第三章 直线与方程知识点及典型例题..doc

第三章 直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是01802. 直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k=tana。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线l与x轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线l与x轴垂直时, = 90, k 不存在.当时，； 当时，； 当时，不存在。xyoa1a2l1l2例.如右图，直线l1的倾斜角a=30，直线l1l2，求直线l1和l2的斜率.解：k1=tan30= l1l2 k1k2 =1k2 =例：直线的倾斜角是( )A.120 B.150 C.60 D.30过两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例.设直线 l1经过点A(m，1)、B(3，4)，直线 l2经过点C(1，m)、D(1，m+1)， 当(1) l1/ / l2 (2) l1l1时分别求出m的值三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。3. 直线方程点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：y=kx+b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：（）直线两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)截矩式：其中直线与轴交于点(a，0)，与y轴交于点(0，b),即l与x轴、y轴的截距分别为a、b。注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 两个截距都不为0 或都为0 ； 但不可能一个为0，另一个不为0. 其方程可设为：或y=kx. 一般式：Ax+By+C=0（A，B不全为0）注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。(2)各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，经过点A(8，2)； .(2)经过点B(4,2)，平行于x轴； .(3)在轴和轴上的截距分别是； .(4)经过两点P1(3，2)、P2(5，4)； .例1：直线的方程为Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）AC=0，B0BC=0，B0，A0 CC=0，AB0例2：直线的方程为AxByC=0，若A、B、C满足AB.0且BC0，则l直线不经的象限是（ ） A第一 B第二 C第三 D第四4. 两直线平行与垂直 当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。5. 已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1与B1及A2与B2都不同时为零)若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组的一组解。两条直线的交角：两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.若方程组无解 ； 若方程组有无数解与重合6. 点的坐标与直线方程的关系几何元素代数表示点P坐标P(xo，yo) 直线l方程Ax+By+C=0点P(xo，yo)在直线l上坐标满足方程：Ax+By+C=0点P(xo，yo)是l1、l2的交点坐标(xo，yo)满足方程组7. 两条直线的位置关系的判定公式A1B2A2B10方程组有唯一解两直线相交 或A1C2A2C1 0无解两直线平行 或A1C2A2C1 = 0有无数个解两直线重合两条直线垂直的判定条件：当A1、B1、A2、B2满足 时l1l2。答：A1A2+B1B2=0经典例题；例1.已知两直线l1： x+(1+m) y =2m和l2：2mx+4y+16=0，m为何值时l1与l2相交平行解：例2. 已知两直线l1：(3a+2) x+(14a) y +8=0和l2：(5a2)x+(a+4)y7=0垂直，求a值解：例3.求两条垂直直线l1：2x+ y +2=0和l2： mx+4y2=0的交点坐标解：例4. 已知直线l的方程为，(1)求过点（2，3）且垂直于l的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l的直线方程。8. 两点间距离公式：设A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|=9. 点到直线距离公式：一点P(xo，yo)到直线l：Ax+By+C=0的距离10. 两平行直线距离公式例：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，则l1与l2的距离为例1：求平行线l1：3x+ 4y 12=0与l2： ax+8y+11=0之间的距离。例2：已知平行线l1：3x+2y 6=0与l2： 6x+4y3=0，求与它们距离相等的平行线方程。11. 直线系方程已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1与B1及A2与B2都不同时为零)若两直线相交，则过它们的交点直线方程可以表示为：l：A1x+B1y+C1+l(A2x+B2y+C2) =0或者l (A1x+B1y+C1)+ A2x+B2y+C2 =0都可以例1：直线l：(2m+1)x+(m+1)y7m4=0所经过的定点为 。(mR)例2：求满足下列条件的直线方程(1) 经过点P(2，3)及两条直线l1： x+3y4=0和l2：5x+2y+1=0的交点Q；(2) 经过两条直线l1： 2x+y8=0和l2：x2y+1=0的交点且与直线4x3y7=0平行；(3) 经过两条直线l1： 2x3y+10=0和l2：3x+4y2=0的交点且与直线3x2y+4=0垂直；解：12. 中点坐标公式：已知两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点M坐标为(，)例. 已知点A(7，4)、B(5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。13、对称问题：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点.注：曲线、直线关于一直线对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x2对称曲线方程是f(y+2 ,x 2)=0. 曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0. 例1：已知直线l：2x3y+1=0和点P(1，2). (1) 分别求：点P(1，2)关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称点Q坐标(2) 分别求：直线l：2x3y+1=0关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称的直线方程.(3) 求直线l关于点P(1，2)对称的直线方程。(4) 求P(1，2)关于直线l轴对称的直线方程。例2：点P(1，2)关于直线l： x+y2=0的对称点的坐标为 。例3：已知圆C1：(x+1)2+(y1)2=1与圆C2关于直线xy1=0对称，则圆C2的方程为： 。A. (x+2)2+(y2)2=1 B. (x2)2+(y+2)2=1 C. (x+2)2+(y+2)2=1 D. (x2)2+(y2)2=1基础训练A组一、选择题1设直线的倾斜角为，且，则满足（ ）ABCD2过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）A BC D3已知过点和的直线与直线平行，则的值为（）A B C D4已知，则直线通过（ ）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D第二、三、四象限5直线的倾斜角和斜率分别是（ ）A B C，不存在 D，不存在6若方程表示一条直线，则实数满足（ ）A B C D，二、填空题1点 到直线的距离是_.2已知直线若与关于轴对称，则的方程为_;若与关于轴对称，则的方程为_;若与关于对称，则的方程为_;3 若原点在直线上的射影为，则的方程为_。4点在直线上，则的最小值是_.5直线过原点且平分的面积，若平行四边形的两个顶点为，则直线的方程为_。三、解答题1已知直线， （1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x轴相交； （4）系数满足什么条件时是x轴； （5）设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成2求经过直线的交点且平行于直线的直线方程。3经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。4过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为（数学2必修）第三章 直线与方程综合训练B组一、选择题1已知点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）A B C D2若三点共线 则的值为（） 3直线在轴上的截距是（ ）ABCD4直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）A B C D5直线与的位置关系是（ ）A平行 B垂直 C斜交 D与的值有关6两直线与平行，则它们之间的距离为（ ）A B C D 7已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）A B C D 二、填空题1方程所表示的图形的面积为_。2与直线平行，并且距离等于的直线方程是_。3已知点在直线上，则的最小值为 4将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则的值是_。设，则直线恒过定点 三、解答题1求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程。2 一直线被两直线截得线段的中点是点，当点分别为，时，求此直线方程。3、把函数在及之间的一段图象近似地看作直线，设，证明：的近似值是：4直线和轴，轴分别交于点，在线段为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等， 求的值。（数学2必修）第三章 直线与方程提高训练C组一、选择题1如果直线沿轴负方向平移个单位再沿轴正方向平移个单位后，又回到原来的位置，那么直线的斜率是（ ）AB CD2若都在直线上，则用表示为（ ）A B C D 3直线与两直线和分别交于两点，若线段的中点为，则直线的斜率为（ ） A B C D 4中，点,的中点为,重心为，则边的长为（ ）A B C D5下列说法的正确的是（ ）A经过定点的直线都可以用方程表示B经过定点的直线都可以用方程表示C不经过原点的直线都可以用方程表示D经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示6若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）A B C D二、填空题1已知直线与关于直线对称，直线，则的斜率是_.2直线上一点的横坐标是，若该直线绕点逆时针旋转得直线，则直线的方程是 3一直线过点，并且在两坐标轴上截距之和为，这条直线方程是_4若方程表示两条直线，则的取值是 5当时，两条直线、的交点在 象限三、解答题1经过点的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？2求经过点的直线，且使，到它的距离相等的直线方程3已知点，点在直线上，求取得最小值时点的坐标。4求函数的最小值。第三章 直线和方程 答案 基础训练A组一、选择题 1.D 2.A 设又过点，则，即3.B 4.C 5.C 垂直于轴，倾斜角为，而斜率不存在6.C 不能同时为二、填空题1. 2. 3. 4. 可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：5. 平分平行四边形的面积，则直线过的中点三、解答题1. 解：（1）把原点代入，得；（2）此时斜率存在且不为零即且；（3）此时斜率不存在，且不与轴重合，即且；（4）且（5）证明：在直线上 。2. 解：由，得，再设，则 为所求。3. 解：当截距为时，设，过点，则得，即；当截距不为时，设或过点，则得，或，即，或这样的直线有条：，或。4. 解：设直线为交轴于点，交轴于点， 得，或 解得或 ，或为所求。第三章 直线和方程 综合训练B组一、选择题 1.B 线段的中点为垂直平分线的，2.A 3.B 令则4.C 由得对于任何都成立，则5.B 6.D 把变化为，则7.C 二、填空题1. 方程所表示的图形是一个正方形，其边长为2.，或设直线为3. 的最小值为原点到直线的距离：4 点与点关于对称，则点与点 也关于对称，则，得5. 变化为 对于任何都成立，则三、解答题1.解：设直线为交轴于点，交轴于点， 得，或 解得或 ，或为所求。2.解：由得两直线交于，记为，则直线垂直