高三数学一轮复习 第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理 新人教A版 .ppt

第五节直线 平面垂直的判定及其性质 1 直线与平面垂直 1 定义 如果直线l与平面 内的 直线都垂直 则直线l与平面 垂直 2 判定定理 一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直 则该直线与此平面垂直 3 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 任意一条 相交 平行 2 二面角的有关概念 1 二面角 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 2 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作 的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 3 平面与平面垂直 1 定义 如果两个平面所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 两个半平面 垂直于棱 直二面角 2 判定定理 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 3 性质定理 两个平面垂直 则一个平面内 的直线与另一个平面垂直 4 直线和平面所成的角 1 平面的一条斜线和它在 所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角 2 当直线与平面垂直和平行 或直线在平面内 时 规定直线和平面所成的角分别为 垂线 垂直于交线 平面上的射影 90 和0 1 一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直 可以说这条直线和这个平面垂直吗 提示 不可以 如果这无数条直线是平行的 则这条直线和这个平面的位置关系不确定 2 两条直线和一个平面所成的角相等 这两条直线有什么位置关系 垂直于同一平面的两个平面呢 提示 这两条直线平行或相交或异面 垂直于同一个平面的两个平面可能平行 也可能相交 1 人教a版教材习题改编 已知直线a b和平面 且a b a 则b与 的位置关系为 a b b b c b 或b d b与 相交 解析 由a b a 知b 或b 但直线b不与 相交 答案 c 答案 d 解析 a显然正确 根据面面垂直的判定 b正确 对于命题c 设 m n 在平面 内取一点p不在l上 过p作直线a b 使a m b n a m 则a a l 同理有b l 又a b p a b l 故命题c正确 对于命题d 设 l 则l 且l 故在 内存在直线不垂直于平面 即命题d错误 答案 d 4 2012 浙江高考 设l是直线 是两个不同的平面 a 若l l 则 b 若l l 则 c 若 l 则l d 若 l 则l 解析 设 a 若直线l a 且l l 则l l 因此 不一定平行于 故a错误 由于l 故在 内存在直线l l 又因为l 所以l 故 所以b正确 若 在 内作交线的垂线l 则l 此时l在平面 内 因此c错误 已知 若 a l a 且l不在平面 内 则l 且l 因此d错误 答案 b 尝试解答 1 因为ab 平面pad ph 平面pad 所以ph ab 因为ph为 pad中ad边上的高 所以ph ad 因为ph平面abcd ab ad a ab ad 平面abcd 所以ph 平面abcd 1 证明直线和平面垂直的常用方法有 1 判定定理 2 垂直于平面的传递性 a b a b 3 面面平行的性质 a a 4 面面垂直的性质 2 证明线面垂直的核心是证线线垂直 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 因此 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 3 线面垂直的性质 常用来证明线线垂直 解 1 证明由条件知四边形pdaq为直角梯形 因为qa 平面abcd 所以qa dc 又四边形abcd为正方形 dc ad 又qa ad a 思路点拨 1 证明dc1 平面bdc 2 先求四棱锥b dacc1的体积 再求三棱柱abc a1b1c1的体积 尝试解答 1 由题设知bc cc1 bc ac cc1 ac c 所以bc 平面acc1a1 又dc1 平面acc1a1 所以dc1 bc 由题设知 a1dc1 adc 45 所以 cdc1 90 即dc1 dc 又dc bc c 所以dc1 平面bdc 又dc1 平面bdc1 故平面bdc1 平面bdc 1 解答本题 1 的关键是通过证明bc 平面acc1a1来证明dc1 bc 2 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理或定义法 1 利用判定定理证明面面垂直实质是证明线面垂直 与其中一个平面垂直的直线的选取至关重要 要根据条件的直观图准确选取 2 利用定义证明面面垂直实质是证明线线垂直 即证明两平面形成的二面角是直角 2013 韶关模拟 如图7 5 4所示 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab ad bad 60 e f分别是ap ad的中点 求证 1 直线ef 平面pcd 2 平面bef 平面pad 证明 1 如图 在 pad中 因为e f分别为ap ad的中点 所以ef pd 又因为ef 平面pcd pd 平面pcd 所以直线ef 平面pcd 2 连接bd 因为ab ad bad 60 所以 abd为正三角形 因为f是ad的中点 所以bf ad 因为平面pad 平面abcd bf 平面abcd 平面pad 平面abcd ad 所以bf 平面pad 又因为bf 平面bef 所以平面bef 平面pad 如图7 5 5所示 四棱锥p abcd中 底面abcd为平行四边形 dab 60 ab 2ad pd 底面abcd 1 证明 pa bd 2 设pd ad 1 求棱锥d pbc的高 思路点拨 1 证明bd 平面pad 2 作de pb 证明de 平面pbc 在 pdb中计算de的长 1 解答本题的关键是通过计算证明ad bd 这也是解题中容易忽视的方法 2 面面垂直的性质是用来推证线面垂直的重要依据 其核心是其中一个面内的直线与交线垂直 在其中一个面内作交线的垂线 这是常作的辅助线 3 空间的直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直或平行问题常常互相转化 将空间问题化归为平面问题是处理立体几何问题的重要思想 如图7 5 6所示 平行四边形abcd中 dab 60 ab 2 ad 4 将 cbd沿bd折起到 ebd的位置 使平面edb 平面abd 1 求证 ab de 2 求三棱锥e abd的侧面积 2013 广州模拟 如图7 5 7 在锥体p abcd中 abcd是边长为1的菱形 且 dab 60 pa pd pb 2 e f分别是bc pc的中点 1 证明 ad 平面def 2 求二面角p ad b的余弦值 思路点拨 1 取ad的中点g 则平面pgb 平面def 只需证ad 平面pgb即可 2 作出二面角的平面角 pgb 在 pgb中求解 尝试解答 1 取ad中点g 连接pg bg 1 第 1 问关键是利用平面pgb 平面def 若ad 平面pgb 则一定有ad 平面def 2 求线面角 二面角的常用方法 1 线面角的求法 找出斜线在平面上的射影 关键是作垂线 找垂足 要把线面角转化到一个三角形中求解 2 二面角的大小求法 二面角的大小用它的平面角来度量 平面角的作法常见的有 定义法 垂面法 注意利用等腰 等边三角形的性质 2012 湖南高考 如图7 5 8所示 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd 底面abcd是等腰梯形 ad bc ac bd 1 证明 bd pc 2 若ad 4 bc 2 直线pd与平面pac所成的角为30 求四棱锥p abcd的体积 解 1 证明因为pa 平面abcd bd 平面abcd 所以pa bd 又ac bd pa ac a 所以bd 平面pac 而pc 平面pac 所以bd pc 2 如图所示 设ac和bd相交于点o 连接po 由 1 知 bd 平面pac 所以 dpo是直线pd和平面pac所成的角 从而 dpo 30 垂直问题的转化关系 1 证明线线垂直的方法 1 定义 两条直线所成的角为90 2 平面几何中证明线线垂直的方法 3 线面垂直的性质 a b a b 4 线面垂直的性质 a b a b 3 证明面面垂直的方法 1 利用定义 两个平面相交 所成的二面角是直二面角 2 判定定理 a a 通过近两年的高考试题看 线线 线面 面面垂直的判定与性质的应用是考查的重点和热点 主要考查空间想象能力和推理论证能力 以及转化思想的应用 题型全面 但主要以解答题的形式考查 规范解答至关重要 规范解答之十二立体几何中探索性问题的求解策略 14分 2012 北京高考 如图7 5 9 1 在rt abc中 c 90 d e分别为ac ab的中点 点f为线段cd上的一点 将 ade沿de折起到 a1de的位置 使a1f cd 如图7 5 9 2 1 求证 de 平面a1cb 2 求证 a1f be 3 线段a1b上是否存在点q 使a1c 平面deq 说明理由 规范解答 1 因为d e分别为ac ab的中点 所以de bc 2分又因为de 平面a1cb 所以de 平面a1cb 4分 2 由已知得ac bc且de bc 所以de ac 所以de a1d de cd 所以de 平面a1dc 而a1f 平面a1dc 6分所以de a1f 又因为a1f cd cd de d 所以a1f 平面bcde 又be 平面bcde 所以a1f be 9分 3 线段a1b上存在点q 使a1c 平面deq 理由如下 如图 分别取a1c a1b的中点p q 则pq bc 又因为de bc 所以de pq 所以平面deq即为平面dep 由 2 知 de 平面a1dc 所以de a1c 又因为p是等腰三角形da1c底边a1c的中点 所以a1c dp 又dp de d 所以a1c 平面dep 12分从而a1c 平面deq 故线段a1b上存在点q 使得a1c 平面deq 14分 解题程序 第一步 根据三角形中位线证明de bc 从而证明de 平面a1cb 第二步 利用线面垂直的判定定理证明de 平面a1dc 第三步 通过证明a1f 平面bcde来证明a1f be 第四步 分别取a1c a1b的中点p q 证明p q d e四点共面 第五步 通过证明pd a1c来证明a1c 平面deq 易错提示 1 想不到或不会利用de a1d 导致无法求解 2 对于是否存在型问题没有解题思路 从而无法作出辅助线 导致思路受阻 防范措施 1 对于平面图形的折叠问题 一定要注意折叠前后的不变量与可变量 要有意识地注意折叠前后不变的垂直性与平行性 2 对于是否存在型问题 首先要分析条件 看结论需要的条件已有哪些 分析欲使结论成立 还需要什么条件 结合所求 不难作出辅助线 解析 易证ac 平面sbd 因而ac sb a正确 ab dc dc 平面scd 故ab 平面scd b正确 由于sa sc与平面sbd的相对位置一样 因而所成的角相同