（电磁场与微波技术专业论文）多功能衍射光学元件的设计与分析.pdf

韭塞窑通太茎毯堂位j 幺毫生塞撞叠 中文摘要 摘要：衍射光学元件自身具有许多优点使得它广泛地应用于各种光学系统或微光 机电系统中各种衍射光学元件目前己成为光通讯和光互联中的关键元件，对它 们的性能分析和设计具有重要的理论意义和应用价值 本文一方面通过设计多功能的衍射光学元件，首次实现在多个方向角上滤波。 数值模拟了任意方向对所选取任意波长进行滤波以及任意方向上选定波谱段的合 成即实现多角度单波长的滤波和波谱段的合成。另一方面，我们研究了长焦深 衍射光学元件加上可变棚位片产生的空心光束的光学特性，通过对各种参量的考 察，分析并比较了不同半径的棚位片加上三种长焦深公式下的可调空心光束的光 学性能。主要内容可以归纳为以下几个方面： ( 1 ) 回顾了衍射光学的发展概况简单介绍了衍射光学元件( d o e ) 相对于传 统光学元件的优势，以及d o e 在各个领域的广泛应用和前景 ( 2 ) 简单介绍了基本的衍射理论，包括矢量衍射理论和标量衍射理论着重叙 述了标量衍射理论和公式，以及格林函数近似方法和边界场近似方法对 基于标量衍射理论的常用优化算法做了进行了简单的陈述。 ( 3 ) 采用共轭梯度算法和菲涅尔公式，创造性地设计出所需的衢射光学元件， 实现了单波长滤波同时进彳亍了空间分离；实现了波谱合成滤波及波谱空间 分离。 ( 4 ) 分析了长焦深透镜加上可变硼位片的光学特性。比较了普通透镜加上可变 丰目位板与长焦深透镜加上可变调位片之间光学特性的差别。分析了在三 种不同的长焦深公式下，长焦深透镜加上可变嘲位片组合所获得空心光束 。 的光学特性的改交 总之，相对于传统光学元件，衍射光学元件具有很多优点。设计与制作衍射 光学元件，能够实现传统光学元件难以达到的很多新颖功能。 关键词：衍射光学元件；多功能；滤波；合成光谱；长焦深；空心光束；可变靠 相位片 分类号； a b s t r a c t a b s t r a c t ：d i f f r a c t i v eo p t i c a le l e m e n t ( d o e ) h a sb e e nw i d e l yu s e di nv a r i o i l s o p t i c a ls y s t e m sb e c a u s eo fi t sm a n ya d v a n t a g e s d o eb e c 3 m e st h ef i r s tc h o i c ef o r o p 缸c a lc o m m u n i c a t i o n , c o r r e l a t i o nf i l t e r i n g ，w a v e l e n g t h - d i v i s i o nm u l t i p l e x i n g ，a n ds o o n t s n t e r e s t m g 蠡oi n v e s t i g a t ea n dd e s i g nt h ed o ef o ra c h i e v i n gm u l d f u n c t i o n a o p t i c a lp r o p e r t i e s t h i st h e s i sa i m st od e s i g nam u l t i - f u n c t i o nd o ef o ri m p l e m e n t i n gs p e c t r a l s y n t h e s i z i n ga n ds p a t i a ld u m u l t i p l e x i n gs i m u l t a n e o u s l y a tt h e $ a l n et i m e ，w es t u d yt h e f o c u s i n gc h a r a c t e r i s t i c sb yam i c r o l e u sw i ml o n gf o c a ld e p t hp l u sav a r i a b l e 耳一p l a t e a n d a c h i e v eah o l l o wb e a m sb ya d j u s t i n gt h ea p p r o p r i a t ep a r a m e t e r t h eh o h o wb e a mc a n b eu s e dt ob eo p t i c a lt w e e z e r s , w h i c hc a nc o n t r o la n do p e r a t ea t o m so rm i c r o - o r n a n o - p a r t i c l e si nv a r i o u s 棚粥。t h ec o n t e n to f t h i st h e s i sa 托a sf o l l o w ： ( 1 ) w ev i e wt h el l i s t o r yo fd i f f a - a c t i v eo p t i c sa n dg i v ea b r i e fi n t r o d u c t i o na b o u td o e s a d v a n t a g e sa n da p p l i c a t i o n si nv a r i o u sf i e l d s ( 2 ) w er e v i s i tt h e o r i e s o fd i f f r a c t i v eo p t i c s i n c l u d i n gs c a l a rd i f f r a c t i o n t h e o r e t i c a l m e t h o da n dv e c t o rd i f f r a c t i o nt h e o r e t i c a lm e t h o d s o m eo p t i m i z a t i o na l g o r i t h m sa r e d e s c r i b e d ( 3 ) d o e s 躺d e s i g n e df o ri m p l e m e n t i n gs p a t i a ld e m u l t i p l e x i n g a n d s p e c t r a l s y n t h e s i z i n gs i m u l t a n e o u s l yb yu s i n gc o n j u g a t eg r a d i e n to p t i m i z a t i o na l g o r i t h m t h r e ed i f f e r e n td e s i g n0 8 s e sf o rt h es p e c t r u mw i n d o wo f t h eo p t i c a lc o m m u n i c a t i o n ： t l u e ed i s c r e t es p e c t r a ls e g m e n t si no n ed i r e c t i o n , t w od i s c r e t es p e c t r a ls e g m e n t si n t w od i r e c t i o n s ，a n dt h r e ed i s c r e t e s p e c t r a ls e g m e n t si nt h r e ed i r e c t i o n s ，a r e i m p l e m e n t e d t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n si n d i c a t et h a tt h ed e s i g n e dm u l t i f u n c t i o n a l d o e sc a ns u c c e s s f u l l yg e n e r a t ed e s i r e ds p e c t r aa tp r e d e s i g n e dd i r e c t i o n s t h e s e d e s i g n sc a np r o v i d eau s e f u li n f o r m a t i o nf o rd e s i g n i n gt h ew a v e l e n g t hd i v i s i o n m u l t i p l e x e ra n dt h ea r r a y e dw a v e g n i d eg r a t i n gi nv a r i o u so p t i c a ls y s t e m s ( 4 ) w ei n v e s t i g a t et h ef o c u s i n gp r o p e r t i e so f g a u s s i a nb e a m sd i f f r a c t e db ya v a r i a b l e - p l a t ep l u sl e n sw i t hl o n gf o c a ld e p t h , a n da n a l y z et h ed e p e n d e n c eo f t h ed i f f r a c t e d f o c a ll i g h tf i e l do nt h ev a r i a b l e 丌- p l a t ec l i n g i n gt i g h t l yt ot h em u l t i f u o c t i o n a ll e n s a n d0 1 1t h ep r e s e tl o n gf o c a ld e p t ho f t h el e n s w ec a l c u l a t et h er e s u l t s ，w h i c hs h o w t h ec h a n g e so f t h es y s t e m so p t i c a lb e h a v i o r , w i t ht h r e ed i f f e r e n te q u a t i o n so fl o n g f o c a ld e p t h 、 i naw o r d , d o e sh a v em o r ea d v a n t a g e sc o m p a r e dw i mt h et r a d i t i o n a lo p t i c a l e l e m e n t d e s i g n i n ga n dm a n u f a c t u r i n gd o e t or e a l i z em u l t i - f u n c t i o n si sn e c e s s a r y k e y w o r d $ ld i f f r a c t i v e o p t i c a le l e m e n t s ；m u i t i f u n c t i o n ；f i l t e r ；s p e c t r a l s y n t h e s i z i n g ；l o n gf o e a id e p t h ；h o h o wb e a m ；7 t - p l a t e c l a s s n 0 g 致谢 本论文的工作是在我的导师刘娟老师的悉心指导下完成的。刘娟老师严谨的 治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响在此衷心感谢读硕士期间 刘娟老师对我的关心和指导 中科院物理所顾本源教授悉心指导我完成了部分科研工作，在学习上和生活 上都给予了我很大的关心和帮助，在此向顾本源老师表示衷心的谢意。 王义全教授，王智教授，张波老师，对于我的科研工作和论文都提出了许多 的宝贵意见，在此表示衷心的感谢 在实验室工作及撰写论文期间，胡滨、邸思、王尚奇等同学对我论文中的研 究工作给予了热情帮助，在此向他们表达我的感激之情 感谢我的爸爸妈妈，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业 1 1 衍射光学的发展 l 绪论 衍射光学是基于光波的衍射理论，利用计算机辅助设计和超大规模集成( v e r y l a r g es c a l ei n t e g r a t i o n , v l s i ) 电路制作工艺，在片基上刻蚀浮雕结构，产生相位元 件的学科 衍射光学历史悠久，而且是光学中很重要的分支。1 8 7 1 年，r a y l e i g h 发明的波 带片象征着最早的衍射光学元件( d i f f r a c t i v e0 p t i c a le l e m e n t s ，d o e s ) 的诞生。但 是由于衍射光学元件总是导致系统的分辨率受限，所以当时并未在光学设计领域 受到重视在光学界，对衍射光学技术的再认识是近几十年的事。上个世纪6 0 年 代，全息光学( h o l o - g r a p h i co p t i c s ，h o ) 、计算全息图和相息图的出现为 ；i j 射光 学带来了新的活力，特别是计算全息图的发明和成功制作，使得人们认识到这种 基于光的衍射效应的元件，能够方便灵活的控制光路和实现不同的光学功能。从 而开辟光学系统分析和设计的新天地。但由于全息元件的衍射效率低，制作工艺 比较落后，因此发展缓慢。上世纪八十年代中期，美m m i t 林肯实验室v e l d k a m p 领 导的研究组在设计新型传感系统时率先提出了“二元光学( b i n a r yo p t i c s ，b o ) ”即 衍射光学的概念【l , 2 1 。此后，衍射光学才进入了一个新的快速发展的时期。 二元光学是由光学与微电子学相互渗透、相互交叉而产生的，其光学元件的 表面带有浮雕结构由于使用了本来是制作集成电路的生产方法，所用的掩模是 二元的，且掩模用二元编码形式进行分层，故引出了二元光学的概念。二元光学 不仅在变革常规光学元件，变革传统光学技术上具有创新意义，而且能够实现传 统光学许多难以达到的目的和功能，因而被誉为“9 0 年代的光学”。而上世纪七 十年代以来，随着微电子工业中加工制作技术的进步，尤其是集成电子工业的发 展使得电子束图形发生器、分布重复光刻机、离子刻蚀机等一整套微细加工设备 的制作水平日臻完善，并为加工制作精细结构的光学元件提供了保证。我们看到， 二元光学的提出对衍射光学的发展有着重要意义。从此现代衍射光学开始在学术 界和工业界掀起了研究的热潮在与微电子学相互渗透、相互交叉、相互促进的 过程中，衍射光学的理论日益完善、设计方法日趋成熟、加工制作技术不断升级 更新，从而促进衍射光学的应用领域得以不断的拓展。 由此可以看出，衍射光学技术的拓展和创新，得益于全息光学和二元光学两 种技术的开发。利用光的衍射原理设计制造的衍射光学元件，早期有衍射光栅， 菲涅尔透镜等，近期的是全息光学元件( h o l o g r a p h i co p t i c a le l e m e n t ，h o e ) ， 二元 光学元件( b i n a r yo p t i c a le l e m e n t ，b o e ) ，衍射透镜( d i f f r a c t i v el e n s e s ) 等。目前，通 常把这类元件统称为衍射光学元件 衍射光学元件类型多，功能多样化，应用范围广。在近几年里，应用迅猛增 长。而且新的应用还在不断涌现，前景十分看好。例如，d o e 在望远镜和类似目 视仪器中的应用，最早的有波带片望远镜，近期的不胜枚举。光学系统中应用d o e 的好处和实惠是，透镜表面曲率小，数值孔径大，消色差，元件数量减少，系统 紧凑纤巧，重量减轻，成本降低，可批量复制，以及光学性能提高。所有这些， 极大增强产品的市场竞争力，对军用光学装备具有更重大的意义。 总之，衍射光学是和微电子学相互渗透与交叉的前沿学科【射，人们研究如何利 用光波的衍射效应来设计衍射光学元件以实现传统光学元件无法实现的许多新颖 光学性能它促进了光学系统的微型化、阵列化和集成化，开辟了光学领域的新 视野间如今，它已经成为个重要的光学分支蓬勃发展起来 1 2 本论文工作的目的 衍射光学元件自身具有许多优点，因此使得它广泛地应用于微光学系统中。 各种微透镜及透镜阵列己成为光通讯和光互联中的关键元件，对它们的性能分析 和设计具有重要的理论意义和应用价值。 本文目的在于设计出多功能的衍射光学元件，使其在滤波和合成光谱方丽能 发挥作用并且研究通过长焦深衍射光学元件加上可变棚位片产生空心光束，使 之应用于光镊技术，比较了三种长焦深公式下的长焦深透镜加上可变冗相位片产生 空心光束的性能。 1 3 论文的主要内容 本论文基于标量衍射理论，介绍了设计多功能衍射光学元件的理论和方法， 对于衍射光学元件组合的特性进行了分析和比较。全文共分为五章： 第一章：绪论。回顾了衍射光学的发展概况。简单介绍了衍射光学元件( d o e ) 的优点。 第二章：衍射光学的理论。介绍了衍射光学的主要理论，包括矢量衍射理论 和标量衍射理论。着重叙述了标量衍射理论和公式，从格林函数近似方法和边界 场近似方法出发，得到菲涅尔衍射公式。最后对基于标量衍射理论的常用优化算 法进行了简述 2 第三章：设计衍射光学元件同时实现滤波和空间分离。从衍射理论模型出发， 运用共轭梯度优化算法，设计出多功能d o e ，实现空间灵活分波和滤波。 第四章：分析长焦深透镜加上可变耳相位板的光学特性从普通透镜加上可 变矗相位板所得空心光束出发，分析了长焦深透镜加上可变耳相位板所得空心光 束光学特性，在三种不同的长焦深公式下，长焦深透镜加上可变矗相位板组合的 空心光束光学特性的改变。 第五章：结束语。对本论文的工作进行了总结，并且对下一步工作进行展望。 2 1 基本理论 2 衍射光学的理论 当光波遇到障碍物时，它将偏离直线传播，这种现象叫做光的衍射。早年它 一直是人们难以理解的一个现象。h u y g e n s 于1 6 9 0 年首先提出了一个衍射基本原理 嗍，他认为光波波前上的每个单元都可以看成是新的振动源，它们发出次波在空问 某一点产生的振动是这些次波在该点的相干叠加f r e s n e l 吸收- y h u y g e n s 提出的次 波概念，用“次波相干叠加”的思想将所有衍射情况引到统一的原理中来，并于 1 8 1 8 年形成丁 h u y g e n s f r e s n e l 原理【卯六十余年后，k i r c h h o 盱1 8 8 2 年建立了一个 严格的数学理论，证明f r e s n e l 的设想基本上正确，只是给出的倾斜因子不对，因 而他提出t k i r c h h o f 衍射理论及积分公式 5 1 根据边界条件的选取不同，于是还存 在另外两种r a y l e i g h s o m m e r f e l d 衍射积分公式，它们分别相应于只考虑边界场或者 场的法向导数。 2 1 1 标量衍射理论 衍射光学的分析理论分为两大类：标量衍射理论( s c a l a rd i f f r a c t i o nt h e o r y ) 和 矢量衍射理论( v e c t o rd i f f r a c t i o nt h e o r y ) 垆j 。当衍射光学元件的特征尺寸比光波波 长大很多时，光的偏振特性变得不太重要，此时可以应用标量衍射理论进行性能 分析 6 1 。 标量衍射理论是一种近似分析方法，其主要特点是把光波作标量来处理，即 只考虑电磁场的一个横向分量的复振幅，并假设任何别的有关分量可以同样的方 式独立处理。但实际上电磁场矢量的分量是通过麦克斯韦方程组联系在一起的， 不能独立处理。因此应用标量衍射理论必须满足其前提条件：远场近似和傍轴近 似，即观察平面与孔径之问的距离必须远大于孔径和观察区域的最大限度，并且 观察平面上只对光轴附近一个有效区域感兴趣。在此条件下，应用标量衍射理论 既可简化问题，又可得到比较满意的结果。 在标量衍射理论框架下，光场被看成是一种标量场，认为电矢量和磁矢量相 互独立，不考虑光场的偏振特性，可以直接应用f r e s n e l 或者k i r c h h o f f 衍射理论进行 求解。 在通常情况下，衍射光学元件的特征尺寸大于光波波长，光的偏振特性显得 不那么重要此时，传统的标量衍射理论能够足够精确地预测光场分布。因此， 4 这种简单的理论能够合理地应用于衍射光学元件的设计上 ， 但标量理论始终是近似的理论，其近似程度与d o e 的最小特征尺寸有关，特 征尺寸越小标量理论近似程度就越大，而且就适用范围来说，标量衍射理论只适 合光学元件特征尺寸远大于波长的情形，并且只能用于远场的分析，对于近场的 分析并不适用。 2 1 2 矢量衍射理论 尽管标量衍射理论是一种简单而有力的工具。近年来，但是随着光刻技术和 微细加工技术的发展以及制作工艺水平的提高，衍射光学元件的特征尺寸变得越 来越小。当衍射光学元件的特征尺寸跟光波波长羞不多或者小于光波波长时，光 波的偏振特性以及不同偏振光之间的耦合作用对光波的衍射起着非常重要的影 响，标量衍射理论不再成立1 此时，光波的偏振性质和不同偏振光之宜j 的相互 作用对光的衍射结果起着重要的作用，必需应用严格的矢量衍射理论进行分析和 求解。 矢量衍射理论考虑了光波的偏振特性，认为光波的每一个电磁场分量在d o e 介质中都有着各自不同的行为，并以d o e 为媒质相互作用。矢量衍射理论基于 m a x w e l l 方程组，结合电磁场的边界条件，通过严格求解从而得到空自j 中的光场分 布 衍射光学的第一个严格解1 9 】是s o m m e r f e l d 于1 8 9 6 年在求解半无限大完全导体 屏时给出的由于具有各种光学功能的d o e 具有不同的面型结构，对光波各电磁 场分量在d o e 中相互作用的求解，不可能找到一个统一的解析解，因此针对各种 不同类别的d o e 诞生了一些不同的矢量衍射理论。这些矢量衍射理论都是严格的 电磁场方法，计算方法都比较复杂。 由于只有几何结构非常简单的形状，如圆或者无穷大平面才具有解析解，一般 的元件结构都需要用严格的数值方法求解。现有的严格求解m a x w e l l 方程组的方法 有耦合波法( 模态法) 1 1 0 , l l l 、有限差分法【1 2 l 、时域有限差分法1 1 3 】、频域有限差分法l ， 有限元方法【瑚、边界元方法 1 6 , 1 7 1 、场缝合算法i 1 、自洽积分方法 1 9 1 、矢量平面波 法啪】等。 以上这些严格的数值求解方法可用于衍射光学元件的分析。在实际应用中，根 据不同类型的要求，选择具体的分析方法，有时甚至将两种或多种方法结合起来 使用【2 1 列，以兼蓄并收它们的优点而摒弃它们的缺点。 总的来说，用矢量衍射理论方法分析衍射光学元件都要进行复杂和费时的计算 机运算。如何设计复杂结构的衍射光学元件依然是一个难解之题。当衍射结构的 横向特征尺寸大于光波波长时，光波的偏振属性变得不那么重要时，仍可采用传 统的标量衍射理论得到一些合理的结果 2 2 标量衍射方法的理论公式 在标量衍射理论框架下，存在如下两个假定： ( 1 )光学元件的零厚度近似。当入射光通过光学元件对，只考虑其对入射 光的位相调制。 ( 2 )光场被认为是一种标量场嘲，不考虑电场和磁场之间的耦合作用 由于标量衍射理论的模型非常简单，因而在实际中被广泛采用。标量衍 射方法有很多种，根据引入近似类型的不同，大体上分为两大类：近似的格林 函数方法和近似的边界场方法跚。以二维散射问题为例，严格的格林函数是 h a n k e l 函数，根据观察面和光学元件的距离不同，格林函数有以下几种近似： 大变量近似、f r e s n e l 衍射近似和f r a u n h o f e r 衍射近似：根据边界场近似方式的不 同，标量衍射方法又分为k i r c b h o f 衍射方法和两种r a y l e i g h s o m m e r f e l d 衍射方 法。当然，对格林函数近似和边界场近似也可以结合起来使用比如角谱传播 方法。下面我们依次说明各种近似的特点 2 2 1 格林函数近似方法 ( 1 ) 格林函数的大变量近似 在二维散射问题中，严格的格林函数为第二类零阶h a i l l 【e l 函数。在区域s ( f = 1 ，2 ) 中，格林函数及其法向导数由下式给出： q ，本) = 一丢叫2 ( 咄一m a ) 掣= 牟c 。s ( ) 研2 ( 砘i 一机( 2 1 b ) a 4 。、1 l - p ， 其中，i 和# 分别表示区域墨中观察点和源点的位置矢量，r 为两区域的交界面， c o s ( p ) = n ( r , 一车) k 一j ；岛为区域s 中的波数，即与= q 毛。严格的格林函数虽 然能够给出准确的分析结果，但当观察面上的取样点很多时，它在计算中非常费 时当观察面与光学元件表面之间的距离大于几个波长时，此时t k 一本i 为一个比 较大的数值，应用大变量近似所造成的误差几乎可以忽略，但能够节约大量的计 算时间大变量近似下的格林函数及其导数为： 6 g j “，斥) 箜g ：壹互 o n4 一丢一4 ) 厢2 时以 c o s c 历唧踊j 2 , , e x p c k 一本i ) ， ( 2 2 a ) j k , , , - 4 1 ) ( 2 2 b ， ( 2 ) f r e s n e l 衍射近似 当观察面同光学元件之间的距离远远大于光学元件的尺寸( 即只 薯) 时，严格的 格林函数二次项以上的高次展开项可以忽略，这种近似称为f r e s n e l 衍射近似。在 f r e s n e l 衍射近似下，格林函数及其法向导数可以表示成： q ( ，斥) e x p ( 一j k i 丝g ：堂 a 聆 一号旧鬲2 卜咖o m 褊， - c o s ( f 1 ) 刚叩，l 焉2 吲一北l 咒一瞬脚一此褊】 ( 2 3 b ) ( 3 ) f r a u n h o f e r 衍射近似 当观察面与光学元件之间的距离继续增加，达到远场条件时，严格格林函数 展开项中的二次项及高次项都可以忽略，只保留一次项，这种近似称为f r a u n h o f e r 衍射近似。在f r a 岫h o f e r 竹z , - 射近似下，格林函数及其法向导数可写成： g ( ，；，) 一e x p ( j 石4 )e x p ( 一此k 一并i ) 7 ( 2 4 a ) 掣舄鲁c o s ( ) e x p i 2 e x p c 一儿卜露 苎量 、 2 k 一兵i ( 2 4 b ) 2 2 2 边界场近似方法 在严格的电磁场矢量方法中，边界上的场及其法向导数均通过m a x w e l l 方程组 精确求解。在标量衍射理论中，边界上的场及其法向导数由入射光场近似给出。 通常有以下三种边界条件：d i r i c h l e t 边界条件( 仅仅近似绘定边界场) 、n e u m a n n 边 界条件( 仅仅近似给定边界场的法向导数) 和k i r c h h o f 边界条件( 边界场及其法向导 数都近似给定) 由此衍生出三种标量的衍射理论，分别对应为第一类 r a y l e i g h - s o m m e r f e l d 、第二类r a y l e i g h - s o m m e r f e l d 和k i r c h h o f 衍射理论。标量衍射 理论虽然会带来一定的误差，但当光学元件的特征尺寸大于光波波长时，这种误 差几乎可以忽略：而且，它不需对边界场进行严格求解，能够节约大量的计算量和 计算时间。 ( 1 ) k i r c h h o 鳓射近似 如图2 1 所示，整个空间由两半无限大区域墨和最组成，其中区域墨为光学元件， 区域墨为真空，它们的折射率分别为一和也，且啊 。 i n c i d e n tw s v c 图2 i 二维光学元件散射示意图 l 0 假定入射光波从区域s 正入射到光学元件的边界上，由于边界r 的相位调制，入 射光将在区域最中形成聚焦在光学元件的零厚度模型下，透镜的边界近似为图 2 1 所示的水平点线边界，对t e 偏振，边界场及其法向导数分别近似为： 墨( t ) = r o e o c o ( x ) e x p 一j 万( x ) 】， ( 2 5 a ) a e r 蔷( 昂，) = 一代r 岛( z ) e x p 一j a ( z ) 】， ( 2 5 b ) 毛( 任) = 乃磊烈功e x p 巾( 瑚， ( 2 6 a ) 8 e 寻吒) = j k 2 t o e o r o ( x ) e x p 一弘( x ) 】，( 2 6 b ) 册= 、- 7 其中耳，和矗分别表示边界上的反射和透射光场，啊为水平边界r ，的法向矢 量，如图2 1 所示。昂和昂分别表示反射和透射边界上点的位置矢量，其实反射和 透射边界的轮廓一样，但方向相反，它们分别对应于求解区域s 和是中的光场分 布，蜀和五分别为两介质界面上正入射时的f r e s n e l 反射和透射系数，毛为入射光 的振幅，烈功为入射光的窗口函数。艿( x ) 和a ( x ) 分别为衍射因光学元件所引起的 反射光和透射光的相位改变，即艿( 力= - 2 k o n ，h ( x ) ，a ( x ) = 七o ( 吗一啊) 1 ，( x ) ，其中j i ，( x ) 为衍射光学元件的高度函数，如图2 1 所示利用上面近似给定的边界场及其法向 导数，可得到k i r c h h o f 衍射理论下整个空间中的光场分布为： 砰：舻( ，；) + ( e r ，( 本，) 挈掣 吼t ) 掣】， 。， 霹眇一t ) 学- g 2 ( “) 掣砌 其中砰和分别表示硒r c h h o f 衍射理论下区域墨和是中的光场分布。需要特别注 意的是，此时的积分边界讲。沿着近似边界r ，( 或r ，) ，而不是边界元方法中的边界 9 r l ( 或r ：) 可以看出，l ( i r c h h o f 衍射方法与严格的边界元方法存在两点差别：( a ) 在硒r c l l l l o f 衍射方法中，衍射光学元件的边界近似为水平边界r ，( 或r ，) ，而不是 边界元方法中的真实边界r l ( 或f 2 ) ( b ) 在k 硫址口f 衍射方法中，边界上的光场由 入射光场近似给出：而在边界元方法中，边界上的光场由边界积分方程精确计算 出 ( 2 ) 两种r a y l e i g h - s o m m e f f e l d 近似 除了k 疵l l h o 勉界条件外，还有另外两种边界条件的选取方式，即d 硒c i l l c t 边 界条件和n e u m a n n 边界条件。在d i r i c h l e t 边界条件下，只有边界上的场被近似给出， 它对应于第一类r a y l e i g h - s o m m e r f e l d 衍射：在n e u m a n n 边界条件下，只有边界场的 法向导数被近似给出，它对应于第二类r a y l e i g h - s o m m e r f e l d 衍射。为匹配d i r i c h l e t 和u e u m a n n 边界条件，需要提出替代的格林函数。假定i 和哇关于水平边界r 镜像 对称，也就是( 五，以) = “，一) ) ，替代的格林函数为： q 髂1 “，；) = q 瓴，；。) 一q ( ，：；) ， g f 船2 ( ，) = g j ( ，巧) t q ( ，：；) ， ( 2 s a ) ( 2 8 b ) 其中o ，d = ( 1 ，2 ) 和o ，d = ( 2 ，1 ) 分别对应于求解区域s 和是中的光场分布。经过化 简得到： g i u s l - - 0 , 筹= 2 鬻， g ；脱：2 q ，( 百a g i a s 2 一- - ， ( 2 9 b ) 其中g ，船1 和g ，船2 分别表示第一类和第二类r a y l e i g h - s o m m e 疵l d 衍射的格林函数， g 为严格的格林函数。吩为近似边界r ，的法向矢量在两种r a y l e i g h - s 砌m e r f e l d 衍射理论近似下，整个空间中任意点的光场为： 巩，；) ：珊) + l ，嘶) 掣。， ( 2 - o a ) 黜泸一张) 华。， 哟 华2 ( ，；) = 华咿f ，g l 飞t ) 肇。， 职咖f 2 帏t ) 挚。， ( 2 1 l a ) ( 2 1 i b ) 其中e p 和e 夕1 分别表示第一类r a y k i 曲- s o 咖e r f e i d 衍射积分方法下区域s 和是 中的光场分布，五严2 和e 尹2 分别表示第二类r a y l c i g l l - s o 姗c r f e l d 衍射积分方法下 区域墨和岛中的光场分布。 ( 3 ) 改进的r a y l e i g h - s o m m e r f e l d 近似方法例 在改进的标量衍射方法中，直接在衍射光学元件表面对边界场进行近似，考 虑元件局域表面对入射光方向的改变边界场由入射光场和边界上局域f r e s n e l 系 数决定。由于改进的标量衍射方法不再引入边界误差，计算误差只由边界场的近 似引入，因此，它比原来的标量方法精确。 在改进的标量衍射方法中，直接在边界上对边界场进行近似。所以，在计算 整个空间的场时，直接对边界进行积分即可在两种改进r a y l e i g l i s o m m e r f e l d 衍 射方法中，整个空间的光场分布为： e l 脚- ( ) ：e 船( ) + l 辟，( 本。) 华讲。， 矿( 咖一f ：( t ) 掣刃， 酽钟+ g l 胧却掣讲， 酽( 咖铲( 掣甜， 2 3 基于标量衍射的算法 ( 2 1 2 a ) 佗1 2 b ) ( 2 1 3 a ) ( 2 1 3 b ) d o e 的分析设计理论通常可归结为两大类：标量衍射理论和矢量衍射理论。通 常情况下，当d o e 的衍射特征尺寸大于光波波长时，可以采用标量衍射理论进行 设计，利用光的掭量衍射理论和傅立时光学进行分析。在此范围内，可将d o e 的 设计看作一个逆问题的优化求解，即由给定的入射光场和理想出射光场求衍射屏 的透过率函数。即d o e 的设计问题十分类似于光学变换系统的位相恢复问题，己 知成像系统中入射场和输出平面上理想光场分布。如何计算输入平面上元件的位 相分布，使得它正确地调制入射光场，高精度地给出预期输出图样，实现所需功 能。 基于这一思想的优化设计方法主要有g s ( g 哪h b c r g s 觚1 0 n ) 算法【加，杨顾( y 0 ) 算法阱7 】，共轭梯度算法 3 t - 3 3 1 ，h c ( h i l lo h n b m g ) 爬山法 2 8 1 ，s a ( s i m u l a t e d a n n e a l i n g ) 模拟退火算法嗍，g a ( g c n e f i ca l g o r i t l u n ) 遗传算法f 划， 下面简要介绍几种常用的算法 2 3 1 g s ( g e r c h b e r g - s a x t o n ) 算法 基于标量衍射理论的g s u 算法是最早用于设计衍射光学元件的算法。借助于 快速傅里叶变换( e f t ) 的快速计算能力，g s 算法获得了广泛的应用。而且，g s 算 法适合于设计纯位相型衍射光学元件。因此可以得到衍射效率高的光学元件 g s 算法设计衍射光学元件，非常类似于光学成像系统中位相恢复问题：己知成 像系统中输入平面上光场振幅和输出平面上光场分布，如何去计算输入平面上的 光波场的相位分布，使得光学系统正确的调制入射波场 g s 算法可描述为：先随机假设一位相分布，与输入面的振幅分稚一起作为输入 光场的复振幅分布，对其作f o u r i e r 变换，得到频域的分布函数，对其加以限制， 再作逆f o u r i e r 变换，又得到空域的分布函数，对此函数再加以限制。又作f o u r i e r 变换，重复以上步骤，直到满足条件为止，即可得到所要求。值得一提的是，g s 算法只适用于幺正变换系统的求逆算法。 图2 2 所示是g s 算法的迭代过程示意图。图中i 厂i 是输入光波振幅，为已知数。 i o i 是所需的输出光强振幅，也是已知数。缈是要求解的二元元件的波面相位，妒取 任何数值都无关紧要。开始迭代时，取初值编，经过傅氏变换( 盯) 得到其谱鼻e “， 其中的f 1 用所需的| d i 代替，然后经过逆傅氏变换( 刀1 ) 得到，其中的用i ，1 代替，结果为i l e ，完成算法的第一次迭代。然后继续进行第2 次、第3 次，直到 第i 次迭代运算后得到的f ，它与所需要的i d l 0 之问的差异足够小为止，即： q d i - l f l ) 2 占，f = 1 ，2 式中占可以是任意给定的小数。这里值得指出的一点是，如果选择初始值编愈适 当，那么得到所需光强分布所对应的二元元件的波面相位的迭代次数则愈少。因 1 2 此，对于g s 算法迭代初始值的选择是十分关键的它不仅直接影响迭代的收敛速 度。而且关系到最终迭代结果局部优化的品级 1 卅纱f f e i 弘 f 。e 切丌f o l e 妒 图2 2g s 算法示意图 t h ef l o wc h a r to f g sa l g o r i t h m g s 算法在初始的迭代循环中收敛较快，而后收敛变得很缓慢，有时会出现迭 代停滞现象。为了克服g s 算法所存在的迭代停滞现象，f i e n u p 等人又提出了多种 有效的修正及改进算法【2 们，其中杂化输入输出算法可以解决迭代过程中的停滞 现象，并且还提高了收敛速度。 2 3 2 杨顾( y g ) 算法 杨顾算法 2 5 - 2 】是中国科学院物理研究所杨国桢和顾本源教授于1 9 8 1 年提出的 非幺正变换系统中振幅和相位恢复问题的一般描述方法，并已成功地应用到了二 元光学中各种衍射相位元件的设计中。由于g s 算法只适用于幺正变换系统，y g 算 法可以克服这一限制而广泛用于幺正和非幺芷光学相位恢复系统中。 假设输入面和输出面的波函数为 u i = 局e x v ( 硝) ( 2 1 4 a ) = , 0 2e x p ( i # 2 ) ( 2 1 4 b ) 其中, o l ，, 0 2 为输入，输出面的振幅t识，磊为它们相应的相位分布 两者由线性系统的交换函数相联系 = g “， ( 2 1 5 ) 其中0 表示积分算符。通过引入厶空间的一个范数来描述计算所得的波前与 所需波前的逼近程度 d 2 = 帜一6 u 4 2 ， ( 2 - 1 6 ) 由于相位疵和杰是可以自由选取的，为设计实现预期的光场分布，我们可以设计 相位磊和晚。因此，衍射相位元件的设计问题可以转化为求对输入和输出平面上 的相位分布，饵和噍的极小值， 吼l d 2 = 0 ，a ，2 d 2 = 0 ，( 2 1 7 ) 其中丸扩表示泛函对函数变量f 的变分，通过严格的数学推导得到一组方程组 缟2 a r g 石1 【g + p 2 e x p ( i 谚2 ) 一彳d 岛e x p ( 确) 】) ，( 2 1 8 a ) 唬= a r g g , o ie x p ( 确) 】， ( 2 1 8 b ) 其中j = 6 + 6 ，五表示矩阵j 中的对角元矩阵，而代表矩阵j 的非对角元矩 阵。 一般来说，方程( 2 1 6 a ) 和( 2 1 6 b ) 没有解析解，但可对方程( 2 1 6 a ) 和( 2 1 6 b ) 进 行数值迭代求解，从而得到满足要求的数值解 杨顾算法比o s 算法多了一项因子五。a e x v ( i j 6 i ) 这是非幺正变换系统必不可少 的步骤。因为在幺正交换系统中，j = ，故五= j ，- - 0 ，此时g s 算法和杨顾 算法是等价的；而在非幺正变换系统中，由于五，二d o ，因而j 。不能忽略 不计，此时，g s 算法这种只使用于幺正变换系统的方法，将不再适用，而杨顾算 法，是g s 算法的一种创新性的推广，它既适用于幺正变换系统又适用于非幺正交 换系统。 z 3 3 共轭梯度算法 共轭梯度法【2 ”o l 是目前解决非线性无约束最优化问题的常用方法之一把输 出平面上的相位分布视为自由变量，引人一个误差函数e 来评价所设计的衍射相位 元件的性能，从而把衍射相位元件的设计闯题归结为去寻求组相位分布使误差 函数e 达到极小值的问题将衍射相位元件的设计问题归结为一个对相位不施加任 何限制的无约束最优化问题根据f l e t c h e r 和r e e v e s 提出的方法( f r 共轭梯度法) 可 以采用迭代的方法求得的相位分布由于它不涉及海赛距阵( 二阶偏微分距阵) ，故 它所需的计算内存较小，其构成的共轭梯度方向彼此线性无关，因此它具有收敛 速度快的优点 在共轭梯度法中，相位m 是用迭代的方法得到的。迭代的公式是： l t k + i ) = l ( ) + f ( ) d n ，( 2 1 9 ) l 其中。”，f ，矢量d 耻分别代表第k 次迭代的相位，步长及搜索方向搜 索方向d 是由逐次一维最优化得到的o ，的梯度 “) 来确定的，即 d ”= - v e ( i c k + 1 ) ) + (