（水工结构工程专业论文）平面断裂力学问题的超奇异积分方程方法.pdf

郏州太学碱j j 研究生毕业论立 摘要 本文使用超奇异积分方程方法，系统地研究了二维均质、救相材料中的单裂 纹、和多裂纹问题，获得了一些理论成果和数值结果。本文的主要l i ：作包括以下 j t 个方嚣： 1 在已有研究成果的慧础上，对双相材料平西在集中力作鲻下的弹性力学旗本 解进行了详细推导，给出了问题的位移和应力场的显式表达式。此解可以在 边昴元法中直接使用，为使用边界元一边界l ! f 分方程方法磷究平面夹杂和双 稠材料平压力学瓣熬据 釜了釜爨。 2 根据裂纹前沿的奇性应力场，得别了裂纹端点应力强度因子的计算公式。使 用主部分析方法，研究了裂纹端点处未知函数的性念指数。使用有限部积分 的原瑷，建立了趣惫器积分方程醵数值求解方法，著绘出了檩应豹诗舅公式。 在此熬础上，得到了基于裂纹掰上的位移闻断计算裂纹端点应力强度因予的 具体表达式。 3 ，利用均旗平面弹性力学基本解和双掴材料平颟弹性力学基本解，采用超奄异 较分方程方法，分鄹对筠质翥双秘耪瓣乎覆傣疆耱涪嚣下任意凳度荸裘纹阏 题及多裂纹问题进行了详细研究。根据有限部积分的原理，获得了问题的超 奇异积分方程组，其中的未知函数是裂纹面上的位移间断函数，并为其建立 了稠成载数值计算方法，并给出了裂绞端点应力强度嚣子静计算公式。 4 ，为了验证该方法翡可靠性，本文作了考核性计簿，结果表鞠，该方法怒戒功 的。本文对几种典型的裂纹问题( 如均质材料熬线裂纹，双相材料斜裂纹， 双相材料平行裂纹等) 进行了数馕计算，并对裂纹之间、裂纹与界面之问的 鹱要予貔翊蘧遗行了较为系统魏分褥，褥到了爨分有徐篷貔结论。其孛哩! 结果蕊第一次报道。 本文的研究工作，为平面断裂力学特别魑复合材料平面断裂力学的研究 提供了一条新的有效途径。 关键词：超鸯器积分方程，应力援发霆子，育袋部积分，基本艇，裂纹，取捐 材料。 郑州大学礤：k 耐f 究生毕业论文 a b s t l 敞c t t h eu s eo f c o m p o s i t e m a t e r i a l sa ss t r u c t u r a l c o m p o n e n t s h a s i n s p i r e d c o n s i d e r a b l er e s e a r c ho nt h ee f f e c to ff l a w sa n di m p e r f e c t i o n so nt h e s t r u c m r a l s 打e n g t ho fc o m p o s i t e s 。t h # r e s e a r c hu s u a l l yi n v o l v e st w o - d i m e n s i o n a lm o d e l i n g ，i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，t h et w o - d i n a e n s i o n a lc r a c kp r o b l e m si nc o m p o s i t em a t e r i a l sa r e i n v e s t i g a t e ds y s t e m a t i c a l l yb yu s eo ft h eh y p e r s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d ， s o m et h e o r e t i c a lc o n c l u s i o n sa n dag r e a td e a lo fn u r n e f i c a lr e s u l t sa r eo b t a i n e d t h e m a i nc o n t r i b u t i o n so f t h ed i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： l 。t 巍e e l a s t i c i t yp o i n t - f o r c e s o l u t i o n sf o rp e r f e c t l yb o n d e de l a s t i ch a l f - p l a n e 逸 l i t e r a t u r e sa r ef u r t h e rs t u d i e d 丁h ec o m p a c tf o r m u l a eo f d i s p l a c e m e n t sa n ds t r e s s e sa r e g i v e nw h i c h c a l lb eu s e di nt h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d 2 a c c o r d i n gt o t h es i n g u l a rs t r e s sf i l e d ，t h ef o r m u l ao fs t r e s si n t e n s i t yf a c t o ra tc r a c k t e r m i n a li sa c q u i r e d t h en a t u r eo f t h eu n k n o w ns o l u t i o n so f t h eh y p e r s i g u l a ri n t e g r a l e q u a t i o n si ss t u d i e db yt h em a i n - p a r ta n a l y s i sm e t h o do fs i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n s ， a n dt h es i n g u l a ri n d e xo f t h eu n k n o w ns o l u t i o n si so b t a i n e d t h ef i n i t e p a r ti n t e g r a li s u s e dt od i s c r e t i z et h eh y p e r s i n g u t a re q u a t i o n sa sas e to fl i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n s ， w h e r et h es i n g u l a ri n t e g r a l so fv 碰o u st y p e sa r es p e c i a l l yt r e a t e da n dt h es p e c i f i c c a l c u l a t i n gf o r m u l aa l eg i v e n b a s e do nt h i s ，t h e f o r m u l a ed e t e r m i n i n gt h es t r e s s i n t e n s i t y f a c t o r sw i t ht h e d i s p l a c e m e n t d i s c o n t i n u i t i e so nt h ec r a c ks u r f a c ea r e p r o p o s e d 3 b a s e do nt h et k e d a m e n t a ls o l u t i o no fh o m o g e n e o u sa n db i m a 糖r i a lp l a n e ，t h e h y p e r s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o nm e t h o di s u s e dt o i n v e s t i g a t et h ep r o b l e m so fa n a r b i t r a r ya n g l ec r a c ka n dm u l t i p l yc r a c k sr e s p e c t i v e l y b o t ho ft h ep r o b l e m sa r e r e d u c e dt oas y s t e mo fo n e - d i m e n s i o n a lh y p e r s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n sw i 伽t h e o r y o f f i n i t e - p a r ti n t e g r a l 。t h eu n k n o w n f u n c t i o ni sd i s p l a c e m e n td i s c o n t i n u i t i e s + a n dt h e i r n u m e r i c a lm e t h o da r ef o u n d e df o rt h e m ，t h ef o r m u l a eo ft h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r si s g i v e n 4 。s o m ee x a m p l e sa r es h o w nt h a tt h en u m e r i c a la p p r o a c hi sr e l i a b l e 。s o m et y p i c a e x a m p l e so fp l a n a rc r a c kp r o b l e m s ( s u c h 魏sh o m o g e n e o u sm a t e r i a lc o l i n e a rc r a c k s ， b i m a t e r i a lo b l i q u ec r a c k ，b i m a t e r i a lp a r a l l e lc r a c k se t c ) a r ec a l c u l a t e d ，a n dt h ee f f e c t b e t w e e nc r a c k so rb e t w e e ni n t e r f a c em a dc r a c k si s a n a l y z e ds y s t e m a t i c a l l y s o m e w o r t h y r e s u l t sa r e o b m i n e d ，p a r t o f w h i c ha r en o ta v a i l a b l ei nt h el i t e r a t u r e t h e r e f o r e , an e we f f i c i e n tp a t ht or e s e a r c hp l a n ec r a c kp r o b l e m se s p e c i a l l yc o m p o s i t em a t e r i a l s p l a n e f r a c t u r em e c h a n i c a l si sf o u n d k e y - w o r d s ：h y p e r s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n , s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r , f i n i t e - p a r ti n t e g r a l ， f u n d a m e n t a ls o l u t i o n ，c r a c k ，b i m a t e r i a t 琏 第一章绪论 1 1 本文的目的和意义 传统的强度理论是在假设材料无缺陷、无裂纹的基础上建立起来的，在生产实 践中长期应用。但随着现代生产的发展，新工艺、新材料、高强材料的广泛应用， 特别是复合材料的大量使用，用传统强度理论设计的结构常常发生低应力脆断事 故，这说明传统的强度指标已不能适应新的生产水平的需要。对低应力脆断的大量 分析研究表明：脆性破坏总是由材料中裂纹的失稳扩展引起的。 工程结构元件中不可避免的存在各种裂纹，正是结构中存在的裂纹和类裂纹缺 陷致使结构强度大大降低。因此研究裂纹体强度以及裂纹发生、扩展的规律，并且 根据这一规律设计安全的工程结构、制定合理的质量验收标准等，就成为十分迫切 的问题。断裂力学正是由此发展起来的。它是使用固体力学的方法研究含裂纹固体 在外力作用下变形规律的科学。它的中心任务是分析裂纹前缘附近的应力应变场， 并找出描述该种场的特征参数，以便对裂纹的开展规律进行研究，从而可以解决有 关带有不同尺寸和不同位置裂纹的构件最大承载力问题，为工程结构的安全设计提 供可靠依据。 随着大型水利水电工程、土木工程、交通工程、铁路隧道工程等的迅速发展， 对断裂力学的基础理论与应用研究起到了巨大的推动作用。实际工程中，水工建筑 中的重力坝是一种大体积混凝土结构，由于在浇注过程中产生大量的水化热和温度 应力的作用，以及干缩变形等因素的影响，在重力坝内会产生很多微裂缝。尤其是 坝体与基岩交界面附近以及交界面上，由于两种材料变形性质不同，因而微裂纹之 间、微裂纹与交界面之间存在着错综复杂的相互干扰，这些裂纹存在着发展成为深 层裂缝的危险性，从而危及大坝安全。在公路工程中，路面的开裂破坏是该领域重 要的研究课题之一。在道路工程中无机稳定类半刚性材料作为基层已得到广泛应 用，但在运营期间易于产生千缩和温缩裂缝。在交通荷载的重复作用下，基层中的 裂缝很容易扩展到沥青面层而形成反射裂缝。其结果是破坏了路面的整体性和连续 性，导致路面的早期破坏。这些界面附近裂缝的存在对于工程结构的安全是十分不 利的，因此，研究这种裂缝在各种荷载作用下是否扩展，其扩展规律如何，无疑对 工程结构的安全和稳定是至关重要的。 大量研究结果表明，对于裂纹问题的力学分析，如仍采用传统连续力学方法处 理，将难以正确反映裂纹区域的应力集中，导致分析结果产生较大的误差，而采用 断裂力学方法处理就可较好地解决这个问题。因此，开展断裂力学的基础理论与应 用研究具有重要的理论意义和实际应用价值。 关于平面断裂力学的研究，实际工程中常采用数值方法进行求解。边界元法是 一种比较成功的方法，它是相应于边界积分方程的数值法。这种方法的主要优点是： 郑州大学硕士学位论文 l 、降低1 4 问题的维数，只需对裂纹边界进行离散，降低了方程组阶数，工作量小。 2 、j 疑对鬟纹逮赛离散，褰教误差只采派于透菸，嚣壤内静穆疆量是爱精确公式表 达，从而提高了计算精度。3 、可以只计算所需指定点处的物理量，避免了不必要 的计算。4 、由于基本解本身的奇异性，因而特别适用裂纹尖端应力集中区域的计 算。芷怒灰予边界元方法的上述优点， 乍者尝试傻尾以边界元法为基础的怒奇异积 分方程方法对平压裂纹阏题遥 亍磺究，探讨均藏帮双穗榜孝尊平面中擎裂纹阏题，以 及多裂纹相互干扰问题。其研究结果不仅具有一定的理论意义，同时也具有一定的 实际应用价值。 2 国内乡| 、醑究耩凝 断裂力学的大量试验和理论研究工作是从2 0 世纪5 0 年代开始的。其中，线弹 性断裂( 脆性断裂) 、弹塑性断裂和断裂动力学照主要的研究方向。基于工程实际 嚣要，本文主要考虑瓣瞧薮裂闰瑟。 1 9 2 1 年g r i f f i t h l 2 j 糟弹性体能爨平衡的观点研究了脆性材料裂纹扩展问题，提出 了脆性材料裂纹扩展的能量准则。遮为后来的断裂力学研究奠定了基础。1 9 5 5 年， i r w i n l 8 】撼嗽了应力场强度观点，当浚示裂纹尖端应力场强度的应力强度因子达到l 瞄 赛蓬露，凝发生断裂，帮为应力强浚因子准列。链量准翊与敷力强度霞子礁粼梅成 了线弹性断裂力学的核心内容。 断裂力学分析方法有解析法和数值法两种。对于荷载和几何形状比较特殊的简 单翅题，酉直接应用瓣孛慝方法进行诗冀，翔w i l l i a m s f 鄂、p 舔s 秘s i h n 、e r d o g a n t 引、 i r w i n g j 等人都曾使用麓变函数方法辩平面裂纹阀灏进行了系统分析；s n d d e n 9 使用 体积分变换方法对二绒及三维裂纹问题进行了详细研究，取得了许多重要成果。 由于工程实际中的问题相当复杂，解析分奉斥十分困难，豳丽在此后的研究工作 中缀多遮蠲缝解辑方法遴嚣。近年采，夔羞诗葵梳辩学静飞速笈震，薮裂力学滔题 的数值方法研究取得戴爱进展。目前，应用最为广泛的是有限元法和边界元法。有 限元法越区域型的数假方法，而边界元法是边界烈数值方法。有限元法是以变分原 理和吝分援篷鸯基秣熬方法，特别逶惩于工程实舔串不褒爨| | 见键形状窝复袈豹定鳝 条件。它的数值离散魄较规范，逶麓性较强，在工程界受至g 广泛应用。在断裂力学 计算中，由于普通有限元法单元的形函数不能袭征裂纹前缘应力所具有的奇异性， 因此要农裂纹尖端引入奇异单元，馊裂纹前缘的斑力具有平方根奇异性。我圃学者 强起森、郎建茏【l l l 、彭妙褒【啦等人强这方瑟 皋了大量工撵。憩 f 】获薮裘力擎基本磊 理出发，在裂纹尖端引入奇异单元，得到了二维和三维半刚性基层裂纹尖端应力强 度因子。但这种单元比较特殊，需特殊处理而比较麻烦。同时，由于有限元法是 秸区域憔数毽方法，篱要对整个裂纹塔进行离散，使得计算王佟量较大，特别是分 耩多裂纹楣互于挠翊鬏对，缀难褥到满意的结巢。 边界元法是继有限元法之后，在最近二十年才发展起来的一种数值方法。边界 2 篓望茎童璧兰兰! 圣墼一一一 元法能够将所研究问题的控制微分方程转化为边界上的一组积分方程，使得问题的 离敬只需在边界上进行，从瓣使工作量大为减少。并且出于边界元法所用基本解本 舞的奇异往，後褥它在延理辑裂力学闯避辩爨存较高兹精度。因魏，透赛元法在舞 裂力学中应用相当广泛。最毕用边界元法求解断裂力学问题的是c r u s e 4 ”l ，他将 裂纹问题化为一般的边值问题进行处理，避免了边界元解决断裂力学问题的不确定 。隧。b l a n d f o r d m 】采爆多嚣域离教也取褥成功，它消豫了遗赛元法代数方程奇异黪， 使褥分害区域法在裂纹阚禚巾广泛应露。 由于边界单元法求解过程中需要无限域的基本解，使得它在求解断裂力学问题 特别是双相材料断裂力学问题时具有较大困难。对于平面问题，有麓名的k e l v i n 无 激大均缓平嚣受集中力l 睾麓瓣基本辩”l ，m e l l e n 1 1 豹睾擎錾受集中力稼雳熬辇本瓣。 对于双相材料平面体，d t m d u r s 和h e t e n y i l 3 ，4 】曾用复应力函数的方法求解了双相材料 平面在集中力作用下的应力场，本文以此为基础，对这问题进行了详细推导整理， 绘出了双辐材姆乎疆在集中力 乍瘸下的擞穆分量和应力分鐾的显式表达式，这一蜓 聚可方便疆瘦髑予透赛元法瓣研究，为馒蠲超奄异积分方程方法求解双褪睾辜平孬裂 纹问题奠定了熬础。 近年来在断裂力学中发展了一种由边界积分方稷演化过来的谢异积分方程方 浚。它是逶过分孝厅逮爨与楚簸祭终，褥溺戆归结燕求瓣奄买积分方溅，然嚣采鲻释 析与数值离散相结合求解阀题。这种方法不仅能解决威力强度因子的计算，还能解 决断裂力学的麒它参数的计算。它的解析性比较理想，所以在目前断裂力学研究工 作中应用广泛。其中最为常用酌有两种类型：主擅型奇异积分方稷潮超奇异积分方 稳。 主值型奇辨积分方程在砸常意义下怒发散的，它的特点是其中的未知函数为裂 纹位移间断的切向导数，e r d o g a n l 2 0 】曾对主值型奇异积分方程求解方法及在断裂力 学中滟应弱遵蟹了系统瓣磺究。建霞爱狠分交换瓣方法，凌竭题转纯为一组豢鸯 c a u c h y 型积分核的积分方程，并且应用数值算法求出来知函数，从雨得至日应力强度 劂子。虽然，用主值型奇异积分方程方法研究断裂力学取得了很大进展，但它在数 饿求解时在裂纹尖端处有一1 2 除奇性，难以在裂纹边器上用筠单的溺数与之逼近。 超鸯舅积分在普逶意义释主篷意义下帮是发教豹，需要往嗣骞瓣部积分方法送 行计算。1 9 8 2 年，l o a k i m i d i s 2 4 , 2 5 1 第一次将k u t t 驺j 的肖限部积分法引入线弹性断裂 力学，从理论上严格推导并证明了二维和三维i 型裂纹问题的超奇异积分方程缎， 其中来翅函数怒裂纹岸懿垃移阕辑。由予越静方程戆寒熟交数在裂纹藏沿豹洼痰较 好t 未知函数的物理意义更期明确，可使用有限部积分方法来计算怒奇异积分项， 数值方法易于实现。近年米，该方法谯断裂力学领域得到了日益广泛的应用。 e r d o g a n l ：6 1 将越奇异积分方程方法应用予断裂力学平磷和反平面闻磁得到了比主值 鬃鸯异积分雯麓稽凄夔绩暴。t o k a k u d a 缓鬻这赛积分方程方法绘窭了三维平嚣裘绞 塑篓查堂璧圭兰望兰茎一 的超奇异积分方程。国内的汤任基p 。q “1 系统的研究了断裂力学中两类奇异积分方 瑕，并将它们贼功的用于带裂纹柱体的扭转和弯盐问题。对于双相材料断裂力学间 熬，溺任基斟、臻金赣瑟1 】遮鬻趣奇异积分方程方法瓣决了三维乎冀莽蘑裂纹 攫熬。 如前所述，随着基本建设的蓬勃发展，在工程结构设计中越来髓多地涉及应力 集中区、拉应力区导致开裂的问题及稳定性问题，这燃问题仍需进行深入研究。断 裂力学 睾茭硪炎北类闫题的蠢力手段，将爨寿广强的艇月兹景。本文默甑裂力学筑 熬本概念入手，应用趣奇异积分方程方法研究平面裘纹闯题。研究对象由均质丰音秘 刹双相材料，裂纹数量由单毅纹到多裂纹，整体坐标到局部坐标，这样由浅入深进 行。 1 3 本文的盘簧王 乍 根据以上综述，本文农现有的研究成聚的基础上，主要做了以下几方面工作： ( 1 ) 双相材料平面体弹性力学基本解。本文在文献【3 ，4 1 的基础上，对双相材料平 蘸俸在集孛力终矮下豹龚魏力学基本解邀行了系绞分凝，绘窭了凌壤秘篷移鞠瘦力 场的显式表达斌。此解可以隘接在边界元法中应用，为使用边界元一边界积分方程 方法研究双相材料平面力学问题提供基础。 2 ) 求鼹均鹱材辩、双相糕料单斜裂纹翘题。本文袋瘸超奇异积分方程方法，分 澍对均质、双鞠材释中的斜袋纹阀题进行详缨研究。裰疆有限部积分豹概念和方法， 获得任意角度戮纹问题的趟奇异积分方獠组，根据裂纹前沿的奇性成力场，使用裂 纹面上的位移间断得到了应力强度因子。 ( 3 ) 多裂纹之闺穗互予撬蠡罨戆骚变。零文采震超奇舞赣分方程方法，尝试对筠矮 枣手料和双相材料无限平面中多裂纹之间的相互干扰问磁进行研究。通过求解裂纹尖 端的应力强度阁子，对裂纹间的相互干扰作出定量分析。 塑型盔兰受圭兰垡丝苎 第二章双相材料平面弹性力学基本解 应用边界元法求解，在将问题通过互换功定理转化为边界积分方程的过程中， 弹性力学基本解起着关键作用，它实际上描述了一个集中力所产生的位移场和应力 场。 d u n d u r s 和h e t e n y i 在研究径向力和切向力作用下的弹性圆形夹杂时，得到了 双相材料平面在集中力作用下的应力场b “1 ，但他们的解答未能充分化简为可在边 界元法中使用的基本解。本文在此基础上，对双相材料平面弹性力学基本解进行了 详细推导，给出了问题的位移和应力场的显式表达式。从而为使用边界元一边界积 分方程方法研究双相材料平面力学问题提供了基础。 2 1 双相材料平面弹性力学问题的基本方程 图2 1 双相材料平面体 在两种材料的半平面所组成的的弹性平面中，建立如图2 1 所示的坐标系o x v 。 假设其右半平面的弹性常数y ，g ，左半平面的弹性常数为i 2g ：，两种材料在y 轴 处连接在一起，并且假设两种材料之间的连接是理想的，即在界面x = 0 上位移和 应力是连续的。设在右半平面内的点p ( 善，叩) 处作用一集中力f ( e 。，p ：) 。根据弹性理 论，平面问题的应力分量( o - ，a 。，r 。) 应满足平衡方程： 冬+ 孥埘尸一鲫，：oi 善0 掣o - ( 2 1 ) a fl 詈+ 寻( 肚q ) 8 2 2 o l唧vl 方程( 2 1 ) 的解称为问题的基本解。在上式中，5 ( p 一9 ) 为d i r a c 函数，当p 点与q 点不重合时j ( p 一9 ) = o ；当p 点与9 点重合时巧( p q ) = m 。 因为两种材料的连接方式是理想的，所以在界面( x = 0 ) 处位移及应力连续， 篓篓盔茎篓圭堂笙鲨茎一 一一一 r “? = “i ，“= 1 ，2 ) ，玎i = i ，矗= 叮五 ( 2 2 ) 在壹角坐橡系中，对予平錾应力润题，应力( 以，o ，) 稻建交( ，y 。，) 与 威力函数妒( 矗y ) 具有这样的关系： * 学一挈= 一訾 旺s ， 铲罢= 土e | l 壹a 一y 窘l 氐2 瓦2 一一叫紊i 旷虿o ir 膨0 - , e p e - 一矿窘| 毋l 蠡2努2 | ，o u 。加2 ( 1 + y ) a2 p 2 瓦十瓦2 一彳蒜 ( 2 4 ) ( 对亏二平瑟建交阏逛将v 按兔将互换麓_ 冬) i vi v 。 通过微分控制方程( 2 1 ) 及连接条件( 2 2 ) ，使用a i r y 应力函数法可解得问题的应 力场，进丽通过一系列的运算，可具体求得问题的位移场。 2 2 双相材料平嚣撵鲑力学基本瓣 本文在d u n d u r s 和h e t e n y i 研究工作的基础上，选取满足平衡微分方程( 2 1 ) 芹 连接条件( 2 2 ) 的a i r y 应力蘧数，采用应力法求解双相材料平面在单位集中力作 愆下豹瘟力分爨。投摆翊题豹瞧囊，选取疆下痤力丞数： u ：。赢 “( i + 1 ) r i o , 8 1 n 0 1 + ( 一1 ) n 1 。gr i 。8 0 t 十2 一c ( 一1 ) l o g r 2 ( a k j + b ) 岛秽2 s i n o z 一( t b ) r 2 l o g r 2 c o s 0 2 + 2 a e ( c o s 2 0 ：一2 cc o s g ) ( 2 5 ) ，2 u ；2 j ；i 云_ = 面 2 ( b a ) c l o g ，1 ( 1 一爿) 毛十l 一占k b s i n 口+ 【( 1 一a ) k ，一( 1 - b ) 】 - l o g r lc o s 0 l ( 2 。6 ) 哦2 獗南溉+ 1 ) 幅c 。s 馥+ ( k i - 1 ) _ l 。g f i s i 喝一2 a c + 1 ) 吼+ s i n 2 吱 一2 c 兰坚；墅 ( 蠢蠢l 墨) t 8 2 c o s 熊一( a k l 一露) 也b g b 蔹珏8 j ( 2 7 ) u ；。j ；刁| j 可卜2 ( b 一一) c q + r i a ) k ；+ 1 一占k 只c 。s 0 1 + ( 1 一a ) k - 一( 1 一占) 】 l o g r is i n 0 , ( 28 ) 6 郑蛾丈学矮士学位论文 式中：设r 2 = x ：+ y3 ，2 = 啦一6 ) ：+ y2 ，眩= o 一车) 3 十y 2 ，对于平酾应力问题设 女，= ( 3 一r ，) ，f l + - ) ，对于平应发鞫邃毛= 3 4 哆，v ；为泊竣滋，f = g ：g ，g 剪甥模餐。 爿，b 表达式如下：爿：旦。口：兰当。u i ，u ；是两种材料的半平面所组成的弹 r 戽+ 1f + k ， 。 性无限犬平面受到水平单位袋中力作用时的a i r y 应力函数，u 3 ，u ：怒两种材料的半 平瑟所组成的撵往无限大平瓣受到垂蠢攀镪集中力络麓辩戆_ 奶，纛力避鼗。刘露耱 材料的半平面所组成的弹性澈限大平面任一点的应力分量和位移分麓可由a i r y 应 力函数求得。 嚣静褪辩瓣拳乎嚣爨缀簸靛弹整天鬻大乎瑟在承乎攀蕴集中力律爱下瓣应力 分餐为： 酬t2 磊未丽卜( 一1 ) 争一4 + 卜2 4 。( q 一1 ) + ( a k i - b k 】专+ 4 爿 - 6 c 2 唯t + 5 ) 搿：嵋x ：2 】睾+ 3 2 a c ( 一：) 参2 r - ，” 赤采争4 等一【2 撕曲州囊咽毪】专+ ( 2 9 ) 4 a - 2 c 2 工2 水t _ 7 ) 呐w 2 】专+ 3 2 a c ( 甜) 号2 ( 2 l o ) r 、r ： 1 j 。荔b 酉p 2 转一弦一蠡i 一固k t - ( 1 一彩 ； + 囊y2 】 ( 2 1 1 ) 雪一a ) c f 一b 砉+ 4 沁删叫l 一国x l 口；t 。东南卜& l 呻”3 ( 1 咖争4 胁十( 1 悃y2 转 ( 2 1 3 ) ( 2 4 ) 陆 锨 ，一考 印 ， 一广弩 瓣 _ 岛寸似 弘 记 ，一乎， 南 )2 ，il l ， 2 x ( )羹 + ，了百 、， 癸跨 琊垃彳 卜 赤 力应的f 用作力中集 使单直垂在 面平犬限无性弹的 成缎所面平 菁的料材 种：两为豢分 簿熊夹攀颈士学盏论文 剥：= 聂毒丽妣曲专一4 睾_ 墨一嚣) 砉+ 。“险2 十瞒棚黜：一工i 】专 啦联c 啊) 萼 ( 。硒) ：2 夏若丽 - 焉+ 3 ) 专+ 毒。等一3 a k ；+ 驽毒“名 2 + 扣是；魏2 + 龟x i 】 。_ + 3 2 a c 卜动等2 ( 2 1 6 ) 玎2 “t 2 - - 一三磊西去酉扣魄斗3 ) 争+ 4 事+ 鎏蠢。鹃一；) 一( 3 a k ；+ b k 】毒+ 姐 _ 2 州7 咱枷，圳+ 3 2 a c ( 。) 睾2 ( 2 1 7 ) 积1 1 2 一- - 聂蔷丽豢l 一必) 蠹l 一( 1 一彩】专+ 舔谬一鸯一( 1 一勘苫| l 睾 眩| 8 ) i ：2 三；i 苦丽 如一_ 强七3 ( 1 一嚣) 】专一零( 嚣一毋一( 1 一器煽】 ( 2 1 9 ) ：。j 三蠢丽 g 雄一鸢一辩一粥+ 3 ( 1 一礤c l 】毒一邸固弋l 一黟鼍】争 ( 2 2 0 ) 表达式( 2 9 ) 至( 2 2 0 ) 绘出了蕊釉瓣料的半半西骄组成蛉弹性爱陡大平藤在肇 稼豢孛匆 警臻下豹强一点熬夜力虢态玎鬈，箕中f 褒承集孛力 譬鼹方巍，表示痿匆 分燕所在蕊域豹材辩编弩。( 歹kiz = 1 , 2 ) 。校摇弹性力学中翡拇藤公式，融一点的 番应力分擞可求得法线为n 的某点处的强力矢量，即 墨= 壤 ( 2 2 t ) 校箨戳上的威力分鳖，邋j 童物理方程籁几何方程w 以确崽辐廊的位移分爨： 吲2 磊毒丽。击襄一了k 1 一丽2 + 争t 。g 一睾+ c 譬一詈一警堍鼍一2 t - _ + a c c 卜t t 一鲁，+ 紊一鸽号+ 碡蠢。3 号十t _ 。紊 泣z i ， 2 赤击 ( 冬一去+ 争一言等+ 譬等砉 “州啮+ 瓮) 毒- 等圳。2x 2 _ z y 圳c y z 考 ( 2 2 3 扛管=1丽。上莲一1-b鳢一等t唧嘲妒x_l2z(kg 2 22 “ l + l 镰 v ， 3 一毒1 。、一 。一r o 塞 辩删走攀鞭士学泣沧文 一( 1 - 四善 ( 2 2 4 ) i 礤= 赤t 麦茬型2 + 学一等 a r c t a n 一_ y “h 嚎 + o - 彩等 旺2 5 ) 两军申枣孽瓣懿半平麟掰缀躐懿弹校无藤大平甏农蠡藏擎整鬃中力作爰下的位移 分量： = 赤2 g i 襄冬一三t + v t 争一+ 等十哗等，一等 刊砸。+ 击+ 3 ) 考“龟等+ 4 a c x 一2 _ z y “加等 ( 2 2 6 ) 积2 2 = 磊毒丽t 击 主一去一争蛾奠一葶譬一詈一等垴跤年2 。e 2 i 气- a c 丽4 一一, t 叫虿x 2 一挑号一。4 c2 詈+ t 4 c 毒 c 2 脚， r 2 = 莉1 去毳盥2 + 竿一等l 一号哪协亭 + 0 - b ) ( 2 2 8 ) t 2 = 丽1 土g z 莲t 1 - b 一学一等 l o g f i + c 阻嚷 ； 邓嘲薯； o 半警甄翡终寒孳l 起豹。鬻筵，双耨褥辑乎嚣纂本熬 霹潋写意缓t 澎式： 聱 郑卅l 大学硕士学位论文 ( ) = ( ) + ( c ( 2 3 0 ) 其中( ) 部分表示k e l v i n 基本解，( y 部分表示补充项。 为了验证得到的双相材料平面在单位集中力作用下的应力和位移分量的正确 性，对问题的几种退化情况作出研究分析，得到退化情况下的应力场和位移场，并 将它们与文献【1 】中的结果相比较。以下就均质材料平面和半无限平面两种退化情况 的应力场作详细分析。 当双相材料平面的两种材料的弹性常数相同时，即a = b = 0 时，问题就成为了 受集中力作用的无限平面。将系数a 、b 代入各应力分量的表达式，其形式恰好是 应力的k e l v i n 基本解，可用张量的形式表示成： 盯洲t = 丽- - 1i 1 ( 1 - 2 v ) ( “o + 6 , , k r m + 民n o ) + 2 叫( 2 3 1 开尔文解位移形式表达式 ( p ，q ) 2 南 一( 3 - 4 u ) 1 n 7 毛+ o o ) 2 3 2 ) 它的面力表达式瓦，( p ，q ) = 盯。( p ，q ) n ，为： 乃( p ，g ) = 而1 d r ( 1 2 u ) 毛+ 2 r 。r 小( 1 2 u ) ( 刀，i ，一n ，训( 2 3 3 ) 式中k 表示单位荷载作用方向，r = r ( p ，q ) 表示加载点p 与场点q 之间的距离： ，= ( ) ”2 = 【x i ( q ) 一z l ( p ) 】2 + 【x 2 ( q ) 一x 2 ( p ) 2 1 7 2 = x ，( q ) 一x 。( p ) ( 2 3 4 ) ，：竺：兰 。 出，( q ) ， 当双相材料的x 0 的半平面不存在，即x = 0 的界面成为自由表面时，问题就退 化成了无限半平面问题( 如图2 2 ) 。在这种情况下，x 0 半平面的弹性常数为0 ， 系数a 和b 均退化为1 ，问题的解答就退化成了m e l l e n 的半平面受集中力作用的基 本解。受单位集中力作用的m e l l e n 基本解仃肺的补充部分盯：l ：t 可写成如下的形式： 盯i 】= 一k ， 仃：1 = - k ， j ( 3 x + c ) o 1 1 ( 1 2 v ) 1 一丁 一2 v )+ 监生字一半 旺，s ， j r ：r ； 一。 + 坐堡掣+ 等卜 旺，s ， 一 i 略一一 警笋+ 拉竺穹鱼剑+ 孚 ( 2 ， 和劫0-2v)一_2c2 - x 2 + 6 c x - 2 x f i ( 1 - 2 v ) 一孚 ，s ， 1 0 鬈髑丈拳鞭士学位论文 一122。半+丁2(2cx+y-)r1-2xrl2(1-2v)孚泣，9， 如咄y 翌+ 2 y 2 - 4 c x - 了2 c z - 一2 x r i ( 1 - 2 v ) 十孚 4 。， 这基t = l l 4 n - ( 一 x 图2 2 蠡由边界半平瑟体 当双相材料的x o 的半平面为刚体，即x = o 的界丽成为固结表丽( 如图2 3 ) ， x 0 半平瑟豹嚣性常数为0 3 ，系数a 和b 均退纯为一，k ；，闯题豹解答就退化黢 。 了围结半平面受集中力作用的基本解。受单位集中力作用的固结半平面基本解仃州 w 笃成如下的形式： 、 彳“ y ) 、 奎 l c i 一 x 豳2 3 固定迭器半平面体 酬i l l 一- 五未面卜c 毛一- ，睾一。事+ c 一，+ 如k 毒+ 。予 卅2 2 1 = 赤鲰_ 1 ) 睾4 等七t 喃，t 孑1 + 4 x 2 y z l g 卅，2 五若丽“七一+ ，毒+ 4 ，芋一c 一，一教，专一4 y 2 专， ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 ，4 3 ) 嚣弼大学壤士学疰建交 ：= 东南阶t ) 专4 ，一- t - ( - 1 + k 1 ) r t l 墙；毒 眩4 4 ， 碟：= 南“蕞，辜“，睾一c 弓。t ，毒x ；专 q 鼻 ：= 聂未丽敬蔑钌) 挚钳亭一一最溉毒。s 净 娩礴酗 以上三种闽题的退化鳍暴，骏证了我们掰得到的溉糟树辩平瑟阔惩静箜奉解静歪确 饿，同时墩为我们使用岛研究均质弹性平黼内的裂纹问题、无限半平面的裂纹问题 强怼霹竣睾平瑟瑟赞滴藏援鞠般方演耍耪寮露砉辑囊孝襄毒荦蔽潮 鞭篮审丫麓勰 第三章超奇异积分方程方法的基本理论 超奇异积分方程方法是由希腊学者i o a k i m i d i s 首先 l 入断裂力学的，他使用有 限部积分的概念利方法，从理论上严格推导并证明了受法向载荷作用的维、三维 i 型裂纹的超奇异积分方程组，由于此种方程的未知函数在裂纹前沿性质较好，叮 使用有限部积分方法来计算裂纹的超奇异积分项，数值方法易于实现。从而使得该 方法受到广泛关注。本章主要对超奇异积分方程方法的基本理论及其数值求解方法 进行讨论，并对未知函数在裂纹端点处的性态进行了分析。给出了裂纹尖端应力强 度因子的表达式，从而为研究均质和双相材料平面裂纹问题提供了理论基础。 3 1 边界积分方程超奇异积分方程 设一弹性平面受到一组外力系的作用( 体力r 及边界面力几厂) ，产生了 应力仃。d 。，r i 一位移“：，z f l 以及应变：，g l ，。设另外一组外力系( 体力x ，f 及 边界面力f ，厂”) 作用在同一弹性平面上，其产生的应力位移和应变分别为 a ：仃j r 0 0z s ：，s ：，0 根据b e t t i 互换定理，有， j ( z f ：十“) 汀+ ( z z r ：+ y 1 ，：) m = f ( r ：“：+ “) 订+ ( 一”z r ：+ y u ) 艘( 3 1 ) r 为弹性平面q 的边界。 不考虑体力时，( 3 1 ) 可简化为： 【( r ，“，+ r l f 、) d f = 【( r ，“，+ f 一) d r ( 3 2 ) 假设一种受力状态取厂= 厂，“i = z 另一种受力状态对应基本解的情况 厂= r ，( 尸，9 ) ，“，= u 。( p ，q ) ，瓦( p ，q ) = 盯， ，为基本解的面力。带入式f 32 ) 可得： i f ( j d ) u 。( p ，q ) 讲一i 巧( p ，q ) “，( p ) a f = 2 t ( q ) ( 3 3 ) 该式即为s o m i g l i a n a 位移公式。由于基本解为已知量，则一旦边界量( 面力) 确定，就可以得到弹性平面内任意点处的位移。同时也可以看出，正是弹性力学基 本解将问题的平衡微分方程转化为积分方程。当弹性平面内点q ( 喜川) 趋近于边界点 p ( x j ) 时，就得到问题的边界积分方程。 现在，考虑在无限平面内有一直线裂纹，裂纹岸为r 2 ，若将裂纹岸看作为外边 界r 并且只在裂纹的上下岸分别作用对称的外荷载，在不考虑体积力作用的情况下， 式( 3 3 ) 即为平面裂纹问题的位移场，与s o m i g l i a n a 公式对应。 在裂纹岸上，由于r + 的外法线方向与f 一的外法线方向相反，并且在同一裂纹 中对于上f 岸有： ，( q + ) = 一，( q 一) u e ，( p ，q + ) = u ，( p ，q 一)t ，( j p ，9 ) = 一瓦，( _ p ，9 一) ( 3 4 ) 郑州大学硕士学位论文 将它们带入式( 3 3 ) 呵得： z ? 。( p ) = 一l 瓦，( p q ) u ( q ) d r ( q ) 其中“= u ( q + ) 一u ( q 一) 定义为裂纹岸上的位移间断，也称之为位错。 理： 匹u = 罴印。+ 2 , u g , u g q 2 矗i 6 w u 和应变一位移关系： ( 35 ) 运用h o o k e 定 ( 3 6 ) 1 毛2 主( j 枷) ( 3 7 得到平面内任一点q ( 善川) 的应力： 伽叫罴民警州警+ 掣聊 s ， 未知函数i t ( p ) 求得后，应力就可以完全确定。进一步研究应力场公式，可以发现， 当q ( 孝，r 1 ) 点趋近于边界r + 时，在有限部积分的意义下，可得以下形式的超奇异积 分方程，它是以位移间断为未知函数具有二阶奇异性的积分式。 珊( p ) + f + 吲朋) 玩( p 弦( p ) - f ( p ) ( 3 9 ) 式中；e + 表示超奇异积分，r ( p ，q ) 为p 点q 点之间的距离。由于尸，o 都是r + 上的 点，当p ，q 点重合时，该方程式具有二阶奇异性。此组方程在一般积分和主值积分 意义下都是发散的，只有在有限部积分的意义下才是收敛的2 3 。26 1 。 3 2 未知函数的性态分析 超奇异积分方程的解析解法非常困难，通常使用数值法求解。裂纹问题的超奇 异积分方程通常包括未知函数的超奇异积分项和普通意义常规积分项，由于正常积 分可采用高精度数值积分技术，因此决定求解精度的是超奇异积分。为提高数值计 算精度，应正确找出积分方程未知函数在裂纹端点的性态，然后构造高精度数值求 积公式。本节使用奇异积分的主部分析方法，对超奇异积分方程的未知函数进行性 态分析。 超奇异积分方程的性态由超奇异核决定，只需对奇异性主部进行分析，超奇异 积分方程的主部可写为以下形