（基础数学专业论文）模糊choquet可积函数空间与集值模糊积分.pdf

模糊c h 。q u e t 可积函数空间与集值模糊积分摘要 本文共分三部分。第一部分：模糊c h o q u e t 可积函数空间的若干性质。在模糊c h o q u e t 可积函数构成的函数空间上：m ) 的基础上，给出了p q 1 ) 次模糊c h o q u e t 可积函数空间岛的定义，进一步在岛上定义拟范数l ，并且证 明了( l p ，川i ，) 构成一个拟赋范空间。最后，我们讨论了空间( b ，i ，) 的完备性，证明了(岛，i，)是一个完备的拟赋范空间。第二部分：集值模糊测度的模糊积分。我们首先给出了取值于 ( 鲜) 的集值模糊测度的定义，并研究了它的零可加( 减) ，上( r ) 自连续以及一致自连续等性质。同时，引入可测函数序列依集值模糊 测度收敛( 基本) 和伪依集值模糊测度收敛( 基本) 等概念，并讨论 了它们的一些性质；其次，利用集值模糊测度的测度选择定义了非负 实值可测函数关于集值模糊测度的模糊积分，并讨论了其积分性质，获得了其积分收敛定理。最后一部分：首先讨论了可测集值映射的模糊c h o q u e t 积分的广 义性质，当把这种积分整体看成集函数时，我们证明了它是一个集值 模糊测度。最后，讨论了由广义模糊值c h o q u e t 积分诱导的集函数关于原模糊测度的遗传性( p g p 性和( s ) 性) 关键词：模糊测度；模糊积分；集值模糊测度；可测集值映射；集值模糊c h o q u e t 积分；广义模糊值c h o q u e t 积分 t h es p a c eo ff u z z yc h q u e ti n t e g r a b l ef u n c t i o n sa n d s e t v a l u e df u z z yi n t e g r a l a b s t r a c t 7 r h ep a p e rh a st h r e ep a n s t h e 行r s tp a r ti sa b o u ts o m ec h a r a c t e d s t i c so fm es p a c eo ff u z z yc h o q u e t i n t e g r a b l ef u b c t i o n s 0 nt h eb a s i so ft h es p a c ew h j c hi sc o n s t r u c t e db yt h ef u z z y c h o q u e ti n t e g f a b l ea 1 1 dm e a s u r a b l en o n e g a t i v ef u n c t i 咖s ，w eg i v et l l ed e f i n i t i o no f m ef u n c t i o ns p a c e0 21 ) ，m e n ，w ed e f i n em ep s e u d o - n o 唧0 po n0a n d p r o v em a t ( p ，l p ) i sap s e u d o n o m e ds p a c e ，a c 幽el a s tp a r to f 出i sc h a p t e r w e s t u d yt h ec o m p l e t c m e s so f l ef u n c t i o ns p a c e ( 0 ， 岫a i l dp r o v em a t ( 岛，” i sac o m p l e t ep s e u d o _ n o m l e ds p a c e 1 1 l es e c e n dp a r ti sa b o u tm ef u z z yi n t e g r a lw i t hr e s p e c tt os e t - v a l u e df u 2 z y m e a s u r e f i r s t l 弘w eg i v et h ed e 疗n l t i o no fs e t v a l u e df u z z ym e a s u r ew h o s ev a 】u e 小 f i e l di s 中o ( r ? ) a n ds t u d ys o m ec h 锄c t e r i s t i c so fi t ，i n c l u d i n gn u u a d d i t i v e ( s u b ) ， a u t o c o n t i n u o u sf 而ma b o v e ( b e l o w ) a n du n i f b r n l - a u t o c o n t i n u o u se t c s e c o n d l y w e i n f r o d u c et 1 1 en o t i o no f ( p s e u d o 一) c o n y e 唱e n c ei ns e 卜v a l u e df u z z yn l e a s u r eo ft h e m e a s u r a b l ef u n c t i 咖s e q u e n c e sa n dd i s c u s ss o m e p f o p e r t i e so fi t n i r m y w ed e f i n em ef u z z yi n t e g r a lw i m r e s p e c tt os e t v a l u e df u z z ym e a s u r eb yt h ec h o i c e so f i ta n dg a i n 也ec o n v e 曙c n c em e o r yo ft 1 1 j sb n do ff u z z yi n t e g r a l i n m e l a s t p a r t w e f i r s t d i s c u s s a b o u ts o i n e g e n 凹a l i z e d p r o p e r t i e s o f 出e f u z z y c h o q u e ti n t e g r a lo fm e a s u r a _ b l es e t _ v a l u e df u c 矗o n s ，w h e nw er e g 盯dm ew h 0 1 e i n t e 铲a la sa s e tf 碱o n ，w ep r o v em a ti ti sas e t v a l u e df i l z z ym e a s u r e i nm e e n d ，w es t u d ym ei i l l l e r i t e dc h a r a c t 耐s t i c s ( p 晷p 蚰d ( s ) ) o f l es e tf u n c t i o nw h i c h i sd e f i n e d b yt l l eg e n e r a l i z e df l l z z y 一1 u e dc h o q u e ti n t e 嚣r a l s k e yw o r d s ：f u z z ym e a s u r e ；f u z z yi n t e g r 扯s e t v a l u e df u z z ym e a s u r e ；m e a s u r a b l es e t _ v a l u e dm a p p i n g ：s e t v a l u c df u z z yc h o q u e t i n t 昭f a l s ；g e n e r a l i z e df i l z z y v a l u e dc h o q u e ti n t e g r a l s 1 引言 1 9 7 4 年，日本学者s u g e n o 【4 在他的博士论文中首次提出了用比较弱的单调性和连续性 来代替可加性的一类集函数，称之为模糊测度，并相应的定义了可测函数关于模糊测度的 积分s u g e n o 最早把模糊积分应用于主观评判过程，取得了较好的效果r a l e s c u 【目率先 把模糊测度和模糊积分的值域推广到整个的正半轴，并且利用简单函数重新定义了模糊积 分，证明了它与s u g e n o 模糊积分的等价性，同时给出了模糊积分转化定理为了讨论模糊 积分收敛定理，r a l e s c u 给模糊测度附加了一个“次可加性”的条件，而“次可加”无疑是太 强了为了进一步探讨模糊积分的收敛理论，王震源例于1 9 8 4 年引入了一个重要的概念一 一集函数的自连续，把它加于模糊测度上。便可得到各种有效的积分收敛定理与此相关， 后来王震源又引入了“伪自连续”，“一致自连续”，4 零可如，伪零可加”等概念，利用这 些概念，他讨论了模糊测度空间上函数列的收敛问题，把经典测度论中著名的k b c s g u e 定 理，r j e s z 定理，以及e g o m f f 定理等推广到模糊浏度，并指出了经典测度论中这些定理对 测度的可加性的依赖不是本质的【8 l ” 容度理论是法国数学家c h o q u e t 于1 9 5 3 年首次提出的，所谓容度是一个集函数，满足 单调性和连续性针对容度c h o q u e t 又定义了一种积分，现已被普遍称为c h o q u e t 积分因 为模糊测度与容度有相似之处，且c h o q u e t 积分也具有单调性，因而也可以把关于模糊测度 的c h o q u e t 积分看作一种模糊积分当模糊测度具有一般的可加性时，c h o q u e t 积分就蜕化 为l e b e s g u e 积分，因而c h o q u e t 积分是k b e s g u e 积分的推广m u r o f u s l i 与s u g e n o 1 9 8 9 年最早把c h o q u e t 积分与模糊测度联系起来研究，这在他们以后系列工作【”- 3 7 1 中得以进一 步深化和发展 1 9 6 5 年，经济学家兼数学家a u m a i l i i 【1 q 在经济学问题的启发下，以可测集值映射的单值 l e b e s g u e 可积选择定义了形空间中集值映射的积分1 9 7 0 年，d a 墩。哪! 首先将a u m 鼬l 在 彤中的结果推广到了b a l l a c h 空间，h a i 给出了可积有界集值映射的积分表示等结果随着 集值映射积分理论的发展，与之相关的集值测度理论也被相应地建立起来，如a n s t e i n 【”】， p a p a g e 0 蜡i o u ，张文修【1 8 】，薛小平等人的工作所谓集值测度是具有可列可加性的集值集 函数，它以单值向量值测度为特款伴随着模糊测度与模糊积分理论的产生和发展，自然我 们可以考虑建立集值函数的模糊积分我们把集值函数的取值限定在【o + o 。) 的幂集上，从 而可以仿照a l l l n n 积分的定义，仍然利用单值可测选择的模糊积分来定义集值函数的模 糊积分与集值测度相对照，箭否建立不可加的集值模糊测度? 本文4 中尝试给出了取值 于铴( 魑) 的集值模糊浏度的定义，并利用潞度选择定义了非负实值可测函数关于集值模糊 测度的模糊积分 模糊数的概念出现以后，人们自然地考虑基于模糊数的测度与积分问题对于取值于一 2 预备知识 本节给出本文将要用到的预备知识首先给出模糊测度的定义 设x 是一给定的经典集合，是x 上若干子集构成的，一代数，( x ，) 代表给定的任 一可测空间 定义2 ，1 设( 墨) 是一可测空间，上的一个非负实值集函数弘：一【o ，+ o 。】如 果满足如下条件： l m ( 中) = o ； 2 ) 若a ，丑，a = 辛p ( a ) s p ( b ) ： 3 ) 若a 。c ，a lc a 2c c a 。c 一，n = 1 ，2 ，一，= 辛( u ：i a 。) = f f 1 p ( a 。) ； 4 ) 若a 。c ，a 1 ) a 2 ) ) a 。3 ，n = 1 ，2 ，且孤o 使得掣( a 珈) o ， 存在6 = 6 ( 审 o ，使得对一切满足 n 丑= 中( 分别地，口c a ) ，p ( 印6 的a ，曰，有 p ( a u b ) p ( a ) + d 分别地，一( a ) 一兰p ( a 一国) p 称为一致自连续的，若它既是一致上自 连续的，又是一致下自连续的 定义2 5 集函数卢称为伪零可加的，若v _ a 影be a n ，c a n 且口( a 占) = ( a ) = = 号卢( 口u c ) = ( c ) 定义2 6 【1 1 集函数乒称为伪上自连续( 分别地，伪下自连续) 的，若v ae ，v bc a n ，v c a n 。有p ( 见) 一_ u ( a ) = j 卢( ( a 一最) uc ) _ “( c ) ( 分别地，f 慨nc ) 一p ( c ) ) p 称为伪自连续的，若它既是伪上自连续的，又是伪下自连续的 3 定义2 7 集函数p 称为伪一致自连续的，若v s o ，j d = 武e ) o ，v a ，b a n ，c a n ，且p ( a ) 蔓”( b ) + 占，均有p ( c u ( a u 口) ) p ( c ) + s 定义2 8 【l l 集函数p 称为具有( s ) 性汾别地，伪( s ) 性) ，如果v ( 最 c ，( e 。) 一0 ， 则了 磊 的子列 e 。1 ，使得p ( n 嚣1 嚯t e 。) = o ( 分别地，卢( x n 器iu 茎k 邑) = _ u ( 却) 定义2 9 i i j 集函数卢称为双零可加的，若v e ，f ，p ( e ) = p ( f ) = o ，则有一伍u f ) = o 定义2 1 0 1 1 】集函数称为双零渐进可加的，如果v f a 。 ，( 曰。 c ，p 似。) 0 ，i ( 既) 一 o = 等卢( a n u 正k ) _ o 一，_ o 。) 定义2 1 1 川集函数p 称为具有p 罾p 性，若对v s 0 ，存在d o ，使得v e ，且 弘( e ) v p ( f ) 占，均有掣( e u f ) e 下面给出模糊c h o q u e t 积分的定义及其基本性质 定义2 1 2 踟设( x ，p ) 是模糊泓囊空间，非负实值可测函数，：x 一【o ，+ o o 】，a ， 规定 rf 计 ( of 仲= j卢魄n a ) d a j j 0 则称( c 1 正，咖为，在a 上关于卢的模糊c h o q u c t 积分，简称c h o q u e t 积分 这里五= 缸x i ，( 曲n l ，v 口【o ，+ o 。】，若还满足( c ) l 二坤 + o 。，则称，在a 上关于p 是模糊c h o q u e t 可积的，简称，在 上是c 一可积的其中e 等式右端是在l e b e s g u e 意义下的 积分，特别地，当 = x 时，简记( c ) 上，和为( c ) ，和，若( c ) j 坤= ( c ) 上坤 0 ， 不妨设( ( xj ，( 曲m 1 ) = r 0 o ，则v a 【o ，删，因为 五= xj ，a ) ) z l ，( 曲肘) = 知 由模糊测度弘的单调性，我们有 ( 丘) p ( 加) 再由l e b e s g u e 积分的单调性，即得 l 峨铀d m 2 li i u d a = r 啦u = m 札 上不等式两端同时取极限，令肘- + 。，则有 ，、m 拦熙j o 卢( 五) 如攫乳r o 肘2 + o 。 也即 峋证晒p 峭mj 0 j 这与可积性是矛盾的因此，假设不成立，即 f o ，j f 乒( 工i ，( 曲肘1 ) = o 充分性若了l f o ，s f “( x i ，m 1 ) = o ，则 ( c ) ，脚= j 。删纳捌m = r 础x l 脚捌灿”贴l k 砖列j 0村 = f 乒( f z i ，( z ) a ) 蜘 p m = j卢( 名) d 岱 ( 1 ) 5 则v m o ，( 引，( 曲肘 ) = p ( e ) = o ，且p ( “i g ( z ) m ) ) = p ( f ) = o ，显然，ge 雎啦) 但由f ( 缸| ，( z ) + g ( 曲= + 叫) = p ( e u f ) o ，我们有， v | i l 彳 o ，p ( 协j ，( 曲+ 占( 曲m 1 ) 艇 工l “柏+ 占( 曲= + o o ) ) o 由引理3 1 1 知，+ gel ：0 ) ，这与雎0 ) 为凸锥矛盾因此假设不成立，即弘为双零可加 的证毕 推论3 1 1 若p 为零可加的，则堪0 ) 为凸锥 证明：因为零可加性蕴含双零可加性，显然 3 2l 1 “) 空间 在本节，我们考虑，：x _ 卜一，+ 。0 】，可测，即，为定义在可测空间( x ，) 上的任意 实值可测函数首先，- 厂的模糊c h o q u c t 积分定义如下： 定义3 2 1 设( x ，p ) 是模糊测度空间，实值可测函数，：x 一卜o 。，+ o 。1 ，a ，规定 ( c ) 上仲= ( c ) j = 厂咖一( c ) = 厂咖 ( 36 2 1 ) 这里，+ ，厂分别是，的正部和负部，即，+ = ，v o ，厂= 一【厂 o ) ，( c ) j j r 和和( c ) 工厂中尾 定义2 1 2 意义下的c 一模糊积分，则称( a j 。月“为，在 上关于p 的s i p 5 s 型模糊c h o q u e t 积分，简称模糊c h o q u e t 积分当a = x 时，在a 上的模糊c h o q u e t 积分也简记为( c ) r ，咖 这里我们约定，当( 3 2 1 ) 式右侧有m 出现时，。o 一口= o o ，一m = 一o 。，o o o o = 0 实值可测函数的模糊c h o q u e t 积分具有如下性质i 命题3 2 1 ，卢) 为模糊测度空间，：x 一卜o o ，+ 叫，厂可测，蛆，则 l 加似) = o ，那么( c ) f 。如妇= o 2 ) ，l 蔓五，尉( c ) 五舡s ( c ) 正正舡 3 ) ( c ) 止脚= ( c ) 。j ，托印，其中心为a 的特征函数 4 ) ( a l 嘶= p ( a ) ，口为常数 5 ) 若女o ，贝4 ( c ) j 二t ，咖= 七( c ) 正，础 证明； 1 ) ，2 ) ，3 ) ，4 ) 直接验证即可，证明5 ) 时只要注意到当t o 时，有( t ，) + = 女，+ ，( t 力一= 广，则易证 命题3 2 2 设 ，正为实值可测函数， e ，则只要 = 正是口z 成立的，就有 ( c ) 五 咖= ( c ) 正正咖的充要条件是弘为零可加的 7 同理，由f x l 厂( j ) 如 c j i ，一( j ) 如1 ，有 p ( 恤l ，一( j ) m o ) 掣( xj 厂( d 肘2 ) ) = o 所以p ( x i ，+ ( 曲 如 ) = p ( 协 ，- ( j ) 梳1 ) = o ，由的双零可加性，有 ( ( 工i ，+ ( 曲 如) u f x i ，一( 曲j ) = o 又由于在x 上有1 ，l - ，+ + 厂，我们取j l f = 2 m 。，则 ( x l | ，i ( 曲肼) = x l i 门( 曲2 而) = b l ，+ ( 曲+ ，1 曲2 如 c i ，+ ( 曲 u x i 广( x ) ) 所以 p ( i ，m ) 卢( 【z l 厂( 曲蛳 u 川广( 对慨) ) = o 所以了肘 0 ，s ，f 掣( 扛i i 州曲肘1 ) = 0 必要性碍证 充_ 分性若j m o ，s ，掣( 协 i ，i ( 曲加) = o ，考虑到在x 上，+ 旷i 且广i ，i 所以 工l ，+ ( 曲蛐c 工| | ，i ( 曲 ，】， f z i 厂( z ) f lc l x i i ，l ( 曲 f ) 由模糊测度的单调性，我们有 p ( 恤f ，+ ( 曲m ) ) p ( x il 厂i ( 曲m ) ) = 0 ， 卢( 协| 厂( 曲m ) p ( 扛i 旷i ( 曲肘】) = o 即 肘 o ，s f p ( h l ，+ ( 曲m ) = 弘( h l ，- ( 柏m 1 ) = o ，由引理3 1 1 知，( c ) r ，+ 缸 + 。o ， 且( c 1j 广咖 + o 。，即 ( c ) f ，+ 咖v ( c ) f 广咖 + 一 jj 所以，是模糊c h o q u e t 可积的，即，m ) 充分性得证 推论3 2 1p 为双零可加模糊测度，为实值可测函数，则，e 工1 m ) 的充要条件是 l ，l 口0 0 证明；由弓f 理3 1 1 和引理3 2 1 易证 定理3 2 1 1 ( i o 为实数域冠上的线性空间车= 为双零可加的模糊测度 证明z 充分性若p 为双零可加的模糊测度，只需证明下面两点即可； v 工g 工1 ( p ) ，则，+ 暑l 1 ( ) v ，工1 啦) ，v 足则口，e l l 下面证髓 v ， g l 1 ，由推论3 2 1 有i 门l ：姐) ，吲雎m ) ，又p 为双零可加的， 9 对( 3 ) 式右侧第二项 蟛一，。m2 ( c ) j 馏一，。m2 上肌一且) u 岛) n ( j 搿一尸j 酬d 。 ，叶 = i 。 “【( x 一毋j n n 瑷一，o i d ) ) u ( b ，n ( 1 璎一尸l a ) ) 】d 口 j o 。 r ”p ( 一鳓删一门硼d a 十r 。p n ( | 搿一产i 呦如 = ( c ) f皑一，。协+ ( c ) 瑶一，1 和 j x 一巩j 歌 由于在x 一历上，i 盛一) i 南恒成立，且p ( 占。) 2 时，有 舞一，。1 1 1 1 ) 收敛 证明t 我们只证。茸，反之类似可证 因为惦l 基本 m l 】收敛，所以吗。r ”卢( i 厶一矗i 口口= o 又五，厶工l ，厶为线性 空间，所以五一厶工l 妇，me ，对任一对确定的n ，m e ，由引理3 2 1 ，知 肘 0 ， 使得乒( 忸i l 五一，m i 肼j ) = 0 ，所以 j ：+ ”圳 叫如= “阮一厶i 如+ j ：( | 厶一矗i 口) 如 ，叶 卢( i 二一厶i d a ， 1 5 r f 4 集值模糊测度的模糊积分 4 1 集值模糊测度的概念和基本性质 本节中，假定r 是全体实数，x 是任一非空集。为x 上的一个，一代数 艘= 协：= ( 柏，耽，) ，x ，o ，扛l ，2 ，) 设m o ( r ? ) 表示即中全体非空子集构成的 集类对v a ，b 中o ( r ? ) ，定义啤? ) 中的运算： + b = 口+ 纠a ，占日 ，其中= ( d l ，口2 ，一，n 。) ，6 = t 6 i ，6 2 ，一，扫。) ， 以+ 6 = ( 4 l + 6 1 ，d 2 + 6 2 ，d m + z h ) ， 口+ a = 口+ 日k ) ，口r ? c a = c n 1 a 1 ，c r + ，c = ( c 口1 ，c n 2 ，一，c m ) 规定d 6 铺嘶n ，f _ l ，2 ，m ，且o = ( o ，o ，一，o ) 定义4 1 1 ：设a ，口m o ( 联 x ( 2 m b ，丌( a ) o ，存在6 = 6 e 孵，悯| o ，使得对于任 何 ，占，瓜研0 占，有，r ( a u 功 o ，使得列于任何 ，占| 】丌( 8 ) j | 占时，有丌( a 功_ 丌( a ) + s 且丌( a ) _ ( 丌似b ) + s 注：对于命题4 1 2 至命题4 1 7 的证明与实值模糊测度的相关证明是类似的，我们下面 只给出命题4 】7 的证明其它命题的证明过程从略 证明：( 1 ) = j ( 2 ) 显然 ( 2 ) = 哥( 3 ) 因为a = 毋) u n a ) 且亓c 8 n ) 丌) 所以i | 丌( 口n a ) j | 丌( 丑) d ，再由 丌是一致上自连续的知丌( a ) = 月( ( a 肋u n a ) j ( 丌【a b ) + s ，即7 r 是一致下自连续的 ( 3 ) ：= = ( 4 ) 因为a b = ( a u 口) n b ) 且丌( b n a ) 丌( 口) 所以i m 丑n a ) i i i 叭b ) i i d 。再 由丌是一致下自连续的知丌( a ) ( a u 曰) ，( ( a u 占) 佃n a ) ) + e = 丌( a 丑) + s 另一方面，因为a b = ( a b ) ( b a ) 且( b a ) ( b ) 所以i l 烈b a ) l ls 慨_ b ) l i 妄6 ，再 由丌是一致下自连续的知丌( a 四 “( a 曰) 佃a ) ) + s = ( a 口) 十s f ( a ) + s ( 4 ) = ( 1 ) 因为a 、口= a ( a n 动且”( a n 助 ( 动所以l i ”( a n 驯l 茎l 防( 酬l 兰6 ，再由( 4 ) 知，r ( a ) 丌( a n 曰) ) + s = 玎( a 丑) + s ，所以”是一致下自连续的 另一方面，因为a u b = a ( 口a ) 且丌( 丑a ) _ 0 ，有 l i 一+ 。，r ( a n z ；i 二一， x : 的，如果对于每一个s 0 ，有l i m 。，r ( an x ；l 五( x ) 一厶( 删 o ，我们有 五i 五( 曲一厶i ) c z ；i ( 曲一，( 删；) u j ：l 厶( 曲一，( 删；】 所以 玎( x ；i ( 曲一厶( 柚i s 】) ( 丌( 忸；i ( 对一“曲l ；1 u el 厶( 曲一，( 砷l 等1 ) 因为协 依集值模糊测度丌收敛于，所以有 1 j m 州( 墨i ( 曲一，( 曲l 导1 ) = 1 i m ( ( x ；i 厶( 曲一，( 曲l ；) ) = l o 又f 为双零渐近可加的，所以 l i m 月( ( j ；i ( 曲一，( 曲i ； u i 葺l 厶( 曲一且j ) i ； ) = ( o 一 从而l i ，。( ( j ；惦“) 一厶( 训s ) ) = f o ) ，即f 五l 是依集值模糊测度基本的 ( 2 ) 因为对于任意 o ，我们有 ( 工；l 厂( 曲一g o 喇占1c f 薯i ( 而一m ) l ； u 五i 五( 曲一g ( 工) i 鼍1 所以 丌( f z ；i ，( 曲一g ( 曲l d ) 0 1 ) = 烈u 甚1 ( x ；扩( 柚一g ( 曲i 云 ) 1 = l i m 缸( j ；| ，( 曲一g i 二 ) = o 】 ，l 2 0 又a n 幔) 。c a n ( ，1 ) 。u ( 工；，l ( 曲五( 工) ) 】= n 昕) 。) u ( a n k ，l ( 工) 正( ) ) ) ，所以 j ( a nl ) 。) z ( ( a n u i ) 。) u 似n f x ； ( ) 正( j ) ) ) = 7 ( a n ) 。) ( 4 2 2 ) 结合不等式( 4 ，2 1 ) 和( 4 ，2 1 ) ，即得口( an 坼k ) = 矗( an ( 丘) 。) v 五s 伍) ，贝4 有 。胁j = 上正d ，v e s 即 咖= 上正咖 推论4 2 1 ：设( x ，丌) 为集值模糊测度空问，v a ，口e ，且”) = i o l ，v 7 s 都是零可加的，则对任意非负可测函数，我们有 ( 1 ) j 。口，打2j 胁； 3 n f 幽= k f 如 证明：由定理4 2 2 立即可得 定义4 2 4 ：设( x ，玎) 为集值模糊测度空间，a ， 厶l 为非负可测函数序列， 为非负可测函数，称五在a 上丌_ 平均收敛于，如果1 i 鹏一厶i 厶一，脚。= o 成立 定理4 2 3 ： 在a 上一平均收敛于，的充要条件是对v 5 ( 丌) ，都有 在 上依 模糊测度7 收敛于， 证明：必要性设j ；l 在a 上月一平均收敛于，采用反证法，若j 7 s ( 丌) 使得五 在a 上不依模糊测度7 收敛于，则 匈 o = ( 嘲，舐，； o j 一，) 哗， 函，( o ，邱) ，1 j m 及序列h 1 使得 口( a n j ；j 五；( j ) 一，i 岛1 ) 磊 因而有 p 舭n i 厶一，( j ) l 翻) 如，j = 1 ，2 ，m ( 4 2 3 ) 由 在a 上一平均收敛于，即1 i 一正l 五一，i 办= o l ，那么v z = 正忱一，i d 正i 一，l d 丌，v 口s ( 玎) 。有l i _ + 。z = l i 砜_ 。正i 五一，旧刁= o ，从而更有 熙嚣= 烧j = 嘛一，博= 。 所以对于上述s o 及磊，存在女 o ，当f 时，有工一月d 五 磊，即 魄一，l 咖， 1 时，有 峨簧l 矗； 1o m 脚 0 姻 一 审 协 朋 鼍、 卜 卜 小 厶 o o 夏 4 2 7 ：m ) 为非负可测函数序列，为非负可测函数，a ，如果五在 上收敛于 ，则l i n k - + 。正五咖存在，且诋一上五砌= 工 证 明；分另4 记靠= m p m 五和j ：= i n 如。五。则靠和矗也是非负可测函数，且圻 在 a上单调减小且收敛于，在a上单调增加且收敛于，因此对v墨es(丌)，我们都有 上 矗矗言f 彬工d j o 一， 一脚f = 结合( 5 1 1 ) 和( 5 1 2 ) 式，故有( 1 ) 式成立应用类似的方法，同理可怔得( 2 ) 式也成立。定 理证毕 引理5 1 1 ：设数集a ，占、王，( 尺+ ) 一睁l ，则有( 1 ) 若a _ c ，b c = j a u 口 c ；( 2 ) 若 a c b c ja c 证明：即命题4 1 1 ( 3 ) 当m = 1 时的情况 引理5 1 2 【4 j ：设( x ，m 是非连续模糊测度空间，a ，嚣且ac 口，可测集值映射 ，分别在a ，占上是模糊c h o q u e 可积的，则有( o 正，扯 ( c ) 厶凡牡 定理5 1 3 ：设( x ，) 是非连续模糊测度空间，可测集值映射，分别是a ，口上模 糊c h o q u e t 可积的，则有( 1 ) ( c ) 正，咖u ( c ) 正，咖 ( c ) 正。口f 审；( 2 ) 若p 满足次可加 性，则有( c ) 正。口f 中 ( c ) 正，咖+ ( c ) 正f 中 证明：对于( 1 ) ，显有ac a u b ，曰c a u b ，由引理5 1 2 ，必有 ( c ) j = f 船t ( c ) l 。f 审，( o j = f 妞。 c ) j = 。脚， 再由引理5 1 1 ( 1 ) ，必有( c ) 正，中u ( c ) 厶凡啦 ( c ) 上。口脚成立 关于( 2 ) ，对v 抽( c ) 正。口凡扯，必存在au 曰上f 的可积选择，s ( d ( 即满足 “曲f ( 曲口e 于a u 占) ，并使得知= ( o 正。8 坤= r ”“魄n ( a u 8 ) ) d 口 + o 。，由于掣 满足次可加性，故有 = jp ( ( 矗n ) u ( 五n b ) ) d a sfp ( 五n a ) d 扛+ f 一( 丘n b ) d 口 + o 。， 令y o = r 。弘魄n a ) 妇，z 0 = r ”f n 嚣) 如，则显有抽蔓如+ z o = 撕，且 ( c ) 止f 础+ ( c ) 厶，咖 另一方面，v 曲( c ) 正，础+ ( c ) 正f 咖，必存在a 上可积选择，e5 ( f ) 和曰上可积选 择g s ( f ) ，使得u o = 如+ z 0 ，其中如= 厂卢魄n a ) 如，如= r ”p ( 如n 两出令 a = ， g 。显然，矗也是au 丑上f 的可积选择，即 s ( f ) ，且对￥口【o + ) ，有 k = 五n 如丘且靠又因p 是次可加的，故 咖：f ”p 魄n a ) 如+ ”p n 曰) d 口 j 0j 0 ，计r + j 0 “k n a m + j 0 砌口n 固如 r ”肿舢 令知= f ”肿。n ( a u 四) 出，则有咖勘，且劫( o 上。8 ，妇，因此，按定义( 4 1 i ) ， 必有( c ) 正。脚_ o ，正5 。( f ) ， 9 2 雕，使得 i ( c ) ，五和一( c ) ，g ：中i 即 即对上述 es 。( f ) ，了踟e k + ，n = 1 ，2 ，- 一，使得 i ( c ) j 五牵一( c ) j r 岛劫 e ，- - z = l ，2 ， 这样，我们就得到了函数列) ，函，n = l ，2 ，连续令g ( 曲圭 g n ( 曲in = l ，2 ，1 ，h x 则g 为集值映射，骱s 。( 6 ) ，且 又因为 ( c ) ，g 如= ( c ) ，岛咖i 一= 1 2 d t k ll 脚l g = 旧i 嚣1p q 1 s l ( c ) ，矗却一( c ) ，g 。和1 s 成立，所以下面我织只要说职g 力为下半连续的即可 事实上，对搬e x ，x 中的一个网，”d ) 收敛于x ，对w g ( 功= i g n ( 曲i n2l ，2 ，l ， 不妨设y ：g j ( 曲，f ，对咐= g i 的邻域y ，由目的连续性，存在j 的邻域u ，使得 毋( 亡k f ( 5 2 1 ) 又因为网 粕，l d ) 收敛于x ，所以对上述x 的邻域u ，孤e d ，使得对e d ，m 时都有【，由( 5 2 1 ) 式，有g i ( ) g i ( c ，) c y 。f ，记皇毋) ，f ，m n ， 刚y 。e y ，m n ，邵对v y 的邻域y 。3 ne d ，使得对v m d ，m ， 时，都有y ， 即网帆：g ，) ，n d 收敛于y 。且显然有甄g ) ，从而g 为下半连续的定理证毕 引理5 3 1 ：设孙：【o ，+ o o ) 一 o ，+ o 。) ( h = l ，2 ，3 ，) 是一可积函数序列若 l i f 。舶( 曲d z = o 且对任一固定自然数n ，任意x 【o ，+ o 。) ，岛( d 关于x 是单调递减 函数，那么对机 o ，+ o o ) ，都有1 i m 岛( 柚= o 引理5 2 1 ：设且：一【0 + o o 是一个单调集函数，且p ( m ) = 0 ，是可测空间( x ，) 上非负可测函数， 设( c ) 正脾= 互“卢( ，f n a 冲，其中e = “j ，( 曲外 若( c ) f 。坤 o ，存在实数和扫满足o n o ，l i 呱一卢似。n ( 臂) ，) = o 因此，对扛 ，有l i m 。- + p ( a 。n ( j 譬) ) = o ，由掣的( s ) 性，存在1 的子序列似黝，使得 卢( 1 i m s u p a ：nu ，) ) = o 。 成立，又l i i n “。乒( a 譬n o 了) 士) = o ，因此，存在( a ： 的子序列( a 鄹，使得 则翌掣a 5 ： ) n 蝣) 古) = o。 成立，重复上述过程，我们得到l 的子序列( a 妒 r ，m = 1 ，2 ，满足 a 譬k ) ( a 1 h 让= l ，2 ，) ，且使得 舢罂攀a 掌n 昕) 士) = o 成立，记a 。= a 等，我们得到( a 。) 的一个新的子序列( a 。) 下面我们证明对任意f o ， 都有p ( 1 i m s u n r 。a mn ( 疗) ，) = 0 成立 事实上。对任意给定的f o ，存在蛳，使得六 0 ，我们有 os 卢( 1 i 1 p8 u p a mn ( 片i ) s p ( 1 i l p 3 u p a 2n ( 疗) ，岳) = o 一 又v f o ，有0 ：) ，c o 譬) r ，所以对上述l a m l ，都有a m n 【疗) r c a m n 0 彳) r ，从而 则有 从而 因此 l l ms u p 嘶n 【疗) rc l i 毋8 u p a 川n ( 片) r m ( 1 i l p8 u p ，n ( 疗)