（计算机应用技术专业论文）量子搜索算法研究及量子纠纷计算.pdf

l 摘要 量子计算与量子信息技术虽然兴起没有多久，但已经取得了显著的发展成果，并具 有广阔的应用前景，极大的推进了计算机科学的发展，预示着量子信息时代即将到来。 论文简要介绍了课题的研究背景、意义以及进行量子计算与量子信息研究所需的物 理、数学方面的知识和量子计算所需的基本元素。 g r o v e r 量子搜索算法是量子计算最重要的进展之一，对经典算法的搜索速度实现了 平方根级的加速，是一个极具挑战性的研究领域。本文深入研究了g r o v e r 量子搜索算 法及其改进思路，阐明了g - r o v e r 量子搜索算法的搜索思想、搜索过程、几何描述、算 法性能及存在的主要问题，阐述了改变旋转相位、目标加权两种改进思路的实现方法， 并对不同旋转相位的算法进行了对比分析。 量子纠缠现象是量子力学的独特资源，是量子信息技术的重要基础之一。从量子密 码术到完全保密的量子通信，从量子计算机到未来的量子互联网，量子纠缠都在其中起 着关键作用，量子纠缠度的计算也因此变得越来越重要。但随着应用系统的演化，量子 纠缠度的计算也变得更复杂。本文提出使用遗传算法或量子行为粒子群优化算法，基于 相关纠缠熵来进行量子纠缠度的计算，并在双量子比特系统上进行- r n 试，将实验结果 与使用组合纠缠的精确计算进行了对比分析，结果表明，使用遗传算法或量子行为粒子 群优化算法，基于相关纠缠熵进行量子纠缠度的计算是有效的、可行的，有较强的适应 性及实用性。 法 关键词：量子搜索算法，量子纠缠，纠缠度量，遗传算法，量子行为粒子群优化算 a b s t r a c t a b s t r a c t o l j a d f u mc o m p u t a t i o na n dq u a n t u mi n f o r m a t i o nt e c h n o l o g ya r cn e ws u b j e c t s ，w h i c ha r e d e v e l o p e dr e c e n t l y t h e yh a v eg o tr e m a r k a b l ep r o g r e s s ，a n dh a v ew i d ea p p l i c a t i o np r o s p e c t 、聃lt h eg r o w t ho fq u a n t u mc o m p u t a t i o na n dq u a n t u mi n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y , c o m p u t e r s c i e n c ei sr a p i d l yd e v e l o p i n g i nt h en o t - f a rf u t u r e ，q u a n t u mi n f o r m a t i o nt i m e sw i l lb et r u e t h ep a p e rs u m m a r i z e st h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo ft h i sa r t i c l e ，b r i e f l y d e s c r i b e st h en e c e s s a r yp h y s i c a la n dm a t h e m a t i c a lk n o w l e d g eo fq u a n t u mc o m p u t a t i o na n d q u a n t u mi n f o r m a t i o nr e s e a r c ha n dt h eb a s i ce l e m e n t sr e q u i r e df o rq u a n t u mc o m p u t i n g o r o v e rq u a n t u ms e a r c ha l g o r i t h m ，w h i c hi sac h a l l e n g i n gr e s e a r c ha r e aa n ds p e e d i n g s e a r c hr a t eo ft h ec l a s s i c a la l g o r i t h mb ys q u a r e ，i so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tp r o g r e s si n q u a n t u mc o m p u t a t i o n t m sp a p e rs t u d i e st h eg r o v e rq u a n t u ms e a r c ha l g o r i t h ma n di t s i m p r o v e m e n ti d e a s w ec l a r i f y t h e s e a r c hi d e a s ，s e a r c hp r o c e s s ，g e o m e t r i cd e s c r i p t i o n ， a l g o r i t h mp e r f o r m a n c ea n dt h em a i np r o b l e m so fi t t h e nw ed e s c r i b et h er e a l i z a b l em e t h o d o ft h er o t a t i o np h a s ea n dt h et a r g e tw e i g h t ，a n dc o m p a r ea l g o r i t h m s 晰me a c ho t h e r , w h i c h h a v ed i f f e r e n tr o t a t i o np h a s e s q u a n t u me n t a n g l e m e n tp h e n o m e n o n ，w h i c hi sau n i q u er e s o u r c eo fq u a n t u mm e c h a n i c s ， i so n eo ft h e i m p o r t a n tf o u n d a t i o n s o f q u a n t u mi n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y q u a n t u m e n t a n g l e m e n ti su s e da st h eb a s i sf o rs u c ha p p l i c a t i o n s 懿q u a n t u mc r y p t o g r a p h y , q u a n t u m c o m m u n i c a t i o n , q u a n t u mc o m p u t e ra n dt h e n e x tq u a n t u mi n t e m e t t h ec a l c u l a t i o no f q u a n t u me n t a n g l e m e n tt h e r e f o r eg a i n si m p o r t a n c e b u tw i t h t h ee v o l u t i o no fa p p l i c a t i o n s y s t e m s ，t h ec a l c u l a t i o no fq u a n t u me n t a n g l e m e n th a sb e c o m em o r ec o m p l e x t l l i sp a p e r d e v e l o p sam e t h o df o rt h ec a l c u l a t i o no fe n t a n g l e m e n t , w h i c hu s e sg e n e t i ca l g o r i t h m o r q u a n t u m b e h a v e dp a r t i c l es w a r mo p t i m i z a t i o na l g o r i t h ma n db a s e do nt h er e l a t i v ee n t r o p yo f e n t a n g l e m e n t w et e s ti t o nt h et w o - q u b i ts y s t e m ，a n dc o m p a r ei tt oa c c u r a t ec a l c u l a t i o n s u s i n gt h ee n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n t h er e s u l t ss h o wt h a t0 1 1 1 p r o p o s e dm e t h o di se f f e c t i v e a n df e a s i b l e ，a n dh a ss t r o n ga d a p t a b i l i t ya n dp r a c t i c a l i t y k e y w o r d s ：q u a n t u ms e a r c ha l g o r i t h m ，q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，e n t a n g l e m e n tm e a s u r e ， g e n e t i ca l g o r i t h m ，q u a n t u m b e h a v e dp a r t i c l es w a r mo p t i m i z a t i o na l g o r i t h m i i 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论1 1 1 量子搜索算法及量子纠缠的背景与研究意义1 1 2 量子搜索算法及量子纠缠的研究现状。2 1 3 论文的结构及主要工作2 第二章“量子”相关3 2 1 量子力学简介。3 2 1 1 量子态及其表象3 2 1 2 量子态的相干叠加性、纠缠性和坍缩4 2 2 量子力学的数学基础4 2 2 1 向量空间与希尔伯特空间4 2 2 2d i r a c 符号4 2 2 3 基与线形无关5 2 2 4 线形算子与矩阵5 2 2 5 内积、外积6 2 2 6 特征向量和特征值7 2 2 7 伴随及h e r m i t e 算子7 2 2 8 张量积7 2 2 9 矩阵的迹8 2 3 量子力学假设8 2 4 量子力学基本原理。9 2 4 1 态的叠加原理9 2 4 2 波函数及其统计诠释9 2 4 - 3 测不准原理9 2 4 4 运动方程9 2 4 5 全同性原理。1 0 2 5 测量问题与密度算子1 0 2 5 1 完全测量与不完全测量。1 0 2 5 2 密度算子与约化密度算子一1 0 2 6 从经典信息到量子信息1 0 2 7 量子比特1 1 2 7 1 单量子比特1 l 2 7 2 多量子比特1 1 2 8 量子计算1 2 目录 2 8 1 单量子比特门1 2 2 8 2 多量子比特门1 2 2 8 3 量子线路1 3 2 8 4 量子门的通用性13 第三章量子搜索算法简介1 4 3 1g r o v e r 量子搜索算法1 4 3 1 1 基于黑箱( o r a c l e ) 的搜索思想1 4 3 1 2j 立程1 5 3 1 3 几何描述1 6 3 1 4 性能分析1 7 3 2g - r o v e r 量子搜索算法与经典搜索算法的区别1 7 第四章量子纠缠及算法介绍：1 8 4 1 量子纠缠简介18 4 2 纠缠度量假设1 9 4 3 算法介绍2 2 4 3 1 遗传算法2 2 4 3 2 量子行为粒子群优化算法2 3 第五章g r o v e r 算法改进与纠缠度计算2 8 5 1g r o v e r 算法存在的主要问题2 8 5 2g - r o v e r 算法的改进2 9 5 2 1 改变相位2 9 5 2 2 目标加权3 2 5 3 纠缠度量3 3 5 4 纠缠度计算方法的实验验证3 6 5 4 1 实验环境：3 6 5 4 2 双量子比特系统的最小纠缠度3 6 5 4 3 其它实验验证3 9 5 4 4 卅、结：4 8 第六章结论与展望4 9 6 1 论文总结4 9 6 2 工作展望4 9 6 2 1 量子搜索算法方面_ 4 9 6 2 2 量子纠缠方面5 0 致 射5 1 参考文献。5 2 附录：作者在攻读硕士学位期间发表的论文5 7 i i 第一章绪论 第一章绪论 1 1 量子搜索算法及量子纠缠的背景与研究意义 量子计算是2 0 世纪两大科学成就量子力学和计算机科学相结合的产物。 量子力学一出现就成为近代科学不可缺少的一部分，是整个近代物理学的基础。如今它 已经被广泛应用于包括恒星聚变、原子结构、d n a 结构、自然界基本粒子和超导体等 的几乎所有方面1 1 2 1 。计算机科学的理论基础是t u r i n g 、c h u r c h 等人在上世纪三十年代提 出的关于可计算函数和不可计算函数之区分的一些纯数学的命题，其核心是通用t u r i n g 机理论，即用t u r i n g 机可模拟任何计算过程。该理论发表不久，世界上第一台电子计算 机便被制造出来。随着晶体管的发明，计算机硬件的能力便开始以惊人的速度增长。但 是当电子器件越做越小后，量子效应的干扰便越来越明显，从而制约了计算机能力的增 长。因此，改变计算模式就成了一个可能的解决办法，量子计算理论就是不同于经典计 算模式的一种。随着1 9 8 5 年d e u t s c h 提出量子计算机模型【l 】、1 9 9 4 年p e t e rs h o r 证明两 个极其重要的问题寻找整数的素因子问题和解决所谓离散对数问题可以用量 子计算机有效解决【2 2 】及1 9 9 5 年l o vg r o v e r 证明另一个重要问题在没有结构的搜索 空间上进行搜索的问题在量子计算机上可以被加速【5 】，这种可能性也越来越高，也 更具有实用前景。 量子算法是量子力学直接应用到算法理论的产物，其最本质的特征是充分利用了量 子比特间的纠缠性以及量子态的叠加性和相干性。量子并行性、测量是量子算法的基本 特征。量子算法的难点是如何保证期望的计算结果能够以较高的概率测量到。总的来说， 有三类量子算法优于已知的经典算法：第一类是基于量子f o u r i e r 变换的一类量子算法 ( 如s h o r 的因子分解算法和离散对数算法【2 2 】，d e u t s c h j o z s a 算法【2 】等) ；第二类是量 子搜索算法，典型代表是g r o v e r 搜索算法1 5 ，这也是本文主要研究的内容之一；第三类 是量子仿真，用量子计算机模拟量子系统，该构想最早由f e y n m a n 提出【l 。 量子搜索算法的基本原理是由g r o v e r 发现的1 5 】。它主要用来解决如下问题：对于一 个大小为的、没有关于其结构信息的任何先验知识的搜索空间，要在这个搜索空间中 找到一个满足已知性质的元素，时间复杂度如何? 很明显，给定一个元素，要验证它是 否满足条件很容易，但要直接求解该问题却很难。在经典算法中，只能采取逐个元素验 证的方法遍历地搜索下去，因此需要大概n 次操作，但量子搜索算法可以用大约次 操作解决。量子搜索算法没有对搜索问题假定任何特别的结构，因此用途广泛，可以利 用它来加速n p 类问题( 如h a m i l t o n 圈问题) 的求解，可以用来进行量子计数，可以加 速非结构化数据库的搜索在解决经典难题方面有很广泛且有效的应用。 自从量子力学的基本理论形成以来，量子纠缠就一直是量子理论基本问题研究的重 要课题。量子力学的创始人以其深刻的洞察力提出了e p r 佯谬l l3 】和薛定谔猫态，预示 了量子理论基本问题未来的发展方向，量子纠缠理论正是在这一方向上产生的。其中， 量子纠缠态已成为当代量子理论的一个关键性概念，在量子信息科学中有重要的应用。 江南大学硕士学位论文 量子信息科学是2 0 世纪9 0 年代诞生的一门交叉学科，它是量子力学与信息科学相结合 的产物，以量子力学的态叠加原理为基础，将信息科学的发展带入了一个新的天地。在 量子信息科学中，信息的存储、表示、提取等都离不开量子态及其演化过程，而量子纠 缠态具有独特的量子关联特性，是各种各样量子态中比较重要的一类，在量子信息科学 中扮演着重要的角色，大部分信息处理任务都离不开量子纠缠这个重要的物理资源，如 量子密码术【1 9 】、量子超密编码【砌、量子隐形传态1 2 1 1 、量子纠错2 5 】及容错量子计算1 2 3 】 等。量子纠缠的定量研究是量子纠缠研究的重要方面，从应用的角度来说，纠缠态的度 量十分重要。所谓量子纠缠的度量，就是量化量子系统中量子态含有纠缠的多少，对纠 缠度描述，实质上是对不同纠缠态之间建立定量的可比关系。量子纠缠的研究是当前量 子理论的一个前沿热点方向。量子纠缠理论的研究发展将为量子信息科学打开广阔的应 用前景。 1 2 量子搜索算法及量子纠缠的研究现状 自从1 9 9 6 年g - r o v e r 量子搜索算法提出以来，已有许多学者对其进行了改进及扩展 研究，先后提出了多种改进措施，在减少迭代步数及提高搜索成功率方面都取得了较为 瞩目的研究成果。 量子纠缠是量子计算与量子信息技术的重要基础之一，随着后者近年来的迅猛发 展，量子纠缠的定性及定量描述也取得了较为显著的进展：在量子纠缠态的分类方面， 有了l o c c 分类、渐进l o c c 分类和随机l o c c 分类等理论；在量子纠缠态的可操作 判别法方面，提出了若干形式的b e l l 型不等式违背判别法、部分转置判别法及约化判别 法等；在量子纠缠态的定量描述方面，大量描述量早已被提出：纠缠蒸馏( 纯化纠缠度) 、 纠缠估价、形成纠缠度( 组合纠缠) 、相关纠缠熵( 相关熵纠缠度) 、纠缠压缩等等。 1 3 论文的结构及主要工作 论文由五部分组成，各部分内容如下： 第一章：介绍了量子搜索算法及量子纠缠的背景，分析了目前进行量子搜索算法研 究及量子纠缠计算研究的必要性，综述了量子搜索算法及量子纠缠的研究现状，并说明 了论文的主要工作及结构； 第二章：简明扼要的介绍了量子力学、线形代数等论文研究所需的基础理论知识以 及量子计算所需的基本元素； 第三章：介绍了g r o v e r 量子搜索算法的整个算法体系及与经典搜索算法的区别； 第四章：介绍了量子纠缠的相关知识以及遗传算法与量子行为粒子群优化算法的基 本原理； 第五章：本章首先介绍了g r o v e r 算法存在的主要问题以及改进思路，并对不同旋 转相位的算法进行了对比分析，然后介绍了纠缠度的描述方法，提出了使用遗传算法或 量子行为粒子群优化算法，基于相关纠缠熵计算量子纠缠度，并在双量子比特系统上进 行了测试，对实验结果进行了分析并与精确计算的结果作了比较； 第六章：论文的工作总结与展望。 2 第二章“量子”相关 第二章“量子 相关 2 1 量子力学简介 量子力学是一个数学框架或一套构造物理学理论的规则【1 2 1 。量子力学是研究微观粒 子( 分子、原子、原子核、基本粒子等) 性质及其运动规律的理论，与经典力学服从确 定性规律不同，量子力学服从统计规律。量子力学的发展经历了旧量子论时期、量子力 学的创建与完善期以及量子力学向纵深发展的三个阶段。从认识论的角度看，经典理论 隶属于决定论，而量子理论隶属于概率论，事实上，从根本上来说决定论只是概率论的 一个特例。 量子力学中的物理量之所以要用态矢量空间中的算符表示，正是因为其要服从统计 规律。一般说来，量子态均是叠加态，测量时无法测得其所有的值，只能以一定的概率 得到其某个本征值，此概率即该量子态的概率幅。概率幅是复数，它的模平方是概率， 概率幅具有模量和相角，因此量子状态的叠加还会产生干涉现象。这个干涉现象，宏观 世界的人们无法理解，也为微观世界蒙上了神秘的色彩，人类把微观粒子拥有的那些神 奇的属性统称为量子态特性。量子的波粒二象形、量子态纠缠、单量子态不可克隆、量 子态叠加性等所谓的量子相干的特性都属于量子态特性。量子计算和量子通信都以此为 基础，同时这些性质也是量子信息学研究的重要目标之一1 3 j 。 2 1 1 量子态及其表象 微观粒子的波动性反映微观粒子运动的统计规律，德布罗意称这种波动性为物质 波，也叫做概率波。在量子力学中，常用到的力学量除坐标外，还有动量、能量、角动 量等。通常，将微观粒子或粒子体系的状态称为量子态( q u a n t u ms t a t e ) 。一个量子态， 是可以由某种实验测量完全确定的系统的运动状态，它可以用一些观测量的测得值来确 定和标志。描述微观粒子运动状态使用波函数y ( ，) ，只要给定波函数，粒子在f 时刻 出现在位置厂附近的概率密度l y ( ，) i 。就确定了。妒( p ，t ) 表示粒子在t 时刻出现在动量p 附近的概率密度幅，他可以由y ( ，f ) 通过f o u r i e r 变换得到。如果只关心粒子的动量， 则可以用l 妒( p ，f 犷表示动量的概率分布函数加以确定。如果省去f ，只要给出波函数 缈( r 1 ，则粒子的所有力学量的概率分布就确定了，即( 厂) 完全刻画t - - - - 维空间中粒子 的状态。也就是说，波函数沙( ，) 代表了粒子的量子态。同理伊( p ) 也可以刻画同一个粒 子的状态，即伊( p l 也代表了该粒子的量子态。 一个粒子的量子态既可以用妙( r ) 描述，也可以用伊( p ) 或其它力学量作为变量描 述，他们都是等价的。它们所描述的是同一个量子态，只不过表达方式不同，即使用的 表象( r e p r e s e n t a t i o n ) 不同。于是，称y ( r ) 为量子态的坐标表象表示，而伊( p ) 为量子 态的动量表象表示。不难看出，表象是态和力学量的具体表达形式。用几何语言描述， 基矢就是构成态矢量空间坐标系的单位矢量，表象则是由这组单位矢量所构成的坐标 3 江南大学硕士学位论文 系。选择一个表象，就是选择用来描述态矢量空间的一个坐标系，而波函数则是态矢量 在此坐标系中的坐标【4 】。经典力学中，粒子在某一时刻的坐标与动量是确定的，也就是 说粒子的运动具有确定的轨迹，然而与之不同，在量子力学中，微观粒子的量子态只代 表其力学量的概率分布，在同一时刻，只能测得其坐标和动量中某一个的值，而另一个 值无法得到，也就是说微观粒子的运动轨迹是不确定的、无法预知的，这也是微观粒子 区别于经典粒子的重要特性之一。 2 1 2 量子态的相干叠加性、纠缠性和坍缩 通过波函数可以描述一个粒子或粒子体系所处的状态。对粒子的某一运动量，在测 量前，无法预知测量结果，而测量后该量子态将发生坍缩，下一次的测量值就更无法预 测。也就是说，每一次的测量结果都是不确定的，以某种概率得到某个值。测量结果的 不确定性源于量子态的叠加性，叠加的本质在于态的相干性，因为微观粒子具有波动性， 导致同一个粒子的不同运动量的本征态之间是相干的，这些相干性导致态的叠加。 通常将两个粒子体系量子态的相干叠加性，称为纠缠性( 即量子态不能分解成两个 单粒子态的张量积形式，每个粒子的状态不能单独表示出来) ，此时的量子态称为纠缠 态，即所有粒子的共有的状态。 量子力学中的测量将破坏系统的相干性，这一由测量导致的量子叠加态到某一基本 态的转化过程称为量子态的坍缩。对量子力学中量子体系进行力学量的测量时，必然导 致体系相干性的破坏和量子态的坍缩，这与经典力学对一个力学量的测量不影响体系状 态的情况截然不同。 2 2 量子力学的数学基础 2 2 1 向量空间与希尔伯特空间 微观粒子的运动是在一定的时空中进行的，为了更好地描述和分析它的运动状态， 需要在向量空间内研究量子力学问题。而线形代数是研究向量空间及其上的线性算子 的，因此线性代数是研究量子力学的重要基础。通常，在由刀元复数构成的向量空间内 研究量子力学问题。 在数学领域，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情 形，即希尔伯特空间是无穷维的欧几里德空间。在量子力学中经常使用希尔伯特空间， 而在量子计算与量子信息中遇到的有限维复向量空间类中，希尔伯特空间和内积空间是 完全相同的，无穷维希尔伯特空间需要在内积空间基础上附加一些限制条件，在此不考 虑这种情况。 2 2 2d i r a c 符号 量子力学中的一个量子态可以用希尔伯特空间中一个矢量来标记，而力学量对应线 性厄米算符。也就是说，量子态这个物理概念用数学中的矢量来描述，而力学量这个物 理概念用数学中的一个算符来描述。d i r a c 首先用符号i ) 来标记量子态，又称为右矢量， 而( i 与i ) 一一对应，是i ) 的厄米共轭态，称为左矢量。 4 第二章“量子”相关 2 2 3 基与线形无关 向量空间的一个生成集( s p a n n i n gs e t ) 是一组向量i q ) ，l 呸) ，“) ， 间的任意向量i u ) 都能表示成该组中向量的线形组合 l u ) = ql q ) = q1 0 1 ) + a 2i ) + + 1 ) f 它使得向量空 ( 2 1 ) 称i q ) ，i 呸) ，i ) 为向量空间c ”的一组基，也称c “是由l q ) ，i 呸) ，i ) 张成( s p a n ) 的 空间。 如果式2 1 中右端存在一组不全为零的复数q ，a 2 ，使得 qi q ) + 口2i ) + + i ) = 0 ( 2 2 ) 成立，则称向量i q ) ，i v 2 ) ，1 ) 是线性相关的；相反，只有当q ，口2 ，q 全为零时，式 2 2 才成立，则称向量i q ) ，i 屿) ，i ) 是线性无关的。可以证明任意两个线性无关向量组 如果都是向量空间c “的生成集，则必包含相当数目的元素，称这样的向量组为向量空 间c “的一个基，而且，这样的基总是存在的。基包含向量的数目称为c ”的维数。 2 2 4 线形算子与矩阵 向量空间y 和形之间的线性算子( 1 i n e a ro p e r a t o r ) 定义为：对任意线性输入函数 a ：v _ 形，满足： ， 、 彳i q l 仍) l = q 么( i 仍) ) ( 2 3 ) j f 通常把爿( | 仍) ) 简记作么i 伊) 。当称一个线性算法彳定义在向量空间矿上时，是指么是从y 到y 的线性算子。恒等算子l 是任意向量空间y 上的一个重要的线性算子，定义为对所 有向量i u ) 有等式0 l u ) = l d ) 。在不引起混乱的情况下，乃简记作，。另一个重要的算子 是零算子，记作o 。零算子把所有向量映射为零向量，0 1 0 ) 三0 。从式2 3 易知，一旦确 定了线性算子a 在一基上的作用，彳在所有输入上的作用就被完全确定了。 在量子计算中，线性算子通常用矩阵来表示，线性算子和矩阵是等价的。但要注意， 把矩阵与线性算子联系起来，需要为线性算子的输入和输出向量空间指定基。 线性算子作用于一个态矢量的结果，得到一个新的态矢量，这相当于从一个态矢量 到另一个态矢量的变换。线性算子在态矢量空间中引起的这种变换，称为线性变换。在 量子力学中，一个封闭的量子系统的演化可以通过一个酉变换( 又称幺正变换) 加以刻 画，即系统在时刻 的状态i u ) 和系统在时刻如的状态p ) ，可以与一个仅依赖于时刻和 f 的酉变换u 相联系，即i u ) = v l o ) 。上述的酉变换是通过矩阵实现的，这样的矩阵又 称为酉矩阵，也称为酉算子，其定义如下： 如果一个矩阵u 满足矿u = i ，其中扩是u 的共轭转置，j 是恒等算子( 单位矩阵) ， 则称u 是酉矩阵，或称u 是酉的。酉矩阵的酉性很重要，因为它能保持向量间的内积和 向量的范数。在量子计算中，量子门起到了至关重要的作用，而酉性限制是对量子门的 唯一限制。 5 江南大学硕士学位论文 2 2 5 内积、外积 内积是向量空间上的二元复函数，两个向量i d ) 和i 缈) 的内积是一个复数，在量子力 学中的标准符号写成p i 国) ，符号( u i 表示向量l d ) 的对偶向量，对偶向量的矩阵表示正 是行向量。将带有内积的向量空间称为内积空间。 若i u ) = 【而，x 2 ，】7 ，i 国) 三 m ，y 2 ，儿】r ，则( u l 国) 表示c ”如下定义的一个内积， 即 p i 国) = 【一，x 2 ，】【m ，耽，】2 ( 2 4 ) 如果向量i u ) 和l 国) 的内积为0 ，则称它们为正交( o r t h o g o n a l ) 。向量il ) ) 的范数定义 为 咿) i i _ ( u i d ) ( 2 5 ) 如果满足d ) | l = 1 ，则称l u ) 是单位向量( u n i t v e c t o r ) ，也称l u ) 为归一化的( n o r m a l i z e d ) 对任意非零向量i d ) ，向量除以其范数，称为向量的归一化。如果一组以f 为指标的向量 i f ) ，其中的每个向量都是单位向量，并且不同向量之间均正交，则称该组向量为标准正 交( o r t h o n o r m a l ) 向量组，。 外积表示是利用内积表示线性算子的一个有用方法。两个向量l u ) 和l 国) 的外积在量 子力学中标准符号记为l d ) ( 缈i ，符号扣i 表示向量i 国) 的对偶向量。两个向量外积的结果 是一个算符。若l d ) = 【3 c l ，x ：，】7 ，i 国) = 【乃，坎，乩】7 ，则l d ) ( 国i 表示c ”如下定义的一 个外积，即 l d ) ( 国i = 【j c l ，屯，】7 乃，y 2 ，虬】 ( 2 6 ) 设l f ) 为向量空间c ”的任意标准正交基，对任意向量l d ) 可以写成i u ) = qi f ) ，其 f 中q 是一组复数( 即基本状态l f ) 的概率幅) ，由内积定义可得( 引d ) = q ，于是 一 、 l 眺i l i o ) = z l i ) i l - - i ( 2 8 ) f 式2 8 称为向量空间c ”标准正交基的完备性关系，由该完备性关系，可以把任意线性算 子表示成外积形式。设彳：y 专形是一个线性算子， q ) 和l 哆) 分布是y 和矽的标准正 交基，两次运用完备性关系可得 么= ，矽彳，矿= l 国，) ( 国，i ai u ，) ( d ，i = 0 i 砖叫一1 ) ，( 砷 习 图3 - 2o r o v e r 迭代g 的线路 f i g 3 2c i r c u i tf o r t h e6 r o v e r i t e r a t i o ng g r o v e r 迭代中的运算都可在量子计算机上有效实现，第2 ) 步和第4 ) 步的h a d a m a r d 变换各需要，z = l o g ：次运算，第3 ) 步的条件相移应用受控运算只需要d ( 甩) 个门即可实 现。条件相移的酉算子是2 l o ) ( o | - ，上述2 ) 、3 ) 、4 ) 步总的作用效果为： 。”( 2 1 0 )