122cm 靶心直径为12 2cm 随机射箭 假设每箭都能中靶 射中黄心的概率 2500ml水样中有一只草履虫 从中随机取出2ml水样放在显微镜下观察 发现草履虫的概率 3某人在7 00 8 00任一时刻随机到达单位 此人在7 10 7 20到达单位的概率 探究 对于一个随机试验 我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点 该区域中的每一个点被取到的机会都一样 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点 这里的区域可以是线段 平面图形 立体图形等 用这种方法处理随机试验 称为几何概型 几何概型的特点 1 基本事件有无限多个 2 基本事件发生是等可能的 建构数学 一般地 在几何区域D中随机地取一点 记 该点落在其内部一个区域d内 为事件A 则事件A发生的概率 注 2 D的测度不为0 当D分别是线段 平面图形 立体图形时 相应的 测度 分别是长度 面积和体积 1 古典概型与几何概型的区别在于 几何概型是无限多个等可能事件的情况 而古典概型中的等可能事件只有有限多个 3 区域应指 开区域 不包含边界点 在区域内随机取点是指 该点落在内任何一处都是等可能的 落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关 解 设事件A 等待的时间不多于10分钟 电台每隔一1小时报时一次 他在0 60之间任何时刻打开收音机是等可能的 属于几何概型 事件A恰好是打开收音机的时刻位于 50 60 时间段内 由几何概型的概率公式即 等待的时间不超过10分钟 的概率为 例1某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台报时 求他等待的时间不多于10分钟的概率 例2 在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子 从中随机取出10mL 含有麦锈病种子的概率是多少 1 有一杯1升的水 其中含有1个大肠杆菌 用一个小杯从这杯水中取出0 1升 求小杯水中含有这个细菌的概率 练一练 2 在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油 假如在海域中任意一点钻探 钻到油层面的概率是多少 练一练 3 如右下图 假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆 分别计算它落到阴影部分的概率 4 两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子 并在绳子上挂一盏灯 求灯与两端距离都大于3m的概率 练一练 解 记 灯与两端距离都大于3m 为事件A 由于绳长8m 当挂灯位置介于中间2m时 事件A发生 于是 例3 假设你家订了一份报纸 送报人可能在早上6 30 7 30之间把报纸送到你家 你父亲离开家去工作的时间在早上7 00 8 00之间 问你父亲在离开家前能得到报纸 称为事件A 的概率是多少 解 设送报人到达的时间为x 父亲离开家的时间为时间y x y 可以看成平面上的点 实验的全部结果构成的区域为 这是一个正方形区域 面积为 事件A表示父亲在离开家能得到报纸 所构成的区域为即图中的阴影部分 面积为这是一个几何概型 所以 对于复杂的实际问题 解题的关键是要建立模型 找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域 把问题转化为几何概率问题 利用几何概率公式求解 例4 取一个边长为2a的正方形及其内切圆 随机向正方形内丢一粒豆子 求豆子落入圆内的概率 数学应用 数学应用 数学拓展 模拟撒豆子试验估计圆周率 由此可得 如果向正方形内撒颗豆子 其中落在圆内的豆子数为 那么当很大时 比值 即频率应接近于 于是有 巩固练习 1 一路口的红绿灯 红灯时间为30秒 黄灯时间为5秒 绿灯时间为40秒 问你到达路口时 恰好为绿灯的概率为 A B C D 2 在10000km2的海域中有40km2的大陆架贮藏着石油 假设在海域中任意一点钻探 钻到油层面的概率是 C 3 在区间 1 3 上任取一个数 则这个数大于2的概率是 4 一张方桌的图案如图所示 将一颗豆子随机地扔到桌面上 假设豆子不落在线上 求下列事件的概率 1 豆子落在红色区域 2 豆子落在黄色区域 3 豆子落在绿色区域 4 豆子落在红色或绿色区域 5 豆子落在黄色或绿色区域 5 取一根长为3米的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大 练习 5 会面问题 甲 乙二人约定在0点到5点之间在某地会面 先到者等一个小时后即离去 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的 且二人互不影响 求二人能会面的概率 解 以X Y分别表示甲 乙二人到达的时刻 于是 即点M落在图中的阴影部分 所有的点构成一个正方形 即有无穷多个结果 由于每人在任一时刻到达都是等可能的 所以落在正方形内各点是等可能的 M X Y 二人会面的条件是 012345 y x 54321 y