（应用数学专业论文）关于集值优化问题超有效解和严有效解的研究.pdf

摘要 摘要 在h a u s d o r f f 局部凸拓扑线性空间中，对于集值优化问题( s o p ) ，利用 c o n t i n g e n t 上图切导数，引进了集值映射超有效意义下的广义梯度在目标函数 为锥类凸的集值映射并且具有连通性条件下，利用凸集分离定理和c o n t i n g e n t 上 图切导数，证明了集值映射超有效广义梯度的存在性，得到了集值映射超有效 广义梯度的等价刻画等定理 在h a u s d o r f f 局部凸拓扑线性空间中，对于群体多目标决策问题，利用供选 方案的超有效数，引进了集值映射的联合超有效解，得到了联合超有效解在广 义梯度意义下的最优性必要条件和充分条件，并给出了此类联合有效解的 k u h n t u c k e r 型最优性必要条件 在h a u s d o r f f 局部凸拓扑线性空间中，对于集值优化问题( s o p ) ，利用 l a g r a n g e 集值映射，引进了集值映射超鞍点的概念利用凸集分离定理，证明 了两个标量化引理，得到了超鞍点定理和超鞍点的等价刻画等定理 引进了一个新的集值映射的凸性概念，即拟内部锥一d 一类凸 ( q c c o n e c o v e x l i k e n e s s ) ，并将它和内部锥d 类凸、近似锥次类凸进行比较当 序锥的内部为空且拟内部不为空时，建立了拟内部锥d 一类凸的择一性定理，利 用此择一性定理，我们得到了在目标序锥和约束序锥为空集情况下集值向量优 化问题严有效解的最优性必要条件 关键词：集值优化最优性条件；超有效性；严有效性；拟内部锥一d 类凸；超有 效广义梯度：联合超有效解 a b s t r a c t a b s t r a c t i nh a u s d o r f fl o c a l l yc o n v e xs p a c e s f o rt h es e t v a l u e dv e c t o ro p t i m i z a t i o n p r o b l e m ( s o p ) ，t h ec o n c e p t o ft h es u p e re f f i c i e n tg e n e r a l i z e dg r a d i e n to f s e t v a l u e dm a pi si n t r o d u c e db ym e a n so fc o n t i n g e n te p i d e r i v a t i v e u n d e rt h e c o n d i t i o no fc o n n e c t e d n e s s ，i t se x i s t e n c ei s p r o v e d a n dt h ee q u i v a l e n t c h a r a c t e r i z a t i o no ft h i ss u p e re f f i c i e n tg e n e r a l i z e dg r a d i e n ti se s t a b l i s h e db yt h e s e p a r a t i o nt h e o r e mo f c o n v e xs e t sa n dc o n t i n g e n te p i d e r i v a t i v e i nh a u s d o r f fl o c a l l yc o n v e xs p a c e s ，f o rg r o u pm u l t i o b j e c t i v ed e c i s i o nm a k i n g p r o b l e m s ，t h ej o i n ts u p e re f f i c i e n ts o l u t i o n so fs e t v a l u e dm a p sa r ei n t r o d u c e db y m e a n so fs u p e re f f i c i e n tn u m b e r so fa l t e r n a t i v e s t h eo p t i m a l i t yn e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r t h ej o i n ts u p e re f f i c i e n ts o l u t i o n sa r eo b t a i n e di nt h es e n s e o fg e n e r a l i z e dg r a d i e n t ，a n dt h ek u h n t u c k e ra n dl a g r a n g eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n s a r ee s t a b l i s h e d i nh a u s d o r f rl o c a l l yc o n v e xs p a c e s ，f o rt h es e t - v a l u e dv e c t o ro p t i m i z a t i o n p r o b l e m ( s o p ) ，t h ec o n c e p to fs u p e rs a d d l ep o i n t f o ras e t v a l u e dm a pi si n t r o d u c e d b ym e a n s o fl a g r a n g es e t - v a l u e dm a p t w os c a l a r i z a t i o nl e m m a sa r ep r o v e d ，a n dt h e t h e o r e mo fs u p e rs a d d l ep o i n t sa n dt h ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o no fs u p e rs a d d l e p o i n t sa r eo b t a i n e db yt h es e p a r a t i o nt h e o r e m o fc o n v e xs e t s 一 w ei n t r o d u c ean e wn o t i o no fc o n v e x i t yf o rs e t - v a l u e dm a p sw i t hq u a s ii n t e r i o r , c a l l e d q c c o n e c o n v e x l i k e n e s s ， a n d c o m p a r e t h i s c o n v e x i t y n o t i o nw i t h i c - c o n e c o n v e x l i k e n e s sa n dn e a rc o n e s u b c o n v e x l i k e n e s s i n s p a c e s w h e r e i n td = f 2 ja n dq i d 囝a r es a t i s f i e d ，t h i sc o n v e x i t yn o t i o nc a l lb eu s e da st h em a i n t o o lt oe s t a b l i s ha na l t e m a t i v et h e o r e m u s i n gt h i st h e o r e m ，w eo b t a i nn e c e s s a r y c o n d i t i o n so fs t r i c t l ye f f i c i e n ts o l u t i o n sf o rac l a s so fs e t v a l u e dv e c t o ro p t i m i z a t i o n p r o b l e m sw i t hb o t ht h eo b j e c t i v eo r d e r i n gc o n ea n dt h ec o n s t r a i n to r d e r i n gc o n e h a v i n ge m p t yi n t e r i o r k e yw o r d s ：o p t i m a l i t yc o n d i t i o no fs e t v a l u e do p t i m i z a t i o n ；s u p e re f f i c i e n c y ；s t r i c t e f f i c i e n c y ；q c c o n e c o n v e x l i k e n e s s ；s u p e re f f i c i e n tg e n e r a l i z e dg r a d i e n t ；j o i n ts u p e r e f f i c ie n ts o l u t i o n i i i 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致诩 的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得直昌太堂或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：奄稍硼签字r 期：7 耐年，月矽日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解南昌大学有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名( 手写) ： 尜嗡谰 导师签名( 手写) ： 律文勿 签字日期：w 年i 月矽同签字日期：力p c 矿年i z 月知r 第1 章引论 1 1 概述 第1 章引论 向量集值优化理论在变分学、微分包含、逼近论、最优控制、数理经济学 等领域均有广泛的应用，而集值优化问题在各种解意义下的最优性条件是其中 的重要组成部分，是建立现代优化算法的重要基础因此集值优化理论得到了 广泛而深入的研究，并取得一系列丰富的结果 下面我们从集值优化问题的最优性条件方面概述一些与本文研究内容密切 相关的结果 设x 为局部凸拓扑线性空间，】，z 为h a u s d o r f f 的局部凸拓扑线性空间， d ，e 分别为y ，z 中的闭、凸、点锥，e + 分别为d ，e 的对偶锥 f ：xj 2 y ， g ：xj 2 z 是集值映射，记x o = x x ：，( x ) o ，g ( x ) 囝) 考虑如下的集值优化问题： ( s o p ) n f i n ，o ) s t g ( x ) n ( 一e ) g ，x x o ( s o p ) 的可行集用彳表示，即 么= x x o ：g ( x ) n ( 一层) 彩) ( 1 1 1 ) 近几年来，不少的学者对集值优化问题的各种有效解的最优性条件进行 研究l iz m 【l 】建立了在弱有效意义下( s o p ) 的f r i t zj o h n 和k u h n t u c k e r 型 非导数最优性条件l iz f 2 , 3 1 建立了在弱有效解和b e n s o n 真有效解意义下的 l a g r a n g e 型最优性条件x uy h 4 , 5 1 在近似锥次类凸假设下给出t ( s o p ) 严有效 元和超有效元k u h nt u c k e r 型和l a g r a n g e 型最优性条件s a c hp h t 6 , 7 j 在近似锥 次类凸假设下利用鞍点刻画了弱有效解和b e n s o n 真有效解的最优性条件；并在 内部锥次类凸假设下得到了弱有效解和b e n s o n 真有效解的最优性条件g o n g x h 【8 】研究了向量集值优化当序锥内部为空时的和全局真有效解的最优性条件 c o r l e yh w f 9 】借助于集值映射的图给出了集值映射图导数的概念，并建立了 ( s o p ) 在弱有效意义下的最优性条件c h e ng y 和j a h nj0 0 , i i 】进行了推广，建 立用映射的上图代替图而定义的切导数概念盛宝怀教授【1 2 】借助映射的上图引 第1 章引论 进了集值映射的上图导数，利用上图导数给出在b e n s o n 真有效意义下的 f r i t z j o h n 型必要条件和k u h n t u c k e r 型充分条件：并且引入集值映射的广义梯 度，利用广义梯度刻画b e n s o n 真有效元的最优性条件k h a nj t l 3 l 定义了集值映 射的广义上图导数，并得到了集值优化问题局部真极小解的导数性最优性条件 另一方面，由于有效点和弱有效点的范围太大，其他有效性的概念相继被 提出b o r w e i n l l 4 1 1 9 9 1 提出的超有效点的概念统一了b e n s o n 、h e i n g 等先后提出 的真有效点，并能用严格f 泛函来标量化，因此引起学者们的极大关注和兴趣 z h e n gx y t ”1 把超有效解的概念从赋范空间推广至局部凸拓扑线性空间，并研 究了它的存在性、标量化和稠密性等问题从此，在局部凸空间中胡毓达教授【l 6 】 研究了超有效点集的连通性x uy h t 5 】在近似锥次类凸假设下给出了( s o p ) 超有 效元的k u h n t u c k e r 型和l a g r a n g e 型最优性条件k h a nj 【1 3 】、盛宝怀教授【汜】、 凌晨教授、胡毓达教授【l6 】等对超有效性及相关问题也作了研究并得到了丰富的 结果但是b o r w e i n 超有效点的存在性却很强，即使象紧凸集这样的集合都难 以保证超有效点的存在傅万涛教授f l7 】提出了严有效点的概念，它有良好的性 质，即每个严有效点都能用严格正泛函进行标量化，同时它保持了超有效点的 主要性质，而且存在条件比超有效点弱得多因此，研究集值优化问题在超有 效解和严有效解意义下的最优性条件是很有必要的 众所周知，最优性必要条件的给出少不了凸性的假设，各国学者先后给出 类凸性、次类凸性、广义次类凸和近似锥次类凸在这些凸性中，近似锥次类凸 是一种最广义的凸性概念【3 , 7 , 2 7 2 8 ，3 0 1 ，它成功地被运用于推导各种有效性的充分 与必要条件虽然近似锥次类凸的定义对锥d 和e 不要求任何拓扑性质，但是 当用它证明最优性结果时，必须满足序锥具有非空内部的条件然而，在很多 优化问题中这个要求都不能被满足，例如，空间r 或，p 的正锥2 0 0 5 年， s a c he h 6 j 引进了一种新的广义凸性，即内部锥一d 一类凸( i c c o n e c o v e x l i k e n e s s ) 1 2 预备知识 如无特别声明，以下总是假定x 为实拓扑线性空间，y ，z 为h a u s d o r f f 局部 凸拓扑线性空间，d 和e 分别是】，和z 中的闭、点、凸锥，d 有有界基b 】，+ 和 z 分别为】，和z 的拓扑对偶空间设m 为】，中的任一子集，我们以c lm ，i n t m 和c o n em 分别表示m 的闭包，内部和生成锥d 的对偶锥定义为 2 第1 章引论 d + = f y ：f ( d ) 0 ，v d d 一个凸子集bc d 为锥d 的基，如果0 萑c l b 且d 0 = c o n e b = 肋：a 0 ，b 曰) 令 b ”= 缈y ：3 t 0 使得缈( 6 ) t ，v b b ) 1 2 1 广义集值锥凸函数 本节以下假设x ，y ，z 为实拓扑线性空间，d 是】，中的凸锥，f ：x 一2 y 是 集值映射 ，的图定义为 g r a p h ( f ) ：= ( x ，y ) x y ：x d o m ( f ) ，y f ( x ) ) f 的上图定义为 e p i ( f ) ：= ( x ，y ) x xy ：x d o m ( f ) ，y ，( x ) + d ) ，的象集定义为 i m f = ，( x ) = u ， ) d 一凸集值函数：m 为x 中的任一凸子集，f ：x 专2 y ，如果对 玉，x 2 m ，旯【o ，1 均有五f ( _ ) + ( 1 一无) f ( 也) cf ( 2 x i + ( 1 - a ) x 2 ) + d ，则称f ( x ) 在m 上是d 凸的 f ：x 专2 y 称为是在mcx 上d 类凸集值映射，如果 c o n v ( f ( m ) ) cf ( m ) + d f ：x 一2 y 称为是在mcx 上近似锥次类凸集值映射，如果 e lc o n e ( f ( m ) + d 、 是凸的 非空集合彳称为内部凸( i c o n v e x ) l 拘t 6 1 ，如果i n ta 是凸的，且ac e li n ta 非空集合彳称为内部锥凸( i c c o n v e x ) 的【6 】，如果c o n e a 是内部凸的 非空集合彳称为是内部锥一d 凸( i c d c o n v e x ) 的【6 】，如果a + d 是内部锥凸 的 f ：x 岭2 y 称为是内部类凸( 内部锥类凸，内部锥一d 类凸) 的【6 1 ，如果i m f 是内部凸( 内部锥凸，内部锥一d 凸) 的 1 2 2 有效性理论 设】，为局部凸拓扑线性空间，设m o 为y 中的任一子集，d 是】，中的凸 3 第1 章引论 锥，i n td o m 的有效点记为e ( m ，d ) ，即y e ( m ，d ) 当且仅当 ( m y ) n ( 一c ) = 0 ) m 的有弱效点记为w e ( m ，d ) ，即y w e ( m ，d ) 当且仅当 ( m y ) n ( 一i m c ) = a 设b 为d 的基，m 为y 的一个非空子集，y m 称为m 关于基曰的严有效 点，如果存在一个零点的邻域u 使 c l ( c o n e ( m y ) ) r 、( u b ) = 囝( 1 2 2 1 ) 我们用f e ( m ，b ) 表示m 关于基b 的所有严有效点集 注1 2 2 1 ( 1 2 2 1 ) 式等价于 c o n e ( m y ) n ( u b ) = o ( 1 2 2 2 ) 而且根据需要，零点的邻域u 可取为或开或闭或凸或均衡的 设曰为d 的基，m 为】，的一个非空子集，y m 称为m 关于d 的超有效点， 如果对于0 ，的任意邻域矿，存在一个0 ，的邻域u 使 c l ( c o n e ( m y ) ) n ( u d ) cv ( 1 2 2 3 ) 我们用s e ( m ，d ) 表示m 关于d 的所有超有效点集 注1 2 2 2 ( 1 2 2 3 ) 式等价于 c o n e ( m y ) n ( u d ) cv ( 1 2 2 4 ) 而且根据需要，零点的邻域u 可取为或开或闭或凸或均衡的 1 2 3 集值优化问题 设f ：x 一2 y ， g ：x 专2 z 为集值映射考虑如下的集值优化问题： ( s o p ) m i nf ( x ) s t g ( x ) n ( 一e ) 囝，x x o ( s o p ) 的可行集用4 表示，即a = 缸x o ：g ( x ) r 、( 一e ) g ) 在以下的部分我们假定x o a ，y o f ( x o ) ，z o g ( x o ) n ( 一e ) 点( ，) 称为( s o p ) 的有效元，如果y 0 e ( ，( 么) ，d ) 点( ，) 称为( s o y ) 的弱有效元，如果y o r v e ( f ( a ) ，d ) 点( 而，) 称为( s o p ) 关于基曰的严有效元，如果y o f e ( f ( a ) ，b ) 点( ，) 称为( s o p ) 关于d 的超有效元，如果y o s e ( f ( a ) ，d ) 4 第2 章集值映射超有效广义梯度 第2 章集值映射超有效广义梯度 本章在h a u s d o r f f 局部凸拓扑线性空间中，对于集值优化问题( s o p ) ，利用 c o n t i n g e n t 上图切导数，引进了集值映射超有效意义下的广义梯度在目标函数 为锥类凸的集值映射并且具有连通性条件下，利用凸集分离定理和c o n t i n g e n t 上图切导数，证明了集值映射超有效广义梯度的存在性，得到了集值映射超有 效广义梯度的等价刻画等定理 广义梯度是刻画向量优化问题最优性条件的一种重要工具徐义红教授【1 8 】 定义了d 凸集值映射的广义梯度，并用它们刻画集值优化问题b e n s o n 真有效 解和超有效解的最优性条件另一方面，由于超有效性有着良好的性质，对超 有效性的研究成为向量集值优化问题的热点课题k h a nj 【1 3 】、徐义红教授f 1 8 , 1 9 】、 胡毓达教授、凌晨教授【1 6 1 等对超有效性及相关问题作了研究并得到了丰富的结 果 2 1 预备知识与基本概念 本章总是假定x 为实拓扑线性空间，】，z 为h a u s d o r f f 局部凸拓扑线性空 间，它们的零元分别为0 x0 y ，0 z x ，y 和z 分别为x ，y 和z 的拓扑对偶空间 设d 和e 分别是y 和z 中的闭、点、凸锥，d 有有界基b 设f ：x - 4 2 y ， g ：x 岭2 z 为集值映射设m 为】，中的任一子集，我们以c lm ，i n t m 和c o n em 分别表示m 的闭包，内部和生成锥d 的对偶锥定义为 d + = f y + ：f ( d ) 0 ，v d d ) 一个凸子集bcd 为锥d 的基，如果0 诺c l b 且d 0 ) _ c o n e b = 2 b ：兄 0 ，b 曰) 令 b ”= 妒y ：3 t 0 使得妒( 6 ) t ，v b b ) 设曰是d 的基，则0 盛c l b ，由凸集分离定理，存在0 缈y + ，使得 t = i n f q ，( b ) ：b b ) 0 5 第2 章集值映射超有效广义梯度 设 v 0 = j ，y ：i r p ( y ) i 0 ，v v o ， 0 诺c l ( b + y ) k 矿( b ) = c o n e ( b + y ) ， 则k y ( b ) 是y 中点凸锥 命题2 1 1 【2 】f ：acx 专2 y 是d 一类凸的，当且仅当f ( 彳) + d 为凸集 引理2 1 1 旧设a mcy 和y s e ( m ，d ) ，则存在u o 使得 y e ( m ，( b ) ) 定义2 1 i t 2 0 1 设a mcx ，x c l m ，t ( m ，x ) 称为m 在x 的c o n t i n g e n t 锥，如果 t ( m ，x ) =ne lc o n e ( ( m z ) n 【，) ， ( ，6 ( o ) 其中心( 0 ) 是0 x 的邻域系 命题2 1 2 t ( m ，x ) = 伽z i 存在网以) ，乞 o 和网 屹) m 使得 l i m 吒= 石，l i m t 。( 一x ) = “) 口口 定义2 1 2 【1 3 】集值映射d f ( - i ，歹) ：x 斗2 y 称为f 在( i ，歹) 上的c o n t i n g e n t 上图切导数，如果 6 第2 章集值映射超有效广义梯度 e p i d f ( e ，y - - ) = 泸( i ，歹) ， 其中e p i d f ( 2 ，歹) = u ( x ，d f ( - i ，歹) ( x ) + d ) 工e 定义2 1 3 【2 1 1 集值映射f ：ccx 专2 r 称为在而c 是连通的，如果存在一 个连续泛函f ：cj y 使f 导x cx o 的某个邻域中的所有x ，有厂( j ) ，( x ) 引理2 1 2 【2 2 】 e p i f 为凸集则 乙泸( 万，y ) = c lc o n e ( e p i f 一( i ，歹) ) 2 2 集值映射的超有效广义梯度 用l ( x ，y ) 表示x 到y 的连续线性映射的集合 下面在h a u s d o r f f 局部凸拓扑线性空间中引进集值映射超有效意义下的广 义梯度 定义2 2 1 设f ：x 专2 y 为集值映射，i x 和y f ( 习线性算子 t l ( x ，y ) 称为，在( i ，y ) 上的超有效广义梯度，如果 0 y 舾【( d f ( i ，歹) 一d ( j r ) ，d 】( 2 2 1 ) f 在( i ，y ) 上的所有超有效广义梯度所组成的集合称为，在( i ，歹) 上的超 有效广义微分，记为a 锄f ( i ，y ) 其中 ( 胛( i ，y ) 一丁) ( x ) = u ( 胛( i ，y ) 一丁) ( x ) 工e 五 定理2 2 1 设c 为凸集，f ：c 专2 y 为d 类凸集值映射，闭点凸锥d 有 有界基b 如果y f ( i ) ，y 舾( ，( i ) ，d ) ，f 在i i n tc 是连通的，则 a 伽f ( i ，歹) 囝 证明：由y 距( f ( i ) ，d ) ，利用引理2 1 1 ，则存在u a 使得 7 第2 章集值映射超有效厂“义梯度 y 一e ( f ( i ) ，如( b ) ) 即 故有 令 ( ，( i ) 一歹) 厂、( 一k u ( b ) ) = 0 ) ( f ( y ) 一y ) n ( - i mc o n e ( b 一【，) ) = g ( 2 2 2 ) a = ( x ，y ) c xy ：y f ( x ) + c o n e ( b u ) ) 由f 是d 类凸的和dcc o n e ( b u ) ，- f 失nf 是( c o n e ( b - u ) ) 一类凸的， 因而 f ( c ) + c o n e ( b 一【，) 为凸集 由c 的凸性知，a 为凸集利用定义2 1 3 可得 i n te p i f a 再由e p i fca 就得到i n ta o 下证( i ，y ) 硭i n ta 否则( i ，y ) i n ta ，那么存在矽n ( 0 ，) 使得( i ，歹+ 矽) ca ， 由i n tc o n e ( b u ) 是锥，则存在一d i n tc o n e ( b u ) 使得d 反就有 歹+ d 尸( 功+ c o n e ( b u ) 因而存在m f ( i ) ，吐c o n e ( b - u ) ，使得 y + d = m + 4 ， m - y = d 一4 一i n tc o n e ( b u ) ， 这与( 2 2 2 ) 矛盾因此( i ，y ) 诺i n ta 得证 从而存在非零( 厂，g ) x y 。，使得 厂( x ) + g ( j ，) 厂( i ) + g ( 萝) ，v x c ，y f ( x ) + c o n e ( b u ) ( 2 2 3 ) 下面证明g 0 假设g = 0 ，1 主t ( 2 2 3 ) 矢hf ( x i ) o ，v x c 因f f i n t c ，则存 在砜n ( o x )f f + u occ 再由u o 为吸收集，有对任意的x x 存在允 0 使 得2 x u o 因而i + 五x c ，故 r 第2 章集值映射超有效广义梯度 f ( a , x ) = ( i + 2 x i ) 0 即厂( x ) 0 考虑到一工x ，于是厂( 一z ) 0 ，从而厂( z ) 0 故有f = 0 ，矛盾 因此g 0 另一方面，在( 2 2 3 ) 取x = i ，y = y + d ，v d c o n e ( b u ) ，则 g ( d ) 0 ，v d c o n e ( b 一【，) 由g 0 ，则存在u u ，使得g ( u ) = t 0 ，则 g ( b ) g ( “) = t ， v b b ， 这蕴含g b ” 取6 b ，令= 南，贝i l g ( y o ) = 1 下面定义一个线性算子 t ：x y ，丁( 石) = 一f ( x ) y o ( 2 2 4 ) 下证z 是，在( i ，歹) 上的超有效广义梯度，即对任意0 ，的邻域v ，存在一个0 ， 的邻域u 使得 c o n e ( u ( d f ( i ，刃( x ) 一丁( x ) ) ) n ( u d ) cv ( 2 2 5 ) 工e 【 否则，存在0 y 的邻域矿，使得对任意o y 的邻域u ，有 c o n e ( u ( d f ( y ，歹) ( x ) 一丁( x ) ) ) n ( u d ) 岱v “l 设n ( o ) 为0 r 的邻域基，则对任意u n ( o ) ，存在乞 0 ，x v c ， y v d f ( 2 ，刃( 而) ，z u u ，如d 使得 t u ( y u t ( x r s ) ) = z u 一嗄，仨v 易证，若z u 专0 ，则g ( z ，) _ 0 设d v = 乃，乃0 ，屯b ，则g ( 九) = 乃g ( 屯) 乃f ，其中 9 第2 章集值映射超有效广义梯度 t = i n f e p ( b ) ：b b ) 0 由此，可证g ( 九) 爷0 若不成立，则乃一0 这就和毛一无诺矿矛盾由 g ( 办) 爷0 ，g ( z c ，) _ 0 ，则存在口qc ( o ) 使得g ( z 疗) 一g ( 如) 0 有g ( b ) t ，v b b 假设 t 仨a 锄f ( i ，歹) ，则利用定理2 2 1 证明过程中的方法可知，存在口q 有 g ( y o t ( x o ) ) 0 ，x ，y l d f ( - y ，歹) ( 五) ，d d 0 ) ，甜u ，b b 使得 m 一丁( 五) + d = 五 一6 ) ， 其中g ( u 一6 ) i n tc o n e ( u 一曰) 贝0 m t ( x 1 ) = 兄( 甜一6 ) 一d 由 故 名( “一6 ) 一d i n tc o n e ( u b ) 一d o ci n te o n e ( u - b ) + c o n e ( u 一召) ci n tc o n e ( u b ) ， m - - t ( x i ) ( u ( d f ( y ，歹) ( x ) 一r ( x ) ) ) n ( 一i n tc o n e ( b - u ) ) 工j 这与( 2 2 9 ) 矛盾所以( 2 2 1 0 ) 成立由肼( i ，歹) 为d 一类凸，丁是线性算子，则 第2 章集值映射超有效广义梯度 d f ( 2 ，y ) 一t 为d 类凸映射，从而 ( u ( d f ( y ，歹) ( x ) - t ( x ) ) + d ) j e x 是凸集利用凸集分离定理知，存在g y 0 ) 有 g ( y - r ( x ) + d ) 名( g ( “) 一g ( 6 ) ) ， 这蕴含了 和 v a 0 ，x x ，y d f ( y ，歹) ( x ) ，d d ，u u ，b b g ( y 一丁( 工) ) 0 ， v x x ，y d f ( i ，罗) ( x ) ，( 2 2 11 ) g ( 6 ) g ( “) ， v u u ，b b 再由g 0 ，u 是0 y 的邻域，则存在u i u 使得 g ( u 1 ) = t 0 因而 g ( 6 ) t ， v b b 故g b ”结合( 2 2 1 1 ) ，必要性证毕 1 2 第3 章广义梯度下群体多目标决策联合超有效解的最优性条件 第3 章广义梯度下群体多目标决策联合超有效解的最优性 条件 3 1 概述 本章在h a u s d o r f f 局部凸拓扑线性空间中，对于群体多目标决策问题，引进 了供选方案的超有效数和集值映射的联合超有效解，得到了联合超有效解在广 义梯度意义下的最优性必要条件和充分条件在近似锥次类凸的假设下，利用 关于多目标规划问题的超有效解的k u h n t u c k e r 定理和l a g r a n g e 定理【5 j ，给出 了联合超有效解的k u h n t u c k e r 型和l a g r a n g e 型最优性必要条件和充分条件 并且以前的多目标规划的相关结论都可视为以上结果的特例( ，= 1 时) 群体多目标决策是群体决策和多目标决策相交叉的一个新的研究领域由 于群体多目标决策模型具有以定量和定性相结合的形式描述复杂决策过程和处 理带有多个目标的复杂决策问题的特点，它的理论和方法在大型的决策中有着 广泛的应用前景胡毓达教授【2 3 】撇开群体效用函数，引入决策个体和决策群体 关于供选方案的有效数，由此定义了群体多目标决策问题的一类联合有效解， 并且得到了这些解类的k u h n t u c k e r 型必要条件胡毓达教授【2 4 】还研究这类解 的几何特性，得到若干基本的必要条件和充分条件 另一方面，当序锥的内部为空集时，一个集合的有效点就不具有纯量化的 特征于是，b o r w e i n 1 4 】定义了超有效点的概念，它具有非常好的性质，即能用 严格正泛函来作纯量化过程因此，j a h n t 3 8 1 把发展超有效点的理论研究以及拓 展它的应用看成是今后发展多目标规划问题的首位1 9 9 7 年，z h e n gx y 1 1 5 1 又 把超有效点的概念从赋范线性空间推广到局部凸空间此外，广义梯度是刻画 集值优化问题最优性条件的重要工具之一比如，盛宝怀教授【2 5 j 利用广义梯度 刻画了集值优化b e n s o n 真有效解的最优性条件 3 2 预备知识与基本概念 引理3 2 1 t 2 6 】( 1 ) 若锥d 具有有界基底，则d 必为正规锥； ( 2 ) 设mcy 为非空子集，d 为正规锥则s e ( m + d ，d ) = s e ( m ，d ) 1 3 第3 章广义梯皮下群体多目标决策联合超有效解的最优性条件 用l ( x ，】，) 表示x 到y 的连续线性算子空间，r ( z ，】，) = 仃l ( z ，y ) ：丁( e ) cd ) - 3 3 超有效数和联合超有效解 我们假设以下的， 1 ，2 ，) 设r 为h a u s d o r f f 局部凸空间，f 为】：的拓 扑对偶空间设d rcz 为闭、点、凸锥，耳为d ，的有界基 考虑如下多目标集值优化问题： ( w r ) m i 。nf 7 ( x ) s t g ( x ) n ( - e ) o ， 其中f 7 ：x o 专2 r , ，g ：x o _ 2 z 是集值映射，记 ， x o2 石弘( 州n d 。村7 ) n d o m g g ) ( v p r ) ( r = 1 ，2 ，) 共有的可行解集记为 a = x ；c o ：g ( x ) n ( 一e ) 囝) 设有决策群体g r = d m 。，d m i ，其中d m ，是第r ( r = l ，2 ) 个决策 者考虑群体多目标集值优化决策问题： g r = r e , 一m i n f 1 ( x ) ，v b m i n f 7 ( x ) ( g v p ) j 月 j t 其中a ：缸x o ：g ( 工) n ( 一e ) o ) 是( v p r ) ( r = 1 ，2 ，z ) 共有的可行集或供选方 案集，f 7 ：k _ 2 耳是d m ，( 厂= 1 ，) 的目标向量集值映射记群体目标映射为 f g ：旷1 ，f ，) ，d g = ( q ，q ) 再记第r ( r = 1 ，2 ，) 个多目标集值优化决策 问题v p ，一m i n f 7 ( x ) 的超有效解集记为s e ( f r , a ，d r ) 定义3 3 1 设a a 若n 。s e ( f r , a ，d r ) g ，并且i ns e ( f r , a ，d r ) ，则 r = l ，= l 称i 是群体多目标决策问题( g v p ) 的群体一致超有效解，其解集记作 1 4 第3 章广义梯度下群体多目标决策联合超有效解的最优性条件 s e ( f g , a ，d g ) 现在引进群体关于供选方案的超有效数和联合超有效解的概念 定义3 3 2 设a a ，x a 令 从( x ) = 砖 x e s e ( f r , a ，, d r ) 、7 一= 1 ，2 ，z ，( 3 3 1 ) x a s e ( f 7 ，a ，d r ) 。 1 。 ， 称腾( x ) = ( x ) 是锹y 7 ：x 的超有效数 r = l 定义3 3 3 设a g ，触( 彳) 是g r 关于x a 的超有效数， i 1 ，2 ， ， n 1 ，2 ， ( 1 ) 若i a ，并且烁( i ) = f ，则称i 是( g v p ) 的f - 联合超有效解，其解集记作 s e ( f c , a ，d 0 ) ( 2 ) 若i a ，并且( i ) n ，则称i 是( g v p ) 的- 较多联合超有效解，其解 集记作胚( f g ，彳，仇) 注3 3 1 由定义3 3 3 知，若，之 1 ，2 ，) 且 f 2 ， 则有 舾g ，a ，d g ) c舾( ，g ，a ，优) 如若l ，2 l ，2 ，) 且l 2 ， 则有 胆m ( ，g ，a ，d g ) cs e 2 ( f g ，a ，d g ) 注3 3 2 在定义3 3 3 ( 2 ) 中，令n = 降 ，其中【】表示取整，则称 i 姬 钢( f g ，彳，d g ) 为( g v p ) 的较多联合超有效解，它的解集记为 s e m0 f g ，a ，d g 、) 定理3 3 1 设a o ，n 1 ，2 ，) ，则 ( 1 ) 若s e ( f ga ，见) g ，贝, l j s e ( f c , a ，d g ) = s e ( f g ，a ，d g ) 7 = s e 7 ( 尸g ，a ，珐) ， ( 2 ) s e ( f g ，a ，d g ) cs e ( f g ，a ，d g ) ，且膪。( ，ga ，d g ) = us e ( f g ，a ，珑) i = n 1 5 第3 章广义梯度下群体多目标决策联合超有效解的最优性条件 证明：由定义3 3 1 ，定义3 3 2 和定义3 3 - 3 直接可得 3 4 广义梯度下的最优性条