（机械设计及理论专业论文）兰姆波在声子晶体中的传播特性研究.pdf

硕1 ：学位论文 摘要 机械振动广泛存在于国防军事、航空航天、机械动力、交通运输等各个领域， 抑制有害振动一直是工程技术中迫切需要解决的问题。大型工业设备平台的有害 振动是工业生产中的安全隐患之一。目前，在振动传递途径隔离上，采用了一些隔 振技术，使得传递到载体的振动已有较大的降低，然而低频段的振动隔离仍是隔振 技术的难点。由于高频噪声在结构中随传播距离衰减很快，而中低频噪声则随距离 衰减的程度较小，因而对低频振动的隔离，成为急需解决的难题。若能对低频结构 噪声或空气噪声进行有效隔离，将对各种工程技术领域具有重要的意义。人工周期 性结构材料的研究，为这一问题的解决提供新的思路。 存在弹性波带隙、弹性常数及密度周期分布的材料或结构被称为声子晶体， 弹性波在其中传播时会产生声子带隙，在带隙内弹性波被禁止传播。本文以声子 晶体为研究对象，基于数值分析技术对声子晶体中的兰姆波进行研究，仿真分析 其能量谱密度图。本论文开展和完成了如下研究工作： 1 利用有限元计算了一维兰姆波和二维兰姆波声子晶体的传输能量谱； 2 在声子晶体的基础上，构造了一维三元f i b o n a c c i 序列准周期结构的模型， 研究了兰姆波在此模型中的传播特性； 3 研究了兰姆波在截面积线性变化的周期性结构薄板中的传播特性和在周 期性结构的功能梯度薄板中的传播特性； 4 对周期性结构板中的兰姆波做了实验，详细地研究了兰姆波频散特性。 借助于商业有限元软件和实验可以分析声子晶体的兰姆波特性。研究表明： 声子晶体波动特性的研究对于隔声、降噪等工程实践具有较大意义；而且兰姆波 型声子晶体在无损检测中也有潜在应用。 关键词：兰姆波；声子晶体；准周期；功能梯度薄板 a b s t r a c t m e c h a n i c a lv i b r a t i o n i sw i d e l yp r e s e n t i nn a t i o n a ld e f e n s ea n dm i l i t a r y , a e r o s p a c e ， m e c h a n i c a lp o w e r ，t r a n s p o r t a n do t h e rf i e l d s ，s u p p r e s s i o no fh a m f u l v i b r a t i o nh a sb e e nap r e s s i n gn e e dt os o l v et h ep r o b l e mo fe n g i n e e r i n gt e c h n o l o g y p i a t f - o mf o rl a r g e s c a l e i n d u s t r i a le q u i p m e n t ，i n d u s t r i a lp r o d u c t i o n o fh a r m f u l v i b r a t i o ni so n eo ft h es e c u r i t yr i s k a tp r e s e n t ，t h ew a yt o i s o l a t e t h ev i b r a t i o n t r a n s m i s s i o n u s i n gan u m b e ro fi s o l a t i o nt e c h n i q u e s ，a l l o w i n gt h ev i b r a t i o n o ft h e c a 仃i e r h a sb e e nt oal a r g e rr e d u c t i o n ，b u tt h el o wf r e q u e n c y v i b r a t i o ni s o l a t i o ni ss t i l l t h ed i f f i c u l t yo fv i b r a t i o nt e c h n o l o g y a st h eh i g h - f r e q u e n c yn o i s ei n t h es t r u c t u r e w i t ht h e p r o p a g a t i o n d i s t a n c ed e c a yq u i c k l y , w h i l e t h e l o w 。f r e q u e n e y n 0 1 s e a t t e n u a t i o nw i t hd i s t a n c e i sal e s s e rd e g r e e ， a n dt h u sl o w 。f r e q u e n c yv i b r a t i o n i s o l a t i o nb e e o m ea nu r g e n t n e e dp r o b l e mt o s o l v e i ft h es t r u c t u r e o ft h e l o w f r e q u e n c yn o i s e ， 0 ra i rn o i s ec a nb ei s o l a t e de f f e c t i v e l y i nav a r i e t yo f e n g i n e e r i n ga n dt e c h n i c a lf i e l d s ，t h a tw i l lb eo fg r e a ts i g n i f i c a n c e a r t i f i c i a lp e r i o d i c s t 九l c t u r eo fm a t e r i a l sr e s e a r c hp r o v i d ean e ww a yo ft h i n k i n gf o rt h e s e t t l e m e n to f t h i si s s u e m a t e r i a l so rs t r u c t u r e sw i t ht h ee x i s t e n c eo fe l a s t i c w a v eb a n dg a p s e l a s t i c c o n s t a n t sa n dd e n s i t yc y c l ed i s t r i b u t i o n a r ec a l l e dp h o n o n i cc r y s t a l s ，i nw h i c he l a s t l c w a v ep r o p a g a t t i n gt h eb a n dg a pw i l lt ob eg e n e r a t e d ，t h ee l a s t i cw a v et r a n s 肌s s l o n a r e p r o h i b i t e dw i t h i nt h eb a n dg a p i nt h i sp a p e r , p h o n o n i cc r y s t a la st ob et h er e s e a r c h 0 b je c t ，w em a d er e s e a r c h s o nl a m bw a v ea m o n gt h ep h o n o n i cc r y s t a l b a s e do n n u m e r i c a la n a l y s i s ，s i m u l a t i o na n a l y s i so ft h ee n e r g ys p e c t r a ld e n s i t yd i a g r a m t h l s p a p e rm a i n l yc a r r i e do u ta n dc o m p l e t e dt h ef o l l o w i n g r e s e a r c hw o r k ： 1 f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i so fe n e r g ys p e c t r u mi no n e - d i m e n s i o n a ll a m b w a v ea n d t w o d i m e n s i o n a ll a m bw a v ep h o n o n i cc r y s t a l s ； 2 s t u d vo nc h a r a c t e r i s t i c so fl a m bw a v e sp r o p a g a t i o ni np h o n o n i cc r y s t a i s b a s e do nt h et e r n a r ys t r u c t u r e o ft h eo n e d i m e n s i o n a lq u a s i p e r i o d i c f i b o n a c e i s e q u e n c es t r u c t u r em o d e l ； 3 s t u d vo nc h a r a c t e r i s t i c so fl a m bw a v e sp r o p a g a t i o ni nt h es h e e tm e t a lp l a t eo f p e r i o d i c s t r u c t u r ew i t ht h ec r o s s s e c t i o n a l a r e al i n e a rc h a n g i n ga n do nt h el a m b w a v e se n e r g ys p e c t r u mi nt h ep e r i o d i cs t r u c t u r eo f t h ef u n c t i o n a l l yg r a d e dp l a t e ； 4 d ot h ee x p e r i m e n tf o rl a m b w a v e si n t h ep e r i o d i cp l a t ea n ds t u d yo nt h e l l i d i s p e r s i o n so fl a m bw a v e 硕i ：学位论文 t h el a m bw a v ep h o n o n i cc r y s t a l sp r o p e r t i e sc a nb ea n a l y s e db ym e a n so f c o m m e r c i a lf i n i t ee l e m e n ts o f t w a r ea n de x p e r i m e n t r e s e a r c hs h o w st h a tp h o n o n i c c r y s t a l si so fg r e a tp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c ef o rs o u n di n s u l a t i o n ，n o i s er e d u c t i o na n d o t h e rp r o je c t sa n dt h el a m bw a v ep h o n o n i cc r y s t a l si nn o n d e s t r u c t i v et e s t i n gh a s p o t e n t i a la p p l i c a t i o n s k e yw o r d s ：l a m bw a v e ；p h o n o n i cc r y s t a l s ；q u a s i p e r i o d i c ；f u n c t i o n a l l yg r a d e dt h i n p l a t e 硕士学位论文 1 1 前言 第1 章绪论 声子晶体的概念是从光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l ) 的概念演绎而来的，两概念的 相似之处在于都是模拟天然晶体原子排列方式，均具有某种周期拓展结构。声子晶 体由不同弹性性质的材料复合而成，内部材料组分的弹性常数，质量密度等参数 周期性变化，是由电磁波和弹性波在数学上的类比性，在光子晶体研究的基础上提 出的新课题，可归属于人工晶体范畴。与光子晶体的性质类似，声子晶体的能带 结构存在禁带现象，频率位于禁带的弹性波完全不能通过声子晶体。 本章介绍了声子晶体的产生背景、应用及其研究现状、材料特性和声波的基 本概念，并总结了声子晶体波动特性的研究现状，以及研究过程中取得的成果和 不足。 1 2 声子晶体研究概况 1 2 1 声子晶体的产生和发展 2 0 世纪半导体材料的出现引发了一场轰轰烈烈的电子工业革命，使我们进入 了信息时代。我们知道，半导体的理论依据就是固体电子的能带理论，即电子在 曲线形成带状结构，于是各自提出了光子晶体这一新概念【2 3 】。当电磁波在受到介 电常数的周期性调制时，可能会产生光子带隙，即一定频率范围的电磁波的传播 被抑制或禁止。由此可见，模拟天然晶体中原子排列的人造周期性电介质结构也 会产生类似半导体禁带的光子禁带。当光子晶体中存在( 或引入) 点缺陷或线缺 陷时，则禁带内的光波将被局域在点缺陷内或只能沿线缺陷传播。通过对光子晶 体周期结构及其缺陷的设计，可以人为地调控光子的流动【1 , 4 - 6 】。光子晶体的这种 特性具有极大的理论价值和应用前景。不妨进一步设想，在周期性弹性介质中能 否产生类似光予禁带的声子禁带呢? 近十年来相关的理论和实验研究已经证明了 这一点【7 2 8 1 。 对声波在人工周期弹性介质中的传播现象的研究始于1 9 9 2 年，s i g a l a sm m 和e c o n o m o uen 2 9 】在理论上证实一种球形材料埋入另一种基体材料中形成周期 性点阵结构具有带隙特性的重要结论，在金、铅球与铝或者硅基体所形成的复合 材料中获得带隙【3 0 1 。随后，k u s h w a h ams 3 1 】等人明确提出了声子晶体的概念， 并采用平面波方法对镍柱在铝合金基体中形成的复合材料计算获得声波带隙。从 此，各国学者如s i g a l a smm ，v a s s e u rjo ，m a r t i n e z s a l ar 和t o r r e sm 以及 k u s h w a h ams 等都在声子晶体的带隙产生机理和缺陷态研究方面作了大量工作。 兰姆波在声予晶体中的传播特性研究 根据声子晶体结构在笛卡儿坐标系中3 个正交方向上的周期性，可以将声子 晶体分为一维，二维，三维声子晶体。( 如图1 1 ) 所示在三维立方周期结构声子 晶体的能带结构中观察到了很宽的禁带。嵌入和基体材料可以都为固体或液体。 在固体( 液体) 基体材料中以周期结构放入固体( 液体) 的嵌入体形成的二维声 子晶体中同样也观察到了完全禁带。周期结构可以是正方排列，三角排列等。由 两种或者多种材料组成的周期性层状结构的一维声子晶体也得到了广泛的研究。 声子晶体能带结构的理论计算方法有有限元法，传递矩阵法，多重散射法，平面 波法等。k e e 等人研究了这种二维声子晶体的色散关系，其计算结果如图1 2 所 示，阴影区域即为声子晶体禁带。 1 2 2 声子晶体的应用研究 对于声子晶体，甚至在较为简单的各向同性介质中，也存在多种决定弹性波 传播的参数( 质量密度和两个拉梅常数) ，所以声子晶体带隙特性的研究较光子晶 体更为复杂和具有丰富的物理内涵，如深入研究声波导质结构中的声子的安德森 局域化问题；声子晶体在工程上有着广泛的应用价值。例如为高精度机械加工系 统提供一定频率范围内的无振动加工环境。利用声子晶体的禁带特性，可以设计 和制造出一种全新的降噪材料。与传统的隔声材料相比，它具有频率可设计，针 对性强和尺寸小的特点。利用声予晶体存在缺陷时具有的局域特性，可以设计高 性能的声学滤波器及新型的声学换能器等。另一方面，声子晶体表现出丰富的物 理现象：表面态，缺陷态，a n d e r s o n 局域化等。因此，声子晶体带隙特性的研究引 起各国研究机构的极大关注【3 2 拼】。 声子晶体的研究是一个新的热点，下面两篇发表在s c i e n c e 上的学术论文值得 关注。l u 3 8 】等人利用旋转性生长条纹法通过晶体生长制备了一块由铌酸锂构成的 周期为7 2 岬的一维离子型声子晶体。如图1 3 所示，该晶体由一个自发极化头 尾相连的具有周期性( 沿z 轴方向) 铁电畴结构的超晶格构成，图中的箭头代表 自发计划的方向。该晶体中存在超晶格振动与电磁波的强烈耦合，且耦合方程与 黄坤方程在形式上完全一致，这说明了超晶格与实际晶格在物理上的相似性。离 子型声子晶体的研究开拓了微结构与材料物理研究的新领域，为开发新型微波和 超声器件建立了理论基础。l i u 3 9 】等人研究的具有共振型声子晶体具有显著的声 带隙特性，晶体点阵常数比相应的禁带波长小两个数量级，而且通过改变结构单 元的尺寸和几何形状可以获得有效负弹性常数。如图1 4 所示，直径为lc m 的铅 球外面包裹一层硅橡胶作为结构单元，以简单立方点阵结构的形式分布于环氧树 脂基体中，就得到了三维局域共振型声子晶体。 2 硕+ 学位论文 一维声子晶体 二维声子晶体三维声子晶体 图1 1 声子晶体示意图 基 雪 量 k - j 二 ，z f 图1 2 声子晶体禁带示意图 图1 3 离子型声子晶体示意图 a ) 晶体的微共振单元b ) 简单立方结构声子晶体 图1 4 局域共振型声子晶体示意图 3 兰姆波在声了晶体中的传播特件研究 1 2 3 声子晶体的特性 由禁带波长与晶格常数的比例关系可将声子晶体分为两种类型：禁带波长与 晶格常数同量级的布拉格散射型和禁带波长远大于晶格周期的谐振型。利用声子 晶体本征模式能量速度等于群速度的结论，可知超平带就意味着相应模式的能量 速度趋于零，因而相应频率范围( 即禁带) 的波不能传播，只是一个振动态。 实际应用中，在波长较长的微波声子晶体领域，谐振型声子晶体因能实现小 尺寸控制大波长，研究和应用的比较广泛；而在短波长的光波光子晶体领域主要 研究的是布拉格散射型。关于弹性波带隙形成机制有两种布拉格散射机制和局域 共振机制。由于晶格常数与波长比例关系的不同，这两类声子晶体禁带形成的物 理机制也不同。布拉格散射型声子晶体禁带形成的物理机制可用模式耦合来定性 解释。这种机制导致禁带的原因主要是声子超晶格与弹性波相互作用，使得某些 频率的波在周期结构中没有对应的振动模式，从而产生了所谓禁带。当弹性波频率 落在禁带范围内时，弹性波被禁止。研究表明，禁带的性质与组分的弹性常数、密 度及声速有关、与组分的填充比有关与晶格结构形式及尺寸有关。一般说来，非网 络型晶格结构比网络型晶格结构更容易产生禁带组分的弹性常数差异越大也用最 简单的线性模型来讨论任何均匀无损传输系统中两个行波通过空间耦合形成的耦 合波，可以得到这样的结论：只有当两个未扰动行波的群速度方向相反，且耦合 系数大于两个未扰动行波相移常数之差时，耦合波可能为增幅波或减幅波，不能 正常传输；其余情况，耦合波仍为能正常传输的等副行波。这就意味着：只有前 向波( 群速度与相速度方向相同) 与返波( 群速度与相速度方向相反) 之间存在 能量耦合；前向( 返) 波携带的能量可能转移给反方向传播的返( 前向) 波。联 想到声子晶体禁带波的特性是低透射且高反射，可知存在禁带的前提条件是：系 统的本征模式均应同时包含前向波和返波的空间谐波成分。显然这种本征模式在 均匀介质中不存在，而周期系统的每个本征模式都是如此。而谐振型声子晶体的 单个散射单元或一个原胞就有明显的谐振特性，且存在远远大于散射体的几何尺 寸的谐振波长。对该谐振波长尺度的波，密排( 间距远小于谐振波长) 这些散射 单元得到的声子晶体可视为均匀色散介质。这一均匀色散介质的等效物理参数在 谐振频率附近出现奇异，相应的等效物理参数不支持波在其中传播，只支持相应 频率的振动态。这是一个小尺度有谐振特性的大尺度均匀系统的共性( 对色散介 质的介电常数有类似讨论) 。因此，这类声子晶体的禁带就出现在其散射单元谐 振频率附近，对应超平带的较窄频率范围。同时，由于这类晶体的单元尺度远小 于禁带波长，因而单元的排列方式对禁带的位置没影响。 2 0 世纪5 0 年代未期，美国物理学家安德孙( a d e r s o npw 1 在研究固体中电子受 到的无序杂质散射时，指出在一个足够无序的场中电子德布罗意波波动方程的解 4 硕1 ：学位论文 会变得局域。也就是说，足够无序的杂质会使一个导体变成绝缘体。例如，正常 导线的电阻与其长度成正比，但有足够无序的杂质导线的电阻却随长度指数增大。 安德孙认为这是电子波动性的本质反映。现已证实他的这个观点是正确的，不仅 仅是固体中的载流子，对各种经典波如光波( 电磁波) 和声波( 弹性波) ，也都 观察到了这种安德孙局域现象【l 】。 符合布拉格散射机理的声子晶体具有理想的周期性结构，对这种理想周期性 结构的破坏一般称为缺陷( 该概念沿用了固体物理学关于缺陷概念) 。缺陷按其维 数可以分为点缺陷、线缺陷和面缺陷。当声子晶体中存在某种缺陷时，会在其带隙 范围内产生所谓的缺陷态，缺陷态的存在会对声子晶体的禁带特性产生重大的影 响，因此对声子晶体缺陷态特性的研究有着重要的意义。在缺陷态的能带结构计算 方面，大多采用超元胞的平面展开法，而在传输特性计算方面，大多采用时域有 限差分法。存在点缺陷的声子晶体可以作为声波滤波器，而有线缺陷的声子晶体 则可以作为声波导。 s i g a l a smm 【4 0 】等人研究了二维铅环氧树脂声子晶体中存在点缺陷时弹性波 传播情况，该点缺陷通过改变某个铅柱的直径来获得，计算表明点缺陷对弹性波具 有局域作用。k a f e s a k i 等人采用时域有限差分法( f d t d ) 研究了弹性波在二维铅环 氧树脂声子晶体中存在线缺陷时的传播情况，该线缺陷是通过移去声子晶体中的 一行或一列铅棒获得的，研究表明弹性波只能沿线缺陷传播。在缺陷态的实验方面， t o r r c s 等人研究了二维水银铝声子晶体中的表面态情况，指出声波在声子晶体界 面上具有声波局域现象。同时还用实验研究了通过移去部分水银柱形成的l 形线 缺陷和采用压电振动器代替某个水银柱形成的点缺陷情况下声波的传播情况，实 验表明声波只能沿线缺陷传播或被局域在点缺陷处，实验结果很好地验证了理论 计算结果。关于三维声子晶体中的缺陷研究，仅有1 篇理论性方面的工作 p s a r o b a s 4 i 】等人在文中研究了三维铅球在环氧树脂基体中以面心立方排列时，面 缺陷的存在可以使得声子晶体的带隙中出现了横波和纵波的局域现象。对声子晶 体中缺陷态的研究，大部分还只是理论计算工作，禁带计算方法同样也是主要采用 平面波方法、有限时域差分法、多重散射法。声子晶体虽然只有点缺陷、线缺陷、 面缺陷3 种缺陷形式，但每种缺陷形式又可以有多种多样的结构形式。对声子晶体 缺陷态特性的研究将对声子晶体的工程应用提供广泛的理论指导。 1 3 声波的基本概况 当外载荷作用于可变形固体的某部份表面上时，一开始只有直接受到外载荷 作用的表面部分的介质质点离开了初始平衡位置。由于这部分介质质点与相邻介 质质点之间发生了相对运动( 变形) ，将受到相邻介质质点所给予的作用力( 应力) ， 但同时也给相邻介质质点以反作用力，因而使它们也离开了初始平衡位置而运动。 兰姆波相：声了晶体中的传橘特性研究 不过，由于介质质点具有惯性，相邻介质质点的运动将滞后于表面介质质点的运 动。依此类推，外载荷在表面上所引起的扰动就这样地在介质中逐渐由近及远传 播出去而形成波。在介质中产生的波型，存在两种质点运动的基本模态：对于纵 波，质点速度与波矢量或波速矢量方向一致；对于横波或剪切波，质点速度矢量 与波矢量方向呈9 0 0 角。剪切波质点速度矢量有时也称为垂直剪切波或水平剪切 波，这取决于在研究中所采用的坐标系。所有各种波的运动实际上都是纵波和横 波质点速度分量的叠加( 如导波则有兰姆波、表面波和界面波组成) 。扰动区域与 未扰动区域的界面称为波阵面，而其传播速度称为波速。根据波阵面几何形状的 不同，可把波分为平面波、柱面波、球面波等：一切固体材料都具有惯性和可变 形性，当受到随时间变化着的外载荷的作用时，它的运动总是一个波传播、反射 和相互作用的过程【4 2 1 。 衰减可以是由于介质内部的摩擦或能量吸收而产生的，也可以是当球面或柱 面波传播时由于几何形状的原因而产生。通常，衰减可以使振动的幅度减小，尽 管在非频散介质中脉冲的持续时间不变。然而，在特殊情况下，当衰减可以被认 为是频率的函数( 在频散介质中) 时，可以观察到脉冲的扩散，这也很明显地导 致幅度减小。散射是由于反射波或波与小障碍物相互作用而产生的，散射既可以 导致幅度减小又可以导致脉冲扩散。 1 3 1 体波 体波是指无限大介质内的声波。按照波阵面的空间分布，可分为平面波、球 面对称波和轴对称波几种形式。如前面所述，以声速c l 传播的是膨胀波，以声速 c 熊播的是不变体积波或剪切波，而平面的膨胀波总是纵波，平面的不变体积波 总是横波。把膨胀波叫做l 波，不变体积波叫做s 波。s 波又分为s h 波和s v 波。位 移偏振方向为水平的波称为s h 波，位移偏振方向垂直的称为s v 波。在一般情况， 介质内部可以传播偏振方向相互垂直的一个平面纵波和两个平面横波。在各向异 性介质内部，一般也存在由偏振方向互相正交的三个波所组成的波系，但它们常 不是纯的纵波或纯的横波，而两个“准 横波的波速一般也不一样。 无论是哪种空间形状的分布波阵面的波，它都可能有种种色色随时间的变化， 这是由边界条件决定的。在随时间变化的方式上，时间简谐波是最常遇到的声波 类型，它不仅出现在体声波，也出现在声表面波和遵导声波。 1 3 2 表面波 上面已分析了在固体中一般能产生两种类型的声波一一纵波和横波。那么在 固体的自由表面还会形成沿着表面传播，其振幅随离表面深度迅速减弱的，它的 传播速度也不同于体声波的c 卉口乱，这种波称为声表面波。关于这个问题，早在 l8 8 5 年英国物理学家瑞利根据对地震波德研究从理论上阐明了在各向同性固体表 6 硕士学位论文 面上弹性波德性，证明了弹性半空间和无限介质之间的差别。表面波最初是在天 然地震记录中发现的，1 9 5 1 年d o b r i n 做了小药量激发和测定瑞利波的试验，即使 在不均匀表层中，结果也与理论符合。1 9 7 4 年a l s a pg o o d m a n 等证明了瑞利波是p 波和s v 波的非均匀平面波彼此干涉的结果。 1 3 3 兰姆波概述 在板某点上激发超声波，由于激发区域的超声波传播到板的上、下界面时， 会发生波形转换( l 波变为s 波，反之亦然) ，经过在一段时间的传播后，因叠 加而产生“波包”，即通常所说的导波模态。基于所用的模态和频率，可以预测 在板中可以产生多少种不同模态的导波。兰姆最早深入研究了这个问题【4 3 1 。 兰姆波是1 9 1 7 年英国力学家兰姆按平板自由边界条件求解波动方程时得到了 一种特殊的波动解而发现的。它是一种在厚度与激励声波波长为相同数量级的声 波导( 如金属薄板) 中由纵波和横波合成的特殊形式的应力波，它是板中的导波， 通常也称“板波 。板波是个总名词，当板的上下界面在力学上自由时，这种特 殊的超声波就叫兰姆波波定义为弹性扰动在自由边界板中的传播，是在具有两个 平行表面的结构中由横波和纵波相互合成的一种应力波。它的位移不仅发生在波 的传播方向，垂直板的方向上也有。在无限均匀各向同性弹性介质中，横波和纵 波分别以各自的特征速度传播而无波形祸合，而在板中则不然。在板的某一点上 激励超声波，由于超声波传播到板的上、下界面时，会发生波形转换。经过在板 内一段时间的传播之后，因叠加而产生“波包 ，即所谓的板中兰姆波模态。兰 姆波在板中传播时，存在不同的模态，各种模态的叠加效果即为兰姆波。 根据板内质点振动位移的分布形态不同，兰姆波被分为对称型兰姆波和反对 称型兰姆波，他们的传播形式如图1 5 所示。同时对于不同类型的兰姆波，还有不 同的阶次，通常用s 0 , s l ，s 2 表示不同的对称型兰姆波模式，a o ，a l ，a 2 表示 不同的反对称型兰姆波模式，因而由瑞利兰姆方程得到的兰姆波频散曲线不止一 条。 兰姆波在板中传播时，板中质点的振动轨迹是椭圆形的，质点的振动可以分 解为水平分量u 和垂直分量u ，。对称型兰姆波的特点是薄板中质点的振动对称于 板的中心面，上下两面相应质点振动的水平分量方向相同，而在垂直分量方向相 反，且在薄板的中心面上质点是以纵波形式振动的。反对称型兰姆波的特点是薄 板中质点的振动不对称于板的中心面，上下两面相应质点振动的垂直分量方向相 同，水平分量方向相反，且在薄板的中心面上质点是以横波形式振动的。 兰姆波的主要特点就在于它的多模式和频散，在任一给定的激发频率下，至 少存在两种兰姆波模式，而各模式的相速度又随着激发频率的改变而发生变化， 即频散。兰姆波频散曲线是进行兰姆波检测中不可缺少的参考，对于不同的材料， 7 兰姆波柏：声了晶体中的传播特忡研究 采用不同的激发频率，兰姆波的频散特性是很不相同的。要绘制兰姆波频散曲线， 就需要求解瑞利兰姆方程，而通过对称和反对称的瑞利兰姆方程不可能求得这 些频散曲线的解析表达式，要得到详细和精确的数字结果，必须在计算机上求该 方程的数值解。需要说明的是，兰姆波频散曲线包括相速度频散曲线、群速度频 散曲线、理论时频分布曲线，对于用斜探头激发的兰姆波还包括激发角曲线。采 用m a t l a b 编程对上述瑞利兰姆方程进行数值求解。 图1 5 对称型兰姆波和反对称型兰姆波 兰姆波是超声无损检测中最常见的一种导波形式，与常规超声的逐点扫查不 同，兰姆波检测时一次扫查一条线，并且收发探头可置于试件的同一侧，这在很 多场合下是方便的，所以，兰姆波检测对于薄板检验具有纵波和横波难以比拟的 快捷、高效的特点，非常适合于大面积板形结构的无损检测。 1 3 4 声波在晶体中传播的研究现状 声子晶体的声子禁带和允带具有可设计性，这就需要求解声波在晶体中传播 的波动方程。根据声学知识，声波在气体或液体中传播时只有纵波，但在固体中 传播时既有纵波，也有横波。在均质材料中，纵波和横波是独立的：而在非均质 材料中，纵波和横波相互耦合，即v “，0 ，v u ，0 ，因此声子禁带的计算比较 复杂。研究光子晶体的禁带是要解麦克斯韦方程，因为电磁波只有横波( v d = o ) ， 所以计算相对容易得多。 表面波声子晶体的研究也变成一个热点，t 0 r r e s 【4 4 】等人在二维a 1 h g 声子晶体 中发现了表面波声子晶体；在文献中，利用固体物理中的所谓的空格子方法研究了 周期材料中的表面波，并观测到了完全表面波禁带；文献中利用变分法研究了表 面波声子晶体，并与实验进行了对比，两者比较吻合。但是利用变分法研究表面波 声子晶体，没有考虑表面波的矢量性质，这个缺点被t a n a k a t 4 5 】等人利用平面波展 丌法解决了，他们研究了表面波在正方形排列结构( 立方材料a 1 a s g a a s ) 和三 硕士学位论文 角形排列结构( 各向同性材料a l p o l y m e r ) 传播特性，并与实验进行了对比，两者 比较吻合。w u 等人把这种方法推广到各种各向异性材料，并研究了表面波在周 期压电材料传播特性。l a u d e 等人在周期性压电材料中观测到表面波完全禁带。 w i l m 等人利用三维的平面波展开法研究了周期性薄板压电材料。弯曲波的共振现 象在复合薄板材料中被发现【4 6 1 。s i g a l a 等人利用平面波展开法研究了弯曲波在周 期性薄板材料中的特性，并提出变化板的厚度可以得到包含有弯曲波振动模式和 x ，y - 方向振动模式的完全禁带。还有一种研究方向为波的矢量沿着圆柱方向传 播，m a n z a n a r e s m a r t i n e z 4 7 】利用超元胞方法研究了表面波在这种周期复合材料中 的传播特性。 随着现在工业的发展，对板状构件内部的缺陷进行检测，定征的需求越来越 迫切，特别是近年来发展起来的复合材料板以其密度小，强度高、耐高温等特点 而被认为是航空航天工业的理想新材料。用体声波检测板状材料时盲区问题几乎 是一个难以克服的困难，而兰姆波自然成为在线检测板状构件的有力手段。兰姆 波的另一重大应用是近年来发展起来的兰姆波微传感技术，边界上物理、化学、 生物等条件的变化引起兰姆波传播速度的改变，测出声速的改变就可以推断出边 界上微小质量、应力、粘滞等的变化，兰姆波微传感器因其灵敏度高、体积小以 及可以工作在液相中等特点，而在物理、化学、环境监测、生化过程等的实时监 测方面具有潜在的应用价值。而且低价反对称兰姆波模式微传感器的性能要优于 表面波微传感器。再一个方面，由于在表面波和体波声子晶体实验中材料尺寸不 可能无限大，当材料的厚度与声波波长差不多的时候就会产生兰姆波声子晶体， 由于兰姆波声子晶体是在薄板材料中传播，其研究比较复杂。所以有必要研究兰 姆波声子晶体。 a u l d 等人第一次利用耦合模式近似方法研究了兰姆波在两维周期性复合材 料中传播特性。a l i p p ia 等人第一次在复合材料薄板实验中观测到最低对称兰姆 波模式的禁带，并用近似的理论进行了解析。接着他们利用传递矩阵方法研究了 兰姆波在有限长度周期性材料中的传播特性，其结果非常对应于k r o n i gp e n n e y 方法结果。最近z h a n g 等人在a i r a 1 薄板材料中观测到a o 模式的禁带，而且发现 了a o 模式禁带中含有一段非常窄的通带。 从以上文献中可以看出，对于兰姆波在周期材料中的传播特性研究还是比较 少。或者仅仅研究在一个方向传播的特性，或者理论研究不严格。所以我们有必 要继续研究兰姆波声子晶体。 1 4 论文的主要内容 本文的研究课题以声子晶体为研究对象，结合汽车国家重点实验室自主课题 “流固耦合隔声数值方法及实验研究”( 项目编号为5 0 8 7 0 0 0 1 ) 研究声子晶体的 9 兰姆波祚：声了晶体中的传播特性研究 波动特性，结合商业软件、先进数值算法提出了一种材料特性参数的求解方法。 意在探索一种新的适合于实际工程的隔声材料。 本文主要对以下几个方面进行了研究： 1 了解和掌握声子晶体的概念及发展状况，基于有限元理论、经典声波基本 原理，阐述了声波的一些基本概念以及对兰姆波的概念及运动形式等进行详细说 明，阐明了兰姆波的频散特性，探讨各类声波在声子晶体中的传播特性，并进一步 阐述有限元的数值模拟方法。 2 有限元计算一维兰姆波和二维兰姆波声子晶体传输能量谱和振动波图。 3 研究兰姆波在一维三元准周期结构薄板中能量谱，通过调节板的厚度和代 数以得到不同的带隙宽度。 4 研究兰姆波在截面积线性变化的周期性结构薄板中传输能量谱和在周期 性结构的功能梯度薄板中的能量谱。 5 对周期性板结构中的兰姆波做了实验，详细地研究了激光兰姆波频散特 性，通过m a l t a b 编程求解瑞利一兰姆方程，绘制出兰姆波频散曲线。 l o 硕1 j 学位论文 第2 章兰姆波声子晶体的有限元数值模拟 2 1 前言 在各种工程技术如建筑、运输、交通等领域里，在先进工程系统的模拟和仿 真中，有限元法( f e m ) 已经发展为当前主要的、不可缺少的一门技术。一个系统 中某个现象的行为取决于该系统的几何形状或区域范围、材料或介质的性质、边 界、初始条件和加载情况。对于一个工程系统，几何形状或区域通常是非常复杂 的。因此，一般来说用解析方法求解控制微分方程是很困难的，实际上许多问题 都是使用数值的方法来求解，由于有限元法有很强的实用性和通用性，区域离散 的有限元法在众多数值方法中是最受欢迎的【4 8 1 。 金属与复合材料的薄板结构普遍应用在航空航天陆地运输和海上交通工具 中，而兰姆波对于薄板厚度方向的材料变化相当敏感。有限元法是兰姆波传播特 性建模方法中针对材料的一种建模方法。利用有限元方法开展波动传播研究是近 年来迅速发展起来的数值技术，它不仅能对复杂介质和结构的声场分布作模拟， 而且能对结构上某点的位移波形作较精确的描述，因此，己被用于研究固体中波 的传播特性。 本章首先探索了声子晶体禁带特性的减振隔振原理，在上述原理的前提下用 有限元计算了一维兰姆波和二维兰姆波声子晶体传输能量谱。建立符合实际检测 情况、简单实用的理论模型，以一维三元f i b o n a c c i 序列准周期结构薄板、截面积 线性变化的周期性结构薄板和周期性结构的功能梯度薄板为例，进行了有限元的 数值模拟。 2 2 有限元的数值模拟 在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们应 遵循的基本方程( 常微分方程或者偏微分方程) 和相应的定解条件。但对于许多 力学问题和物理问题，由于它们所遵循的方程的某些特征的非线性性质，或由于 求解区域的几何形状复杂，无法得到解析的答案，故对这些问题只能通过数值方 法获得近似的解，而有限元法正是众多数值方法中应用最广泛的一种【4 9 1 。 有限单元法的基本思想是将连续体的结构离散为一组有限个，且按一定方式 互相连结在一起的单元的组合体。并在每个单元中设定有限个节点，将连续体看 作是只在节点处相连接的一组单元的集合体。由于单元能按不同的连结方式进行 组合，且单元本身又可以有不同的形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。 有限元法作为数值分析方法的另一个重要特点是利用在每一个单元内假设的近似 兰姆波在声了晶体中的传播特性研究 函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。单元内地近似函数通常由未知 场函数及其导数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表示。这样一来，一个 问题的有限元分析中，未知场函数或及其导数在单元的各个节点的数值就成为新 的未知量( 也即自由度) ，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由 度问题。一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数 的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然随着单元数目的增加，也即单 元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程 度将不断改进。虽然从理论上说，无限制地增加单元地数目可以使数值分析解最 终收敛于问题的精确解，但是这却增加了计算机计算所耗费的时间。在实际工程 应用中，只要所得的数据能够满足工程需要就足够了，因此，有限元分析方法的 基本策略就是在分析的精度和分析的时间上找到一个最佳平衡点【5 们。 使用有限元法进行计算机模拟通常由下列四个步骤所组成： 1 建模 2 划分网格 3 给定材料性质 4 给定边界条件、初始条件和载荷情况 有限元求解程序的内部过程如下图2 1 图2 1 有限元求解程序的内部过程 1 2 硕1 ：学位论文 2 3 基于声子晶体禁带特性的减振隔振原理探索 利用声子晶体的禁带特性来实现减振降噪有两种思路：一种是将声子晶体插 入到振动或波的传播路径中，利用其禁带特性阻止波到传播，从而实现隔声或隔 振；另一种是按声子晶体的思想来设计结构本身，使特定频段内的振动不能在结 构中传播，从而达到抑制振动和噪声的目的。我们探索了两种思路用于减振隔振 的可行性。对于隔振应用，声子晶体仅能适用于较小负载、较小阻尼和较大连接 刚度的情形，因此可能在超精密仪器平台隔振方面有所应用。对于抑振应用，我 们研究了工程中广泛存在的梁板类结构弯曲振动的情况，结果表明，按声子晶体 思想设计的细直梁或薄板存在弯曲振动禁带，能够抑制特定频段的振动在其中传 播。对于有限结构，可以采用有限元法仿真其振动传输特性，根据振动传输特性 曲线来判定弹性波带隙的存在与否，以及带隙的位置和宽度。对有限周期结构的 振动传输特性的仿真可采用结构有限元分析软件a n s y s 来实现。然而对无限周期 结构通常采用平面波方法来实现。 2 3 1 有限元计算一维兰姆波声子晶体传输能量谱 理论计算一维兰姆波声子晶体时，模型的尺寸以及嵌入体的结构如图2 2 。 三广。 ， - 8 u p e r l a t t i c e s t r e c e i v e r ， i t u n g s t e n b i b t u n g s t e n 1 0 0 r r a n 2 0 n n n 1 0 0 m m 图2 2 有限元模型示意图 声波的传播为x 方向。由于计算中，与y 方向没有关系，这样可以把二维的 计算的变成一维问题。计算中，选择了解决波传播问题常用的均匀四节点四边形 元。空间以及时间上的步长都足够小以达到计算精度要求。在离样品很远的处用 三角力激发，从而得到兰姆波，当兰姆波到达样品的时候，可以得到与薄板平行 的波矢量，这样可以与平面波展开法匹配。兰姆波通过不同材料物质的时候，由 于布拉格来回反射，从而形成了禁带。计算得到通过样品后，随时间变化的振动 位移u ，数据，并进行f f t 变换得到能量谱。 利用有限元计算l m m 厚的同一种立方钨材料传输能量分布图。图2 3 a ) ，b ) 分别为其波形图，传输能量分布图。图2 3 b ) o e 有一个明显禁带在1 0 6 0 1 6 3 0 k h z 。 并与图2 8 的结果一致。 兰妫波神：声了晶体中的传播特性研究 t i m e 泓o a ) 振动波形图 】f r e q u e n 譬y 五d l i z ， b 1 传输能量分布图 图2 3 有限元