数学建模论文-车道被占用对城市道路通行能力的影响模型.doc

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2车道被占用对城市道路通行能力的影响模型摘要许多地方因发生交通事故会占用到有限的道路资源，使本来就难于负重的城市交通雪上加霜。影响城市道路通行能力的因素很多，其中车道封闭型式、大车率、坡度、红绿灯等许多因素，然而，由于实际难以考虑这么多的因素，我们需要选定几个因素做为我们模型的影响因素。针对问题一，通过对视频中数据的统计整理和分析得到了通行能力变换过程的表格一和MATLAB的图一。找出其变化规律。得出结果为车道二、三事故发生使得道路的通行能力降低，引起某时刻车辆排队，出现交通阻塞，撤离之后，车辆陆续通过，道路的通行能力慢慢恢复稳定。针对问题二，通过对数据的分析对比，用MATLAB图二，将两个视频的图放在一起，分析对比两个视频的通行能力，同一横断面交通事故所占车道不同，车道二、三处发生事故和车道一、二处发生事故后，对他旁每分钟通过的车辆数比较，我们可以知道同一横断面交通事故所占的车道不同对该横断面的实际通行能力的影响。分析结果为事故发生在二、三车道的通行能力比事故发生在一、二车道的通行能力更弱一些。针对问题三，通过使用线性回归计算事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系，发现其相关系数绝对值太小，并且在残差图中样本点偏离原点较远，所以并不能说明其中的关系。于是对模型进行优化。用积分的方法，得出了以下关系式为：。 针对问题四，问题四是对问题三实际应用，知道路段上游车流量，车辆排队长度，然后对视频的数据处理得到的事故横断面实际通行能力，可以求出时间。但要考虑交通中车辆选择道路具有不确定因素。所以我们对数据进行处理，并且带入公式计算得到最少经过3分钟最多经过7分钟车辆排队长度将到达上游路口。从事故发生开始，最少经过2.2min，最多经过6.6min，车辆排队长度将到达上游路口。关键词：MATLAB、线性回归、微积分、通行能力、车流量（1） 问题的重述1.1背景条件车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如果处理不当，甚至出现区域性拥堵。1.2需要解决的问题车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题：1.根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。2.根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。3.构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。4.假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。附件1：视频1附件2：视频2附件3：视频1中交通事故位置示意图附件4：上游路口交通组织方案图附件5：上游路口信号配时方案图注：只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的交通流量，且换算成标准车当量数。（2） 问题的分析根据道路通行能力和设计交通量的具体分析，可以正确地确定新建道路的等级、性质、主要技术指标和线形几何要素，通过对现有道路通行能力的分析、评估，并与现有交通量进行对比，可以确定现有道路系统或某一路段所存在的主要问题及提出处理的措施，可作为改善道路线形的依据。 对于问题一，要求描述视频1中交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际交通能力的变换过程，则需要对视频1中的信息进行搜集整理和归类分析。则需要对视频中从两车相撞开始计时，以一分钟为时间单位，数出每分钟经过事故所处横截面的车辆数，直到两车撤离之后计数就结束。得到的数据可以分为事故前和事故后，然后对事故前的数据和事故后的数据进行分析、比较。车道二、三因事故不能再通行，对每一时间段的通行量进行计算和归总，对于大型车辆，例如公交车数量需要换算成标准车辆。即：标准车的数量=普通四轮机动车数量+公交车数量1.5通过标准车的数量相应的比较，分析出道路的通行能力。对于问题二，我们在第一个问题的基础上，我们算出视频2的标准车的数量，用每分钟通过的标准车的数量来衡量道路的通行能力，通过图形分析，分析说明同一横断面交通事故所占车道不用对该横断面实际通行能力的影响的差异。对于问题三，问题是求四个未知量量之间的关系，我们可以考虑运用线性回归来计算他们之间的关系。对于问题四，问题四则是对问题一的实际运用，但我们需要考虑车辆通过事故区域的过程。车辆进入事故区域后，进入三条道路中的哪一条道路是个不确定因素，我们需要对它进行讨论。（3） 问题假设 （1）假设道路状况基本相同； （2）假设车辆性能、驾驶技术和气候等条件不变； （3）假设大车的长度是小车长度的1.5倍； （4） 假设每辆车的平均长度为5米，车与车之间的间距为1米。总长度为6米。（5）假设每辆车通过事故横截面的速度相同。（6）只考虑4轮及四轮以上的机动车。（7）不考虑右行车辆和左转车辆对直行车辆的干扰。（8）不考虑横行人流对行车的影响。（9）假设已通过事故横断面的车辆对后面正在通过的车辆没有影响。（4） 相关符号 （5） 模型的建立与求解5.1问题（1）：描述视频1中交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 对于大型车辆，例如公交车数量需要换算成标准车辆。即：标准车的数量=普通四轮机动车数量+大车数量1.5大车转化为小车数的转化率为1.5得到相关的转换结果，对视频1进行观察得到如下： 表格一时间小车大车大车转化小车数转换结果16:42:32-16:43:3216462216:43:32-16:44:3215121716:44:32-16:45:3215001516:45:32-16:46:3214121616:46:32-16:47:3215001516:47:32-16:48:3218122016:48:32-16:49:3219001916:49:32-16:50:32712916:50:32-16:51:3217001716:51:32-16:52:3214121616:52:32-16:53:3215231816:53:32-16:54:3213231616:54:32-16:55:3217352216:55:32-16:56:3210121216:56:32-16:57:329121116:57:32-16:58:32800816:58:32-16:59:3291212对表格分析，事故处横断面实际通行能力变化过程用MATLAB处理：图1车道二、三事故发生使得道路的通行能力降低，随时间的变化，引起某时刻车辆排队，出现交通阻塞，导致大量车辆不能通过，撤离之后，阻塞的大量车同事通过，使得道路短时间内通过的车辆数突增，再过一段时间，车辆陆续通过，道路的通行能力慢慢恢复稳定。具体过程参考附件1。5.2问题（2）：分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。对视频2进行观察得到如下： 表格二时间小车大车总数转换结果17:34:17-17:3535:17-17:3636:17-17:3737:17-17:3838:17-17:3939:17-17:4040:17-17:4141:17-17:4242:17-17:4343:17-17:4444:17-17:4545:17-17:4646:17-17:4747:17-17:4848:17-17:4949:17-17:5050:17-17:5151:17-17:5252:17-17:5353:17-17:5454:17-17:5555:17-17:5656:17-17:5757:17-17:5858:17-17:5959:17-18:0000:17-18:0101:17-18:0202:17-18:0303:28-18:03:50304536 视频1是二、三车道发生事故，视频2一、二车道发生事故，两个视频通行能力的变化过程相结合，得到事故处横断面实际通行能力变化过程的MATLAB: 图2 视频1是二、三车道发生事故，视频2一、二车道发生事故，两个视频都是同一横断面处发生事故，因每条车道的车流量不同，左转（车道三）流量比例35%，直行（车道二）流量比例44%，右转（车道一）流量比例21%，通过的车辆不同，视频2每分钟通过的车辆数多余视频1每分钟的通过的车辆数，说明视频2的通行能力强于视频1，即发生在同一横断面，二、三车道发生事故每分钟通过的数量少于一、二车道发生事故每分钟通过的数量，所以发生事故在二、三车道对道路的通行影响较大。5.3问题（3）：构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。5.3.1多元线性回归假设，是的个观测值，则他们满足关系式中，相互独立，且。由于假设相互独立，则也相对独立，且要建立多元线性回归模型，首先要估计未知参数，为此进行次独立观测，得到组数据它们满足式子，即有其中相互独立，且服从分布。令则式可简写成如下形式式中，称为观测向量，称为设计矩阵，它们是由观测数据得出的，是已知的，并假定为列满秩，即；是待估计的未知参数向量；是由不可预测的随机误差得到的，式称为多元线性回归模型的矩阵形式，亦称为高斯-马尔科夫线性模型，并简记为。5.3.2多元线性回归的检验我们对上游流量与通过事故车辆的数据统计，分析处理得到下表：通过上游车流量与通行能力的比较图可以看出，上游车流量每分钟的波动性大，变化幅值大，很难拟合成光滑的线性回归曲线，同理，对通行能力也难以拟合出光滑的线性回归曲线。具体过程参考附件2。 对上游流量进行MATLABA处理，得出的相关系数绝对值R为0.5950，不在0.81范围内，可以判断回归自变量与因变量的线性相关性一般，并不是很强。 接下来就是对模型进行残差分析：残差：（i=1,2,n）是各观测值与回归方程所对应得到的拟合值之差，实际上，它是线性回归模型中的误差的估计值。即有零约值和常值方差，利用残差的这种特性反过来考察原模型的合理性就是残差分析的基本思想。利用MATLAB进行残差分析通过残差图来实现。残差图是指以残差为纵坐标，以其他指定的量为横坐标的散点图。主要包括：横坐标为观测时间或观测值序号；横坐标为某个自变量的观测值；横坐标为因变量的拟合值。通过观察残差图，可以对奇异点进行分析，还可以对误差的等方差性以及对回归函数中是否包含其他自变量、自变量的高次项及交叉等问题给出直观的检验。本题的回归模型的残差与拟合值的散点图如下：从两种残差图都可以看到残差大都不是分布在零的附近，奇异点较多，分别为1、2、3、5、6、7、9、10、11、12，大部分样本点都超过了20，有的甚至接近40，偏离原点较远，因此，线性回归不是很好。具体过程参考附件3。在视频中我们可以发现，某些时刻，通过事故发生地的车辆并没有出现排队现象，此时的排队长度是难以确定的，而在某些时刻，通过事故发生地的车辆出现了一定的排队长度，这个时候，交通事故所影响的路段车辆排队长度的确定，我们可以这样子做：当排队车辆的车头时距从第4 辆或第5 辆车开始逐渐趋于稳定，我们便开始统计长度，以这一时刻排队最长的车道为作为统计，从发生事故车辆后面的第一辆车作为长度的开始点，直至到最后一辆排队的车辆作为结束点，统计出此车道有多少辆车子，平均每一辆车的长度是5米，此时的车与车之间的间距为1米，即平均一辆车的车身加上车间距的总长为6米，则排队长度就是此车道的车辆数与总长的乘积，则我们可以以此时刻的排队长度作为数据样本。我们将模型进行优化，即：在某一时间段，这个时间段是无限趋近于0，则路段上游车流量w为一个定值，对应有一个事故横断面通行能力c的值，则将会有一个长度L与之对应。为了方便理解，我们将图形画大一些，这样可以更加容易理解和建模。模型分析图如下所示：表三排队长度通行能力持续时间车流量802213434.61641743.320629541972042982555.317926113.3161020110181127136161219113.3121315MATLAB对以下数据进行处理：得到结果如下：stats =0.5950 2.5595 0.1509进行MATLABA处理，从结果得到相关系数绝对值R为0.5950，不在0.81范围内，可以判断回归自变量与因变量的线性相关性一般，并不是很强。因为在事故横断面的实际通行能力是小于路段上游车流量的，进入事故路段的车会多于从事故路口出去的车，所以排队车辆会增加。根据这种关系，我们可以知道： (5.3.1)；假设每辆车的长度为5米，每辆车的的间距为1米。则取总的长度为6米。则车辆排队长度就等于车的数量乘以每辆车的总长度。即： （5.3.2）将5.3.1的式子代入5.3.2中，得到： （5.3.3）； 将式子对时间t进行积分最后得到关于事故所影响的路段车辆排队长度、事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量之间的关系。 （5.3.4）；5.4问题(4)：从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。对于问题（4）则是关于问题一的具体化表现。问题（4）中已知的条件是交通事故所处横断面距离上游路口的长度为140米，所代表的就是公式中的米。路段上游车流量为1500pcu/h，则表示。问的是时间T。唯一不知道的数据是事故横断面的实际通行能力c。对于c的数据处理，我们选择根据视频1中事故发生到结束这个过程当中事故横断面的实际通行能力的平均值。则：；通过计算得出。将，代入公式5.3.4可以得到：；上述式子所算出的结果为2.2min的前提是，从上游过来的车辆都走车道一。所以我们还将讨论如果上游车辆都平均在了三个车道上，相当于L变成原来的3倍，由于时间T和长度L成正比，所以时间也就变成原来的3倍，则所需要的时间变为：； 所以估算到从事故发生开始，最少经过2.2min，最多经过6.6min，车辆排队长度将到达上游路口。（6） 模型的分析与检验 对于问题一：问题一中主要是要对所给视频资料进行数据搜集、整理以及总和，由于视频中的车辆在相同时间内，事故撤离前通过事故发生地段时的与撤离后的有所不同，所以两个不同期间，车辆流通能力有明显变化。实际情况和本题的结论一样。 对于问题二：为了说明同意横断面交通事故所占车道不同对该面实际通行能力影响的差异，我们对数据进行了搜集和整理。在搜集和处理过程中，为了更好的说明问题，除了事故所占车道不同之外，我们使数据的条件尽可能的统一，这样就保证了影响因素只有一个，进而可以更加准确的描述出其中的差异。 对于问题三：在计算四个未知量之间的关系时，我们优先采用了线性回归，采用线性回归，这样可以通过多个数据进行计算得出关系式及其误差。由于上游车流量及事故横断面实际通行能力为不确定因素，也就是说，他的变化是受很多因素决定的，变化没规律，所以得出的公式不适用，这和计算结果相吻合。所以我们将模型进行优化处理，最后得出结论。 对于问题四：在现实实际中上游车辆进入事故区域的三条道路是随机的，是不可测的，而车道车辆的多少决定了车辆排队的长度，车辆长度决定车辆排到上游路口的时间。所以我们对数据进行处理，求出它的两个极值，即：当上游车辆全部走一条道路，则车辆排到上游所用的时间；当上游车辆平均分开走三条路，车辆排到上游所用的时间。由于不确定因素的存在，则时间的取值会在这两个时间值之内。（7） 模型的优缺点 模型的优点：（1）建立的模型能与实际紧密联系，结合实际情况对所提出的问题进行求解，使模型更贴近实际，通用性、推广性较；。（2）本文应用的规划模型具有适应能力强，计算技术简单。模型的缺点：（1）一些数据中，我们对数据进行了必要的处理，如：取整数据、舍弃数据，这些方法可能会带来一定的误差；（2）模型虽然考虑到了很多因素，但是为了建立模型，理想化了许多影响因素，具有一定的局限性，得到的最优方案可能与实际有一定的出入；（3）对车的分类，只分小车和大车，这存在一定的局限性，所得的数据会有点偏差。（八）模型的推广它在生活中有广泛的适用性。为了更好地对交通事故的更还认识，可以从事故所处横断面的通行能力开始研究。在模型中说明了同意横断面不同车道发生交通事故对实际通行能力的影响，但这是建立在外界条件一定的情况下。对于实际问题，我们需要考虑的因素还很多。道路通行能力可作为交通枢纽或其它设施的规划、设计的依据通行能力还可以作为城市道路网、公路网规划设计的依据可以作为交通管理、交通运行组织以及交通控制手段等方案选定时的依据，对道路通行能力的分析，将给我们生活带来更多方便。参考文献1 严宝杰.道路通行能力分析M .北京：人民交通出版社，2003.2 常成利, 周刚. 高速公路路段通行能力分析方法的探索与实践3,数学建模第四版，机械工业出版社2009.084何正风，MATLAB概率与数理统计分析第二版，机械工业出版社,2012附录附录1x=1:1:17; y=34 16 21 17 14 29 20 25 26 20 27 19 15 12 32 24 23; plot(x,y,-o) grid附录2x=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31;a1=22 17 15 16 15 20 19 9 17 16 18 16 22 12 11 8 12 48 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33;b1=22 24 18 23 23 20 22 21 28 20 18 18 15