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曲阜师范大学硕士学位论文 射影酉表示及其框架对偶性质 摘要 本文主要研究了群射影酉表示及射影酉表示的框架对偶性质全文共分三章 第一章主要介绍了群射影酉表示的v o l ln e u m a n n 代数在群表示和类群酉 系统的基础上，利用重新构造的卷积，给出了群射影酉表示一个全新的刻画；利 用此刻画，证明了群射影酉表示的v o l ln e u m a n n 代数的有限性，给出了此v o n n e u m a n n 代数为因子v o nn e u m a n n 代数的条件以及左右两y o nn e u m a n n 代数 的关系，刻画了群射影酉表示v o nn e u m a n n 代数的中一c , - 元的具体形式本章所采 用的方法不同于韩德广在证明类群时的方法 、 第二章主要研究射影酉表示的框架对偶性质证明了以p 为乘子的射影酉表 示y o nn e u m a n n 代数中两投影的弱等价性与左正则弘一射影酉表示v o l ln e u - m a n n 代数中相应两投影的弱等价性是一致的，此结果推广了韩德广的射影酉表 示的框架对偶性质本章采用从特殊到一般的证明方法 第三章主要介绍了抽象小波系统的最佳逼近，给出了韩德广的一个最佳逼近 定理的详细证明过程对类群酉系统的完备框架向量妒来说，其最佳逼近为s 一壶矽， 其中s 为框架算子虽然对于抽象小波系统s 一言矽并不是妒的最佳逼近，但本章 给出了抽象小波系统的半正交的完备框架向量的类似的最佳逼近及其完整的证明 过程 关键词：v o dn c u m a n n 代数，射影酉表示，投影的等价，正交投影，分 - 一点一一l 一k 一 于一 优舁i f - - ，惟朱，垣近 监阜师范大学硕士学位论文 p r o j e c t i v eu n it a r y r e p r e s e n t a t i o n sa n dt h e i rf r a m e d u a l i t yp r o p er i i e s a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l ys t u d i e st h eg r o u pp r o j e c t i v eu n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n sa n d t h e i rf r a m ed u a l i t yp r o p e r t i e s t h et h e s i sc o n s i s t s + o ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c et h e v o i ln e u m a n na l g e b r a so fg r o u pp r o j e c t i v e u n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n s r e l y i n go ng r o u pr e p r e s e n t a t i o n sa n dg r o u p - l i k eu n i t a r y s y s t e m ，a sw e l la su s i n gt h ec o n v o l u t i o nw h i c hw er e c o n s t r u c t ，w ep r e s e n tan e w c h a r a c t e r i s t i co fag r o u pp r o j e c t i v eu n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n m a k i n gu s eo ft h i s c h a r a c t e r i s t i c ，w ep r o v et h ef i n i t e n e s so ft h ev o nn e u m a n na l g e b r ao fg r o u pp r o - j e c t i v eu n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n i na d d i t i o n ，w eg i v et h ec o n d i t i o nw h i c hm a k e i tt ob eaf a c t o ra n dt h er e l a t i o no fl e f ta n dr i g h ty o nn e u m a n na l g e b r a s f u r - t h e r m o r e ，w ed e p i c tt h es p e c i f i cf o r mo fc e n t r a le l e m e n t so ft h ey o nn e u m a n n a l g e b r a t h i sm e t h o di sd i f f e r e n tf r o mh a r td e g u a n g st h a ti su s e di ng r o u p - l i k e u n i t a r ys y s t e m i nc h a p t e rt w o ，w es t u d yt h ef r a m ed u a l i t yp r o p e r t i e so fp r o j e c t i v eu n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n s w ep r o v et w ow e a ke q u i v a l e n c e so fp r o j e c t i o n sa r ec o n s i s t e n t o n ew e a ke q u i v a l e n c eo ft w op r o j e c t i o n si si nt h ey o nn e u m a n na l g e b r ao fp r o - j e c t i v eu n i t a r yr c p r c s c n t a t i o nw i t hm u l t i p l i e rp ，t h eo t h e rw c a ke q u i v a l e n c eo f t w oc o r r e s p o n d i n gp r o j e c t i o n si si nt h ey o nn e u m a n na l g e b r ao fl e f tr e g u l a r # - p r o j e c t i v eu n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n t h i sr e s u l tg e n e r a l i z e st h ef r a m ed u a l i t y p r o p e r t i e so fp r o j e c t i v eu n i t a r yr e p r e s e n t a t i o nw r i t t e nb yh a nd e g u a n g h e r ew e u s et h em e t h o dt h a tf r o ms p e c i a lt og e n e r a l i nc h a p t e rt h r e e ，w em a i n l yi n t r o d u c eb e s ta p p r o x i m a t i o no fa b s t r a c tw a v e l e t 1 1 1 曲阜师范大学硕士学位论文 s y s t e ma n dg i v et h ed e t a i l e dp r o o fo fh a nd e g u a n g ：sb e s ta p p r o x i m a t i o nt h e o r e m f o rc o m p l e t ef r a m ev e c t o r 妒o fg r o u p - l i k eu n i t a r ys y s t e m i t sb e s ta p p r o x i m a t i o n i ss 一砂，w h e r esi sf l a m eo p e r a t o r a l t h o u g ht h i si sn o tt r u ef o ra b s t r a c tw a v e l e t s y s t e m ，w cg i v et h es i m i l a rr e s u l to fs e m i o r t h o g o n a lc o m p l e t ef l a m ev e c t o ra n d i t sc o m p l e t ep r o o f k e y w o r d s ：v o nn e u m a n na l g e b r a ，p r o j e c t i v eu n i t a r yr e p r e s e n - t a t i o n ，e q u i v a l e n c eo fp r o j e c t i o n s ，o r t h o g o n a lp r o j e c t i o n ，a n a l y s i so p e r a t o r ， f r a m e ，a p p r o x i m a t i o n 1 v 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文射影酉表示及其框架对偶性质，是 本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得 的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文的 研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明本声明的 法律结果将完全由本人承担 作者签名：签修孑嗍 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 劲吨5 射影酉表示及其框架对偶性质系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间， 在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归陆阜师范大学所有，本 论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保 存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子 版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制 手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 储签名苍恬学晰 导师签名 韵js 1 日期：w 矽y r 第一章群射影酉表示的v o l ln e u m a n n 代数 1 1 引言及预备知识 设为h i l b e r t 空间，b ( h ) 为上所有有界线性算子的全体我们称b ( i t ) 中的奉一子代数m 是个y o nn e u m a n n 代数，如果m 包含日上的恒等算子， 并且m 在弱算子拓扑下为闭的；进步的，若m 中与其每个元都交换的算子为数 乘恒等算子，则称 ，f 为因子y o nn e u m a n n 代数由二次换位子定理知，b ( h ) 的 难一子代数j i ，为v o l ln e u m a n n 代数的充要条件为m = m ，其中m 7 为m 的换 位子，即m = 丁b ( h ) ：t s = s t , v s m ) 若y o nn e u m a n n 代数中的每 个等距算子均为酉算子，则称此v o nn e u m a n n 代数为有限的，等价定义即，不和 它的任一真子投影等价如果m 上的一线性泛函圣具有性质圣( a 8 ) = d 2 ( b a ) 和圣( 肖4 ) 20 ，且对任意的囊，b m ，只有当a = 0 时才有圣( a 4 ) = 0 ，称雪 为m 的忠实的迹若m 上有一忠实的迹，则m 为有限的有关v o l ln e u m a n n 代数的更详细的知识可以参考【2 】在v o nn e u m a n n 代数的构造中，由可数离散 群构造的群v o nn e u m a n n 代数起着十分重要的作用 设g 是可数离散群，用俨( g ) 表示g 上的所有平方可和函数的全体，即 f 2 ( g ) = ，：g _ ci i f ( g ) 1 2 。) 俨( g ) 是一个可分的h i l b e r t 空间， 9 6 g x g fg g ) 是它的的一组标准正交基，其中x g ( h ) = l 当h = g 时，z 雪( ) = 0 当 h g 时我们将g 在俨( g ) 上的左右正贝0 表示记为a 和r ，对任意的g ，h g ， f 俨( g ) ，定义： a ：g g 入9eb ( 垆( g ) ) ，a 9 ( ，) ( 危) = f ( g 一1 ) ， 和 r ：g g r 9 b ( 俨( g ) ) ，r g ( ，) ( 九) = f ( h g 一1 ) 易验证和白都是酉算子称 b ：g g ) 和 白：夕g 分别生成的 b ( 护( g ) ) 上的v o nn e u m a n n 子代数为g 的群v o nn e u m a n n 代数，分别记为c g 和r g 利用群g ，我们可以刻画v o l ln e u m a a n 代数c g ；反之，利用c g 的性质， 曲阜师范大学硕士学位论文 又可以研究群g 的性质如，f - c 是个因子当且仅当g 是i c c 群，即群g 中 除单位元e 外，其余元的共轭类都是无限集；g 是超有限y o nn e u m a n n 代数当 且仅当g 是顺从的等 若用e 表示g 的单位元，对任意的t b ( 胪( g ) ) ，令r ( t ) = ， 则7 - 诱导g 上的忠实的正规迹态，从而c g 为有限的y o nn e u m a n n 代数涉及 y o nn e u m a n n 代数的理论可参见【1 11 2 随着框架( s 1 1 9 1 3 1 4 1 ) 和小波( 6 1 1 7 1 ) 理论的发展，算子理论和算子代数，尤 其是y o nn e u m a n n 代数的理论在解决这些问题中给出了一个全新的角度在【4 】 中，g a b a r d o 和h a n 为研究类群酉算子系的框架表示，刻画了类群的v o nn c u - m a n n 代数所谓类群酣是指一个作用在h i l b e r t 空间h 上的酉算子集，并且由 酣生成的群包含在配，内，其中是单位圆周对于类群“，可定义“的左右正则 表示，从而得到相应于类群“的y o nn c u m a n n 代数c 和霓同群y o nn c u m a n n 代数一样，c 和冗都是有限的y o nn e u m a n n 代数，且c 和冗互为换位子，即 c 7 = 冗但是，正如文【4 中所述，这些结果的证明并非是群v o nn e u m a n n 代数 相应性质证明的平凡推广，是需要一些技巧的；作为个附录，g a b a r d o 和h a n 给 出了类群y o nn e u m a n n 代数性质的一些刻画和证明与此同时，h a n 和l a r s o n 在文【3 】中声明，涉及类群v o nn e u m a n n 代数的有限性和因子性的结论对于群射 影酉表示的y o nn e u m a n n 代数也是成立的，但并未给出证明本文将考虑群射影 酉表示的v o nn e u m a n n 代数，此可以看作是群的酉表示和类群y o nn e u m a n n 代 数的推广我们将利用群g 的乘子定义俨( g ) 上的卷积，进而对射影酉表示( 详 见【3 5 】) 的y o nn e u m a n n 代数进行刻画，此方法源于群v o nn e u m a n n 代数，与 4 1 中方法不同 下面我们回顾一下射影酉表示及其生成的y o nn e u m a n n 代数的定义 定义1 1 1 【3 】设g 为可数离散群，日为可分的h i l b e r t 空间，u ( h ) 为日 上的酉算子群，称映射7 r ：g 叶u ( 日) 为g 的个射影酉表示，如果它满足： 丌( 夕) 7 r ( 九) = p ( 9 ， ) 7 r ( 9 ) ， 的，h g ， 其中p ( 9 ，h ) 为gxg 到单位圆周- 的函数 2 曲阜师范大学硕士学位论文 等 注：射影酉表示的典型例子包括群酉表示及时问频率分析中的g a b o r 表示 由射影酉表示的定义易知，如下等式成立： 7 r ( 夕1 ) 7 r ( 9 2 9 3 ) = i t ( 9 1 ，9 2 9 a ) t r ( g 1 9 2 9 3 ) ， 7 r ( 眈) 7 r ( 驺) = p ( 9 2 ，9 3 ) 7 r ( 9 2 9 3 ) ， 7 r ( 夕1 晚) 7 r ( 卯) = 弘( 夕l 卯，卯) 7 r ( 9 i 卯卯) ， 7 r ( 9 1 ) 7 r ( 夕2 ) = p ( 9 l ，9 2 ) r ( g 1 9 2 ) ， 分别将( 2 ) 带入( 1 ) ，( 4 ) 带入( 3 ) 得， 肛( 仍，9 3 ) 肛( 9 1 ，9 2 9 a ) t r ( g 1 9 2 q 3 ) = 肛( 夕l ，仂) p ( 9 l 现，仂) 7 r ( 9 1 晚卯) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 从而我们得到关于弘的一些基本性质； ( i ) p ( 夕1 ，9 2 9 3 ) # ( 9 2 ，9 3 ) = p ( 9 1 眈，g a ) # ( g l ，眈) ，对任意的夕l ，仍? 9 3 g ， ( i i ) p ( 9 ，e ) = p ( e ，g ) = 1 ，对任意的g g ，其中e 为g 的单位元， ( i i i ) p ( 夕，g - 1 ) = 肛( 9 ，g ) ，对任意的g g 定义1 1 2 1 3 设p ：g g 哼 为函数，若它满足上述( i ) - ( i i i ) ，则称p 为 g 的一个乘子 由定义1 1 ，群g 的每个射影酉表示7 r ，对应了群g 的一个乘子肛( 9 ，尼) ，此时 我们也称7 r 为胪射影酉表示反之，给定g 的个乘子p ，我们可以构造g 在 俨( g ) 上的射影酉表示a 和r ( 这里我们仍然用入和r 来表示) 令p 为g 的乘子， 对任意的g g ，定义： a g x a = p ( 9 ，厅) 妁_ i l ， v h g ， 和 r g x h = p c h ，9 1 ) z | i i g l ， v h g 由乘子的定义知，和r g 均为俨( g ) 上的酉算子，且一= 刃莉b 叱 由p 的( i ) 一( i i i ) 性质可得h = p ( 夕，h ) a 9 h 因此入为g 上的以肛( 9 ，h ) 为乘 3 曲阜师范大学硕士学位论文 子的p 射影酉表示对于r ，易知勺r h = p ( 凡，g - 1r g h ，而由计算知u ( g ，h ) = p ( ，g - 1 ) ，所以7 为g 上的以p ( 9 ，h ) 为乘子的p 一射影酉表示我们分别称表 示a 和7 为左正则p 射影酉表示和右正则扩射影酉表示 定义1 1 3 用厶和冗p 分别表示 b ：g g ) 和 og g ) 生成的群 v o l ln e u m a n n 代数，称它们为g 的射影酉表示的群y o nn e u m a n n 代数 1 2 群射影酉表示y o nn e u m a n n 代数的刻画 本节主要利用群g 的乘子j u 来定义俨( g ) 上的卷积算子，并对幺和冗p 进 行刻画 定义1 2 1 对任意的z ，y 2 ( g ) ，定义 ( z 丰剪) ( 卯) = p ( g o g - 1 , g ) x ( g o g 。1 ) y ( 9 ) ， g e g 称x 木y 为x 与y 在g 上的卷积 注：上述公式中的级数和是收敛的事实上，令x ( g ) = , ( g o g ，g ) x ( g o g - 1 ) ， 易知z 7 和y 均在俨( g ) 中，且p 木y ) ( g o ) = ，i i x ，i i = l i x l l 因而1 0 木 可) ( 卯) i = i l i l y l t l l x l l = i i x l l l t y l l ，由此可知，当z 俨( g ) 时，映 射y _ ( x 木可) ( 卯) 为俨( g ) 上的有界线性泛函另外，因为g g g o 为g 到g 上的一一映射，将# ( g o g - 1g ) x ( g o g _ 1 ) 3 ，( 夕) 中的g 换为g g o 又可得到， ( x 木y ) ( g o ) = ep ( 夕，g g o ) x ( g ) y ( g g o ) 9 g 由于z 车y 作为g 上的函数为有界的：因此z 牛y 为b a n a c h 代数俨( g ) 中的 元，但它并不一定在胪( g ) 中因此对任意的y 俨( g ) ，定义线性映射厶和r x ： l 2 oe 2 ( g ) _ 俨( g ) ，l ( 可) iz 木y ， 和 忍：粤2 ( g ) _ 俨( g ) ，尼：( 秒) = y 木。 我们已经看到，对某些z 俨( g ) ，映射l 和心的值域落在护( g ) 中，此时 l 和忍为e 2 ( c ) 到自身上的有界线性算子例如，当x 俨( g ) ，y 取时，对 4 曲阜师范大学硕士学位论文 任意的g o g ，由计算可知( 木z ) ( 9 0 ) = 卢( 9 ，9 - i 卯) z ( 9 - 1 9 0 ) 和( z 车x 9 ) ( - 9 0 ) = p ( g o g ：g ) x ( g o g - 1 ) ，此时事z 和z 车岛均为2 ( g ) 中的元因此当z ，y 护( g ) ， 且z 或y 的支集为有限时，有z 宰y 俨( g ) 特别的，我们有：z 木z 。= z 。木z = z ， z 9 宰x g - 1 = z 9 1 ，i cz 9 = u ( g ，9 - 1 ) z e 和。9 车x h = x h 率z 9 = p ( 9 ，h ) x 9 h 引理1 2 2若t b ( 俨( g ) ) ，z 2 ( g ) ，且 = 对任意的g ，h g ，则有t = l 七 证明 因为z 木胪( g ) ，所以内积 是有意义的，且对任意 的g ，h g 有： z 幸z 9 ( h ) = = 又映射y 一( 。木y ) ( ) 和y _ 均为萨( g ) 上的连续线性泛函且 在每个 z 。) 上都取相同的值因此对任意的h g ，任意的y 2 ( g ) ，有 ( z 幸可) ( ) = = t y ( h ) 所以l 。y = z 木y = t y ，从而l 。= t 如果我们知道以为作用在e ( a ) 上的有界线性算子，即值域在俨( g ) 中那 么由线性性和连续性，通过等式 = ，即可得到对任意的 y ，z 护( g ) ，有 = ，因此l = t 上面的引理告诉我们，在 给定的条件下可以将k 等同于b ( 俨( g ) ) 中的一个有界线性算子 弓i 理1 2 3 设z ，可2 ( g ) ，若l z ，l | ，b ( 胪( g ) ) ，贝4 z + l i ，= l + i ， a l z = 工凹，l l v = l 士郴l 卫= l nl z 。= i ，且l 2 = l | ，当且仅当z = y ：其中 a c ，z ( 9 ) = u ( g 一1 ，g ) z ( g 一1 ) 证明对任意的z 俨( g ) ，任意的g o g ，任意的a c ， l a x + v ( z ) ( 9 0 ) = ( ( n z + y ) 奉z ) ( g o ) = u ( 9 0 9 ，g ) ( n z + u ) ( g o g - 1 ) z ( 夕) 9 e g = a ( # ( 9 0 9 ，9 ) x ( 9 0 9 以) 2 ( 夕) ) + # ( g o g - 1 , g ) y ( g o g - 1 ) z ( 9 ) g e g9 e g = ( o 己z ( z ) + l | ，( 彳) ) ( 9 o ) = ( n l + l v ) ( z ) ( 跏) ， 因此l + 掣= a l z + l 分 5 和 又 又 曲阜师范大学硕士学位论文 = = ( x 木z h ) ( g ) = p ( 9 一1 ，h ) x ( g h 一1 ) p ( ，h g 。) x ( g h 一1 ) ， = ( z + 木) ( h ) p ( 幻- 19 ) z + ( 幻- 1 ) = p ( 夕一1 ，9 ) 肛( g 一1 ，h 9 1 ) z ( g h 一1 ) p ( 一1 ，h g 一1 ) p ( 危夕一1 ，g ) = p ( 9 1 9 h ，h g _ 1 ) ，z ( 夕，g h 1 ) = u ( g 一1 ，e ) 肛( 9 一1 ，h g 一1 ) p ( 9 一1 ，h g 一1 ) ， 从而p ( 一1 ，h g 一1 ) = p ( 幻一1 ，夕) p ( 9 一1 ，h g 一1 ) ，因此 = ， 由引理2 2 知也。为有界的且l 霉。= l 。 由l 。的定义知z 木( y 奉) = 也l 掣x g 乎( g ) ，在上式子中用e 代替9 即得 z 水y 妒( g ) ，从而厶。掣就有了定义，因为， 而 = z 木( y 宰x g ) ( h ) = t z ( h k ，k ) x ( h k - 1 ) ( y 木码) ( 七) 七g = 肛( 七一? k ) x ( h k - 1 ) p ( 幻一，g ) y ( k g _ 1 )_ ，、u ， k g = u ( h t ：，妫p ( 幻，a ) z ( h k q ) 影( k g 1 ) ； 6 曲阜师范大学硕士学位论文 = ( z 木y ) 木x g ( ) = p ( 夕一1 ，9 ) ( ：e 木! ，) ( ，l 夕一1 ) = p ( 幻，g ) “( h g - 1 k ，k ) x ( h g - 1 k - 1 ) 箩( 七) 翩g = 弘( 老一1 k g 一1 ，夕) ( 危克一1 ，k g 一1 ) x ( h k 一1 ) 爹( k g 一1 ) k e g = p ( 九七一1 ，膏) 肛( k g 一1 ，g ) x ( h k 一1 ) y ( k g 一1 ) 将k 换为k g - 1 可得第四个等式又由引理2 2 知厶姆b ( 2 2 ( g ) ) 且以0 = l z 叩 由于 = = ，所以l z 。= ， 若l 。= l p ，则对任意的g g 有： z ( z 。) ( 9 ) = ( z 幸z 。) ( g ) = z ( 夕) ， 掣( z 。) ( 夕) = ( y 丰z 。) ( 9 ) = ! ，( 9 ) ， 从而可得x = y 利用卷积算子厶和忍，我们可以对群射影酉表示的v o nn e u m a n n 代数进 行刻画，即如下定理h a n 等在【4 】中对类群y o nn e u m a n n 代数进行了证明，其 证明方法没有涉及卷积另外，h a n 在 3 】中指出，同类群一样，类似结果对射影 酉表示v o l ln e u m a n n 代数同样成立，但并未给出证明 定理1 2 4 c p = l x ：z 妒( g ) ，l z b ( 俨( g ) ) ) = l z 。：g g 】i “， 7 乙= 只：z 1 2 ( g ) ，兄二b ( z 2 ( g ) ) ) = 尺二，：g g ) ”， 且有c ：= 冗p 和7 = 厶 证明分别记m = ( 厶：。妒( g ) ，l z 8 ( 它2 ( g ) ) n = ( 疋：z 乎( g ) ，也b ( z 2 ( g ) ) ，下证 彳和均为v o nn e u m a n n 代数由引理2 3 可知 m 和均为b ( 俨( g ) ) 的车一子代数，若l z m ，吼n ，则对任意的g ，h g 7 曲阜师范大学硕士学位论文 有 和 l z z 0 ( z ，) ( ) = ( z ，c ( z ，掌y ) ) ( 危) = p ( 危厂一，f ) x ( h f - 1 ) ( 妁术秒) ( ，) ，g = p ( ，f ) x ( h f - 1 ) p ( 9 ，9 - 1 f ) y ( 9 _ ，) ， ，g 冗0 l z ( ) ( ) = ( ( z 木) 木可) ( 厅) = p ( ，一1 ，) ( z 木) ( ，一1 ) 秒( 厂) ，g = p ( 厂一1 ，) p ( ，一1 9 一1 ，g ) x ( h f 一1 9 一1 ) 可( ，) t e g = p ( ，一1 9 ，g - 1 ，) p ( ，- 19 ) x ( h f 一1 ) v ( g 一1 f ) ，g = p ( h f ，) 肛( 夕，9 - 1 f ) x ( h f _ 1 ) y ( 9 - 1 ，) ， 将，换为i f - i f 可得第四个等号因此k 局= r u l z ，所以 ，7 ，m ，若 t n 7 ，令z ：t x 。，下证t = l 。由于 = = = = ， 因此也为有界算子且t = l z m ，从而冬m ，所以m = n 类似的， n = m 所以1 ，和均为v o l ln e u m a n n 代数 因为( l ( z ) ) ( ) = ( 牵z ) ( 九) = p ( 夕，9 - t h ) x ( g _ 1 ) ，所以己为护( g ) 上 的等距算子，由计算知其逆为p ( 夕，g ) l 一。，因此l 却为酉算子类似的，心。也 为酉算子若丁与每个r 。都可换，由上可知t m 令贸为 亿，：9 g 生成的v o nn e u m a n n 代数，则贸7 m ，又贸冬 r ，所以m = n c 一倪7 ，从而 m = n = 唰，所以n = 贝对称的， l 。：g g 生成的v o nn e u m a n n 代数 为m 。 8 曲阜师范大学硕学位论文 由于对任意的g ，h g 有 a 9 ( z h ) = p ( 夕，h ) x 咖， l z g ( z ) = x 9 木x h = p ( 9 ， ) z 9 ，i ， 所以 ：g g _ ) = k ：9 g ) ，从而 j r 即为厶，为冗弘，结论成立 1 3 群射影酉表示v o i ln e u m a n n 代数的性质 定理1 3 。l y o nn e u m a n n 代数幺和7 c k 都是有限的 证明对每个l 互幺，2 胪( g ) ，定义t ( l ) = z ( e ) ，则7 - 为厶上的线性 泛函，且对任意的l 。c “有： 丁( 芝k ) = 7 ( t l ) = 丁( l z ) = ( x 幸z ) ( e ) = p ( 9 1 ，9 ) z ( 9 1 ) 。( 夕) g g = u ( g ，夕) p ( 9 ，g - 1 ) x ( g ) 4 9 ) g g = i z ( 夕) 1 2 0 g g 若t ( l ；l 。) = 0 ，则对任意的g g ，有z ( 夕) = 0 ，所以z ：0 ，从而l = 0 因此 丁为一正的忠实的线性泛函又对任意的乞，毛o ，z ，y 乎( g ) ，有： 7 - ( k 毛) = t ( l 删) = ( z 丰y ) ( e ) = p ( 夕- 1 夕) z ( 夕一1 ) 可( 9 ) ， g e g 丁( 譬l z ) = i - ( 毛屹) = ( y 木z ) ( e ) = 弘( 夕一1 ，g ) y ( 9 1 ) z ( 雪) g g = u ( g ，g 一1 ) ( 夕) z ( 9 1 ) g e g 将g 换为g - 1 即可得到最后一个等式所以7 ( k l 爷) ：丁( l 分k ) ，从而丁为 迹态类似的，对任意的忌冗“，z 俨( g ) ，可知7 ( r 。) = x ( e ) 为冗p 的正的忠 实的迹态所以厶和冗p 都为有限的v 0 1 1n e u m a n n 代数 定理1 3 2 若下列两个条件之一成立，则c p 和冗p 均为，1 型因子： 9 曲阜师范大学硕士学位论文 ( i ) g 为无限共轭类群：即对每个h e ， g h g _ 1 ：g g 为无限集； ( i i ) p ( 夕幻，g ) p ( 9 ，h ) ：g g 为无限集 证明由定理3 1 知：7 为乞上的正的忠实的迹，由g n s 构造我们有研= z f ，其中珥为由7 - 诱导的h i l b e r t 空l ；- j ( 1 5 】) 因为 r = 丁( e 。l z ，) = r ( l 小h 勺) = ( z ；木) ( e ) = p ( 忌一1 ，k ) x * h ( k 一1 ) 。9 ( 七) k e g = u ( k ，七) p ( 七，k - 1 ) z h ( k ) x g ( 七) k e g = 所以以垒沪( g ) ，其中l 铂对应于因此对任意的t 厶nr p ，可设t = a h x ，l ，其中j a h l 2 o 。，且对任意的g g ，有丁l = l ，r 从而 b e gh e g l = g 丁= p ( 9 - - 1g ) l 句t l 一t a _ f i p ( 夕，g ) l 幻x h l 午l h e g a h # ( g ，g ) l 幻l 。 l 午。 h e g a h # ( g - 1 , g ) l ”( ”和1 ) = o p ( 9 - 1 夕) p ( ，g 一1 ) p ( 9 ，h g 一1 ) l z ，幻一。 b e g 。 = 乏二a n p ( g - 1 , 9 ) p ( 9 ，夕一1 ) p ( 9 ：忍) z 9 j l g l h e g = n p ( 夕幻一，夕) p ( 9 ， ) h g t ， g 最后一个等式是由于u ( q h 9 ，夕) p 幻 ，夕- 1 ) = p 圆- 。，夕) 所以， 从而， h e g 口，l 肛( 参 g - 1 夕) p ( 夕， ) z g g l = 所以对任意的h e ， n h x h = a g h g - 孙一， l g b e g a h p ( g h g 一1 ，夕) ，t ( 9 ，h ) = 0 , 9 ，h g 1 1 0 益阜师范大学硕士学位论文 若 q h g - 1 ：9 g ) 为无限集，则有a h = 0 ，因为i a h l 2 。o ； 若 g h g - 1 ：g g ) 为有限集，因为 i l ( g h g ，夕) 肛( 夕，h ) ：g g 为无限集， 所以也必有a h = 0 因此对所有的夕g ，有t = a e x 。，从而c p 为因子类似的，冗p 也为因子 下面定理是说，对于非因子的射影酉表示v o l ln e u m a n n 代数，我们可以利用 g 和“刻画它的中心元 定理1 3 3g 为可数离散群，f 为g 的子集，且使得 h g h - 1 ：h g 和 u ( h g h ，危) 及瓦。面：h g ) 均为有限集则厶的中心为厶中同时满足下面 两个条件的l z ： ( 1 ) 当g f 时，有z ( h g h 1 ) = p ( ，g ) t , ( h g h ， ) z ( 夕) ，对任意的h g ； ( 2 ) 当ggf 时，有x ( g ) = 0 证明若7 属于c p 的中心，则对任意的g g ，有也l z 。= l 码l z ，即 g o , 木z 口= z g 幸z ，因此对所有的g o g ，有 z 木z 9 ( g g o ) = 茁9 木x ( g g o ) ， x ( g g o g - 1 ) = p ( g ，g o ) l t ( g g o g 一，g ) x ( g o ) ， 若 g g o g _ 1 ：g g ) 为无限集，即g o 窖f ，则有x ( g o ) = 0 ，因为z 满足 i x ( g o ) 1 2 0 ：使得对任意的z h 有 a i i z i l 2 i 1 2 b l l z l l 2 ， ( 2 1 ) n e n 其中常数4 、b ( 最大的月，最小的b ) 称为框架的界当a = b 时，称 z n ) 为何 上的紧框架特别的，当a = b = l 时，称 z 竹 为日上的正规紧框架或p a r s e v a l 框架若( 2 1 ) 式只对所有的z 硒丽 。) 成立，则称 z n ) 为上的框架列；若 对所有的z h ，( 2 1 ) 式只有右边不等式成立，则称 z n - 为日上的b e s s e l 列 定义2 1 4 【3 】设阿为h i l b e r t 空间，7 r 为可数离散群g 上的射影酉表示， 对日中的向量， ( 1 ) 若 丌( 9 ) og g ) 为日的框架，则称为丌的完备框架向量； ( 2 ) 若 7 r ( 9 ) ：g g 为日的正规紧框架，则称f 为7 r 的完备正规紧框架向量； ( 3 ) 若 7 r ( 夕) ：g g ) 为日的框架列，则称为7 r 的框架向量； ( 4 ) 若【7 r ( 夕) ：g g ) 为的b e s s e i 列，则称舌为7 r 的b e s s e l 向量 我们用玩来表示7 r 的所有b e s s e l 向量的全体，用7 r ( g ) 来表示 7 r ( 9 ) ：g g ) 生成的v o r ln e u m a n n 代数则研为7 r ( g ) 和丌( g ) 7 的不变子空间 定义2 1 5 1 3 设日为h i l b e r t 空问，贫为可数离散群g 上的射影酉表示， z h ，定义关于z 的算子以为d ( 艮) ( h ) 到e ( a ) 的映射，满足： 艮( 可) = ， g e g 其中刃( 良) = 秒h ：l 1 2 o 。) 则称以为关于x 的分析算 g e g 子 注( 1 ) 对所有的x h ，有岛口( 以) 事实上，对任意的岛，都有l 1 2 b l l y l l 2 成立，其中b 为正 9 g 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 常数，y h 所以有 i 1 2 g e g = i 1 2 g e g = el 1 2 g g = i 1 2 g e g = ei f 2 9 g = e | 1 2 9 g b i i ：e i l 2 + 。o ( 2 ) 若鲧在日中为稠的，那么可知以为稠定义的闭线性算子( 参见f 1 4 d 事实上，对任意的y ne 刃( 如) ，若_ 0 ，证以( 孙) 一0 即可而 以( 蜘) = ， g e g 又以( ) 为绝对收敛的，所以 lim以(鼽)=31黑z9=0n。oo on + 。 g e g ( 3 ) 对任意的z h ，ze 爵等价于如为胃上的有阶线性算子，等价于 刃( 以) = h ( 4 ) 对任意的geg ，可知宪= - ( g ) z ，因为对任意的k ，h g 有 = = o e g = ， 所以由注易知z 为正规紧框架向量的充分必要条件是以为投影另外，z 为完备框架向量( 完备正规紧框架向量) 的充分必要条件是以为单射且有闭值域 ( 等距) ( 参见 4 】) 1 5 曲阜师范大学硕士学位论文 2 2 主要结论 引理2 2 1 【1 4 】【4 】h 为h i l b e r t 空间，7 r 为可数离散群g 上的射影酉表示，且 使得既在日中为稠的则对任意的z h ，存在岛使得 ( i ) ( 7 r ( 9 ) ：g g ) 为【丌( g ) z 的正规紧框架； ( i i ) 艮( h ) = 恢( 既) 】 引理2 2 2 【3 】h 为h i l b e r t 空间，7 r 为可数离散群g 上的射影酉表示，且使 得辫在日中为稠的设z ，y h ，那么下面条件是等价的： ( i ) 陂( 召万) 】= 吼( 召打) ； ( i i ) 【7 r ( g