（基础数学专业论文）Γ半群的夹心集及其应用.pdf

r 一半群的夹心集及其应用 基础数学专业 研究生李庆 指导教师喻秉钧( 博士教授) 论文摘要：本文中，我们将半群的夹心集概念推广到r 半群上研究了它的基本 性质和一些应用全文分为三章：第一章讨论r 一半群的基本性质，如广义结合律 和相关半群由于r 一半群是一般半群的真推广，方面，它具有一般半群的相似 甚至相同的性质，如g l e e n 关系及相应的g r s e n 目理，( 它们的具体表现形式与半 群中也有所不同) 另一方面，r 一半群也具有和一般半群不同的性质如r 一半群 的含幂等元“一类可以包含多个幂等元我们知道，夹心集是印度数学家k s s n a m b o o r i p a d 在g , l r 正则双序集理论时引入的一个基本概念，在研究正则半群的 性质和结构中有广泛的应用已有国内学者把夹心集概念推广到r 一半群的幂等元 上，我们在第章中将这个概念推广到r 一半群的任意元素上我们给出了r 一半 群中夹心集的基本性质和结构，我们不但得到了与般半群中夹心集相同的许多 性质，如夹心集与g r e e n 等价类的关系，夹心集在刻画乘积止则性和逆元素上的 作用以及对每个7 7 p ，一夹心集岛( g ，b ) 也是矩形带等，且用例子正明了夹心 集s ( a ，b ) 一般不再是矩形带我们在第三章给出夹心集的两个应用首先我们给出 正则r 一半群的g r e e n 关系h 是同余的充要条件：其次，我们将正则半群的自然偏序 推广到正则r 一半群上，并证明了正9 l l l f - 半群上s 的自然偏序与乘法相容的充要条 件是s 为局部逆r 一半群这是1 9 1 中相关结论向r 一半群的推广 关键词：r 一半群夹心集格林关系偏序 第i 页 t h es a n d w i c hs e ta n di t sa p p l i c a t i o no n f s e m i g r o u p e s s e n t i a lm a t h e m a t i c s w r i t e r ：l iq i n g s u p e r v i s o r ：y ub i n g j u n a b s t r a c t ：i nt h i st h e s i s ，w eg e n e r a l i z et h ec o n c e p to fs a n d w i c hs e to n s e m i g r o u p t oi s e m i g r o u ps t h ea i l no ft h et h e s i si st os t u d yt h ep r o p e r t i e sa n di t s a p p l i c a t i o no fs a n d w i c hs e to nr s e m i g r o u ps t h et h e s i sh a st h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eb a s i cd e f i n i t i o n sa n ds o m ep r o p e r t i e so fr s e m i g r o u psa r e g i v e n f o re x a m p l e ，t h el e n n n ao fg e n e r a l i z e da s s o c i a t i v i t y ，t h ep r o p e r t i e so f l i n k e ds e m i g r o u pa n ds o m ep r o p e r t i e sp a r a l l e lt ot h o s eo b t m n e di ns e m i g r o u p t h e o r y a st h ep a r t i c u l a r i t yo fr s e m i g r o u ps o n es i d ei 、一s e m i g r o u ph a v e s o m ep r o p e r t i e sa n a l o g o u sw i t ht h e mo ns e m i g r o u p f o re x a m p l e t h eg r e e n s e q u i v a l e n c ea n dt h el e m m ao fg t e e n st h e o r e m ( t h e ya r ed i t i e r e n tw i t ht h e m o ns e m i g r o u pi nf o r mt o o1 o nt h eo t h e rh a n d t h e r e & r es o m e p r o p e r t i e sc a n t b eo b t a i n e dp a r a l l e lt ot h o s ei ns e m i g r o u pt h e o r y f o re x a m p l e ，t h e7 - c l a s s e so f r s e m i g r o u pc a nc o n t a i nn o to n l yo n ei d e m p o t e n t a sw ek n o w t h es a n d w i c h s e ti si n t r o d u c e dt os t u d yr e g u l a rb i o r d e rs e tb yi n d i a nm a t h e m a t i c i a nk s s n a m b o o r i p a d i th a si m p o r t a n tv a l u et os t u d yr e g u l a rs e m i g r o u p i ti s u s e dw i d e l y s c h o l a r sh a da l r e a d yg e n e r a l i z et h ec o n c e p to fs a n d w i c hs e to n i d e m p o t e n to ff s e m i g r o u p i nc h a p t e r2 t h ec o n c e p to fs a n d w i c hs e to nf s e m i g r o u pa s eg e n e r a l i z e dt oa r b i t r a r ye l e m e n t so fr s e m i g r o u p w eg i v et h e p r o p e r t i e sa n dt h es t r u c t u r eo fs a n d w i c hs e to nr s e r e 垃r o u p t h er e l a t i o n b e t w e e ns a n d w i c hs e ta n dt h eg r e e n se q u i v a l e n tc l a s s e so fr s e m i g r o u pa l e d i s c u s s e d ，eu s et h es a n d w i c hs e tt os t u d yt h er e l a t i o n so ft h ei n v e r s eo f ap r o d u c tbw i t ht h ei n v e r s eo fap r o d u c tt h ei n v e r s eo fbt o o f 0 ra r b i t r a r y 7 7 r ，品a ，b ) i sar e c t a n g u l a rb a n d ，b u tw ew i l lu s ee x a m p l et op r o v es ( a ，b ) n o tar e c t a n g u l a rb a n d i nc h a p t e r3 ，a st h eu s eo fs a n d w i c h ，w eo b t a i na n e c e s s a r ya n ds u m c i e n tc o n d i t i o nf o rt h eg r e e n se q u i v a l e n c e7 - to fr e g u l a rr s e m i g r o u pst ob eac o n g r u e n c e i ns e c t i o n2o fc h a p t e r3 ，w eg e n e r a l i z et h e c o n c e p to fn a t u r a lp a r t i a lo r d e ro nr e g u l a rs e m i g r o u pt or e g u l a rr s e m i g r o u p s f i n a l l y , w ew i l lp r o v et h es u m c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no fn a t u r a lp a r t i a lo r d e rc o m p a t i b l ew i t ht h em u l t i p l i c a t i o ni sr s e m i g r o u psi sl o c a l l yi n v e r s e k e y w o r d s ： f - s e m i g r o u p ，s a n d w i c hs e t ，g r e e n se q u i v a l e n c e ，n a t u r a l p a r t i a lo r d e r 引言 f 一半群由印度数学家m k s e n 和m k s a h a 于1 9 8 6 年引入在经过多年 研究后，r 一半群理论得到相当完善1 1 一半群是一般半群的真推广并且有着很 多和半群相平行的概念对应于正则半群单半群纯正半群逆半群，r 一一 半群有正则一半群单r 一半群纯正r 一半群逆r 半群r 一半群中也有正 则元逆元的概念半群中的重要工具g r e e n 关系也在r 一半群中找到了类似 物，1 9 8 7 年t k d u t t a v 定义了r 半群中的格林关系 在一系列基础概念提出后，学者们把半群中的很多性质推广到了r 一半群 中t k d u t t a 和m k s a h a 研究了r 一半群g r e e n 关系的性质和口类的结构 a s e t h 证明了个r 一半群是完全o 单的充要条件是它同构于一个群上的含o 正 贝j j r e e s 矩阵r 一半群，从而解决了完全0 单r 一半群的结构在对r 一半群的结构 研究方面，盛德成赵宪钟还给出了带r 一半群的一般结构，杨国为得到了完 全单r 一半群和有完全单r 一核的半群的结构定理在对r 一半群的同余研究方 面，m k s e n 给出了正则r 一半群及纯正r 一半群的最大幂等元分离同余的刻 画杨国为朱平研究了完全o s r 一半群的同余及同余格，并把正则半群上对 同余的刻画推广到了r 一正则半群上此外，赵宪钟提出了r 一纯正半群的概 念，证明了纯正r 一半群类和r 一纯正半群类是互不包含且交非空的他还对几类 特殊的r 一半群的相关半群作了研究，得到了很多漂亮的结论 总之，r 一半群仍是学者们的一个重点研究对象，其理论仍在不断的发展 和完善中作为半群概念的真推广，它既有着和半群相似的性质，又有着异于 半群的性质本文就是在此基础之上继续探究1 1 一半群的一些基本性质，并着 重讨论了r 一半群的夹心集的性质及应用1 1 一半群中夹心集的基本性质和结 构，既有和一般半群夹心集相似的一面，又有和一般半群夹心集不同的一面 对某个给定的? 7 ，夹心集品( o ，6 ) 是相关半群岛的子半群且是矩形带，但是夹心 集s ( a ，6 ) 却不是f 一矩形带在讨论正则r 一半群的偏序和夹心集及局部逆r 一半 群的关系时，结论虽与一般半群相似，但却需要克服由于r 半群的特殊性带 来的系列困难 第1 页 第一章预备知识 r 一半群是印度数学家m k s e n 和m k s a h a 于1 9 8 6 年引入的作为一个 代数系统，r 一半群是通常半群概念的真推广，因而既具有通常半群的性质，又 有许多异于通常半群的独特性质及结构迄今为止，国内外不少数学工作者已 经对r _ 半群代数理论的发展做了许多工作，但这个理论仍在不断的发展和完善 中本文的宗旨即是希望在这方面做一些多少有新意的工作我们在本章列出 需要的一些基本概念，性质和初步结论 1 1 定义，广义结合律，正则性和g r e e n - 等价关系 定义1 1 1f 1 设s r 是两个非空集，称s 为r 一半群，若存在映射s xfx s - - - - - 4s ，( a ，n ，b ) h n q 6 满足：v a ，b ，c s ，n ，卢f ，有( a o r b ) f l c = a a ( b p c ) 例1 1 1 【1 ( 1 ) 设s 是通常半群，f = o ) 为元集定义s f x s ，s 为扛，a ，彩一嬲髻一x y ，显然，这定义了个r 半群，它实际就是半群s ； ( 2 ) 设s 是半群，r 是s 的非空子集合，定义s r x s 一s 为( z ，d ，y ) 一 z a 掣，右边是s 上的三个元素的通常乘积，显然，这使s 成为一个r 半群，它的 运算性质由s 的二元运算和r 的取法共同确定： ( 3 ) 对正整数m ，n ，记s 为环r 上所有mx 礼矩阵之集，r 为r 上所有 nx m 矩阵之集定义sxfxs + s ，似，b ，g ) 一a b c ，右边是通常三个矩 阵的乘积，显然s 成为一个r 半群 ( 4 ) 设a ，b 是二非空集，s 是从a 到b 的映射之集，r 是从b 到a 的映 射之集，定义s f x s 一，s ，( 。，a ，y ) 一。0 9 是通常映射合成，则s 是r 半群 以上四个例子说明，r 半群类是半群类的真推广，正如许多学者研究过的， 它具有许多与半群相似甚至相同的性质，我们将用例子说明，r 一半群也具有半 群不具备的许多性质我们在研究工1 半群时，将力图应同时注意讨论这两个方 面 第2 页 第一章预备知识 和一般半群一样，r 半群只需满足一个公理，也称其为结合律这个结合律 的实质是：由给定的三元运算( a ，o z ，b ) 一a a b 所能诱导的两个五元运算 ( a ，q ，b ，卢，c ) 一( a o b ) f l c 和( a ，。，b ，卢，c ) 一( b f l c ) 是同一个运算自然会问，对任意自然数礼，由这个三元运算所能诱导的所有 2 几+ 1 元运算是否都是同一个运算? 例如，如果取n = 3 ，由给定的三元运算可 以得到五个七元运算，它们对序列( a ，o t ，b ，口，c ，y ，d ) ，共有五个不同表示的值 ( ( a c & ) f l c ) , d ，( 。n ( 6 印) ) 7 ，d ，( a a b ) f l ( c , y d ) ，o ( ( a 6 p c ) 1 d ) ，血a ( ( 叩c ) 7 d ) 一般地，任意给定o i s ，i = l ，n 和r ，j = 1 ，n l ，由上述三元运 算能诱导的2 礼+ 1 一元运算是很多的，和通常半群一样，只有所有这些运算都是 相同的，我们不加括号地写乘积口t o 。a 2 0 2 。一。a 。才有意义，它表示所有这些 2 n + 1 一元运算在序列 ( a l ，o i l ，a 2 ，口2 ，一1 ，a n ) 上共同的值这就是所谓”广义结合律”以下给出的证明参考了 2 4 1 4 的类 似讨论 引理1 1 1 对任意口t s ，0 。r ，k ，m n ( i e 整数集合) ，归纳定义 i i 强a k + j 如下 o 口b 却= a k ， h 嚣a k + j = ( k m b - 1 0 七十j ) d k + m 一2 a k + m 一1 = ( ( ( n b k n + ) a k + l a k + 2 ) a k + m 一2 ) o k + m 一2 a k + m 一1 ， 则对任意正整数n ，m ，我们有 ( 恐0 1 卅) ( 孙1 ) 。n 蚪l 卅) = 苗”d 1 “ 证明我们对m 用归纳法证明当m = 1 时，由记号的定义直接得结 论成立假设当m = r 时成立，即( 孙1 + i ) q 。( n k + 1 ) 。+ 1 + j ) = 譬7 a l + k 当 第3 页 第一章预备知识 m = r + 1 时有 ( h 。1 + t ) n ( r f 计+ 1 1 ) n n 十1 钾) = ( 。l + i ) o 。( ( 乙+ l k o 卅1 ) o 。+ r 。+ ，+ i ) ( 由记号i _ i l r 。+ 十l i k o 时1 打的定义) = ( ( r i t u a l 州) ( k + 1 ) 。o 卅1 ) ) o n + r 。+ ，+ 1 ( 由结合律) = ( i i 譬n 1 + ) a n + r a 时，+ 1( 由归纳假设) = i i 譬”1 a l + j( 由定义) 口 定理1 1 1r 半群满足广义结合律 证明我们对正整数礼用归纳法证明：对任意序列 ( a l ，o t i ，a 2 ，o 。一1 ，a r t ) ，a i s ，r ， 在由r 半群s 的乘法诱导的任意2 n + 1 元运算下得到的积都等于引理1 1 1 中所取定的那个2 n 十1 元运算下的值n = 1 时此即为结合律公理，结论成立 假设n 1 而结论对小于n 的任意正整数都成立由于由给定的三元运算诱 导的无论何种2 礼+ 1 元运算，其最后一步必有形u v ，1 k n 一1 ，其中 乱是( 。l ，a 1 ，a 2 ，o t 一1 ，a k ) 在2 一1 元运算下的积，u 是( a k + l ，n + 1 ，a 。) 在2 ( n k ) + 1 元运算下的积因为七，n k 凡，按归纳假设，我们有u = h k 。a l 州， = 1 - i n 【 - k l m o k + j + 1 由引理1 1 1 我们得到 u 。k = ( y l a l 十) o k ( f n k - + k l k a k + j + 1 ) = y 1 a l + t 该式右边的积是惟一确定的这就证明了定理的结论 口 有了广义结合律，我们就可以不加任何括号地写乘积a l o t l 0 2 0 t 2 n - - 1 a 。， 也可以在这个乘积中对任意形为n ；啦a 件l q 卅一i a i + j 的积加括号而不影响原 来的乘积进而由元素乘积自然诱导的集合的乘积或元素与集合的乘积，如 s f s f s f s 或a f s f a 等等也是有意义的了特别地，我们有下述关于r 一半 群的正则性的概念 定义1 1 2 【1 设s 是r 一半群， aea f s f a 称r 一半群s 是正则的 a s 称为是正则元，记为。r e gs ，若 若s 的任意元均是正则元 第4 页 第一章预备知识 我们知道，研究正则半群最有效的工具是g r e e n 等价关系我们把对r 一半群 相应概念的定义和结论列于下，这些概念及其性质在文献f 1 ，2 1 等中已引入，有些 没有证明，为完整起见，对某些结论我们给出相应的证明 r - 半群s 的子集合l 称为是s 的一个左理想，如果s f l l 易知，s 的 任意多个左理想的非空交必然也是左理想因此，s 的任一非空子集a 必有包 含它的最小左理想，称为a 生成的左理想，记为) “特别地，对s 的任一元 o ，( o ) l 称为由a 生成的主左理想；对偶地，我们有右理想，生成右理想( 舢，和主右 理想( n ) ，的概念；既是左理想又是右理想的非空集称为理想同样，我们有生成 理想( a ) 6 和主理想( ) b 的概念容易知道，对任意a s ( o ) l = s f au o ，( o ) ，= a f s u 口) ，( a ) b = s f a u a f su s f a f s u o ) r 半群s 的五个g r e e n 等价关系c ，冗，h ，口和了定义如下： c = ( z ，y ) s sj ( 2 ) f = ( k ) ，霓= ( 。，y ) s sj ( z ) ，= ( 彰) ， ， 了= ( z ，y ) s xs i ( z ) 6 = 白) 6 ，氕= c n 冗； 和半群一样，1 1 一半群s 的g r e e n - d - 关系也定义为s 的等价关系格中c ，冗的最 小上界不难证明，这两个关系可交换，故也有口= co 冗= 咒o c 关于半群的同一口一类中诸c 一冗一类之间相互联系的著名的g r e e n 弓i 理 对1 1 一半群也是成立的，叙述如下 引理1 1 2 9 ( g r e e n 引理) 若。冗6 且o ；6 a “，b = n 跏，那么映射 p 。：。hz p t j ，( z l 。) p z 。：yp 寸苕a “，( y l b ) 分别是从含。的一类厶到含b 的c 一类l b 和反过来的互逆的双射，它们保持 佗一类不变； 对偶地，若口cb i t 口= u 出，b = u 卢口，那么映射 a 。：。hu v z ，( 茁j k ) a 。口：y “u a y ( yer b ) 分别是从含。的冗一类忍到含6 的冗一类如和反过来的互逆的双射，它们还保 持c 一类不变 特别地，同一口一类中任二h 一类等势、 口 关于正则性，我们有 第5 页 第一章预备知识 引理1 1 3 对r 一半群s ，我们有以下结论： ( 1 ) s 的任一d 一类d 中若有一个正则元，则它的所有元素都正则，称 之为正则口类；d 正则的充要条件是它( 的每个c ，冗一类都) 包含某个满足 e r i e = e ( o f ) 的元素e ，称为s 的d 一幂等元；s 的所有一幂等元组成的集合记 为j e 0 或五0 ( s ) ( 2 ) c 一类l 中的一幂等元是l 的右a 单位元；对偶的结论对冗一类成立 ( 3 ) aer e 9s 的充要条件是 n ，p f ，a s 使得a a a 7 z a = a ，n 7 卢o o o = n ；此时，我们还有凸q 。，玩n 兄n l 一且a 7 f l a 点k n k n r n ，这样的元素 a t 称为口的( ，p ) 一逆；n 的所有( n ，卢) 逆组成的集合记为馏( o ) ( 4 ) 对任意a s 记n 所在的口一类为d n 对任意o ，卢f ，我们有增( 口) 三k 进而对口。中的任一h 一类日，我们有j 日n 馏( n ) ls1 ，等号成立的充要条 件是玩n 如n 毋0 且厶n r hn 既 ( 5 ) 对任意a ，b s 和a r ，o 冗a a b 6 的充要条件是& nl 。n r b o 以上这些是1 1 一半群与通常半群相似甚至相同的性质使我们感兴趣的是， r 一半群还具有异于普通半群的若干性质例如，我们知道，任何群有且只能有一 个幂等元，即群的单位元，因而，通常半群中每个咒一类最多只能包含个幂等 元由上述引理不难证明，对于给定的o r ，r 一半群s 的每个硝一类日最多只 能包含一个n 一幂等元但以下例子说明，眉完全可以包含多个幂等元 例1 ，1 2 设g 为群，r g g 按例1 1 1c p ( 2 ) 的方式定义为r 一半群不难 验证，g 是它自身的一个州一类，且v ger ，g - 1 都是g 的幂等元特别地当 r = g 时，g 即是群，且它的每个元素都是幂等元 一般地，我们有 引理1 1 4 设h 是r 一半群s 的一个“一类，我们有 ( 1 ) 对任意d f ，或者h a h n h = 0 ，或者h a h = h ，且此时视q 为h 上 的二元运算，则h 是一个群，记为月二，其单位元是一个a 一幂等元 ( 2 1 日是群的充要条件是日包含幂等元 ( 3 ) 记1 1 玎= a f i 胃。日n h = 日 ，对任意，p r 打，王兰日p 第6 页 第一章预备知识 证明本引理的( 1 ) 在 1 0 】中已有证明，而( 2 ) 是( 1 ) 的推论此处我们只证 明f 3 ) 设上k 的单位元是e 。，日j 的单位元是8 p ，令妒：上k = 日，日口= h 为n 妒= a a e 口v a 王k ；令母：日8 + 上k 为渺= 够因为对任意8 三坛= h 和6 上b = s ，我们有 。妒妒= ( 。8 口) p e 。( 由定义) = a a ( e 印e 。) = a a e 。( 即是群正b = 日的单位元) ：= 口 6 砂妒= ( 叩e 。) c y e e = b f l ( e 。8 口) = 卵8 口 = b ( e a 是群日。= h 的单位元) ( 由定义) ( e 。是群日：= h 的单位元) ( 印是群月j 的单位元) 因而q o 是双射进而对任意a 1 ，a 2 王乙我们有 ( a l a a 2 ) t = ( a l a a 2 ) o e e z = a l a ( e p l 3 a = ) a e p = ( 口1 0 8 p ) p ( 2 a 8 p ) = ( l 妒) 口( 2 妒) 故得日。型上b 口 r - 半群s 既然是由两个集合s 和r 共同决定的，因而它的子代数也应当具有 和半群的子代数不同的形式为此我们引入下述 定义1 1 t 3 设s 为r 半群，s l s ，i 、l r ，称s 1 为s 的r l 子半群，若有 s j l s l 冬s 1 值得注意的是，r 一半群s 的含幂等元的h 一类不一定是s 的r 子半群，如下例 所示 例1 1 3 设s = f = m 。( r ) ，即实数域r 上所有凡阶方阵的集合，s 在通常 三个矩阵的乘法之下显然是个r 一半群记h 是r 上所有满秩n 阶方阵之集 易验日是s 的一个州类，n 阶单位矩阵是其中的幂等元不难验证，f _ f i ，= h ， 因而日是s 的r h 一子半群但它不是s 的r 一予半群，因为日s 日中包含非满秩矩 阵( 事实上h s h = s ) 例1 1 4 【2 】设a = 托，b ，c ，b = e ，) ，m 是所有4 + b 的映射的集合 记m 中的元为，b ，c 的像所组成的三元组，如：a e ，b ， c ，e 记为 第7 页 第一章预备知识 ( e ，f ，e ) 类似地记口一a 的映射 设m = ( e ，e ，e ) ，( e ，e ，) ，( e ，e ) ，( e ，) ，( f ，】，) ，( f ，e ，) ，( f ，e ，e ) ，( f ，f ，e ) ) ，f = ( n ，n ) ，( a ，6 ) ，( a ，c ) ，( b ，n ) ，( b ，6 ) ，( c ，c ) ) 可以验证s 是正则r 一半群且( e ，e ，f ) 是( a ，c ) 幂等元， 定义1 1 4 4 正则f 一半群s 称为是逆f 一半群，若满足：v a s ，v ，p r ，且馏( 。) 日时，i 馏( 。) j _ 1 正则f 一半群s 称为纯正的，若：e 至毛( s ) ，硌( s ) ，则e 口，昂( $ ，。e 马( s ) ，e p f e 。( s ) ，p e ( s ) 和一般半群类似，我们有下述结论 引理1 1 5 罔( 1 ) s 是r 一半群，则s 是逆r 一半群的充要条件是s 正 则且v e ，点( s ) ，q f ，有e o e f = f a e ( 2 ) s 是纯正r 半群的充要条件 是。，p f ，v e e o ( s ) ，当昭( e ) 0 ，增e ) d 时，昭( e ) ，叼( e ) 中任意一元 均为口幂等元( 3 ) 逆1 1 一半群是纯正r 半群，反之则不一定成立例如设 q + 表示所有非0 有理数的集合，r 表示所有正整数的集合v 。，b 驴，a f ， 定义：a a b = ai0 6 ，可以证明q + 是纯正r 一半群但它不是逆r 一半群 ( 4 ) s 是纯正r 一半群，a s ，a 7 w ( n ) ，则对s 中的任一n 一幂等元 有：a , t e o t a t ，a a e t a 7 是6 一幂等元；n 7 6 e n 血，a a e f a 是，y 一幂等元； 1 2同态同余 在文献f 1 0 1 中，a s e t h 对r 一半群之间的同态同构是这样定义的：设s 是 r 一半群、是r 1 一半群，所谓从s 到s 1 的同态指的是这样的映射对( ，1 ，2 ) ， 其中 ：s s 1 ，2 ：r ，r 1 满足：v a ，b s o l r 有( a a b ) a = ( o ，1 ) 陋，2 ) ( 6 ) 进而，若 ，五是单( 满，双) 射，则称，2 ) 是( s ，r ) 到( 岛，r 1 ) 的单同态f 满同态，同构) 我们发现，这样定义的同态同构对f 一半群的特殊性有所忽略 例 如a ，s e t h 本人在该文献中为建立完全0 一单r 一半群的r e e s 结构定理一”r 一半 群s 完全0 一单的充要条件是s 同构于一个有零元的群上的正则r e e s 矩阵半群” 第8 页 第一章预备知识 ( 这是该文的中心结论) 而证明其定理3 4 和3 5 时，并未能证明其定义的r 集问的 映射妒是双射事实上，他也不可能证明该妒是双射见下例 例1 2 1 设s 为通常矩形带添加0 作为零元所得的完全0 一单半群，其二元运 算记为；设s 7 是与其同构的半群，其运算记作o 令r = f a ，卢，7 而r 】= 代，卵1 对任意e r ，( 7 r 1 和a ，b s ，a 7 ，b 岛，定义a ( b = a 6 ，n 7 e b = a o6 ，显 然( s ，r ) 是r 一半群，本质上就是是矩形带( s ，) 自身；同理，( f ，r 。) 是r 。一半群，本 质上就是矩形带( s 7 ，o ) 因而( s ，r ) 应当是与( s 7 ，r 1 ) 同构的但是由于不可能存 在从r 到r 1 上的双射，按s e t h 的定义它们不可能同构 不难知道，上述例子中同构的s 和s ，也可以是任意同构的半群为了弥补这 种不协调，我们需要修正r 一半群同态同构的定义为此我们对r 一半群s 的运算 集r 引进关系0 r 如下： ( v a ，j 臼r ) ao r 卢( c a ，b s ) a a b = 。p 6 显然0 r 是r 上一个等价关系记r 目= f = 忙i o r ) 易知，s 的运算自然 诱导出三元运算sxf xs s ，( ，西，b ) = a - s b = a a b ，在此运算下，s 成 为一个f 一半群，而映射对( 1 s ，砟) 尽管在r 与f 之问不是双射，但本质上却反映 了两者之间是同构的因此我们把f 半群s 称为s 的本质同构像容易明白， 若0 r = r r ，则s 本质同构于一个普通半群 引理1 2 1 设s 为r 一半群，若有q f 使得当视。为s 上的二元运算时，s 是 一个矩形带，那么，s 本质同构于一个矩形带 证明对任意a ，b s 和任意p r ，由于二元运算。使s 成为矩形带，我们有 a 3 b f l a = ( a a b a a ) f l b f l ( a a b a a ) = o ( 6 0 n p 卵a a b ) a a = a 进而 a a b = ( p 6 卢口) n ( 6 卢n p 6 ) = 陋卢( 叩a a b ) 卢a f l b = a f l b 这就得到讣= r r ，故s 本质同构于矩形带 口 定义1 2 1 在i 、上定义二元关系0 r ：v a ，b 只。，卢r ，oo r 卢筒a a b = o 卢6 称( s ，r ) 到( 毋，r ，) 的同态( f i ，2 ) 是同构，若 是双射且r 讣与r 1 口r ，之 间存在双射 第9 页 第一章预备知识 定理1 2 1 设s 为正则r 一半群，t 是r 一半群，映射对咖= ( 1 1 ，2 ) 是s 到t 的同态，其中 ：s 一z ，2 ：r 一r l 且厶为恒等映射，则s 正则，且 如果e 是丁的o l 幂等元，则存在s 的a 幂等元，使得e = ， 证明v t s t ，存在8 s 使得t = s f l 设s w ( s ) ，p ，f ( s ，1 ) ( 一厶) ( s 7 ) ( p ，2 ) ( s ) = ( s v s z s ) a = s ， ( s ) ( 肛，2 ) ( s ) ( ，2 ) ( s ) = ( s 灿s y s 7 ) f l = s 所以：s a 是s ，2 = t 的逆所 以，r 正则 设a s ，n = e ，b v 7 ( n 。凸) ，o ，卢，7 f ( 1 ) ( n q ) p 研( 。o o ) = a o ：o z ，姊( a c y a ) f l b = b 又令：f = o 卢h n f a f = ( 。卢扫w 净( 。声研a ) = 妒h ( a o ：, a ) f l b 7 a = 8 矽蛳。一f 所以：，是幂 等元。 ( 2 ) f f l = ( o 卢蛳o ) ，1 = a f l p a b f l t f 2 a f l = ( o ) o ( n ) p ，2 b 1 五( n ) q ( o ) = a f , a f 2 口 髓6 ，1 ，y ，2 。 矗8 = ( a a a p b 7 口d n ) 又因为： ( 。o o ) 卢的( 。口o ) = n o 。所以， = ( a a a ) f l = n o ，2 。 = e n e = e 口 引理1 2 2 设s 是逆r 一半群，? 为r 一半群，( ，1 ，2 ) 是( s r ) 到( z r ) 的 满同态，且，2 是恒等映射，则t 是逆r 一半群 定义1 2 2 3 r 一半群m 上的等价关系p 称为左同余，若：v a ，b ，c s ，o z 1 1 ，( a ，b ) p 有( c o l a ，c a b ) p p 称为右同余，若：，b ，c 矗n r ，( a ，b ) p 有 ( g t o z c ，b n c ) p 若p 既是左同余，又是右同余，则称p 为s 上的同余 定理1 2 2 设p 是逆r 一半群s 上的同余，若，b s ，o r ，卢f ，口 v 翟( o ) ，v ? ( 6 ) ，( a ，b ) p 有( a t ，b i ) p 证明对研p ，可h r 定义：( a p ) o r ( b p ) = ( a a b ) pn n - s ：也是一个r 一 半群 由引理1 2 2 ( 令 ：s s p “。一口卢i ， ：r r f 口一o 】) 知道s p 是逆 第1 0 页 第一章预备知识 i 、半群v a ，b s ，。v 翟( o ) ，b r 1 ，? ( 6 ) ( 0 7 p ) ( ，2 ) ( n p ) ( 。，2 ) ( a 7 p ) = ( p ) p ( 口p ) a ( o ) = ( a r f l a a a 7 ) p = j d ( n p ) ( 。，2 ) ( o p ) ( 卢，2 ) ( o 户) = ( o p ) ( j d ) 卢( n p ) ：= ( a a a f l a ) p = a p 所以：a p 馏( a p ) 又因为，s p 是逆r 半群，故l 馏( a p ) i = 1 从而，a p 是a p 的( n ，卢) 逆， 记为：( a p ) - 1 = 。p 若：( a ，b ) p 哥0 7 ，9 = ( a p ) 一1 = ( b p ) 一1 = b l p 弓( a 7 ，b i ) p ， 口 注1 2 1 由引理1 2 1 我们知道若有o t r 使得当视a 为s 上的二元运算时， s 是一个矩形带，则v p r ，s 是矩形带这实际上就是我们下面提到的f 一矩形带 1 3 相关半群 m k s e n 在【1 】中证明了若r 一半群s 有一个相关半群是群，则其它的相关半 群也是群，杨国为在 2 1 中又证明了若工1 一半群s 有一个相关半群是( 完全) 单半 群，则其它的相关半群也是( 完全) 单半群这说明r 一半群的整体结合律在一定 程度上影响着r 一半群的相关半群之间的关系，r 一半群的性质与它的相关半群 之间也有着密切的联系 定义1 3 1f 1 1 1 设s 是r 一半群，对v a r 定义乘法0 为：n o b = a a b ，则 ( s ，0 ) 是半群，记为& 称& 为s 的相关半群， 引理1 3 1 设s 是r 一半群，若j n r ，使得相关半群是群，则v 口 r ，s 8 是谱且s ，! s 8 证明引理的前一部分在f 1 1 中已经证明了下面我们只证明后一部分 设& 的单位元是e 。，岛的单位元是 令妒：& 岛( n + n 0 8 口) ，令妒：函& ( b 札卢) 因为o l p 妒= ( 凸n e 口) p e 。= 。a ( e 卢卢e n ) = n 口e 。= w 妒= ( 6 _ 8 e 。) 0 8 p = 够( e 。a 8 口) = b p 8 p = b 又因为( 口1 a a 2 ) 妒= ( a l a a 2 ) a e a = l o ( 印卢0 2 ) o 印= ( n l a 印妒( 2 a 8 口) = ( 0 1 妒) p ( o 。妒) 从而有s o = 昂 第1 1 页 第一章预备知识 口 定义1 3 2 1 1 】设s 是r 一半群，若r ，& 是群( 矩形带半格) ，则 称s 是r 一群( 矩形带半格) 注1 3 1 设s 是r 一半群，若3 d f ，使得相关半群& 是矩形带，则审锣r ： 由于讹，b sa 卢b f l a = ( a a b a a ) f l b p ( a a b o a ) = a a ( b o e a f l b f l a o & ) a a = o 所以， 函是矩形带j 1 a a b = n 印我们由此也知道不存在真正的不是矩形带的r 一矩形 带，但却存在不是群的r 一群 例1 3 1 设s = r 是自然数集，v a ，b s ，o f 规定：o 6 为取a ，n ，6 的最小 公倍数v a s l ，a = a l a l a ，所以正则，但岛伽2 ) 却不正则，因为1 s n 不 正则此例说明：若j 口r ，使得相关半群s n 是正则的，但并非v p r ，s 口是正则 的 例1 ，3 2s = o ，1 ) ，r = o ，卢) 定义运算：o a o = 0 ，o a l = 0 ，l a o = 0 ，l e d = 1 ，o z o = 0 ，o 卢1 = 0 ，1 p o = 0 ，1 f l l = o s 是r 一半群 因为o a o = 0 ，l a l = 1 所以o ，1 e ( s ) 又因为0 d l = 0 = 1 0 0 故& 是半格 t b _ o p o 0 ，故岛不是半格此例说明：若j a r ，使得相关半群品是半格，但并 非v p r ，函是半格 注1 3 2 此二例说明并非一个相关半群具有什么性质就一定有其它相关半 群也具有什么性质 注1 3 3 半群和r 一半群在性质上的区剐在其它方面也有体现夹心集是印 度数学家k s s ，n a m b o o r i p a d 在创立正则双序集理论时引入的一个基本概念， 在研究正则半群的性质和结构中有广泛的应用下面文中我们将探究r 一半群的 夹心集，并得出它与一般半群夹心集相似和相异的一些性质 第1 2 页 第二章r 一半群的夹心集 2 1 r 一半群夹心集的定义性质 国内学者刘国新盛德成在 一文中把 一般半群夹心集的概念推广到正则r 一半群的幂等元上，我们在本章中将这个概