（基础数学专业论文）非线性变分包含解的若干问题.pdf

论文题目：非线性变分包含解的若干问题 学科专业：基础数学 学位申请人：褒林 指导老师：曾六川教授 摘要 变分不等式是非线性分析理论中的一个重要组成部分，而变分包含是变分不等式的 重要推广形式本文研究了b a n a c h 空间中非线性变分包含解的若干问题，主要讨论了 非线性变分包含问题解的存在性，唯一性，算法的收敛性，解的迭代逼近本文结果改进 和发展了最近许多相关结果 全文共分为四章第一章介绍非线性变分包含问题的一些相关背景及本文的主要工 作第二章讨论b a n a c h 空间中一类具广义l i p s c h i t z 的七一次增生型变分包含解的迭 代逼近第三章研究一类新的( a ，叩) 一增生型广义拟变分包含解的迭代逼近第四章研 究新的( a ，叩) 一增生型隐式变分包含系统解的迭代逼近 关键词： 变分包含；七一次增生映象；广义l i p s c h i t z 映象；具有混合误差项的i s h i k a w a 迭代序列； 算法；( a ，叩) 一增生映射；松弛共强制映射；预解算子；迭代逼近 t i t l e ：s e v e r a lp r o b l e m so fs o l u t i o n st on o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s d e g r e ea p p l i c a n t ：y u a nl i n ，i i u t o r ：p r o f e s s o rz e n gl i u c h u a n a b s t r a c t v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi sa ni m p o r t a n tp a r to fn o n l i n e a ra n a l y s i st h e o r y , a n dv a r i a - t i o n a li n c l u s i o n sa r ek e yg e n e r a l i z a t i o n so fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s t h ep u r p o s eo ft h e p a p e ri st od i s c u s st h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，c o n v e r g e n c eo fa l g o r i t h m s ，a n di t e r a t i v e a p p r o x i m a t i o no fs o l u t i o n st on o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o np r o b l e m s t h er e s u l t s p r e s e n t e di nt h i sp a p e ri m p r o v ea n de x t e n ds o m ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t s t h i sp a p e ri n c l u d e sf o u rc h a p t e r s n o ww ew i l ld e s c r i b et h e mb r i e f l y i nc h a p t e r1 ，w er e c a l lt h eh i s t o r ya n di n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d so ft h er e s e a r c h o nn o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n dt h em a i nw o r ko ft h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yac l a s so fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n so fk - s u b a c c r e t i v et y p ew i t h g e n e r a l i z e dl i p s c h i t z i a nm a p p i n g si nr e a lr e f l e x i v eb a n a c hs p a c e s w ep r o v et h ee x i s - t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n st ot h ec l a s so fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n dt h ec o n v e r g e n c eo fi s h i k a w ai t e r a t i o na p p r o x i m a t i n gp r o c e s sw i t hm i x e de r r o r s i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c ean e wc o n c e p to fy - r e l a x e d ( 7 ，力一c o c o e r c i v em a p p i n g a n ds t u d yac l a s so fn o n l i n e a rg e n e r a l i z e dq u a s i - v a r i a t i o n a l l i k ei n c l u s i o n sw i t h0 - r e l a x e d ( ，y ，r ) 一c o c o e r c i v em a p p i n gi nr e a lb a n a c hs p a c e s b yu s i n gr e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u e f o r ( a ，叼) 一a c c r e t i v em a p p i n g s ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h en o n l i n e a rg e n - e r a lq u a s i v a r i a t i o n a l l i k ei n c l u s i o n si nq - u n i f o r m l ys m o o t hb a n a c hs p a c e s i nc h a p t e r4 ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fr e l a x e d ( 7 ，r ，s ) 一c o c o e r c i v em a p p i n g sa n d s t u d yan e ws y s t e mo fn o n l i n e a ri m p l i c i tv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s ( g s i v i ) i nr e a lb a n a c h s p a c e s b yu s i n gr e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u ef o r ( a ，7 7 ) 一a c c r e t i v em a p p i n g s ，w ep r o v e t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n st ot h ei m p l i c i tv a r i a t i o ni n c l u s i o n s ( g s i v i ) a n dt h ec o n v e r g e n c eo fi s h i k a w ai t e r a t i v ep r o c e s sw i t hm i x e de r r o r sf o ra p p r o x i m a t i n g s o l u t i o n si nq - u n i f o m l ys m o o t hb a n a c hs p a c e s k e yw o r d s ：v a r i a t i o n a li n c l u s i o n ；k - s u b a c c r e t i v em a p p i n g ；g e n e r a l i z e dl i p s c h i t z m a p p i n g ；i s h i k a w ai t e r a t i v ep r o c e d u r e sw i t he r r o r s ；a l g o r i t h m ；( a ，叼) 一a c c r e t i v em a p p i n g ； r e l a x e dc o c o e r c i v em a p p i n g ；r e s o l v e n to p e r a t o r s ；i t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o n 。 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或 机构已经发表或撰写过的研究成果，其他同志对本研究的启发和 所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意 作者签名：裹林 日期：2 。h 芦岁，2z 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其它手 段保存论文保密的论文在解密后遵守此规定 作者签名：震林 导师签名：彳：、i 1日期：扣。1 厂 上海师范大学硕士学位论文 第一章前言 第一章前言 1 1 非线性变分包含问题的研究简况 自上世纪五、六十年代以来，以非线性为特征的分支学科逐渐发展成一门综合性学 科一非线性科学，它是一门研究非线性现象共性的基础学科，几乎涉及自然科学和社 会科学的各个领域，因此非线性科学的研究具有重要的科学价值 非线性变分包含是变分不等式的一种重要推广形式，变分不等式理论作为当今非线 性分析理论的重要组成部分，在力学、微分方程、控制论、数理经济、对策理论、优化理 论、非线性规划、交通和工程科学、社会和经济模型等领域有着较为广泛的应用如今， 在非线性科学领域中，非线性算子理论作为非线性分析的基础理论和基本工具，已经成 为现代数学的一个重要分支，并且在其它分支中发挥着越来越重要的作用由于大量的 实际问题都与非线性算子方程有着密切的联系，所以研究非线性算子逼近理论有着重要 的理论意义和使用价值毫无疑问，作为非线性算子逼近理论的一个重要分支，非线性 变分包含的研究具有更加重要的现实意义 2 0 世纪中叶，在b r o w d e r 等人提出著名的不动点定理之后，不动点理论成为研究各 类方程问题的重要工具。随后，不动点理论作为非线性泛函分析中发展最为迅速的学科， 其内容日趋完善，并且已成为非线性泛函分析理论中的重要组成部分非线性变分包含 是变分不等式的重要推广形式，同时也与不动点理论有着密切的联系 1 9 6 6 年，s t a m p a c h i a 研究了如下问题：h 为h i l b e r t 空间，p ( u ，口) 是日上的连续 双线型泛函，并且满足p ( u ，v ) o l1 1 秒忆v 可e 其中o l 0 为一常数，k 表示日中 的闭凸子集，则存在唯一解v k 满足不等式 p ( 铭，v u ) 五口一铭) ，vv k( 1 1 1 ) 1 第一章前言上海师范大学硕士学位论文 而问题( 1 1 1 ) 的解决导致了许多重要不等式的出现，此后许多学者对这些变分不等式 进行了推广，出现了更一般的变分不等式和变分包含问题 上世纪九十年代中期，首先由h a u s s o u n i 4 3 l 、m o u d a i i 、k a z m i 4 4 、丁协平 4 5 】等学 者在h i l b e r t 空间中，引入了这样的变分包含问题：设日是实h i l b e r t 空间，d ( t ) 和 r ( t ) 分别表示映象t 的定义域和值域设t ，a ：h _ 日和g ：h 一日是三个映象， 而妒：h _ ru ( + o 。) 为一真凸下半连续泛函对给定的厂e 求u e 使得 ， 9 ( 仳) d ( a 妒) ， ( 1 1 2 ) i ( t u a “一，秽一夕( 乱) ) 妒( 夕( “) ) 一妒( 秽) ，v 口e 其中a 妒表示妒的次微分 1 9 9 9 年，张石生【1 】将问题( 1 1 2 ) 推广到一致光滑的实b a n a c h 空间中，研究了如 下变分包含问题：设x 是实b a n a c h 空间，x + 表示x 的拓扑对偶空间，( ，) 表示x 和 r 间的配对，d ( t ) 和r ( t ) 分别表示映象t 的定义域和值域设t ，a ：x _ x 和g ： x _ r 是三个映象，而妒：x + _ r u + o 。) 为一真凸下半连续泛函对给定的，x 求u x 使得 r p k 以却) ( 1 1 3 ) i ( t u a 乱一，u 一9 ( u ) ) 妒( 9 ( u ) ) 一妒( ) ，vt ，r ， 其中a 妒表示妒的次微分 2 0 0 4 年，曾六川【10 】将变分包含问题( 1 1 3 ) 进行了推广，考虑了下面变分包含问 题：设正a ：x _ 五( ，) ：x x _ x 和g ：x r 是四个映象，而妒：x + - + r u 【+ o 。) 为一真凸下半连续泛函对给定的，五求u 五使得 r 夕( 乱) d ( a 妒) ， ( 1 1 4 )、“上， i ( ( 丁让，a u ) 一， 一9 ( 乱) ) 妒( 夕( u ) ) 一妒( u ) ，vt ，r ， 2 上海师范大学硕士学位论文第一章前言 其中d 妒表示妒的次微分 2 0 0 8 年，谷峰 x 4 l 将变分包含问题( 1 1 4 ) 推广到更一般的情况，研究了b a n a c h 空 间中新的变分包含问题：设t ，a ：x _ 五( ，) ：x x _ 五g ：x _ r 和叩： x r r 是五个映象，而妒：x + 一冗u + o 。 为一真凸下半连续泛函对给定的 ，x 求钍五使得 ， p k 以咖) ， ( 1 1 5 ) i ( ，( t 乱，a 乱) 一厂，? 7 ( 口，夕( 仳) ) ) 妒( 9 ( u ) ) 一妒( 钞) ，v 口r ， 其中岛妒表示妒的7 7 一次微分【4 5 】 同时，h a u s s o u n i 4 2 1 、m o u d a f i 、k a z m i 4 s 、n o o r 5 1 】等学者将一般的变分包含问题推 广到集值变分包含问题，例如：1 9 9 4 年，h a u s s o u n i 引入了这样的集值变分包含问题：设 日是实h i l b e r t 空间，c b ( e ) 为胃中所有非空有界闭子集族，e ，只g ：h _ c b ( h ) 是三个集值映射n ：h h _ 日和g ：h _ 日是两个单值映射，对于每个固定的 y e 而妒( ，y ) ：日一ru + o o 为一真凸下半连续泛函，且在日上是次可微的，并 且g ( h ) n d o m a ( ，y ) o ，那么 ， 求z e 札以z ) i 秽只z ) 和z g ( z ) ，使得 ( 1 1 6 ) l ( ( 札，u ) ，y g ( z ) ) ) 妒( 夕( z ) ，名) 一妒( 秒，z ) ，vy e 2 0 0 0 年，丁协平【4 5 】将问题( 1 1 6 ) 推广到更一般的情况，研究了如下集值变分包含 问题：设日是实h i l b e r t 空间，c b ( e ) 为日中所有非空有界闭子集族，e ，f ，g ：日一 c b ( h ) 是三个集值映射，7 7 ：h h _ 日和g ：日一日是三个单值映射，对于每个 固定的y 墨而妒( ，y ) ：h _ 丑u + 。 为一真凸下半连续泛函，且在胃上是7 7 一次 3 第一章前言 上海师范大学硕士学位论文 可微的，并且g ( h ) nd o m a ( ，y ) 仍，那么 f ! 求z e u 以z ) ，口只z ) 和z g ( z ) ，使得 ( 1 1 7 ) 、上。工， i ( ( u ，u ) ，n ( y ，9 ( z ) ) ) 妒( 9 ( z ) ，名) 一妒( ，z ) ，v y e 随后，n o o r 5 3 引入了下面变分包含问题：设x 是h i l b e r t 空间，g ：x _ x 和n ： x x _ x 是两个单值映射，m ：x 一2 x 是多值增生映射，a ，t ：x c b ( x ) 是两 个多值映射，求u xw a ( h ) ，v 及u ) ，使得 0 g ( w ，秒) + m ( 9 ( 札) ) ( 1 1 8 ) 2 0 0 4 年，张石生 7 1 考虑了如下变分包含问题：设x 是h i l b e r t 空间，g ：x _ x 和n ：x x x 是两个单值映射，m ：x x _ 2 x 关于第一变元是m 一增生多 值映射，a ，t ：x _ c b ( x ) 是两个多值映射，求u 五w a ( u ) ，u 双“) ，使得 0 g ( w ，u ) + m ( 夕( u ) ，“) ( 1 1 9 ) 最近，黄南京【2 3 l 、方亚平【1 8 1 、v e r m a 2 5 1 、兰恒友【2 9 】等学者，分别使用日一增生映 射 2 、a 一增生映射 2 6 1 、叩一增生映射、( 日，7 7 ) 一增生映射【2 0 】、( a ，7 7 ) 一增生映射【2 驯、 松弛( 7 ) 一共强制映射【3 7 1 、松弛( ，y ，r ) 一共强制映射【3 1 】来研究各种非线性变分包含问 题比如，拟变分包含问题、广义拟变分包含问题、混合变分包含问题、混合拟变分包含 问题、广义隐式拟变分包含问题、含参量变分包含问题等 2 0 0 7 年，z h a n g 3 7 】使用带松弛7 一共强制映射的( g ，叩) 一增生型变分包含问题：设 x 是h i l b e r t 空间，g ：x _ x 和7 7 ，n ：x x x 是三个单值映射，a ，t ：x _ c b ( x ) 是两个多值映射，m ：x _ 2 x 是g 一叩一增生映射求“五w a ( 仳) ， 双u ) ，使得 ，( w ， ) + m ( u ) ( 1 1 1 0 ) 4 上海师范大学硕士学位论文 第一章前言 同年，l a n 2 9 】引入了带松弛( 7 ，r ) 一共强制映射的( a ，7 ) 一增生型变分包含问题：设 e 是q 一一致光滑的实b a n u c h 空间，9 ，v ：e _ e 是两单值映射，7 7 ：e e _ e 是两 个单值映射，s ：e _ c b ( e ) 是一多值映射，对每个固定的t e 映射m ( - ，t ) ：e _ 2 e 是( a ，叩) 一增生的任给，ea 0 ，求z eu 文z ) ，使得 ，y ( u ，y ( z ) ) + a m ( 夕( z ) ，z ) ( 1 1 1 1 ) 第三章中，作者考虑了下面广义拟变分包含问题：设e 是g 一一致光滑的实b a n a c h 空间，n ：e e e 是一单值映射，s ，zg ：e _ c b ( e ) 是三个多值映射m ( ，) ： e e _ 2 e 关于第一变元是( a ，叩) 一增生映射，任给厂e8 0 ，求乱e w 取u ) ，v 孔) ，z g ( 让) ，使得 ，g ( w ，u ) + s m ( u ，z ) ( 1 1 1 2 ) 同样，许多学者把一些非线性变分包含问题进一步推广，出现了变分包含系统问题 例如，2 0 0 7 年，b a i 3 5 】引入了如下变分包含系统：设昱是g 一一致光滑的实b a n a c h 空 问，映射m ：e e 是k 一强增生的映射a ：e _ 2 e 是m 一增生的( 即日一增生 的) 映射t ：e e _ e 是松弛( 7 ，r ) 一共强制的单值映射，求x + ，y + e 使得 ， 0 p t ( u + ，z + ) + m ( z + ) 一m ( 秒) + a ( z + ) ，v p o ， ( 1 1 1 3 ) 10 7 7 噩z ，y ) + m ( y + ) 一m ( x ) + a ( y ) ，v 曰 0 第四章中，作者引入新的隐式变分包含系统：设e 是g 一一致光滑的实b a n a c h 空 间，a ：e _ e i = 1 ，2 是两单值映射，互：e e _ e 是松弛( m ，r i ，s t ) 一共强制的单 值映射，坛( ，- ) ：exe _ 2 e 关于第一变元是( a ，碾) 一增生映射任给 ，尼e 求 x + ，y e 使得 t ! p l p x t i ( y + ，茁) + a 1 ( z + ) 一a 1 ( 秒+ ) + p l 尬( 矿，z + ) ，v p 1 o ， ( 1 1 1 4 ) ip 2 正r o t 2 ( z ，y + ) + a 2 ( y ) 一如( z ) + m m 2 ( y + ，秽) ，vp 2 0 5 第一章前言上海师范大学硕士学位论文 本文主要目的就是通过引入一些新的定义，新的变分包含问题，采用一些新颖的证 明技巧，来解决若干变分包含问题解的存在性及其算法的收敛性 1 2 本文工作的概述 第二章中，作者研究了一类具广义l i p s c h i t z 的七一次增生型变分包含解的迭代逼 近最近，谷峰【14 】在自反b a n a c h 空间中，引入变分包含问题( 1 1 5 ) ，并且在文【1 4 】的 定理2 1 中证明了一类具l i p s c h i t z 的k 一次增生型变分包含解的存在唯一性及其具有 误差项的i s h i k a w a 迭代程序的收敛性，其主要结果如下： 定理1 2 1 设x 是实自反b a n a c h 空间，t ，a ：x _ 五( ，) ：x x 一五9 ： x _ 刀和叩：x + r _ r 是五个映象，而妒：x + _ ru + ) 为一7 7 一次可微的 真凸泛函 q 住】i ， 风 c 0 ，1 】， n ) ， ) ， 疋 ， ) 是x 中的序列，且满足下列条件： ( i ) ( t ( ) ，a ( - ) ) + 岛妒og ( ) 一i ：x _ x 是连续的七一次增生算子，k ( - 1 ，1 ) ； ( i i ) 映象z 叶( z ，y ) 关于t 是# - l i p s c h i t z 的，映象y _ g ( x ，y ) 关于a 是 v - - l i p s c h i t z 的； ( i i i ) 映象岛妒og ：x _ x 一致连续； ( v ) 钍n = 缸：+ ：，o 疋i i = o ( q 。) ，l l 1 1 o 。且i | o 一0 ( 礼一o 。) n = o 对给定的，五映象s ：x _ x 定义为 6 s ( x ) = 厂一( n ( t x ，a x ) + 岛妒( 9 ( z ) ) ) + z = q 脚 巳 0 i | 风 星l 0 i | q ；量l d“= ， 上海师范大学硕士学位论文 第一章前育 对任给的z o 五具有混合误差项的i s h i k a w a 迭代序列 z n ) 定义如下 ， z n + 1 2 ( 1 一q n ) z n + 0 c n s y n + u n ， ( 1 2 1 ) iy n = ( 1 一风) z 。+ 风s x 。十u 。， 礼20 则变分包含问题( 1 1 5 ) 存在唯一解z + x 且序列 z 他) 强收敛于该变分包含的唯一 解的充分必要条件是，序列 z 。) ，( 岛妒( 9 ( z n ) ) ) 都有界 受谷峰【1 4 】的启发，本文第二章中，作者把定理1 2 1 的条件( i i i ) ，( i v ) 减弱，得到如 下结果： 定理1 2 2 设x 是实自反b a n a c h 空问，丁，a ：x _ + x ( ，) ：xxx - xg ： x _ r 和7 7 ：x + r r 是五个映象，而妒：x + _ ru + 为一7 7 一次可微的 真凸泛函( o t n ) ， 艮) c 【0 ，l 】， 锃。) ，j ( 口。) ， 钮：) ， 珏：) 是x 中的序列，且满足下列条件： ( i ) ( t ( ) ，a ( ) ) + 岛妒o9 ( ) 一i ：x _ x 是连续的七一次增生算子，k ( 一1 ，1 ) ； ( i i ) 映象z _ g ( x ，y ) 关于t 是# - l i p s c h i t z 的，映象y _ g ( x ，y ) 关于a 是 l ，一l i p s c h i t z 的； ( i i i ) 映象岛妒og ：x _ x 是连续的且广义- l i p s c h i t z 的； ( i v ) 恕口n = 0 ，q n = c o ； ( v ) u 。= 疋+ 钍：，| i 疋i t = 。( ) ，l | 1 1 o ( 3 且1 1 i l _ 0 _ 。) 对给定的，五映象s ：x _ x 定义为 s ( x ) = ，一( n ( t x ，a x ) + 岛妒( 9 ( z ) ) ) + z 对任给的z o 五具有混合误差项的i s h i k a w a 迭代序列 z n 】- 定义如下 ：i ( 二二兰：三；! ：二_ 。 c 1 2 2 ， 7 第一章前言 上海师范大学硕士学位论文 则下列结论成立： ( 1 ) 变分包含问题( 1 1 5 ) 存在唯一解矿x ( 2 ) z 。_ 矿( n _ 。) 兮 z n ) 有界， 风( g z 。一z n ) _ 0 ( n _ ) ， 岛妒( 夕( z n + 1 ) ) 一岛妒( 夕( ) ) _ 0 ( n _ 0 0 ) 本文第二章，作者在实自反b a n a c h 空间中，讨论一类具广义l i p s c h i t z 的k 一次增 生型变分包含问题( 1 1 5 ) ，所得结果主要在以下几个方面改进和发展了【1 4 ，8 - 1 4 】等文 的相关结果 ( 1 ) 将定理1 2 1 的条件( i i i ) ：“映象岛妒og ：x _ x 一致连缨，减弱为定理1 2 2 的条件( i i i ) ：“映象岛妒og ：x _ x 是连续的且广义l i p s c h i t z 的” ( 2 ) 去掉了定理1 2 1 中z 。_ 矿( n _ o 。) 的等价条件要求 岛妒( 夕( z n ) ) ) 有界 ( 3 ) 去掉了定理1 2 1 中条件风_ 0 ( 佗一) 的限制，只要求阮( s x n z n ) 一 0 ( 竹_ ) 即可 本文第三章研究了一类新的( a ，叩) 一增生型广义拟变分包含解的迭代逼近2 0 0 7 年， z h a n g 3 7 】在h i l b e r t 空间中研究了g 一叼一增生型广义隐式拟变分包含问题( 1 1 1 0 ) ，其 主要结果如下： 定理1 2 3 设x 是h i l b e r t 空间，a ，t ：x c b ( x ) 是两个多值映射，g ：x _ x 是r 一强叩一增生的且是a - l i p s c h i t z 连续的映射叼：x x _ x 是丁一l i p s c h i t z 连 续映射且满足叩( z ，y ) - 4 - 叩( 秒，z ) = o ( vz ，y 旧映射( ，) ：x x _ x 关于第一变 元是仃- 7 - 共强制的，关于第二变元是p l i p s c h i t z 连续的映射t 是t d l i p s c h i t z 8 上海师范大学硕士学位论文 第一章前言 连续的如果满足下列关系 丁羽+ 丁2 r 口2 + 7 2 2 ， ( 1 2 3 ) 10 0 和舢 0 满足 i i 器声( t ) 一y t i p a , 。 彳( t ) l i pl i z yi l ，v 茁，y ，t e 危= 1 一p 一、：r = = 石石_ ；_ 1 i 而 d 6 f 7 - q 一1 ( r - p a r e ) ，r p a m ( 1 2 4 ) la q f l q q p o + q p b e q e q + c q 一 9 0 ，选取z o e 使得 9 ( z 。) = 舂却( 翔) 9 第一章前言上海师范大学硕士学佗论文 麓款嚣凇“， 上海师范大学硕士学位论文第一章前言 ( i i ) 一ll lh 一 ，vh ( 0 ，1 ) ，l i me n = 0 ， 一 n 由算法3 2 1 产生的序列 u n ) ， 伽竹) ， 秒。) ， 磊) 分别强收敛于u ，w ，v ，z ，并且( u ，w ，秒，z ) 为问题( 1 1 1 2 ) 的解 本文第三章在q 一一致光滑的实b a n a c h 空间中，讨论了一类新的( a ，叩) 一增生型 广义拟变分包含问题，所得结果在以下几个方面改进和发展了( 2 9 ，( 3 7 】，f 5 5 ，【7 】等文的相 关结果 ( 1 ) 引入叩一松弛( ，y ，r ) 一共强制映射的定义特别地，当7 7 ( z ，y ) = z y 时，定理 1 2 5 中的叼一松弛( 7 ，r ) - 共强制映射即为定理1 2 4 中的松弛( ，y ，7 ) 一共强制映射，因 此发展了定理1 2 4 中的定义 ( 2 ) 将定理1 2 4 中的问题( 1 1 1 1 ) 推广到定理1 2 5 中的问题( 1 1 1 2 ) ( 3 ) 将定理1 2 3 中的问题( 1 1 1 0 ) 推广到定理1 2 5 中的问题( 1 1 1 2 ) ( 4 ) 将定理1 2 3 从h i l b e r t 空间推广到g 一一致光滑的实b a n a c h 空问 本文第四章研究了新的( a ，7 7 ) 一增生型隐式变分包含系统解的迭代逼近2 0 0 7 年， b a i 3 5 】在q 一一致光滑的实b a n a c h 空间中研究了一类带松弛( 7 ，r ) 一共强制映射的 m 一增生型隐式拟变分包含问题( 1 1 1 3 ) ，其主要结果如下： 定理1 2 6 设e 是q 一一致光滑的实b a n a c h 空间，映射m ：e _ e 是k 一强增 生的且是口一l i p s c h i t z 连续的映射a ：e _ 2 f 是m 一增生的映射t ：exe _ e 依第一变元关于m 是松弛( ，y ，r ) 一共强制的，并且关于第一变元是p l i p s c h i t z 连续 的设( 矿，y + ) e e 是问题( 1 1 1 3 ) 的解，序列 z 。) ， ) 由算法4 2 2 产生，且满足 下列条件： ( i ) 墨oq ”= 。， ( i i ) 。o o ：o ( 1 一风) ， ( i i i ) 0 o ，vz ，y ，戗墨i = l ，2 2 ) 数列 q n ， 风】， ) ， ) 满足以下条件； ( i ) 凳o = ， ( i i ) l i m 风= 1 ， ( i i i ) 。o o ：o a 竹( 1 一风一) 心q m + 8 i ，p i m i k i ， ( i i ) 入1 + q 2 + q 3 1 ， ( i i i ) a 2 + q l + q 4 0 ，使得r ( i + a 四= x ( ， 是x 上的恒等算子) 定义2 1 4 【1 6 】设x 是b a n a c h 空间，映象t 称为广义一l i p s c h i t z 的，如果对任意 z ，y x 存在常数f 0 ，使得 l i 殛一t yl i ( | i 霉一yi i + 1 ) ， 引理2 1 1 【1 3 1 设 n 。) ， k ) ， c ，1 ) 是三非负实数列，且满足下面不等式 a n + l ( 1 一t ，1 ) o 。+ 6 n + c 。，vn 0 ， 其中 t n ) c 【0 ，1 ，t n = o o ，6 n = o ( t n ) 且c a 一1 ，则对任给的，五方程z + t x = ，在x 中有唯一解 本章目的是在实自反b a n a c h 空问中，讨论具广义l i p s c h i t z 的尼一次增生型变分包 含问题( 1 1 5 ) ，所得结果主要在以下几个方面改进和发展了 1 4 ，8 1 4 】等文的相关结果 ( 1 ) 将定理1 2 1 的条件( i i i ) ：“映象岛妒og ：x _ x 一致连续”，减弱为定理1 2 2 的 条件( i i i ) ：“映象岛妒og ：x _ x 是连续的且广义l i p s c h i t z 的”( 2 ) 去掉了定理1 2 1 1 5 第二章一类具广义l i p s c h i t z 的知一次增生型变分包含解的迭代逼近 上海师范大学硕士学佗论文 中z n _ 矿( n _ o o ) 的等价条件要求 岛v ( g ( z n ) ) 有界( 3 ) 去掉了定理1 2 1 中条件 风- 0 ( n _ ) 的限制，只要求风( s z n z n ) _ 0 ( 佗一。) 即可 2 2 主要结果 定理2 2 1 设x 是实白反b a n a c h 空间，t ，a ：x _ 五( ，) ：x x 一五g ： x _ r 和叩：x + r - r 是五个映象，而妒：x + _ ru + o 。】为一叼一次可微的 真凸泛函 a 。) ， 风，c ( 0 ，l 】， n ) ， ， “：1 ) ， u ： 是x 中的序列，且满足下列条件： ( i ) ( t ( ) ，a ( ) ) + 岛妒。夕( ) 一i ：x _ x 是连续的忌一次增生算子，k ( - 1 ，1 ) ； ( i i ) 映象z _ n ( x ，y ) 关于t 是p l i p s c h i t z 的，映象y _ g ( x ，y ) 关于a 是 v - - l i p s c h i t z 的； ( i i i ) 映象岛妒og ：x _ x 是连续的且广义- l i p s c h i t z 的； ( i v ) l i m = 0 ，o l n = 。o ； ”一。：； 0 0 ( v ) 钍。= 仙：+ u ：，| | 疋i | = d ( q 。) ，| i i i 0 ，有l iz yi i 1 iz y t 【( s + k i ) x 一( s + k i ) y 川 而由( 2 2 1 ) 式知 ( 1 一o l 。) z 。= ( 1 + 七q 。) z 。+ 1 一o t 。( s + k i ) x n + 1 + q 。( s x 。+ 1 一s 3 h ) 一u 。( 2 2 3 ) 又由于矿为s 的不动点，即s x + = 矿，故 ( 1 一q 。) z = ( 1 + 后q n ) z + 一a 。( s + k i ) x + ( 2 2 4 ) 】