（电路与系统专业论文）混沌电路的设计与实现.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重麽整电太堂或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：濑绎豫 签字日期：渺年f 月，善日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重麽邮电太堂有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅。本人授权重庞邮电太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：强净夏 签字日期： 硼g 年f 月尼日 导师签名： t 司辛 签字日期：必g 年厂月，日 重庆邮电大学硕士论文摘要 摘要 混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，它广泛地存在于自然科学， 诸如物理、化学、生物学、地质学，以及技术科学、社会科学等各种学科领域。 一般而言，混沌现象隶属于确定性系统而难以预测( 基于其动力学性态对于初始 条件的高度敏感性) ，隐含于复杂系统但又不可分解( 基于其具有稠密轨道的拓 扑特征) ，以及呈现多种“混沌无序，却又颇有规则 的图像( 如具有稠密的周 期点) 。1 9 6 3 年美国数学家e n l o r e n z 在有关气象预报的研究中，发现了天气变 化的非周期性和不可预见性之间的联系，在数值试验中偶然发现了第一个混沌吸 引子，并提出了著名的“蝴蝶效应”。 随着混沌理论，尤其是混沌控制、同步理论的发展，混沌理论已经广泛应用 于各种复杂系统的分析当中。混沌控制已经在生物、医学、化工、机械、电力、 经济等复杂系统中发挥了重要的作用。混沌控制成为了混沌学研究的一个极其重 要的内容。如何合理地产生、利用和控制混沌信号，使之具有很好的应用价值， 是目前许多研究者正在努力研究的课题。混沌同步的应用领域也很多，包括保密 通信、扩频通信、信息压缩与存储等。应用混沌电路于保密通信已经成为极为活 跃的研究领域。 正是基于混沌以上这些方面的考虑，本论文综合应用了物理学、数学、以及 电子线路等多学科的理论和方法，并在前人的基础上，设计了多种混沌系统，其 中包括了整数阶的混沌和分数阶的混沌系统的设计，并对这些混沌系统进行计算 机模拟并搭建电路。首先简要叙述了混沌的基本理论和特征，混沌系统的同步与 控制的基本原理和方法；然后设计了几种混沌系统，并应用m a t l a b 对这些系统 进行了数值计算和仿真；之后应用混沌系统的控制、同步的理论方法分别实现了 一些系统之间的同步与控制，最后利用e w b ( e l e c 仃0 1 1 i cw o r k b e n c h ) 完成了整数阶 混沌系统的电路设计。通过比较凇t l a b 仿真结果与电路的测试结果，成功表明 了设计方案的正确性、合理性。分数阶混沌系统的设计与实现，以及分数阶混沌 系统的同步与控制是本文的重点。设计过程中充分考虑了混沌系统的特性尤其对 分数阶的混沌系统的特性、数值计算、仿真及电路实现的方法进行了详细的分析 与研究。最终的结果表明，实验结果与理论分析完全吻合。 关键词：混沌，e w b ，分数阶，控制，同步 ；：；i _ _ _ l _ i - _ - _ i i i i ；i i i i i i _ i i i _ i _ j ；i i i i i ；- 血；t _ i ；。j - i 0 ：二：二二：i 二：二二。二二。j 二：_ ；_ 二_ ：- ：二：- ：- _ _ - _ _ _ 。- - - _ _ - _ l _ - 二。：二二。= 。二二二。= ：二。：二：二_ 二：“二二：二二：。；。五 4 r 一7 ”“。 。妻毒秀毫j 曼釜蛩i i 妻囊爱? 譬毫i 嚣囊；磊； 重庆邮电大学硕士论文 摘要 a b s t r a c t c h a 0 si sas p e c i f i cm o v e m e n ts t y l eo fn o i l l i n e a rs y s t e m i t 州d e l ye x i s t si nn a n m s c i e n c es u c ha sp h y s i c s ，c h e m i s 仃y ，b i o l o g y ，g e o g n o s ye t c ，s o c i a js c i e n c e ，2 i r l do t l l e r s c h a o si sd i f j f i c u l tt 0b ef o r e c a s t e d c b a o ss e e m st 0b eo u t - 0 0 0 r d e r ，b u ti th a si t so w n r e g u l 撕t ) ，h ll9 6 3l o r e n zf o u l l dt h ef i r s tc a n o l l i c a lc h a o t i ca 仳r a c t o ra 1 1 dp u tf o 删a 胁l o u st h e o 巧：b 傩e r f l ye 行e c t s i n c 君l o r e i l zf 0 蚰dt l l ef i r s tc a i l o n i c a lc h a o t i c 舭t o ri n19 6 3 ，i 1 1as i m p l e 缸e - d i m e n s i o n a la u t o n o m o u ss y s t e m ，c h a o sa s 觚i n t 珧s t i n gc o i n p l e xd ) ，i l 锄i c a l p h e n o m e n o nl l a s b e e ne x t e n s i v e l ys t l l d i e dw i 龇t h es c i e n t i f i c ，e n g i n e 嘶n ga l l d m a t b 肌a t i c a lc o m m u i l i t i e sf o rm o r et h a i lt 1 1 r e ed e c a d e s r e c e n t l y ，m e 仃a d i t i o i l a j 协；n d o fa 1 1 a l y z i n ga n du 1 1 d e r s 伽l d i n gc h a o sh a se v o l v e dt oan e wp h a s ei ni n v e s t i g a t i o n ： c o i n r o l l i n g 趾du t i l 汤n gc h a o s r e s e a r c hi nt 1 1 ef i e l do fc h a o sc o n t r o l ，s y n c h ) 1 1 i z a t i o n a i l dm o d e l i n gi n c l u d en o to m y s u p p r e s s i n gc h a o sw h e ni ti sh a n n 向l ，b ma l s oc h a o t i c a c t i o i l i e g e n 酬n gc h a o si 1 1 t e n t i o n a l l yw h e ni ti su s e 丘1 1 s oh o wt ou s e 锄dc o m r o l c h a o t i cs y s t e m sr e 嬲o i 谊b l yh 觞b e c o m eah o tt o p i c s y n c l l i 。o l l i 勿t i o no fc h a o t i cs y s t e m s c a nb eu s e di nm a n yf i e l d s ，s u c h 嬲c o i 锄u i l i c a t i o n s ，i n f o 锄a t i o nt e c h n o l o g y ，a i l ds o0 1 1 t h ea p p l i c a t i o no fc h a o t i cc i r c u i t si ns e c r e c yc o 删叭m i c a t i o ni sm o r e 锄dm o r ea c t i v c i n 廿l i sp 印e ra c c o r d i n gt om em e o 巧a n dm e t h o do fp h y s i c s ，m a ：t h e m a t i c s ， e l e c 们i l i c se t c ，s o m ef o u r d i m e n s i o n a li n t e g r a l - o r d e ra 1 1 df a c t i o l l a l - o r d c rs y s t e m sa r e c o n s 饥l c t e db y 锄d u c i n ga d d i t i o n a ls c a l ev a r i a b l e si n t ot h e l i r d - o r d e rs y s t e m s s o m e o ft h e i rb a s i cd y n a i l l i c a lp r o p e r t i e so ft l l e s ec l l a o t i cs y s t e m sa r e 雒酊y z e di nd e t a j l m o r e o v e re i e c 仃0 1 1 i cc i r c u i t sa r ed e s i 印e dt 0r e a l i z et h en e wc h a o t i cs y s t e m sa n dv 撕o u s c h a o t i c 锄眦l c t o r so f 廿1 e s e s y s t e m s a r eo b s e r v e df 如mt l l ec i r c u i t e x p e r i m e n t s e x p e r i m e n t 甜c h a o t i cb e h a v i o r so fn l es y s t e m sa r ef o u n dt 0b ei d e n t i c a jt 0t l l e d y n 锄i c a lp r o p e r t i e sp r e d i c t e db ym e o r e t i c a la i l a l y s i sa i l dn 啪e r i c a ls i m u l a t i o n s b a s e d 0 nl y 印u l l o v 虹b i l 毋m e o 巧，c h a o ss y n c h d i l i z a t i o nb e 铆e e nan e w 缸i c t i o i l a l o r d e r s y s t e m 锄dad i f f c r e n tf r a c t i o n a lc h a o t i cs y s t e mi sr e a l i z e d t h e o r e t i c a l 锄【a l y s i sa n d n u m e r i c a ls i m u l a t i o 嬲d e m o n s t r a t et 1 1 ef e a s i b i l i t ) ，a n de f f e c t i v e n e s so ft h i sa p p r o a c h p r o p o s e d k e yw o r d s ：c h a o s ，e w b ，f m c t i o n a l 一o m c o l l 仃o l ，s ) ，1 1 c h r o m z a t i o n i i - 1 2 混沌理论2 1 2 1 混沌的定义2 1 2 2 混沌运动的基本特征4 1 2 3 混沌系统的判定叫，y a p 咖v 指数5 1 3 论文结构7 第二章整数阶混沌系统设计与实现8 2 1 混沌模型分析背景引言8 2 2 混沌模型一9 2 2 1 四维的混沌系统9 2 2 2 数值计算与仿真结果1 0 2 2 3 混沌系统的电路实现1 4 2 3 混沌模型二1 8 2 3 1 数值计算与仿真结果j 1 8 2 3 2 混沌系统的电路实现2 1 第三章分数阶混沌系统设计与实现2 5 3 1 分数阶微积分理论2 5 3 2 分数阶系统的时域数值计算2 6 3 3 分数阶混沌系统2 7 3 4 分数阶混沌系统的电路设计与实验观察3 1 3 5 小结3 3 第四章混沌的同步与控制3 4 4 1 混沌系统的同步控制理论3 4 4 2 分数阶混沌系统的同步3 5 4 3 分数阶混沌系统的控制4 0 4 3 1 线性反馈控制r 6 s s l e r 混沌系统4 0 重庆邮电大学硕士论文 目录 4 3 2 控制分数阶i s s l e r 混沌系统到达任意稳定状态4 l 第五章结论4 4 5 1 结论4 4 5 2 未来的工作4 4 致谢 4 5 参考文献4 6 i 玎寸录。4 9 i v 警警鬻；擎：嚣露! 程戮：叠毖1 一袋。鬻= 鬻：? z 摆嚣：静搬? 。瓣篡护嚣? 嚣：憝鬻：j i 毁躺翟，臻豢鬻嘿常茹警i 搿? ：篡警搿麓：霉譬鼍。姆謦臻帮琴警瘩。碧擎露鳜：蹶警眵 簟豳誓甾磁i 二二0 山z 二二之五。誓。：。：誓三置2 ；互= 二；? 兰：“。0 ，。f 。二：囊：一? 亭0 0 7 重庆邮电大学硕士论文 第一章绪论 1 1 研究背景 ， 第一章绪论 2 0 世纪5 0 、6 0 年代，非线性科学研究飞速发展。1 9 6 3 年美国数学家e n l 0 r e n z 在有关气象预报的研究中，发现了天气变化的非周期性和不可预见性之间的联系， 在数值试验中偶然发现了第一个混沌吸引子，并提出了著名的“蝴蝶效应 ，即 在一个动力系统中，初始条件下微小的变化能带动整个系统的长期的巨大的连锁 反应。 1 9 7 7 年，第一个关于混沌的国际会议在意大利召开，标志着混沌科学在世界 范围内得到了确认。1 9 7 8 年，美国物理学家f e i g e n b a 哪以其独特的思维方式和坚 忍不拔的精神，历时数年研究，终于发现了倍周期分岔过程中分岔间距的几何收 敛性，并发现这一收敛过程的一个普适常数，即f e i g e n b a m n 常数，建立了一维映 射混沌现象的普适理论，给出了一条通向混沌的具体道路。他的这一研究把混沌 学研究从定性分析推进到定量计算阶段，成了混沌学研究的一个重要里程碑。 随着混沌理论的发展，特别是上世纪9 0 年代，随着p e c o 豫和c a r r o n 提出驱 动一响应方法( 简称p c 同步混沌) ，o t t b 0 舀和y 0 r k e 提出参数微扰法( 简 称o g y 方法) 控制混沌以来，混沌控制与同步的研究取得了突破性的进展，国 内外掀起了混沌控制与同步方法研究的热潮。当前，在一些混沌显得非常重要而 且有用的领域，有目的地产生或强化混沌现象已经成为个关键性的研究课题。 如何把混沌科学发展为一门应用技术并利用混沌理论研究的成果为人类服务已经 成为2 l 世纪非线性科学发展所面临的机遇和挑战。 混沌现象的发现，被誉为2 0 世纪物理学上继相对论与量子力学之后的第三次 大革命，可以说“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想；量子力学消除了关 于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测性 的幻想。”“混沌学的创立，打破了确定性和随机性之间不可逾越的分界线，在 确定论和概率论这两大科学体系之间架起了桥梁，将经典力学研究推到一个崭新 的时代，它将揭开物理学、数学乃至这个现代科学发展在非线性领域的新篇章。 而由重庆市教委资助的混沌电路的设计及其在通信中的应用( 编号： 0 7 0 5 0 2 ) 的项目，就是应对了这种形式的发展，它主要研究了一些连续的整数 阶和分数阶系统的混沌特性，并将其应用到保密通信中。到目前为止，该项目已 取得了一些研究成果“棚。本文中的研究内容是该项目的组成部分。 重庆邮电大学硕士论文 第一章绪论 1 2 混沌理论0 1 顾名思义，混沌理论包括混沌的来源，混沌的概念，混沌的基本特征，混沌 的动态行为，以及混沌的发展等等。本章从混沌的定义入手，对混沌的基本理论 逐一进行介绍。 混沌理论的基本思想起源于2 0 世纪初，形成于2 0 世纪6 0 年代后，发展壮大 于2 0 世纪8 0 年代。早在1 9 世纪末2 0 世纪初，法国数学家、物理学家h p o i n c a r e ( 庞加莱) 在研究天体力学中的“三体”问题时发现动力学混沌现象，积累了大量 关于动力学系统混沌现象的理论成果，并把动力系统和拓扑学有机地结合起来， 提出了拓扑动力学思想，指出三体的运动中可能存在混沌特性。他指出三体问题 中在一定范围内其解是随机的，而实际上这是一种保守系统中混沌，为混沌学的 建立奠定了基础，从而使庞加莱成为世界上最先了解混沌存在的可能性的第一人， 被公认为发现混沌的第一位学者。 近半个世纪以来，人们对混沌现象的内在规律及其在自然科学和社会科学中 的表现有了广泛而深刻的认识，并且发展到了把混沌作为一门应用技术来研究的 阶段。混沌研究的主要内容也由单纯对混沌现象的定性和定量描述与分析发展到 对混沌的全方位研究。在应用方面，自2 0 世纪8 0 年代逐渐建立起来的基于混沌时 间序列的混沌预测理论得到了更为广泛的研究和应用是混沌研究的又一热点。而 混沌的控制与同步研究在2 0 世纪9 0 年代取得了重大进展，成为混沌学研究的一个 重要亮点。在通讯方面，特别是混沌保密通讯的研究更是目前十分活跃的一个研 究领域。此外，混沌在智能信息处理、计算机图形学、信号检测、医疗与生物技 术及社会经济等方面的应用研究也取得了一系列重大进展。 近l o 年来，混沌科学更是向其他科学渗透，无论是在数学、生物学、心理学、 物理学、电子学、信息科学，还是在天文学、气象学、经济学，甚至在音乐、艺 术等领域，混沌都已经得到了广泛的应用。 1 2 1 混沌的定义 究竟什么叫混沌昵? 由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底理 解，因此到目前为止“混沌 还没有一个统一的定义。在普通意义上，混沌只意 味着杂乱无章的无秩序状态。自然界中有许多混乱、无序的现象，人们常常称之 为“混沌 。但混沌学研究的混沌并不是这种简单现象，而是一种“无序”与“内 在有序”统一、确定性与随机性统一的系统行为，是指发生在确定性系统中貌似 荤：i ：= ；黧z 等拦：翟誓纛鬈惫嚣臻器毒嚣罄篓暴学? 黧裁影之暑嚣慧2 叠。鬻蜂髯，：翟黧裴i 薯翳2 ：髻? 黧竺鹱：2 笔鼍，：馏鬟：嚣鞘嚣鬟鬻搿鬈：z 鬈黟嚣麓辫羞：= 锈罅：誓j ；，霸嚣譬磁灞糍! 鬻聋辫黧：嚣露8 一，? 一j ，。二。一一二 一! 一：? ， ，o 一j 二。o 一= 。二二 一一 ，? ，|。一_ 二 。 ：矗一，t i ，： 重庆邮电大学硕士论文 第一章绪论 随机的不规则运动。目前，已有的定义从不同的方面反映了混沌运动的性质。 1 l i y o r k e 的混沌定义 l i y o r k e 定义是影响较大的混沌的数学定义，它是从区间映射出发进行定义 的，该定义可描述如下： l i y o i k c 定理：设( z ) 是k ，6 】上的连续自映射，若厂o ) 有3 周期点，则对于 任何正整数刀，厂( x ) 有月周期点。 1 。 混沌定义( l i y o r k e ) ：区间，上的连续自映射( x ) ，如果满足下面条件， 便可确定它有混沌现象： ( 1 ) 厂的周期点的周期无上界； j ( 2 ) 闭区间，上存在不可数子集s ，满足： ， ( i ) 对任意z ，y s ，x y 时， l i i i l s u p l 厂”( x ) 一厂“( y ) l o ； 、 月。町 ( i i ) 对任意x ，y s ， 1 i m i l l f l 厂”( x ) 一厂“( j ，) i = o ； 月 田 ( i i i ) 对任意x s 和的任意周期点y ，有 1 i m s u p i 厂”( x ) 一厂”( y ) l o o 根据上述定理和定义，对闭区间，上的连续函数厂( x ) ，如果存在一个周期为 3 的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。用李天岩 的话来说，只要有周期3 就“乱七八糟 的，什么周期都有。 该定义正确地描述了混沌运动的几个重要特征： ( 1 ) 存在可数无穷多个稳定的周期轨道； ( 2 ) 存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道； ( 2 ) 至少存在一个稳定的非周期轨道。 2 m e l n i k o v 的混沌定义 在二维系统中。最具开创性的研究是s m a l e 马蹄理论。马蹄映射f 定义于平 面区域d 上，( d ) cd ，其中d 由一单位正方形s 和两边各一个半圆构成。映射 规则是不断把s 纵向压缩( 压缩比小于1 2 ) ，同时横向拉伸( 拉伸比大于2 ) ， 再弯曲成马蹄形后放回d 中。h e n o n 映射就是马蹄映射的一个实例。已经证明， 马蹄映射的不变集是两个c a n t o r 集的交集，映射在这个不变集上呈混沌态。因此， 如果在系统吸引子中发现了马蹄，就意味着系统具有混沌特性。 由h 0 h n e s 转引的m e l n i | ( 0 v 方法是混沌的一种严格描述。概括起来可表述为： 重庆邮电大学硕士论文 第一章绪论 如果存在稳定流形且这两种流形横截相交， 断稳定流形和不稳定流形横截相交的方法， 系统。 3 d e v a n e y 的混沌定义。 则必然存在混沌。m e h l i k o v 给出了判 但这种方法只适合于近可积h 锄i l t o n 在拓扑意义下，混沌定义( d e v a l l e y ) 为：设y 是一度量空间，映射：y y ， 如果满足下列三个条件，便称厂在y 上是混沌的。 ( 1 ) 对初始敏感依赖。存在万 o ，对任意占 0 和任意的x y ，在x 的邻域 内存在y 和自然数，z ，使得d ( 厂“( x ) ，厂”( y ) ) 万； ( 2 ) 拓扑传递性。对y 上的任意对开集x 、y ，存在七 0 ，厂七( x ) n y 矽( 如 一映射具有稠密轨道，则它显然是拓扑传递的) ； j ( 3 ) 厂的周期点集在y 中稠密。 对初值的敏感依赖性，意味着无论x 和y 离得多近，在厂的作用下，两者都 可能分开较大的距离，并且在每个点x 附近，都可以找到离它很近而在的作用下 最终会分道扬镳的点) ，对这样的厂，如果用计算机计算它的轨道，任意微小的初 值误差，经过多次迭代后将导致计算结果的失败。 拓扑传递意味着任一点的邻域在厂的作用下将“遍撒 整个度量空间y ，这 说明厂不可能或不可能分解为两个在下不相互影响的子系统。 周期点集的稠密性表明系统具有很强的确定性和规律性，决非混乱一片，形 似混乱而实则有序，这正是混沌的耐人寻味之处。 1 2 2 混沌运动的基本特征 混沌系统具有以下几个基本特征： ( 1 ) 有界性。混沌是有界的，它的运动轨道始终局限于一个确定的区域，这 个区域称为混沌吸引域。无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨道都不会走出混 沌吸引域。所以从整体上来说混沌系统是稳定的。 ( 2 ) 遍历性。混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限时间内混 沌轨道经过混沌区内每一个状态点。 ( 3 ) 内在随机性。一定条件下，如果系统的某个状态可能出现，也有可能不 出现，该系统被认为具有随机性。一般来说，当系统受到外界干扰时才产生这种 随机性，一个完全确定的系统( 能用确定的微分方程表示) ，在不受外界干扰的 情况下，其运动状态也应当是确定的，即是可以预测的。不受外界干扰的混沌系 统虽然能用确定的微分方程表示，但其运动状态却具有“随机 性。那么产生这 些随机性的根源只能在系统自身，即混沌系统内部自发的产生这种随机性。当然， - 4 筝嚣鬻豫积勰裂弘帮踏翟：，；譬o z 翟誓芝! 貔臻髯：= 甍强冀一一爨望鬻：o 一雾臻鬈? 鬈! 鲁护2 搿銎磁二芝嚣嚣i 移篓嚣簿嵩鬻! 濑i 罄t = 鬻骥搿”鬻鐾雠嬲= 臻嬲鬻三二 i 函函函誓o 誓o - 二i o 二盗。：o 五一：；- ：五三二：。三= 誓二z ：= 二三二量l 二：纛_ ? ：。：一_ = j ：。，：一。：，曼，j 一二：j ：j 曩j - 删 重庆邮电大学硕士论文 箜二堂一堡迨 混沌的随机性与一般的随机性是有很大区别的，天体力学中的平面三体问题很好 地说明了这种内在随机性：当用计算机计算一个小质量天体，l 在两个等量大天体 m ，m ，所在平面的垂线上运动时，来回摆动若干次以后，研的行为变得随机起 来，人们再也无法预测它的行为，对初值的敏感性造就了它的这一性质。同时也 说明混沌是局部不稳定的。 + ( 4 ) 分维性。是指混沌的运动轨道在相空间中的行为特征。混沌系统在相空 间中的运动轨线，在某个有限区域内经过无限次折叠，不同于一般确定性运动， 不能用一般的几何术语来表示，而分数维正好可以表示这种无限次的折叠。分维 性表示混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的 自相似结构。 ( 5 ) 标度性。是指混沌运动是无序中的有序态。其有序可以理解为：只要数 值或实验设备精度足够高，总可以在小尺度的混沌区内看到其中有序的运动花样。 ( 6 ) 普适性。所谓普适性是指不同系统在趋向混沌态时所表现出来的某些共 同特征，它不依具体的系统方程或参数而变。具体体现为几个混沌普适常数，如 著名的f e i 鲫b a 姗常数等。普适性是混沌内在规律性的一种体现。 ( 7 ) 统计特征。正的l y 印吼0 v 指数以及连续功率谱等。l y 印u n 0 v 指数是对 非线性映射产生的运动轨道相互间趋近或分离的整体效果进行的定量刻画。对于 非线性映射而言，l y 印u n o v 指数表示力维相空间中运动轨道沿各基向量的平均指 数发散率，当l y a p u i l o v 指数小于零时，轨道间的距离按指数消失，系统运动状态 对应于周期运动或不动点：当l y a p 咖v 指数大于零时，则在初始状态相邻的轨道 按指数分离，系统运动对应于混沌状态：当l y a p u l l o v 指数等于零时，各轨道间距 离不变，迭代产生的点对应分岔点( 即周期加倍的位置) 。 对混沌系统而言，正的l y a p u n o v 指数表明轨线在每个局部都是不稳定的，相 邻轨道按指数分离。但由于吸引子的有界性，轨道不能分离到无限远处，所以混 沌轨道只能在一个有限区域内反复折叠，但又永远互不相交。形成了混沌吸引子 的特殊结构。同时正的l y 印u i l o v 指数也表示相邻点信息量的丢失，其值越大，信 息量丢失越严重，混沌程度越高。， 1 2 3 混沌系统的判定叫y a p u n o v 指数 对耗散系统的混沌运动的吸引子，初始条件的微小差别将使得轨道最终变得 迥然不同。耗散作用从整体上说是一种稳定因素，它使轨道收缩，但从局部上看， 反映出相邻的两点相互分离的快慢程度， 对一维映射 为此人们引入了l y 印u n o v 指数。例如， 重庆邮电大学硕士论文 第一章绪论 x 。i = ( x 。) 【l 1 ) 假定初始点为，它的一个相邻的点为粕+ 面。，则经过刀次迭代后，它们之 间的距离为： 瓯= 而+ 瓯h 侧= 掣瓴( 1 ，2 ) 初始点是相互分离还是靠拢由以下条件来决定：j 矧 l 时，经过迭代后尊两 点将分开，i 矧 1 时，经过迭代后这两点将靠拢。 f“ 在不断迭代的过程中，f 别的值在不断地变化，为了从整体上观察相邻两轨道分 离或靠近的趋势，必须对迭代之后的距离取平均值。为此，设平均每次迭代所引 起的指数分离中的指数为仃，则原来相距为占的两点经过刀次迭代后，两点间的距 二 离为： 劈”以知) = l 厂”( + 占) 一厂”( ) i ( 1 3 ) 当占啼0 ，刀寸时 仃( 而) 2 脚脚寺 一 占u ， = 脚吉斛；却n 4 ， 实际上，上式与初始值无关，因此可改写为： 仃2 脚剥斛喵 一 5 ， 式中，盯称为l y 印u n o v 指数，表示在多次迭代中平均迭代所引起的相邻离散 点之间以指数形式的分离或靠拢的情况。 在刀维相空间中，舐是刀维的，从而仃有刀个值。在r = ，0 时以为中心，以 蠡( ，r 。) 为半径做玎维超球面，由于各方面收缩或扩展程度不同，随着时间的演化， 在f 时刻，该刀维超球面将变形为玎维超椭球面。此超椭球面的第f 个坐标轴方面的 半轴长为出，( x 。，o ) ，则l y 印啪o v 指数仃的第f 个分量吼的值为： 仃= 粤纠铡 ， ，i u j 、 n n ，l 由此可见，仃的挖个不同值表示轨道沿不同的方向收缩或扩张。对于一维情 形，吸引子只能是不动点，此时盯 0 。对于二维情形，吸引子或者为不动点或者 为极限环。对于不动点，任意方向的国。都要收缩，故这时两个l y 删v 指数都 应该是负的，即( 仃，仃：) = ( 一，_ ) 。对于极限环，如果蠡。始终垂直予环线方向，它 ， 一 ”二! ”r ”f _ ” o ”一。即哪8 一俐“释一呼斗一嚼垆咐阿杯w 阐嘞峄螂蝌俐“帮m 掣”一惭滞柙w 鬻跏讲8 ￥“镕瓣g 蠼谚御舛f 群w 摧珊筝辅帮噼4 缎黜嘞鼍钙狮蛹嗡辨搿耀 i 丽 季鬻墨努? 晋：娥鼍搿；嚣辨瑶鬈黧：二。；臻攀霹：鹫；嚣秽嚣舅强翟篓黢2 j 嚣绥2 嚣黧一：氍登黧磐2 拳誉爨冀拳噬黧慧鬈翟：翟跫器孑嬲磐i ，鬻鬈警2 警然翳譬臻酷鞘鬻群j l 鬣馨戳露黛黪辫2 罄篡亳：徽髯： 函函i - 0 二二二二i 0 山：i 。0 ：。i ：。；：= z ：= 互蓦i ：三三一j ：。i 二i 叠i ：。一j ，i t 。c ：曩j 一“i j j 嘉叠f ；煮j 一2 。7 重庆邮电大学硕士论文 第一章绪论 一定要收缩，此时盯 o ，如果反，始终沿轨道切线方向，它既不增大也不缩小，此 时仃= 0 ，所以极限环的l y a p m l o v 指数( 吼，盯2 ) = ( 0 ，一) 。对于三维的情形，当吸引 子为三维相空间内的不动点时，显然l y 印m o v 指数( q ，仃2 ，仃3 ) = ( - 一，- ) ；当为三 维相空间的极限环时，垂直于环轨道的两个方向的l y 印u n o v 指数仃 0 ，而沿轨 道切线方向的盯= o ，故此时l y a p u l l o v 指数( q ，仃2 ，乃) = ( - ，一，0 ) ；同理可得，三维 相空间的二维环面对应的l y a p 咖v 指数( q ，仃2 ，吧) = ( 0 ，o ，一) ；不稳定极限环对应 的l y 印姗o v 指数( q ，c r 2 ，吒) = ( + ，+ ，o ) ；不稳定二维环面对应的l y 印u n o v 指数 ( q ，吒，c r 3 ) = ( + ，0 ，0 ) ；奇怪吸引子对应的l y 印u i l o v 指数( 吼，吒，吧) = ( + ，o ，- ) ，这 是由于奇怪吸引子是相邻轨道不断收缩或分离两种作用同时进行的结果，因此它 的l y a p u n o v 指数一定要有一个是正的，另一个为负的，同时沿轨道方向上的 l y a p u i l o v 指数为零。 1 3 论文结构 本论文一共分为五章，各章的内容安排如下： 第一章为绪论，主要介绍了混沌的研究背景和混沌的基本理论。 第二章介绍了两个新的四维整数阶混沌系统的设计与实现。这一部分采用了 m a t l a b 软件对这些系统进行数值计算与仿真；之后应用e 1 j r b 软件实现了该系统 的电路设计；最后将m a t l a b 仿真结果与e w b 测量结果相比较，分析两者的异同。 第三章以分数阶系统为对象，设计并实现了一个新的分数阶混沌系统。首先 从分数阶微积分理论入手，介绍了分数阶混沌系统的基本理论，然后设计了一个 分数阶的混沌系统，用m a t l a b 对它进行了数值计算与仿真分析，并用e w b 进行 了电路实现，最后将m a t l a b 仿真结果与e w b 测量结果相比较，分析两者的异同。 第四章从混沌的控制与同步理论着手，将本文第三章的分数阶混沌系统作为 驱动系统，文献 5 中的新的分数阶混沌系统作为响应系统，实现了分数阶混沌系 统的异质结构同步；之后以分数阶i 沁s s l e r 混沌系统为对象，实现了分数阶混沌系 统的控制。 第五章总结了本文所做工作，并探讨了进一步的研究方向。 重庆邮电大学硕士论文 第二章整数阶混沌系统设计与实现 第二章整数阶混沌系统设计与实现 2 1 混沌模型分析背景引言 混沌系统主要分为由微分方程形式表示的连续动力系统和由差分方程形式表 示的离散动力系统。目前人们已知的混沌吸引子并不多。1 9 9 9 年陈关荣等利用反 控制方法发现了一个与l o 彻亿系统类似但不拓扑等价的c h e n 混沌系统；2 0 0 1 年l 证 等人发现在这两个对偶系统之间存在一个新的混沌系统，称为l n 系统；2 0 0 2 年吕 金虎和陈陈关荣教授合作先后又提出了一种新的混沌系统统一系统，这个系 统连接了l o r e n z 吸引子和c h e n 吸引子，并包含l n 系统作为它的一个特例；2 0 0 4 年刘崇新等发现了新的l i u 混沌系统。以上这些系统都是三阶系统。它们大都存在 由倍周期分岔通向混沌的道路。而由庞加莱一本迪生定理可知，自洽连续整数阶 系统产生混沌的最低阶数是3 阶。此后，人们不断地发现一些新的混沌系统。离 散混沌系统最著名的代表是一维l 0 9 i s t i c 映象和二维h 咖n 映象，此后人们又设 计出了具有超混沌特性的三维或三维以上的离散系统1 。 混沌现象的研究经过了几十年的发展，而整数阶混沌和超混沌系统的研究已 经渐渐趋于成熟。人们在l o r e i l z 系统、蔡系统、c h e n 系统、l n 系统、l i u 系统的基 础上不断的创造出新的混沌或超混沌系统。目前对于混沌和超混沌系统已经有多 种研究方法和应用技术，但是各种方法的优势与不足共存。非线性科学毕竟是一 门新兴的科学，需要人们去研究和探索，才能使非线性科学( 混沌理论) 成为一 门完善的科学，进而达到应用的目的。并且，由于电路系统与其对应的数学模型 具有很好的吻合性，使电路模型能够方便地模拟各种非线性混沌系统。将混沌系 统转化为电路模型可以使电子测量更为方便，如采用示波器，可以直接获得被测 量数据的时域图和相图，如果将数据采用计算机进行处理，则可以计算出各类非 线性动力学参数并能很好地复现各种复杂的非线性现象。因此在混沌的理论探索 和应用研究中，非线性电路充当着一个非常重要的角色。所以混沌电路更有研究 价值。 目前，人们在发现新的混沌电路的同时，已经用非线性电路将它们一实现。 整数阶的混沌系统的电路实现已趋于完善，分数阶的电路实现也已经引起了越来 越多学者的关注。本章中的整数阶混沌系统也是在这些系统的基础上创建的，并 用非线性电路进行了很好的实现，同时运用e w b 软件对实现该新型混沌系统的电路 仿真进行了实验验证。 艇毫童= 超爱羲兰鬻纛弓荔露乏鼋面蔓磊瑟疆蠢琵翟蕊戮嚣嚣菘爱罴嚣嚣嚣嚣嚣蕊荔嚣篡蒹戮嚣鬻罴麓鬣嚣嚣蒸羲器雾羲 i i i - 函远互- = = = 三- o 二誓二_ 三= 二二_ 0 二三乙：二i i ：三：二：2 ：t 曩。譬哥。一二j ? 二莒：、一? n _ 一好。毫”= 、罾、：音：。j ：一= 哥r 惫二，于矗j 飘，- 产t 苗= a i = 一嚣z 万一薪r ：二一一磊- h ，：爿1 。j p f 重庆邮电大学硕士论文第二章整数阶混沌系统设计与实现 2 2 混沌模型一 自1 9 6 3 年以来，很多学者研究l 0 r e i l z 方程。h a k e n 等十余位作者先后在天气、 对流、斜波等现象及水轮机、发电机、激光器等真实物理系统中发现：l 0 r e n z 方 程可作为许多现实混沌运动的精确模型。鉴于l 0 r e l l z 方程广泛的适应性，本节就 是以l o r e i l z 系统方程为参考系统，在此基础上提出了一个阶数为四阶的新的混沌 系统，该系统含有4 个参数，3 个非线性项，是在l o r e n z 混沌系统的基础上，通 过