（微电子学与固体电子学专业论文）混沌同步及其在保密通信中的应用研究.pdf

中文摘要 中文摘要 混沌在本质上是由简单的确定性系统产生的非常复杂的非线性运动。从上世 纪7 0 年代混沌理论开始发展起来到现在的几十年里，混沌理论取得了巨大的进展。 但混沌理论作为- f 崭新的科学，毕竟发展时间短，还需要进一步对其进行完善。 随着对混沌的不断深入研究，人们对混沌的认识越来越清晰，于是便开始探索 研究如何控制和利用它。p e c o r a 等人提出混沌同步方案和o t t 等人提出控制混沌 的思想以后，人们便开始通过采用不同的手段希望能够更好地利用和控制好混沌。 随着混沌的同步与控制理论的提出，人们意识到混沌动力学进入新的发展阶段， 因为即使混沌系统具有对初始条件极为敏感的特性，却仍可以对混沌信号进行控 制或复制。上个世纪9 0 年代以后，人们对混沌同步的研究已经跨越了低维混沌系 统，开始逐步深入到高维的超混沌、时空混沌系统，并且混沌的同步控制理论开始 日趋成熟，这些都为混沌在通信中的应用准备了坚实的理论基础。因此混沌同步 己成为非线性科学研究的学术热点和前沿课题。目前，利用混沌同步实现保密通 信是近年来混沌应用研究的一个热点。 本论文主要是介绍混沌和混沌同步的相关理论，及其在保密通信中的实际应 用。同时我们对几种混沌系统同步方法分别进行探讨并对部分混沌系统进行具体 的分析与仿真，最后介绍混沌的应用理论与实际意义，及混沌和混沌同步理论需 要处理的难点问题和发展前景。 关键词：混沌；混沌系统；混沌同步；混沌保密通信 黑龙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t c h a o sr e f e r st ot h ed e t e r m i n i s t i c s y s t e m ，s e e m i n g l yr a n d o m l yo c c u r r i n g n o n r e g u l a ro ri r r e g u l a rm o v e m e n t c h a o st h e o r yw a sd e v e l o p e di n7 0 so fl a s tc e n t u r y ， i nt h ep a s tf e wd e c a d e s ，i th a sm a d eg r e a tp r o g r e s s b u ta san e ws c i e n c e ，c h a o st h e o r y ， a f t e ra l l ，i sn o tm a t u r e ，t h en e e df o ri t sf u r t h e rr e f i n e m e n t b u ts i n c et h ef u n d a m e n t a l c h a r a c t e r i s t i c so fc h a o s ，m a k i n gt h es t u d yo fc h a o s ，w i l lh a v ei m p o r t a n tt h e o r e t i c a la n d p r a c t i c a la p p l i c a t i o nv a l u e w i t ht h ec o n t i n u o u sd e e p e n i n go fc h a o sr e s e a r c h ，p e o p l eb e g a nt os t u d yh o wt o c o n t r o la n du s eo fc h a o s s i n c et h eo t te ta lp r o p o s e dt h ei d e ao fc o n t r o l l i n gc h a o s ，a n d p e c o r ae ta lp r o p o s e dc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o np r o g r a m si n c e p t i o n ，p e o p l es t a r t e dt ou s e d i f f e r e n tm e a n st ot h eu n c e r t a i n t y ，t h ep e r f o r m a n c eo fd i f f e r e n tc h a o sc o n t r 0 1 c h a o s s y n c h r o n i z a t i o na n dc o n t r o lt h e o r ys u g g e s t e dt h a tp e o p l eu n d e r s t a n dt h a ta l t h o u g h c h a o t i cs y s t e m sa r ee x t r e m e l ys e n s i t i v et oi n i t i a lc o n d i t i o n sh a st h er i g h tf e a t u r e s ，b u t s t i l la b l et oc o n t r o lt h ec h a o t i cs i g n a lo rc o p i e d t h i sm a r k st h ec h a o t i cd y n a m i c sh a s e n t e r e dan e w s t a g eo fd e v e l o p m e n t s i n c et h el a s tc e n t u r yt h e9 0 s ，t h es t u d yo fc h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o no fl o w - d i m e n s i o n a lc h a o t i cs y s t e mf r o mah i g h - d i m e n s i o n a lu l t r a - d e e p i n t ot h ec h a o t i cs p a c e t i m ec h a o t i cs y s t e m s c h a o ss y n c h r o n i z a t i o nh a sb e c o m ea n o n - l i n e a rh o ts p o t sa n dc u t t i n g e d g es c i e n t i f i cr e s e a r c hi nt h ea c a d e m i cs u b j e c t s c h a o s s y n c h r o n i z a t i o n o fc o n t r o lt h e o r yb e g a nt om a t u r e ，i no r d e rt oc h a o si nt h e c o m m u n i c a t i o n p r e p a r e d at h e o r e t i c a lb a s i s a tp r e s e n t ，t h eu s eo fc h a o s s y n c h r o n i z a t i o ns e c u r ec o m m u n i c a t i o n i sc h a o t i ci nr e c e n ty e a r s ，ah o ta p p l i e dr e s e a r c h p a p e rf o c u s e so nt h ec h a o st h e o r y ，c h a o t i cs y s t e m sa n a l y s i sa n ds i m u l a t i o no f c o n c r e t eo ns e v e r a lc h a o t i cs y s t e m ss y n c h r o n i z a t i o nm e t h o df o rs e p a r a t ei n d e p t h d i s c u s s i o n ，a n dv a r i o u sm e t h o d sh a v ec a r r i e do u td e t a i l e d r e s e a r c ha n dc h a o t i c i l a b s t r a c t s y n c h r o n i z a t i o ns y s t e ms i m u l a t i o n ，d e s c r i b e st h ea p p l i c a t i o no f c h a o st h e o r ya n d p r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e k e y w o r d s ： c h a o s ； c h a o t i cs y s t e m ；c h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o nc h a o t i c s e c u r e c o m m u n i c a t i o n i i i 独创性声明 _ i ii i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨蕉迢太堂或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。 学位论文作者签名： 闵皮 v 签字日期归7 年夕月斫 学位论文版权使用授权书 本人完全了解墨垄江太堂有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权墨蕉、江丕堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文。 学位论文作者签名： 阂良 签字日期：砷年，月咖 学位论文作者毕业后去向： 刷磁名f 签锢期：沙弋 月诉 工作单位：票铤【z 7 蝴漭芡电话：9 刃上班 通讯地址：j 瑶钎受万】局臣苫瘸髟7 穆邮编：p 粥7 第1 章绪论 1 1 混沌学综述 第1 章绪论 2 0 世纪7 0 年代以来，一门新兴的学科混沌科学正式诞生。在1 9 7 5 年，法国 的数学物理学家r u e ll e 和荷兰的学者t a k e n s 一起发表了著名的论文论湍流的 本质，论文中首次提出了用混沌来描述湍流生成机理的新起点。论文中通过数学 分析，发现了动力学系统存在“奇怪吸引子”，他们形容为“一簇曲线，一团斑点， 有时展现为光彩夺目的烟云，有时展现为非常可怕和令人生厌的花丛，数不清的 形式有待探讨，有待发现。1 9 7 3 年，日本京都大学的y u e d a 在用计算机研究 非线形振动时，发现了一种杂乱振动形态，称为u e d a 吸引子。1 9 7 5 年，李天岩和 j a y o r k e 在那篇著名的周期3 意味着混沌论文中给出了闭区间上连续自映射 的混沌定义，并在文中首次提出了c h a o s 这个名词，并为后来的学者所接受晗1 。 随着对混沌的不断深入研究，人们对混沌的认识越来越清晰，于是便开始探索 研究如何控制和利用它。p e c o r a 等人提出混沌同步方案和o t t 等人提出控制混沌 的思想以后，人们便开始通过采用不同的手段希望能够更好地利用和控制好混沌。 而随着混沌的同步与控制理论的提出，人们意识到混沌动力学进入了新的发展阶 段，因为即使混沌系统具有对初始条件极为敏感的特性，却仍可以对混沌信号进 行控制或复制。上个世纪9 0 年代以后，人们对混沌同步的研究已经跨越了低维混 沌系统，开始逐步深入到高维的超混沌、时空混沌系统。并且混沌的同步控制理 论开始日趋成熟，这些都为混沌在通信中的应用准备了坚实的理论基础。混沌同 步己成为非线性科学研究的学术热点和前沿课题。目前，利用混沌同步实现保密 通信是近年来混沌应用研究的一个热点。 黑龙江大学硕士学位论文 1 2 引言 混沌这个概念，早在我国公元前5 8 0 年左右的”易乾凿度”中就有记载，“太易 者，未见气也。太初者，起之始也。太始者，形之似也。太素者，质之始也。其 似质具而未相离，谓之混沌。 这些指出了中国古代对混沌的最初认识，即混沌是 指元气已具有物质的性质，而还没有进一步分化的状态口1 。 上世纪初，庞加莱在研究三体问题时遇到了混沌问题。发现三体问题，如太阳、 月亮和地球三者的相对运动与单体问题、二体问题不同，它是无法求出精确解的h 1 。 实际上，庞加莱研究的只是一种保守系统中的一种混沌。1 9 6 3 年洛伦兹在著名论 文决定论非周期流中讨论了天气预报的困难和大气湍流现象，给出了三个变 量的自治方程，即著名的洛伦兹方程。 戈= - o r ( x - y ) y = 一汜+ l x y 乏= x y b z 它是一个完全确定的三阶常微分方程组。其中x ，y ，z 为无量纲量，分别表征对流 强度对流中升流与降流问的温差和竖直方向温度分布的非线性度。方程中三个 参数为莎，r ，b 。如取6 ：8 ，仃：1 0 ，改变参数，当， 1 时，其解为非周期的，看起来很乱。这便是耗散系统中个 确定的方程却能导出混沌解的第一个实例，从而揭开了对混沌现象深入研究的序 幕。5 1 1 3 意义和目的 1 9 6 3 年，气象学家l o r e n z 哺1 在他的实验中发现了混沌的两个特性：对初值的 极端不稳定性及具有一种无法用已知的三种吸引子( 不动点，周期性轨道和准周 期轨道运动步变环面) 来描述的新吸引子。此后人们开始对一些非线性现象进行 研究，逐步认识到即使是确定性的系统和确定性的激励，响应也可以是不确定性 第1 章绪论 的。混沌运动填补了确定运动和随机运动的鸿沟，它是确定性运动通向随机运动 的桥梁，因此混沌理论必将在现代科学技术中起着十分重要的作用，混沌理论也 必将成为众多学科必不可少的基础。混沌现象出现在广泛的学科和工程领域中， 比如在化学反应过程中，大脑的脑电波中，城市车辆的拥挤过程中，非线性电路 中等等。正如美国海军部官员说h ，二十世纪科学载入史册的有三件大事：相对论、 量子力学和混沌。其中相对论粉碎了牛顿力学的绝对时空观，量子力学消除的是 关于测量过程可控的理想，而混沌动力学摒弃了人们对牛顿和拉普拉斯决定论可 预测的梦想。 因为混沌的两个基本特性，使得对混沌的研究，将具有十分重要的理论意义 和实际应用价值。随着对混沌现象研究的不断深入，混沌控制和同步也成为了这 一领域的前沿课题。 混沌简单的定义就是是由简单的确定性系统产生的非常复杂的非线性运动。 混沌广泛地存在于自然界中，并在化学、生物学、物理学、地质学以及技术科学 等等各种领域被人逐渐利用和控制。因为混沌信号具有随机特性、对初始条件的 敏感依赖性和类似噪声的宽带功率谱密度的特性，这些特性都决定了混沌信号很 难被破译，特别适用于保密通信，所以混沌保密通信的应用和研究便越来越引起 人们的重视。在现在的技术条件下混沌保密通信技术大体可分为直接利用混沌通 信和混沌同步通信两种。 通信技术一直被人们称作世界经济和军事的生命线，而通信中的保密技术一 直都是通信的核心技术之一。在信息化风暴震撼全球的今天，信息战成为未来各 国较量的主战场，在信息站的战场上，只要谁掌握了信息，谁便有决定性的主动 权和制胜权。我国国家“8 6 3 高科技计划的信息技术领域也包括了信息获取与处 理技术和通信技术等主题，混沌保密通信技术为该领域高科技提供了新的生长点。 本课题基于混沌的特性，应用非线性控制和稳定性分析的理论，研究混沌系统 的同步设计方法，并将同步的混沌系统应用于保密通信中。 黑龙江大学硕士学位论文 1 4 历史 混沌研究的起源可追溯到十九世纪，法国数学物理学家庞加莱研究三体时发 现，三体引力相互作用能产生复杂的行为，确定的动力学方程的某些解有不可预 见性，这其实是混沌现象。这一发现使庞加莱成为公认的混沌理论的开创者哺1 。作 为现代混沌学的第一个开端，k a m 定理是1 9 5 4 年由前苏联概率论大师柯尔莫哥洛 夫( a n k o l m o g o r o v ) 等人提出的，该定理被公认为是创建混沌学理论的历史性 标记。而现代混沌学研究的第二个突破性进展发生在1 9 6 3 年，美国气象学家洛伦 兹( e n l o r e n z ) 在大气对流模型的计算机数值计算中，发现了所谓的“蝴蝶效 应 ，在对耗散系统中的混沌研究中开辟了崭新的道路。“蝴蝶效应 是指系统长 期行为对初值微小变化的高度敏感依赖性，产生确定性系统的非周期性和长期行 为的不可预测性等混沌特性。在1 9 7 1 年，法国数学物理学家d r u e l l e 和荷兰学 者f t a k e n s 又提出了用混沌来描述湍流形成机理的新观点，这就是我们说知道的 第一条通向混沌的道路。在1 9 7 5 年，美籍华人学者李天岩和美国数学家j a y o r k e 在那篇著名的周期3 意味着混沌论文中给出了在闭区间连续自映射的混沌定 义，定义展示了从有序到混沌的演变过程，“混沌( c h a o s ) 这个名词第一次出 现，在这一新兴研究领域确立了一个核心概念，为各个学科研究混沌现象树立了 一面统一的旗帜旧3 。法国数学家、分形学创始人b b m a n d e l b r o t 于1 9 7 3 年提出 了分形几何学，对混沌几何特征的研究做出了杰出的贡献，为探索种种不规则的 相空间提供了理想工具。1 9 7 8 - - 1 9 7 9 年，随着著名的f e i g e n b a u r n 常数被美国物 理学家m j f e i g e n b a u m 发现，混沌学的研究就从定性分析开始推进到定量计算 的阶段，于是我们称f e i g e n b a u r n 常数的发现为现代混沌学研究的一个里程碑口0 | 。 上个世纪8 0 年代以来，混沌系统的理论框架迅速被填充，一系列混沌概念例 如标度性、l a p u n o v 指数、分数维、吸引子、普适性等先后被确定下来。上世纪 9 0 年代初以美国科学家p e c o r a 、c a r r o l l 和o t t 、g r e b o g i 为代表，对混沌控制与 同步进行深入细致的研究，并最终取得了突破性进展，而这些进展又激起了混沌 理论与应用研究的蓬勃发展，使混沌的应用的前景越来越诱人。 第1 章绪论 l 1 5 研究发展 从某种意义严格说，混沌同步属于混沌控制的范畴，1 9 9 0 年p e c o r a 与c a r r o ll 首次指出通过建立驱动一响应系统可以实现混沌同步的思想，并由此设计出同步混 沌系统的实际电路。此后，人们竞相投入到研究混沌的应用中，研究发展了不同 种类的同步方案。 下面我们需要对一些典型的同步方法和新进展做一些简单的介绍。 ( 1 ) 驱动一响应同步方法 这种同步方法要求系统可以分解成为一个子系统，然后复制出混沌子系统， 我们把该系统称作响应系统。通常我们在进行系统分解时判别同步能否实现的标 准是求出c l e 指数的正负，如果求出的c l e 指数为负数，那响应系统就和原系统 达到混沌同步。这种同步方案对于连续流和离散映象都适用，只是因为基于线性 稳定性分析，所以该理论比其他类型的同步方案的处理要求严格。 ? 因为l o r e n z 系统、c h u a 电路系统等很多经典的混沌系统都是很容易被分解的， 因此p c 方法就能得到广泛的研究和应用。但是由于物理机制上的种种原因， p c 方法在应用范围上受到了一定的限制。由于大多的非线性系统的固有特性或物理 本质无法分解为一个稳定的子系统和一个不稳定的子系统，因此p c 方法很多时候 就行不通了。 ( 2 ) 基于控制理论的混沌同步方法 控制理论被广泛地应用到混沌同步中去是因为混沌同步可看成一种特殊的控 制形式。例如利用自适应控制实现的混沌同步，就是用白适应控制混沌的思想， 而实现这种混沌同步就要求目标系统具有可控参数，由控制的形式决定最后同步 的效果，而这里说的参数控制量是两个系统变量的函数或之差。另外如果有干扰 的话，同步问题就能当作观测器设计的一个特例，于是以后基于观测器的同步方 法被相继提出。 ( 3 ) 主动一被动关系同步方法 由于p c 同步方法在实际系统中受到特定分解的限制，不是特别的实用，此后 黑龙江大学硕士学位论文 k o c a r e v 和p a r l i t z 提出了改进方法，即主动一被动分解法3 。这种方法通过驱动 变量或耦合变量引到复制系统，并导出系统变量差的微分方程，然后得到总体系 统的误差动力学，最后用线性化稳定性分析方法或l y a p u n o v 函数方法证明复制混 沌系统与原系统达到稳定同步，因此这种方法具有一定的灵活性。 主动一被动分解法的灵活性决定了它具有更大的应用前景，利用其进行混沌通 信，能够自由选择驱动信号的函数。作为与p c 方法不同点，这种方法下的信息不 是被注入到发射机的动力学系统中，而是正好被加到混沌信号这一载体上。因为 驱动信号不是真正的混沌信号，其中含有信息信号，最后复制系统的信号不精确 收敛于混沌信号。混沌信号驱动发射机，接收机则由混沌信号和信息信号之和来 驱使。如何减少信息信号的误差，并减少噪声的影响，还有采取何种适当的技术 提取信息，这些都需进一步研究和解决。 ( 4 ) 耦合混沌同步法 互耦合同步问题起源于耦合非线性振荡器理论，p c 方法中的驱动系统和响应 系统就是一种单向耦合。因为非线性系统广泛的作用形式是相互耦合，所以这种 类型的混沌同步涉及到的领域就很大。而且因为决定混沌同步的关键是耦合的强 度，所以系统之间只有足够强的耦合，才能实现混沌同步。不过在互耦合的情况 下总体系统区分不了驱动和响应关系，使得此法适用于研究无法实现子系统分解 的实际系统。 1 9 9 4 年部分学者通过激光光强互相耦合，分别在两个激光系统中观测到了混 沌同步现象口2 i 。但即使对这类系统进行了不少研究，却都因为互相耦合的非线性 系统具有非常复杂的动力学行为，而到目前都还没有形成一般的普适性结论。 ( 5 ) 其它方法 现有的混沌同步方法除了以上外，还有其它多种方法，例如变量比例脉冲控 制法、噪声感应同步法等等。 第1 章绪论 1 6 论文结构 第l 章我们简单介绍混沌的概念、研究混沌的意义和目的，混沌科学的由来、 现状和研究发展，并且介绍研究几种典型的同步方法。最后阐述本论文的结构安 排。 第2 章论文对混沌的发现、现在及发展过程分别作了阐述，并简要分析典型 的混沌模型实例。 第3 章介绍混沌系统的特性和数值分析方法，并对混沌现象的几个重要特征 及实例进行分析。 第4 章简要介绍混沌同步的概念及发展历史，衡量混沌同步的特性指标，对 混沌同步进行稳定性分析，并详细介绍混沌同步的几种方法。 第5 章介绍混沌同步通信的三大保密技术，针对混沌同步通信中比较流行的 混沌同步方法的方案作了仿真，并对其特点进行了分析。通过具体实例验证混沌 同步系统正确性，并探讨了混沌同步用于保密通信的可行性。 第6 章对混沌同步现状做一个简单的总结。 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章混沌的基本概念和本质 科学中的混沌( c h a o s ) 概念与古典哲学与日常生活语言中的理解不同，它是一 种确定的系统中出现的无规则的运动。混沌理论的目的是揭示貌似随机的现象背 后可能隐藏的简单规律，以求发现一大类复杂问题普遍遵循的共同规律n3 1 。 2 1 定义 混沌在数学和物理学上的定义有很多种，而非线性动力学对混沌的研究是迄 今为止最为系统，最为严密的。非线性动力学中提供了一些可供理论判定的定义 和实际测量的标度，对混沌学的建立和发展打下了坚实的基础。 李天岩与约克在他们著名的周期3 意味着混沌中提出了一种混沌的数学定 义，即l i y o r k e 定义。在1 9 8 9 年，d v e v a n e yrl 给出的混沌的具体定义，则更 能体现混出沌的自身特性n 引。 设y 是一个度量空间，连续映射，f ：v 专v ，如果满足下列三个条件： ( 1 ) ，具有对初值敏感依赖性：存在艿 0 ，对于任意的s 0 和任意x v ，在x 的g 邻域内存在y 和自然数，z ，使得d ( ”( x ) ，”( y ) ) 万。 ( 2 ) 拓扑传递性：对于矿上的任意一对开集x ，y ，存在k 0 ，使f ( x ) n r 0 。 ( 3 ) 厂的周期点在y 中稠密。 则称厂是y 上的混沌映射或混沌运动n 翮。 混沌的映射具有一种规律性的三个要素，包括使得混沌系统不可预测的对初值 的敏感依赖性；使得它不能被细分或不能被分解为两个相互影响的子系统的拓扑 传递性；表明系统具有很强的确定性和规律性的周期点的稠密性。 l o r e n z 在混沌的定义中指出了混沌的一些基本特征： 第2 章混沌的基本概念和本质 i i_ ( 1 ) 混沌是系统固有的。混沌系统所表现出的复杂性仅仅是系统内在随机性的 表现，是由于系统自身的、内在的因素所造成的。 ( 2 ) 混沌是具有确定性的。而且和随机系统有所不同，混沌系统的状态是可以 完全重现的。 ( 3 ) 混沌系统的表现具有良好的自互相关特性和低频宽带等特点。在实际中， 所考察的运动是否是混沌无法根据严格的数学定义来判断。通常只要满足运动具 有确定性的机制和对初值的微小差异产生完全不相关的轨道这两个条件就可以判 断为混沌。第一个条件区分混沌运动和随机运动，第二个条件区分简单的周期或 准周期运动。 2 2 混沌的分类及常见的混沌模型 现在我们一般把混沌分为四大类，即时间混沌、时空混沌、空间混沌和功能混 沌。其中时间混沌只与时间演化有关，而目前的混沌研究又主要针对时间混沌。 而超混沌系统人们通常指具有一个以上正的l y a p u n o v 指数的系统。 在现有的混沌系统中，低维的有l o g i s t i c 系统和d u f f r a g 系统等，三维的有 l o r e n z 系统、r o s s l e r 系统、和t h e n 系统等，四维的有r o s s l e r 超混沌系统等等， 混沌模型多种多样。 r o s s l e r 系统的方程为( 2 1 ) 式所示： x = 一w z y = w x + a y ( 2 1 ) 三= b + z ( x c ) 其中系统的参数是w ，a ，b 和c ，它的混沌吸引子形状可参看图2 1 ，r o s s l e r 振子只有第 三个方程中的“z x ”项一个非线性项，除此以外均为线性项。图2 1 和图2 2 表示的是 r o s s l e r 系统正处于 混 沌运动状态 。 量垄垩奎茎至圭茎竺兰圣 图2lr o s s l e r 振子x - y z 相图 f l9 2ixyzp h a s ed la 盯a mo fr o s s le ro s c i 】1 a t o t 2 3 本章小结 图2 2r o s s l e r 系统分量z 的变化 f j 9 22c h a n g eo f e r o s s l e rs y s t 本章对混沌的发现、现在及发展分别作了阐述，并简要分析典型的混沌模型实 例。在初步熟悉混沌之后，对一些部分典型混沌系统模型作了简单的介绍，以便 开展下面的工作。 第3 章混沌系统特性、分析和仿真 第3 章混沌系统特性、分析和仿真 基于动力学性态对于初始条件的高度敏感性，混沌现象属于确定性系统而难 以预测；基于具有的稠密轨道的拓扑特性，隐含于复杂系统但又不可分解。所以 混沌呈现混乱无序却颇有规律。 3 1 混沌系统的特征 混沌系统的复杂动力学具有几项基本特征，包括： ( 1 ) 对初始条件的微小变化具有高度的敏感依赖性； ( 2 ) 最大的李雅普诺夫( l y a o u n o v ) 指数大于零； ( 3 ) 混沌吸引子在相空间内整体上是有界的，但是在吸引子内相轨迹具有高度不稳 定性，除了最大的李雅普诺夫指数大于零外，还具有有极限的拓扑熵与测度熵； ( 4 ) 混沌吸引子的几何特性是具有分形( 分数维数) 和自相拟嵌套结构，具有连续功 率谱； ( 5 ) 混沌吸引子具有遍历性； ( 6 ) 经常与分岔、分形和多种奇怪吸引子甚至排斥子等复杂动力现象共存。 混沌运动由于它具有对初始条件的敏感依赖性，只要初始条件产生微小差别， 轨道就会按李雅普诺夫指数( l y a o u n o v ) 分离，开始的时候两个轨道非常接近，但 随着时间增长，两个轨道的距离越来越大，而且很快就变得完全不一样n 引。 3 2 混沌的数值分析方法 ( 1 ) 混沌运动的时间历程图 混沌运动的时间历程图是指混沌动力系统中的解随着时间变化的曲线。 ( 2 ) 混沌的功率谱 不同于周期运动或准周期运动的离散谱线，混沌运动是非周期运动，所以它的 黑龙江大学硕士学位论文 功率谱是连续谱线。混沌在倍周期分岔过程中每分岔一次，功率谱中就出现一批 对应新的分频及倍分频的峰，这是由于混沌运动的极其复杂性产生的，与具有连 续平坦的功率谱的白噪声不同，我们研究的混沌的功率谱不是平坦的。 ( 3 ) 混沌运动的相图 混沌动力系统的解轨线在相空间的运动轨迹成为相图。 ( 4 ) 李雅普诺夫指数 l y a p u n o v 指数是指用来定量描述相空间中相邻轨道随着时间变化按指数规 律吸引或分离程度的物理量。人们通过求取l y a p u n o v 指数判断系统是否为混沌。 1 ) 、l y a p u n o v 指数 0 ，相邻轨道分散，运动呈现出混沌状态。l y a p u n o v 指数在混沌研究中具有举足轻重的地位， 下面开始我们需要对几个主要的特征进行详细论述并通过实例进行分析。 3 3 混沌现象的几个重要特征及实例分析 3 3 1 分岔 在非线性动力学系统中，运动状态可以通过各种分岔现象发生质的变化，这种 当控制参数变化到某个临界值时使系统的动力学性态发生定性变化的现象称为分 岔n7 1 。分岔是非线性系统内部一种固有的特性。 现在我们考虑含参数的非线性常微分方程系统如下式： 鲁= 戈= 弛，口) 式中i eu 鲋， 口= ( ，口：，以。) ，r ”，称为分岔参数，同时也可以称为控制变量。在该非线 性系统中，当分岔参数口发生连续变化时，系统的拓扑结构在，处便会发生突 然变化，从而引起平衡点由稳定变为不稳定，当出现这种情况，我们就称系统在 口= o t o 处出现分岔，被称作一个分岔值，也称为临界值。在参数口的空间里，由 第3 章混沌系统特性、分析和仿真 各个分岔值组成起来的集合我们称为分岔集。 3 3 2 奇异吸引子 奇异吸引子就是我们经常说的混沌吸引子。它是混沌运动中特有的，由于其 具有复杂的折叠、拉伸和伸展的结构，按指数规律发散的系统便能够保持在有限 的空间内n8 j 。在耗散系统中，刀维相空间的轨线都要收缩到| ( 七 厅) 维面上，即其相 空间中的体积在运动中会不断收缩。我们称这些去掉开始一段时间的暂态过程有 足够长，并且系统在相空间中所趋向或收缩的有限区域( 如| i 维面) 为吸引子n 引。由 于耗散作用和整体的稳定性，运动轨迹都会向吸引子收缩，而运动轨迹在收缩的 同时因为局部的不稳定却在某些方向上发散，形成不稳定的因素。我们可以得到 这样的结论，即一切位于吸引子之外的运动都向吸引子靠拢，这就是稳定的方向； 而一切到达吸引子内部的运动轨迹因为相互排斥，就是不稳定的方向。不计开始 时刻的暂态过程，所有轨道最后都集中在相空间的有限范围内，靠拢后分开，分 开后又靠拢，经过来回重复折叠后就形成了复杂的混沌。但是由于对初始条件非 常敏感，在混沌吸引子内部即进入混沌吸引子的位置稍微有点差别，并最终导致 混沌轨道截然不同。因此从整体上来看是稳定的，但从局部上看又是不稳定的， 它具有奇特的无穷层次的自相似几何结构，所以人们把它称为奇异吸引子。 下面以我们以最典型的l o r e n z 方程为例，给出吸引子的相空间图，引用l o r e n z 数学模型如下： 膏= a ( y - x ) 9 = p x x z - y 三= x y y z 其中，参数口= 1 0 ，= 2 8 ，7 = ； 利用m a t l a b 的算法实现l o r e n z 方程的相平面图见下图( 3 1 ) ，在这里我们取 步长h = 0 0 1 ，初值x 、y 、z 取 0 ，1 正态分布，迭代次数为1 0 0 0 0 0 。 量垄圣奎兰至圭兰些篁圣 cy ，z 的相位图dx ，y ，z 的相位图 图3i 龙格一库塔法求解l o r e n z 方程相位图 f i g3 ir u n g e k u t t a m e t h o d f o rs o l v i n g t h ep h a s ed i a g r a mo f l o r e n ze q u a t i o n s | 丁混沌的奉质足蝴蝶效应，而蝴蝶效应就是指对初始条件的敏感性，现在 我们用实验结果说明混沌系统的这奇妙特性。仍然卜图( 31 ) 的l o r e n z 系统为 例，下图( 32 ) 给出了在不同初始值下混沌l 吸引子的情况：其中图a ，b ，c 为初值 z = 1 l ，y = 3 8 8 ，z = 2 7 时的吸引子相图，图d ，e ，f 为初值x = 25 ，y = 0 2 ，2 = 4 7 0 时 的吸引子相图，图g ，h ，i 为初值z = 2 6 0 , y = 8 ，2 = 2 7 时的吸引子相图。 鹾。茹 里：耋鎏垩至垒窒兰：坌堑彗望苎 _ ， ， 、要尹， 一 一手。 二一算芝j ； ax y 的相位图 b x ，z 的相位图 d x ，y 的相位圈 ! ! 宝耋笪曼宴! ! ! e x ，z 的相位图 j ，仁：、 1 广二：- 、 ：【，j t 、j - 7， 、 1 1 一；$ 一： cy ，z 的相位图 _ i 。型! 量量蔓呈蔓! ! fy ，z 的相位图 y，；国 g x ，y 的相位图 h x ，z 的相位固 i y ，z 的相位图 圈32l o r e n z 办程对不同 j j 始值产生的不同吸引子 f i g 3 2 t h ed i f f e r e n ta t t r a c t o r sg e n e r a t e db yl o r e n ze q u a t i o n w i t hd i f f e r e n t i n i t i a lv a l u e s 3 3 3 李雅普诺夫指数 由于在耗散系统中，状态变量不可能趋于无穷，所以当我们对1 线性系统在 给定状态附近实现线性化时，所得到的矩阵就会依赖已经给定的线性化点，而 j a c o b i a r t 矩阵的特征值决定的足两个相邻点之间距离的伸长或压缩，其速率在相 空间中各点很有可能会产生不同，为了反映动力系统的整体效果，只有对运动轨 黑龙江大学硕士学位论文 道各点的伸长或压缩的速率进行长期平均，这就是李雅普诺夫指数的概念啪3 。李 雅普诺夫指数( l e ) 是混沌主要的定量表征和判断依据。 考虑疗维的非线性动力学系统： 戈= 厂( x ) ，x r ” ( 3 1 ) 刀维状态变量x 构成了一个疗维的相空间，而其中非线性变换：f - 彤。 在相空间中( 3 1 ) 式的解形成了一条轨道j ( ，) ，一旦初始值j ( o ) 有偏差缈( o ) ， 那么由j ( o ) + 国( o ) 出发就形成出另外一条轨道。我们为了分析国( ，) 随时间t 的变化规 律，那么设( r ) 的第，个分量在f 时刻的偏差为q ( f ) ，并把 锡( f ) ，i = 1 2 棚) 所构成的空 间称作为切空间，而且一旦 够( ，) ) 足够小且系统耗散，那么偏差( ，) 的增长率就应 该满足线性微分方程西：j t o , ，i ：1 2 棚，式中，是上式中的j a c o b i a n 阵。 在切空间上面，如果初始时刻的长度为i p ( o ) 4 ，并，时刻的长度为忪( 伽， j a c o b i a n 阵的特征值表示的是某确定时刻其长度在该特征方向上的指数变化率。 现在设忪( r ) l = 产4 p ( o ) i 就可得行维的李雅普诺夫指数： = l 晒l l l 譬咎 ，l e 在这里代表相邻轨道在相空间的平均指数辐散率。 由于l e 是针对系统的运动轨道而言的，在行维切空间中，如果国( ，) 在每个基底 上有分量，那么每个切空间的每一个分量都会有一个l e ，在得到甩个l e 后，我们 依次从大到小排列：蝎呸工e ，那么称这行个数为李雅普诺夫特征指数的谱， l e 的个数通常等于相空间的维数，当中蝎称为最大的l e ，它决定出了非线性系统 的众多重要性质担。由于在l e 0 的方向轨道对初始值十分敏感，将以指数率分离， 呈现出混沌运动状态，因此l e 就可作为混沌行为的主要判据乜刳。以三维的系统为 兰：兰鎏鎏至彗茎耋：2 要2 錾苎 例，对吸引子按l e 的符号进行分类，结果如下表31 所示 式 表3 1 三维系统的吸引子类型 我们以l o r e n z 方程为例给出映射的l y a p u n o v 指数，给出的l o r e n z 方程如下 随着参数“且，变化，该方程对应着的l y a p u n o v 指数的情况便如下图所示 叫i , i 一 一l 14 ， t 4 y 眚下f r 1 隋f 丁i ；1 眚f 广r j 1 r i i 口 口 - r 盯 八 i 1 j1 ： 4 l 。刊 曲参数a 变化b ) 参数卢变化c ) 参数，变化 曲c h a n g e o f p a r a m e t e r a b ) c h a n g e o f p a r a m e t e r f l c ) c h a n g eo f p a r a m e t e r y 图3 3l o r e n z 方程的l y a p u n o v 指数图 f i g3 3t h e u a p u n o ve x p o n e n t s o f l o r e n ze q u a t i o n s 通过l y a p u n o v 指数程序运行的结果，我们就能发现下面的结论： 1 、如果只给系统两个参数且，那么为了让系统达到混沌，剩下的参数a 范围 应该是4 3 1 3 9 0 7 2 、如果只给系统两个参数a , y ，那么为了让系统达到混沌剩下的参数f 的范 围应该是n 1 9 0 9 1 7 2 一 数 参中其 ”一euczol目 黑龙江大学硕士学位论文 3 、如果只给系统两个参数u , p ，那么为了让系统达到混沌，剩下的参数，的范 围应该是0 4 0 0 , 3 8 ( t 。，) o ，使得对于满足 忱一只l s8 ( t o ，e ) 的初始条件y o ，如有下式成立 l y ( t ，y o ；t o ) 一y , ls 则称平衡点以是稳定的，如艿与t o 无关，那么只一致稳定。 若还满足 2 4 第4 章混沌同步和超混沌同步 l i m 1 y ( t ；y 。，f o ) 6 _ o 那么就称平衡点是渐进稳定的。对混沌系统的同步误差，则有其平衡点巳：0 。 基于局部线性化的稳定性分析： 线性时变系统毒= d f , p 被判断是稳定的充要条件是误差系统在吃：0 处渐进稳 定。 在实践中通常通过计算得到l e 的正负性，从而确定误差系统的敛散性，进而 验证线性时变系统的稳定性。由于j a c o b i a n 矩阵中含传输信号，所以计算得的 l y a p u n o v 指数称为条件l y a p u n o v 指数( c l e ) 。c l e 为负，系统可以达到同步；c l e 为正，说明系统不稳定。虽然c l e 的计算不太方便，但通过c l e 判断稳定性非常 直接，而且在很多非线性系统中具有某些特定性态的，只要通过解析的分析就能 做出全局稳定性判断，这就是l y a p u n o v 函数法口1 3 2 l 。 李雅普诺夫函数法： 对误差系统，如果存在函数矿( p ) ，满足： ( 1 ) y ( e ) o ，且v ( d = o 当且仅当e = o ； ( 2 ) 矿( e ) o ，且矿( p ) = o 当且仅当e = o ： 则平衡点e