（水力学及河流动力学专业论文）基于同位网格的simple算法及应用研究.pdf

r e s e a r c ho na p p l i c a t i o n“s m p l ea l g o r i t h m r e s e a r c h0 no l1 a l g o r i t h msm r l b a s e do nc o l l o c a t e dg r i d d i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt o n a n j i n gh y d r a u l i cr e s e a r c hi n s t i t u t e i nf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t f o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fe n g i n e e r i n g b y z h u z h e n r o n g ( h y d r a u l i c sa n dr i v e rd y n a m i c s ) d i s s e r t a t i o ns u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl ig u o b i n j u n 2 010 n a n j i n g p r c h i n a 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同事 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ： ( 注：手写亲笔签名) 学位论文使用授权说明 年月 日 南京水利科学研究院、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中 国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印 件或电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电 子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外， 允许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权南 京水利科学研究院办理。 论文作者( 签名) ： ( 注：手写亲笔签名) 年月 基于同位网格的有限 较好的有限体积法，建立 型。 系统的回顾了国内外 提出了本文的主要研究内 参照平面直角坐标系 以长江下游安庆水道为例，对本文构建的同位网格下平面二维水流数学模型进 行了验证，数值模拟结果与实测结果吻合较好，表明了本文构建的模型是合理可靠 的。 将数学模型应用到长江下游安庆水道航道整治工程的水流计算中，计算得出了 工程前后安庆水道的水位、流速场。通过此工程方案的计算，说明此方法对实际工 程问题行之有效。 关键词：同位网格、曲线坐标、有限体积法、s i m p l e 算法、航道整治 a b s t r a c t a san e wa n da d v a n c e dn u m e r i c a lm e t h o d ，t h ef i n i t ev o l u m em e t h o d 面dh a sb e e na p p l i e dt oh y d r o d y n a m i cc o m p u t a t i o nt h e s ey e a r s b a s e d n u m e r i c a lm o d e l sp r e s e n t l y , t h ec u r v i l i n e a rc o o r d i n a t ea n dt h ec o l l o c a t e d b r o u g h ti n t ot h et w od i m e n s i o n a lh y d r o d y n a m i cm a t h m a t i c a lm o d e l t h ed e v e l o p m e n tt r e n do fh y d r o d y n a m i cm a t h e m a t i c a lm o d e la n d t e c h n i q u e a th o m ea n da b r o a da r eg e n e r a l l yr e v i e w e d t h eg o v e r n i n ge q u a t i o n so ft h em o d e li ng e n e r a lc u r v i l i n e a rc o o r d i t r a n s f o r m e dt ot h ef o r m si nr e c t a n g u l a rc o o r d i n a t es y s t e m d u r i n gt h ed i s c r e t i z a t i o no f g o v e r n i n ge q u a t i o n s ，t h ep h y s i c a lv a r i a b l e sa r el o c a t e di nt h ec o l l o c a t e d 鲥ds y s t e m c o n v e n i e n c ef o r i n t e r p o l a t i n g t h e i n t e r f a c es t a t e v e l o c i t y , c o n t r a v a r i a n tv e l o c i t y c o m p o n e n t si n c u r v i l i n e a rc o o r d i n a t ea r ec h o s e n 嬲s o l v e dv a r i a b l e s t h es i m p l e a l g o r i t h mw i t l lc o l o c a t e dg r i d ，w h i c h i su s e dt oh a n d l et h ep r o b l e mo fw a t e r l e v e l v e l o c i t y c o u p l i n g , a r ed e s c r i b e d t h es t e p so fs i m p l ea l g o r i t h ma r eg i v e ni nd e t a i l v e l o c i t y c o r r e c t i n ge q u a t i o na n dw a t e rl e v e lc o r r e c t i n ge q u a t i o na r ed e r i v a t e d i no r d e rt ot e s ta n dv e r i f yt h em o d e l ，w a t e rf l o wm o v e m e n to fa n q i n gw a t e r w a yw a s s i m u l a t e d ，t h er e s u l t sw e r ei d e n t i c a lw i t ht h ed a t ao b t a i n e df r o mt h em e a s u r e m e n t s t h e m a t h e m a t i c a lm o d e lw a sa p p l i e dt os e v e r c et h en a v i g a t i o nr e g u l a t i o np r o j e c t s ，t h er e s u l t s h o w e dt h a tt h em o d e lc a nb ea p p l i e dt op r a c t i c a lp r o j e c ts u c c e s s f u l l y k e yw o r d s ：c o l l o c a t e d 酣d ，t h ec u r v i l i n e a rc o o r d i n a t e s ，t h ef i n i t ev o l u m em e t h o d ， s i m p l ea l g o r i t h m ，n a v i g a t i o nr e g u l a t i o n 目录 第一章绪论1 1 1 研究背景及意义1 1 2 国内外水流数学模型研究概况1 1 2 1 一维水流数学模型1 1 2 2 二维水流数学模型2 1 2 3 三维水流数学模型4 1 3 同位网格研究概况5 1 4 同位网格上的数值计算方法7 1 4 1 有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ) 7 1 4 2 有限单元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 7 1 4 3 有限分析法( f i n i t ea n a l y s i sm e t h o d ) 8 1 4 4 有限体积法( f i n i t ev o l u m em e t h o d ) 8 1 4 5 其他方法9 1 5 本文主要研究内容9 第二章平面二维水流控制方程1 0 2 1 平面直角坐标系下的控制方程1 0 2 1 1 水流运动控制方程1 0 2 1 2 控制方程的通用形式1 0 2 2 一般曲线坐标下的控制方程一1 1 2 2 1 一般曲线坐标下的转换关系1 l 2 2 2 一般曲线坐标下平面二维水流控制方程的转换11 第三章同位网格平面二维水流数学模型1 4 3 1 基本方程的离散及求解。1 4 3 1 1 同位网格下计算变量的布置1 4 3 1 2 控制方程的离散1 4 3 2 直角坐标系下同位网格的实施方法1 6 3 2 1 动量插值法l6 3 2 2s i m p l e 算法的实施1 8 3 3 计算平面上动量方程的离散1 9 3 3 1 f 方向动量方程离散2 0 l 3 3 2 r 方向动量方程离散。 3 4 一般曲线坐标系下同位网格的s i m p l e 算法实施 3 4 1 速度求解变量的选取 3 4 2 速度修正方程的构造 3 4 3 水位修正方程的构造2 5 3 4 4 计算平面上同位网格s i m p l e 算法的计算步骤2 7 3 5 离散方程的求解2 9 3 6 计算中有关问题的一些讨论2 9 3 6 1 水流紊动粘滞系数一2 9 3 6 2 动边界技术3 0 3 6 3 松弛因子的影响3 0 3 6 4 定解条件31 第四章工程应用3 3 4 1 河道基本情况3 3 4 2 计算域的选取及计算网格生成3 4 4 3 计算参数的选取3 5 4 4 验证计算3 5 4 5 航道整治工程总体方案水流计算4 4 4 5 1 航道整治工程总体方案布置一4 4 4 5 2 航道整治工程总体方案水流影响分析4 6 4 6 同位网格与交错网格下s i m p l e 算法比较5 3 第五章总结与展望5 5 5 1 研究工作总结5 5 5 。2 展望5 5 参考文献5 7 2 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 河道是人类生产活动的主要空间之一，对于河道水流，由于河道几何形状的不 规则性，以及来流随时间和空间的变化，均会导致水流的复杂多变，表现在流量、 流速分布和水深等水力要素随时空而异。在河流上修建水利工程、治河防洪工程或 其他工程建筑物后，受建筑物的干扰，水流又将发生新的变化，要有效地整治河流， 达到兴利除害的目的，必须掌握水流运动的规律。 水流的模拟一般分为物理模型和数学模型。物理模型研究方法是根据相似原理 将所要研究的河道按照一定的比尺缩小为一个模型，采用实验的方法来研究。数学 模型研究方法则将现代计算机与数值解技术相结合，对河流进行数值模拟。物理模 型费时费力，相对来说数学模型比较省时、省钱，不受模型比尺等约束，适应性很 强，应用比较广，基本能满足工程需要的定性结果。并且近二十年来，随着电子计 算机技术的高速发展，浅水方程的数值模拟技术已经比较成熟。当然，在实际工程 应用中，仍然有许多技术难题需要深入研究。 对于具有复杂边界的河道水流数值计算，多采用贴体正交曲线网格处理。而水 流运动方程经正交曲线坐标变换后变得较为复杂，若采用交错网格布置变量时，由 于速度及其他变量不在同一网格系统中，使相应的控制体不一致，在求解各自的离 散方程时都需进行一些插值，计算工作量将会增加。特别是对于三维水流运动的计 算，采用交错网格布局将使程序的编制变得更为复杂，而且由于大量插值运算的存 在，也会加大计算的难度。因此，研究将所有的独立计算变量布置在同一网格节点 上的数值计算模型是有现实意义的。 1 2 国内外水流数学模型研究概况 根据水流各水力参数在空间上的分布特性，数学模型可分为：一维水流数学模 型、二维水流数学模型以及三维水流数学模型。其中，二维水流数学模型还可以分 为平面二维水流数学模型和立面二维水流数学模型( 或垂向二维水流数学模型) 。 1 2 1 一维水流数学模型 2 0 世纪7 0 年代，许多国家在发展河流数学模型方面都做了大量的工作。美国、 荷兰、法国、丹麦等国已研制出相当多的一维模型，且己经较为成熟。例如法国 j a c u n g ea n df m h o l l y 的c h a r 3 ( 1 9 7 1 ) 、美国r a n j a na r i l a t h u r a i 的s e d i m e n t i i ( 1 9 7 6 ) 、美国陆军工程兵团开发的h e c 6 ( 1 9 7 7 ) 、荷兰代尔夫特水力研究所的 n e t f l o w ( 1 9 7 9 ) 、丹麦水力研究所( d h i ) 开发的m i k e l l 等【l 】【2 1 。 在我国，一维水流数学模型的发展也很快。林秉i 轲( 1 9 5 8 ) 3 】研究了明渠非恒定流 的一维数值模拟；张二俊( 1 9 8 2 ) t 4 】等提出了河网非恒定流的三级联合解法；吴寿红 ( 1 9 8 5 ) t 5 】在三级联合解法的基础上，又提出了四级解法；香港的c h a u 和l e e ( 1 9 9 1 ) 6 】 利用四点p r e i s s m a n n 隐式有限差分技术建立一维河网的数学模型；夏自强等( 19 9 5 ) 【7 1 根据长江洪水预报及工程措施对洪水影响的分析，考虑滩地对洪水运动的作用，建 立了河段的洪水演算模型；李岳生等( 1 9 9 7 ) 8 】提出了河网非恒定流隐式方程组稀疏矩 阵解法；伍宁( 2 0 0 1 ) p 1 运用圣维南方程组建立了一维数学模型，并将其应用到芙蓉江 江口和长江徐六径段，对解决非恒定流方面的一些问题进行了初步的分析和探讨； 诸裕良等( 2 0 0 1 ) 1 0 】利用单一河流有限差分方程组转换形式和节点处的质量、能量守恒 性，写出所有节点的水位控制方程组，求解得到节点的水位及其它水动力变量，并 将其应用于珠江三角洲流域河网水流的数值计算中；童朝锋( 2 0 0 2 ) 【1 1 1 1 2 1 等将一维模 型应用于有闸分汉河道的计算及感潮河网水环境治理。谢作涛( 2 0 0 5 ) 1 3 等从求解一维 对流方程的h o l l y - p r e i s s m a n n 格式出发，结合有限差分法建立了一维洪水演进数学模 型，根据实验室溃坝实验结果与溃坝理论解对模型计算精度进行了分析，并将其应 用于长江荆江河段洪水演进计算，取得了较好的结果。耿艳芬和王志力( 2 0 0 6 ) u 4 】等讨 论了神经网络在河网水流数值模拟中的运用现状，并基于河网水流数值计算模拟的 特点，将径向基函数神经网络方法应用于复杂河网水流。 总体而言，一维水流数学模型发展十分迅速，逐渐趋于完善。一维水流数学模 型对大流域河网具有很好的效果，但是，由于一维水流数学模型无法模拟水流沿横 向( 河宽方向) 或垂向( 水深方向) 的变化，所以需采用二维或者三维水流数学模 型才能求解河流、河口等水域的水动力细部结构。 1 2 2 二维水流数学模型 对于水平尺度远大于垂向尺度，水力参数( 如流速、水深等) 在垂直方向的变 化远小于水平方向的变化的水域，例如海岸、河口、湖泊、大型水库、宽浅河道等， 其流态在垂向的变化可用沿水深的平均量表示，因而可采用平面二维水流数学模型 模拟；对于垂向尺度远大于水平尺度或者在宽度沿程变化不是很明显的航道地区和 流态比较顺直的河流水域，例如潮汐通道、河口深渊段等，可以采用立面二维水流 2 数学模型模拟。 欧美国家的二维水流数学模型发展较早。美 l e e d e r t s e ( 1 9 6 7 ) 应用a d i 法模拟二 维潮汐潮流，并很快得到推广；后来苏联y 觚e i l l 【o 等人提出了分裂法，将控制方程组 按空间坐标分裂或按物理机制分裂等；j a m e s o n $ 1 1 t u r k e l ( 1 9 8 1 ) t ”】提出采m l u 分裂法 解隐格式所产生的大型线性方程组并应用于e u l e r 方程的离散。国外著名的二维水流 数学模型有美国r a n j a na r i a t h u r a i 的s e d i m e n t - 4 h ( 1 9 7 7 ) ，美国水道试验站的 t a b s 2 ( 1 9 8 5 ) ，后期比较著名的有荷兰d e f l t 水力研究所研制的著名的d e f l t 3 d 模型， 丹麦水力研究所( d h i ) 的m i k e 2 1 模型等。 在我国，赵士清( 1 9 8 3 ) 1 6 对长江口南支河段二维潮流进行数值模拟，并以1 9 7 8 年8 月7 8 日一次大潮作为验证计算，计算结果与天然情况下的实测资料符合较好； 周建军等( 1 9 9 1 ) 【1 。7 】应用破开算子法原理，将平面二维不恒定流基本方程按不同的物理 意义破成对流、扩散和传播三个子方程，对对流方程提出了基于特征线法的迭代解 法，对扩散和传播方程在局部区域内推演出同一形式的带源泊松方程，并引入有限 分析法求解，同时，利用边界对称点法，对河道二维计算中较困难的不规则边界计算问 题作了较好的处理；夏云峰等( 1 9 9 3 ) t 1 8 】在二维水深平均水流运动方程的基础上，给出 了考虑水深局部变化的二维水深平均k _ 紊流模型闭合方程组，并采用控制体积法离 散方程，运用s i m p l e r 方法求解淹没丁坝水流流场和水面线的变化，其计算结果与 水槽试验的实测资料基本吻合；李国斌等( 1 9 9 4 ) t 1 9 】基于绘制水流平面图的基本思想提 出了淹没丁坝群水流计算平面二维流带模型，将天然河道水流划分为一定数量的流 带，在每条流带内差分求解水流方程，同时为进行数值计算提出了一系列处理办法； 陈界仁( 1 9 9 4 ) 2 0 】从宾汉体流变方程出发，建立了适合于高含沙水流的运动方程，得到 了高含沙水流运动的立面一i 维数学模型；陆永军等( 1 9 9 7 ) t 2 1 】针对河道长宽相差悬殊的 特点，提出了平面二维贴体正交曲线坐标系下紊流模型的控制方程，采用控制体积 法及相应的动边界技术数值求解了水流泥沙运动方程；宋志尧等( 1 9 9 7 ) 口2 】建立了结合 矩形网格和三角形网格的复合模式下的二维潮流数值计算，并将其应用于围头港的 工程计算；李大鸣等( 1 9 9 8 ) 【2 3 】考虑了上、下游洪水边界的控制条件及糙率随河道流量 变化的调整，提出了河道洪水演进的二维水流数学模型的计算模拟方法，并以永定 河上游芦沟桥至金门闸河段作为验证，计算结果较好；李中伟，余明辉( 2 0 0 0 ) 睇4 j 等以 流函数涡度方程作为控制方程模拟不同流量级下不同长度正交丁坝附近的局部流 场，模拟结果与室内流场试验结果吻合较好：赖锡军等( 2 0 0 2 ) t 2 5 】采用四点加权隐式计 算一维潮流，利用有限体积法求解二维潮流，建立一、二维耦合的潮流数学模型， 实现了由一维计算区域向二维区域的准确过渡；魏文礼等( 2 0 0 3 ) 2 6 】采用基于 m a c c o r m a c k 预测校正技术的隐式数值格式求解控制水流运动的二维浅水方程，建立 了模拟大坝瞬间全溃或局部溃倒所致的洪水演进过程数学模型，能够有效地模拟明 渠水流中流态变化过程中的水面变化，以及溃坝洪水波的演进过程；吴修广( 2 0 0 3 ) 口7 1 、 沈永明等( 2 0 0 5 ) t 2 8 1 利用代数应力模型，以及k - 双方程模型分别有效模拟了实验室连 续弯道和天然河流( f a l lr i v e r ) 的流速、水位和污染物扩散输移；王志力等( 2 0 0 5 ) 2 9 1 采 用非结构网格的有限体积方法，对具有复杂计算域和地形的二维河道进行了数值模 拟。 1 2 3 三维水流数学模型 实际水流运动中，大多数都是三维的。在研究许多复杂问题时，比如弯道的二 次流的问题，平面二维水流数学模型或立面二维水流数学模型都已经无法满足模拟 的要求，需要采用三维水流数学模型来达到研究目的。与一、二维水流数学模型相 比，三维水流数学模型更加合理，能更准确地模拟水流的细部结构，但同时计算也 变得更加复杂。 国外1 耋1 2 0 世纪7 0 年代开始三维水流数值模拟的研究。l e e n d e r t s e ( 1 9 7 3 ) 3 0 】在垂向 采用固定分层法，将计算水域划分为若干固定层，在每层内沿水深积分成为二维问 题，并用a d i 格式进行数值离散，层与层之间仅考虑动量交换，而不考虑质量交换； b l u m b e r g 和m e l l o r 等( 1 9 8 7 ) 3 1 】开发了较通用三维海洋模型软件；g a l p e r i n 和 m e l l o r ( 1 9 9 0 ) 3 2 1 采用相对分层模型计算海湾和河网的水流；l i n 和f a l c o n e r ( 1 9 9 7 ) t 3 3 1 通 过绝对分层法将垂直方向分成若干水平分层，每层将基本方程沿垂向积分，转换成 多层二维问题求解来计算河口水流。 国内对三维水流数值模拟的研究起步较晚，从2 0 世纪8 0 年代中期才开展研究， 但发展很快。黼( 1 9 8 5 ) t 3 4 】提出了一个三维数学模型并应用于长江口潮流的计算， 该模型在垂线方向上将水体划分为若干层，从而将三维问题简化为求解一系列二维 问题，既节省了存储量又节省7 i 作量；李国斌( 1 9 8 9 ) 【3 5 1 采用紊流k 双方程模型闭 合雷诺方程组，用控制体积法离散三维偏微分方程，并由s i m p l e r 计算程式求解淹 没丁坝流场不同深度位置的流速、紊动能和紊动粘滞系数的分布规律，计算结果与 实测结果基本一致；华祖林( 1 9 9 0 ) 3 6 】采用曲线坐标网格来拟合天然河道边界，并在此 基础上建立了弯道河段潮流三维数学模型，针对弯曲河段可能引起的回流及环流， 4 引入紊流模型进行精细模拟；朱耀华( 1 9 9 3 ) 3 7 】利用有限差分法建立一种二维和三维嵌 套海洋流体动力学模型，并将其应用在北部湾潮流和潮汐数值模拟中；窦振兴等 ( 1 9 9 3 ) 3 s 】基于过程分裂法建立了渤海三维潮流数学模型，其外模式方程采用交替方向 隐格式( a d i ) 求解，内模式方程采用蛙跳差分格式求解；林斌良等( 1 9 9 5 ) p 9 】采用紊流 模型计算复式断面明渠三维紊流；王晓建等( 1 9 9 7 ) 4 0 】基于非正交网格有限体积法建立 了三维潮流数学模型；f j t ) 1 1 ( 1 9 9 8 ) t 4 1 】用集中质量有限元法建立了海岸三维潮流数学 模型，在垂向上采用差分方法求解；董文军( 1 9 9 9 ) 【4 2 】用有限元法建立了河口近岸区三 维潮流模型；刘子龙、王船海和李光炽等( 1 9 9 9 ) t 4 3 】采用平面正交曲线坐标变换，垂向 采用无量纲化变换，将计算区域规则化，然后利用破开算子法对长江口三维潮流进 行了数值模拟；李提来、窦希萍( 2 0 0 0 ) 删等在正交曲线坐标系下，采用坐标变换、有 限差分、交替隐式求解、动边界处理等方法，建立了边界拟合网格的三维潮流数学 模型，应用在长江口潮流场的计算中；马启南、陈永平和张金善等( 2 0 0 1 ) 一5 j 建立了一 个基于盯坐标变换和内外模式分裂技术的三维潮流数学模型，采用有限节点法和变 步长差分法对方程离散，并将模型应用到杭州湾的数值模拟中；夏云峰( 2 0 0 2 ) 一6 】在平 面采用非正交曲线，垂向采用。坐标系统条件下，建立非交错网格变量布置的水深 流速迭代计算模式，并由水深校正法求解水体自由表面和流速场耦合问题。运用该 模式较好地模拟了南京河段天然“s ”型弯道三维水流流动；陈长生等( 2 0 0 3 ) 47 】提出了 无结构三角形网格有限体积三维海洋模型；李绍武等( 2 0 0 4 ) 【4 8 】采用无结构三角形网格 利用有限体积法建立了三维涌潮数学模型；吴修j - - ( 2 0 0 4 ) 4 9 】利用曲线坐标建立了三维 水流和污染物扩散输移的标准k 吨湍流模型；陆永军等( 2 0 0 4 ) 5 0 】根据紊流随机理论， 导出了各向异性紊流的r e y n o l d s 应力的数值格式，并将精细壁函数应用于边壁处理， 建立了三维紊流数学模型，并用葛洲坝水利枢纽建库前后的三峡工程坝区河段水沙 资料对模型进行了检验，计算结果与实测值基本一致；许慧( 2 0 0 9 ) 瞪l 】针对自由水面波 动，提出“固定层加变动层”的处理方法，对丁坝边界采用大系数法与壁函数相结 合的方法，模拟计算了非淹没单丁坝、淹没单丁坝、淹没丁坝群水流三维流场。 1 3 同位网格研究概况 随着近2 0 年来计算机技术和数值计算方法的飞速发展，计算流体力学理论越来 越多地被应用到实际工程中。压力与速度的耦合关系一直是数值求解过程中的难点， 因而在对动量方程进行离散时，必须考虑相应的求解方法以及网格布局。所有计算 其拓展到了柱坐标和可压缩流动。a c h a r y a ( 1 9 8 9 ) t6 6 】、m e l a a e n ( 1 9 9 1 ) 6 ”、 k o b a y a s h i ( 1 9 9 1 ) 6 8 1 、p a r a m e s w a r a n ( 1 9 9 2 ) t6 9 1 、l e e ( 1 9 9 2 ) 7 0 1 、c h a i ( 1 9 9 3 ) 7 1 】和 j e s s e e ( 1 9 9 6 ) 7 2 】等人对非正交曲线坐标系上同位网格的实施方法进行了研究。 国内对同位网格的研究源于9 0 年代。张靖周等( 1 9 9 3 ) 【7 3 1 ，石靖等( 1 9 9 5 ) 7 4 1 ，朱 斌等( 1 9 9 5 ) t 7 5 1 ，郝卫东等( 1 9 9 6 ) 7 6 1 都曾应用同位网格进行数值模拟。夏云峰( 2 0 0 1 ) 【7 7 】 采用逆变速度分量作为独立计算变量，建立非交错网格变量布置的水流计算模式； 邓保庆等( 2 0 0 2 ) p8 j 提出了同位网格上的不可压流动压力修正算法，建立了稳定和加速 计算收敛的一般途径；杨芳丽等( 2 0 0 5 ) t 7 9 】利用基于非正交曲线坐标下非交错网格的平 面二维温排水数学模型模拟了天然河流电厂温排水运动；谢作涛等( 2 0 0 5 ) 峭o j 建立了一 般曲线坐标系下同位网格平面二维全沙模型，该模型通过长江沙市河段1 9 9 6 年至 2 0 0 1 年实测水沙资料对模型进行了验证，计算结果表明模型能够较合理反映天然河 道水沙运动及河床变形规律；姚仕明等( 2 0 0 5 ) t 8 1 】基于s i m p l e c 方法对二维同位与交 6 错网格下水流数值模拟进行了比较，结果进一步表明在同位网格条件下， 插值计算的方法可成功避免出现非真实物理压力场；武文斐等( 2 0 0 6 ) 【8 2 1 利用 法建立了基于非正交同位网格的s i m p l e 算法，模拟了人字形屋顶房间复 的气流分布；黄国鲜、周建军、陈界仁( 2 0 0 6 ) 8 3 】比较了复杂边界下同位网格 格的水流模型收敛性，结果表明在复杂边界下两套网格模型收敛性基本相 南等( 2 0 0 6 ) t 8 4 】发展了一种在非正交同位网格下以笛卡儿速度分量作为动量 立变量、压力与速度耦合的s i m p l e r 算法，显式处理了界面速度中的压力 项；闰金波等( 2 0 0 7 ) 8 5 】将非正交曲线坐标系下同位网格的平面二维河道水流 应用于丁坝绕流计算。 1 4 同位网格上的数值计算方法 在水流的数值计算中，常用的数值计算方法有：有限差分法、有限单 限分析法和有限体积法等。 1 4 1 有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ) 有限差分法是求得偏微分方程数值解的最古老的方法，时至今日，仍 用。其基本实施方法是，将求解区域用网格线的交点( 节点) 所组成的点 代替。在每一个节点上，描写所研究的流动与传热问题的偏微分方程中的 数项用相应的差分表达式来代替。该方法是一种直接将微分问题变为代数 似数值解法，数学概念直观，表达简单。 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。 从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差 分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。 有限差分法的不足是离散方程的守恒特性难以保证，对不规则区域的适应性较 差。 1 4 2 有限单元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 有限单元法把计算区域划分成一组离散的元体，然后通过对控制方程作积分来 得出离散方程。有限单元法的精度主要取决于单元插值函数和单元的几何形状。 根据所采用的权函数、插值函数和计算单元网格的形状的不同，有限元方法也 可以分为多种计算格式：从权函数的选择来划分，可以分为配置法、矩量法、最小 二乘法和伽辽金法；从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函 7 数等；从计算单元网格的形状来划分，可以分为三角形网格、四边形网格和多边形 网格。 有限单元法的优点是对不规则几何区域的适应性较好，缺点是其在对流项的离 散处理及不可压n a v i e r - s t o k e s 方程的原始变量法求解方面不如有限体积法的发展成 熟，并且计算所占用的内存较大。 1 4 3 有限分析法( f i n i t ea n a l y s i sm e t h o d ) 有限分析法由陈景仁教授( 1 9 8 0 ) 首次提出，也被称为有限解析法。其基本思想是 将计算区域划分为有限个矩形网格，每四个相邻的网格组成一个计算单元，在局部 单元内将微分方程线性化，按解析法求得子区域内各变量和子区域边界之间的解析 关系，然后将所有子区域上的关系汇集成一个代数方程组，利用边界条件，可解出 区域内各点的因变量的值。 有限分析法的优点是可以克服在高雷诺数下有限差分及有限体积法的数值解容 易发散或者振荡的特点，其缺点是计算工作量较大，对计算区域的几何形状的适应 性比较差。 1 4 4 有限体积法( f i n i t ev o l u m em e t h o d ) 有限体积法又称控制体积法，由s p a l d i n g 和p a t a n k a r l 8 6 】【8 刀等人提出和发展起来。 有限体积法从描写流动与传热问题的守恒性控制方程出发，对它在控制体积上作积 分，在积分过程中需要对界面上被求函数的本身及其一阶导数的构成方式作出假设， 这就形成了不同的格式。用有限体积法导出的离散方程可以保证具有守恒特性，而 且离散方程系数的物理意义明确，是目前流动与传热问题的数值计算中应用最广的 一种方法。为了保证解的合理性和满足总体平衡，在选择插值公式和具体的离散方 式中需要满足以下四条基本法则8 8 】：( 1 ) 在控制体积交界面上通量的连续性原则；( 2 ) 正系数原则；( 3 ) 源项的负斜率线性化原则；( 4 ) 相邻节点系数之和等于中心节点 的系数的原则。 对任意一组控制体积而言，有限体积法得出的离散方程的积分守恒都可以得到 满足，自然对整个计算区域也可以得到满足，这正是有限体积法最显著的优点。有 些离散方法如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒。而有 限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。正因如此，有限体积法 在流体力学的数值计算中得到了广泛的应用。 1 4 5 其他方法 除了上述几种主要的数值离散格式之外，另外还有特征线法、边界元法、谱分 析法等【8 9 】。 上述几种数值计算方法在处理问题上各有其优缺点，其中有限体积法的物理意 义明确，易于理解，且无论计算网格疏密都能准确地满足守恒原理，且具有较好的 精度，因而目前在二维、三维数值计算中得到了广泛而成功的应用。 1 5 本文主要研究内容 本人在前人研究的基础上，基于一般曲线坐标系统构建了同位网格下的平面二 维水流数学模型，并将其应用于工程实践中。 本文主要研究内容如下： ( 1 ) 回顾了国内外水流数学模型研究概况与同位网格研究进展。在评述几种数 值计算方法的基础上选用守恒性较好的有限体积法进行数值计算。 ( 2 ) 推导了一般曲线坐标系下的平面二维水流数值模拟所需的基本控制方程。 ( 3 ) 参照交错网格下s i m p l e 算法的实施方法，利用动量插值方法，在同位网 格中引入水位与速度的耦合关系，提出了同位网格下s i m p l e 算法的实施方法。在 此基础上建立通用方程及通用方程的离散格式，确定代数方程组求解方法。 ( 4 ) 建立了适用于天然河流的平面二维水流数学模型，利用一般曲线坐标变换， 将计算区域变换为矩形区域，用守恒较好的有限体积法离散方程，最后由s i m p l e 算法求解。对该二维水流数学模型中的一些问题，如水流紊动粘滞系数、松弛因子 等进行了讨论。 ( 5 ) 通过对长江下游安庆水道水流的计算，验证模型的准确性。对安庆水道航 道整治工程中的总体方案进行计算，并分析工程整治效果。 9 第二章平面二维水流控制方程 2 1 平面直角坐标系下的控制方程 对于水平尺度远大于垂直尺度的河流、湖泊和海洋等水域，其物理量沿水深方 向的变化相对于水平方向变化小得多时，可忽略水力参数沿垂向的变化，将各物理 量沿水深积分，并取水深平均，得沿水深平均的二维水流运动方程。 2 1 1 水流运动控制方程 连续方程： 一o z + a c u h _ _ 2 + a ( v h ) ：0 (21)ato x o v 、7 动量方程： 掣+ 掣+ 等+ 西知丁u 石u 2 + v 2 叫睁矿0 2 u 仁2 ， 型+型+掣+咖驰一v拓u2+v2at a xc 叫( 窑o x + 雾 ( 2 3 ) 巩。却。 2 i2 西2j 、。 式中：h 为垂线水深，z 为自由水面的水位，u 、v 为沿水深的平均流速，g 为重力 加速度，c 为谢才系数，q 为运动粘滞系数。 2 1 2 控制方程的通用形式 根据直角坐标系下平面二维水流数学模型控制方程，0 - - 1 0 以写成如下式( 2 4 ) 的通 用形式，式( 2 4 ) 称为标准的对流扩散方程。 塑o t + 掣+ 竽= 如 卦号豺 锄 却缸k 知j 却i 却j 、。 式中中为通用变量，f o 为扩散系数，s o 为源项，通过对源项进行负坡线性化处 理后可写为：& = & c + p ，必须满足o 。 直角坐标系下平面二维水流数学模型通用方程中变量、l 及源项& 的表达 式分别为： 连续方程：= 1 ，r m = o ，s o = 0 ； 动量方程： = “时，l 2q ，瓯= + 。p ，s u c - 一劝塞，= 一吾厨； 号c 徊，一专c 砷，等+ 南c 五徊，等 = 一陆矗嘲甲1 呶 + ；南c 矗哦咖慨 一专毒( 办慨) + 专南( 啦) ( 2 8 ) 将式( 2 7 ) 和式( 2 8 ) k 泪j j n ，得： 丢 棚) + 茜 佃) - 专善阶似一) + 专茜阶叫吩一峨) 】 = 专毒( 肭) la 7 7 ( 其中，u 、v 为逆变流速分量：u = 一，y = 一2 ( 3 ) 扩散项： 昙( 砜罢) = 南卜。( 詈争一塑0 , 7 丝j ) 1 j 生j 一融中黔一塑a q 丝j 胎 昙p 。芳 = 一毒卜。( 筹兰j 一塑a 孝引7 7 j h 7 + 南卜m ( 嚣主j 一詈等) 等 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 丢( 厅r 。罢) + 导p 中等) = 专专 l b 詈c + 巧，一专茜c 而+ 坎， + 专南p 。b 嚣c + 乓，一；嚣c 鼍+ 雎， ) = 三j 旦a f 等( 口嚣一筹) + 了, 却a 。 h f ，ol f 厂筹一詈) c 2 m ， 式中：= 鼍+ 赡，口= + ，厂= + 乓。 ( 4 ) 源项： 源项的表达式视各方程的具体形式而定，将在下节给出具体表达式，通用方程 中可记为& ( 善，r ) 。 2 2 3 一般曲线坐标下平面二维水流控制方程 综合上节的推导，并且将扩散项中包含的部分归入源项，通用方程可写为如下 形式： 昙c + 专妻c 肭，+ 专南c 腓， 1 2 = 专品 等c 砷；， + 专南 等c 冲。， + c 翻， c 2 m ， 式中：为深度平均的通用变量，h 为水深，u 、v 分别为笛卡儿坐标系下x ， y 方向深度平均流速u 、v 的逆变分量，l 为扩散系数，& ( 乒，7 ) 为源项。，r 中和 ( 孝，刁) 具体意义如表2 1 所示。 表2 1 通用方程下变量、扩散系数和源项表达式 其中： 方程名称 f 巾s o ( 孝，r 1 ) 瓯= 一专p c 妻一比考， + 专 毒( 一竽考) + 南卜竽嚣) 一 母= 一专p c 考一而妻， + 专 毒( - 竽岛) + 南( _ 竽妻) 一 g n 2 “甜2 + 1 ，2 = 弋7 _ 一 3 g n 2 1 ，“2 + 1 ，2 = 弋厂一 1 3 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 3 1 ( 压力 波动问 温度等 格，不 有学者 是把速 统只存在一种类型的控制体积，所有变量均在此控制体积的中心处定义和存储，所 有控制方程均在该控制体积上进行离散，如图3 1 所示。图3 1 中，流速u 、v 、水位z 均在控制体积p 上离散求解。 n w w n i n 磁 岱y ) n a yw 皂1 钐钐 岱y ) s x ) w s 岱x ) e 一 x s ws s e 图3 1