高中数学（入门答疑+思维启迪+状元随笔）3.2.1几类不同增长的函数模型同步课堂讲义课件 新人教A版必修1.ppt

3 2函数模型及其应用3 2 1几类不同增长的函数模型 假设你有一笔资金用于投资 现有三种投资方案供你选择 这三种方案的回报如下 方案一 每天回报40元 方案二 第一天回报10元 以后每天比前一天多回报10元 方案三 第一天回报0 4元 以后每天的回报比前一天翻一倍 请问你会选择哪种投资方案 解 设第x天所得回报是y元方案一 每天回报40元 y 40 x n 常函数方案二 第一天回报10天 以后每天比前一天多回报10元 y 10 x x n 正比例函数方案三 第一天回报0 4元 以后每天的回报比前一天翻一倍 y 0 4 2x 1 x n 指数型函数进行描述 1 掌握常见增长函数的定义 图象 性质 并体会其增长快慢 重点 2 理解直线上升 对数增长 指数爆炸的含义 及其三种函数模型的性质的比较 易混点 3 会分析具体的实际问题 能够建模解决实际问题 难点 指数函数 底数a 1 常见的增长模型 对数函数 底数a 1 随自变量的增大 越来越慢 函数模型的意义及应用 1 函数是描述客观规律的数学模型 不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述 数学应用题的建模过程就是信息获取 存储 处理 综合 输出的过程 2 通过研究不同增长的几类函数模型 寻找出最能反映实际问题的函数模型 解题过程可分四步 建立模型 画图 检验筛选 判断 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 logax xn ax 指数函数y ax a 1 对数函数y logax a 1 和幂函数y xn n 0 增长速度的比较 1 下列函数中 随x的增大 增长速度最快的是 a y 2xb y 10000 xc y log3xd y x3解析 指数函数模型增长速度最快 故选a 答案 a 2 y1 2x y2 x2 y3 log2x 当2y2 y3b y2 y1 y3c y1 y3 y2d y2 y3 y1解析 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象 图略 在区间 2 4 内 从上到下图象依次对应的函数为y2 x2 y1 2x y3 log2x 故y2 y1 y3 答案 b 3 若a 1 n 0 那么当x足够大时 ax xn logax的大小关系是 答案 ax xn logax 4 某学校为了实现100万元的生源利润目标 准备制定一个激励招生人员的奖励方案 在生源利润达到5万元时 按生源利润进行奖励 且资金y随生源利润x的增加而增加 但奖金总数不超过3万元 同时奖金不超过利润的20 现有三个奖励模型 y 0 2x y log5x y 1 02x 其中哪个模型符合该校的要求 解析 借助工具作出函数y 3 y 0 2x y log5x y 1 02x的图象 图略 观察图象可知 在区间 5 100 上 y 0 2x y 1 02x的图象都有一部分在直线y 3的上方 只有y log5x的图象始终在y 3和y 0 2x的下方 这说明只有按模型y log5x进行奖励才符合学校的要求 函数模型的增长差异 思路点拨 1 由图象可知x1与x2两侧函数值的大小关系 因此可取特值验证 从而确定x1与x2的取值范围 2 利用函数y f x 的单调性比较 3 利用图象 由图象高低比较大小 对于三种函数增长的几点说明 1 对于幂函数y xn 当x 0 n 0时 y xn才是增函数 当n越大时 增长速度越快 2 指数函数与对数函数的递增前提是a 1 又它们的图象关于y x对称 从而可知 当a越大 y ax增长越快 当a越小 y logax增长越快 一般来说 ax logax x 0 a 1 3 指数函数与幂函数 当x 0 n 0 a 1时 可能开始时有xn ax 但因指数函数是爆炸型函数 当x大于某一个确定值x0后 就一定有ax xn 特别提醒 上述结论体现了指数函数的爆炸式增长 1 当x越来越大时 下列函数中 增长速度最快的应该是 a y 100 xb y log100 xc y x100d y 100 x解析 由于指数型函数的增长是爆炸式增长 则当x越来越大时 函数y 100 x增长速度最快 故选d 答案 d 二次函数模型 思路点拨 首先把g x 表示出来 再利用函数解决最值问题 在函数模型中 二次函数模型占有重要的地位 因为根据实际问题建立函数解析式后 可利用配方法 判别式法 换元法 函数的单调性等方法来求函数的最值 从而解决实际问题中的最大 最小等问题 指数函数模型 某城市现有人口总数为100万人 如果年自然增长率为1 2 试解答下面的问题 1 写出该城市的人口总数y 万人 与年份x 年 的函数关系式 2 计算10年以后该城市人口总数 精确到0 1万人 3 计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万人 精确到1年 1 1 2 10 1 127 1 1 2 15 1 196 1 1 2 16 1 21 思路点拨 已知增长率问题 建立指数函数模型求解 1 1年后该城市人口总数为 y 100 100 1 2 100 1 1 2 2年后该城市人口总数为 y 100 1 1 2 100 1 1 2 1 2 100 1 1 2 2 3年后该城市人口总数为 y 100 1 1 2 3 x年后该城市人口总数为 y 100 1 1 2 x 6分 2 10年后该城市人口总数为 y 100 1 1 2 10 100 1 01210 112 7 万人 8分 3 令y 120 则有100 1 1 2 x 120 解方程可得x 16 即大约16年后该城市人口总数将达到120万人 12分 在实际问题中 有关人口增长 银行利率 细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示 通常可以表示为y n 1 p x 其中n为基础数 p为增长率 x为时间 的形式 解析 1 光线经过1块玻璃后 强度为y 1 10 k 0 9k 光线经过2块玻璃后 强度为y 1 10 0 9k 0 92k 光线经过3块玻璃后 强度为y 1 10 0 92k 0 93k 光线经过x块玻璃后 强度为y 0 9xk 故y关于x的函数关系式为y 0 9xk x n 对数函数模型 思路点拨 由题意可知飞行速度是耗氧量的函数 由函数表达式分别给变量赋值 求出另外的量即可 本题是属于直接以对数函数为模型的应用题 解决此类问题首先要明确各个