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第六节空间向量及其运算 1 空间向量在空间中 具有 的量叫做空间向量 其大小叫做向量的长度或模 2 空间向量中的有关定理 1 共线向量定理 对空间任意两个向量a b b 0 a b 存在 r 使a 大小和方向 b 2 共面向量定理 若两个向量a b不共线 则向量p与向量a b共面 存在唯一的有序实数对 x y 使p 3 空间向量基本定理 如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在一个唯一的有序实数组 x y z 使得p xa yb xa yb zc 3 两个向量的数量积 1 非零向量a b的数量积a b a b cos a b 2 空间向量数量积的运算律 结合律 a b a b 交换律 a b b a 分配律 a b c a b a c 4 空间向量的坐标表示及其应用设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 1 a b c a b c 成立吗 提示 不一定成立 a b c表示一个与c共线的向量 而a b c 表示一个与a共线的向量 又c与a不一定共线 上式不一定成立 2 若a b是平面 内的两个不共线向量 c xa yb 则表示c的有向线段与平面 是什么关系 提示 表示向量c的有向线段与平面 平行或在平面 内 答案 b 答案 a 3 已知a 1 2 2 b 0 2 4 则a b夹角的余弦值为 4 2013 汕头模拟 在空间直角坐标系中 已知点a 1 0 2 b 1 3 1 点m在y轴上 且m到a与到b的距离相等 则m的坐标是 答案 0 1 0 思路点拨 结合图形 利用三角形法则或平行四边形法则及数乘向量运算求解 应用共线 面 向量定理 证明点共线 面 的方法比较 1 已知向量a 1 1 0 b 1 0 2 且ka b与2a b互相垂直 则k 2 如图7 6 4 在平行四边形abcd中 ab ac cd 1 acd 90 把 adc沿对角线ac折起 使ab与cd成60 角 求bd的长 空间向量是平面向量的拓展 对空间向量的研究与平面向量进行类比可事半功倍 用向量解决立体几何问题应树立 基底 的意识 用向量解决立体几何问题时 可用基向量的运算求解 适于建系的可用坐标运算求解 1 注意向量夹角的确定 避免首尾相连的向量夹角确定错误 2 注意向量夹角与两直线夹角的区别 3 注意向量共线与两直线平行与重合的区别 从近两年高考试题看 空间向量的概念及其运算很少单独命题 多与空间几何体结合求解有关角 距离及证明平行或垂
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