（固体力学专业论文）基于混合元胞自动机方法的结构拓扑优化研究.pdf

i 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 摘 要 与截面优化或参数优化相比， 拓扑优化设计被认为是结构优化领域中更为困难、 更具有挑战性的课题。元胞自动机能利用简单的局部演化规则和离散方法描述复杂 的全局的连续系统，已成为探索复杂系统的一种有效工具。混合元胞自动机(hca) 算法1是一种将元胞自动机原理与有限元分析结合起来的方法。 利用元胞自动机离散 性、自适应、自进化的特征，与有限元分析方法相结合，可以解决优化过程中复杂 结构的力学分析问题，为有效进行结构的拓扑优化设计提供新的分析思路和技术手 段。 关于hca算法进行结构拓扑优化设计，国外有些初步的研究成果，但技术环节 的实现、复杂问题的求解有待进一步发展。本文基于此hca算法，更深入研究了考 虑应力约束和位移约束时的改进方法，并探讨了适用于多工况载荷、可变载荷的改 进方法，本文借助matlab编程软件和ansys有限元分析软件，实现了二维和三维 结构拓扑优化设计，并且结合具体算例与其他方法的结果进行比较。算例结果较直 观地证明了，提出基于hca算法的改进方案，在结构拓扑优化设计问题中的有效性。 与传统方法相比，该改进方法不仅极大地减少了计算量，提高了求解效率，而 且克服了数值不稳定问题，如棋盘格式问题和网格依赖性问题；不仅适用于二维连 续体结构拓扑优化，而且可以直接应用于三维连续体结构拓扑优化中。对于其他更 复杂的应用条件，如何建立适合问题的局部控制规则，算法实现技术等问题，有待 进一步的研究和发展。 关键词： 元胞自动机法，有限元法，结构拓扑优化，局部控制规则，可变载荷， 多载荷工况，应力约束，位移约束 ii 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 abstract compared with the sectional optimization or parametric optimization, the topology optimal design is recognized as a more difficult and challenging subject in the structural optimization field. cellular automaton (ca) has become an effective tool to explore complex systems for simulating the complicated global continuous system with the simple local evolutionary rule and discrete method. the hybrid cellular automaton (hca) algorithm is a method that combines elements of the cellular automaton paradigm with finite element analysis (fea). it provides a promising technique for continuum structural topology optimization. there are some basic researches on the topology optimal design of structure by hca algorithm. this paper presents an improved approach which is applicable to variable loads, m ultiple load cases, stress and displacement constraints, and realizes topology optimal design of 2d and 3d continuum structures by matlab and ansys software. numerical examples indicate that the enhanced method based on hca algorithm is computationally efficient to solve topology optimization problems. contrasting with the traditional methods, the improved approach not only reduces the calculation load and enhances solving efficiency, but also overcomes numerical instabilities such as the checkerboarding effect and m esh dependency. it also can be applied to 2d continuum structure and extended to 3d applications directly. the application of the hca method, the local transition rules to other more complex conditions needs to be studied further. key words: cellular automaton algorithm (ca) ； finite element method (fem) ; structural topology optimal； local control rules； variable loads； multiple load cases； stress constraint ； displacement constraint i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本论文属于: 保 密 ，在_年解密后适用本授权书。 不保密。 (请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 1 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 引言 1.1 研究目的和意义 本文研究混合元胞自动机算法处理结构拓扑优化设计的问题。 元胞自动机(cellular automaton，又称细胞自动机，简称 ca)，是时间、空间、 状态都离散，(空间的)相互作用及(时间的)因果关系皆是局部的网格动力学模型。不 同于一般的动力学模型，元胞自动机模型没有明确的方程形式，而是包含了一系列 模型构造的规则，凡是满足这些规则的模型都可以算作是元胞自动机模型。因此， 确切地讲，元胞自动机是一类模型的总称，或者说是一个方法框架2。其特点是时 间、空间和状态都离散，每个变量只取有限个状态，且其状态改变的规则在时间和 空间上都是局部的。元胞自动机自产生以来，被广泛地应用到社会、经济、军事和 科学研究的各个领域2。 具体讲，构成元胞自动机的部件被称为“元胞” ，每个元胞具有特定的状态。 一个元胞在某时刻的状态取决于、而且仅仅取决于上一时刻该元胞的状态以及该元 胞的所有邻居细胞的状态；元胞空间内的元胞依照这样的局部规则进行同步的状态 更新，大量元胞通过简单的相互作用而构成系统的演化，整个元胞空间则表现为在 离散的时间维上的变化。其基本的思想是用简单的程序来取代方程式，用以模拟复 杂系统的现象2。 元胞自动机以其组成单元的简单规则性，单元之间作用的局部性和信息处理的 高度并行性， 并表现出复杂的全局性等特点而备受关注，成为探索复杂系统的一种 有效工具3，这使元胞自动机有能力对由局域相互作用产生复杂的物理问题(如结构 拓扑优化问题)进行相对完善的计算机模拟。 综上所述，元胞自动机思想建模，对复杂系统力学问题如结构拓扑优化设计问 题，具有非常重要的意义。 结构拓扑优化的主要思想是将寻求结构的最优拓扑问题转化为在给定的设计 区域内寻求材料的最优分布问题4。拓扑优化按研究的结构对象可分为离散体结构 拓扑优化(如桁架、刚架等骨架结构及它们的组合)和连续体结构拓扑优化(如二维板 壳、三维实体)两大类5。 2 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 对于离散体拓扑优化模型，多采用随机组合优化方法求解，如分枝定界法、模 拟退火法(sa)和遗传算法(ga)等6。由于离散体优化的目标函数和约束函数是不连 续、不可微的，可行域退化为不可连通的可行集，所以研究难度大大高于连续体优 化问题4。 结构拓扑优化目前的主要研究对象是连续体结构，优化的基本方法是将设计区 域划分为有限单元，依据一定的算法删除部分区域，形成带孔的连续体，实现连续 体的拓扑优化。连续体结构拓扑优化方法目前比较成熟的是均匀化方法 (homogenization method)、变密度方法(artificial materials)和渐进结构优化方法 (evolutionary structural optimization，简称eso法)4。 拓扑优化是结构设计领域的关键和难题。原因是结构拓扑形态在很大意义上， 基本决定了结构的功能、载荷、约束和材料配置等的适用范围。若用现有结构、材 料、力学解析法(有限元法等)和结构优化方法，由于表达结构拓扑设计的自由度庞 大，只能在相对结构初始拓扑形态变化较小的范围内，实现结构的拓扑形态的再设 计和强度、应力分布等的再校核7。 传统的结构拓扑优化方法存在着难于处理局部最优解和离散设计变量等特殊 问题的缺点， 为此， 近年来基于元胞自动机(ca)8, 9方法的结构拓扑优化设计的研究， 对解决这一设计难题，开创了一新的方向，具有十分重要的学术价值和应用前景7。 1.2 国内外发展及研究现状 1.2.1 元胞自动机 元胞自动机(ca)模型，由 john von neumann等人于 20 世纪 50 年代提出的， 其最初的设想是运用一种动力系统来模拟复杂的生物系统的细胞间某些自组织现 象，后又被用来在计算机上模拟生命现象和生成具有生命特征的行为11。 70 年代，剑桥大学 j.conway编制了一个名为“生命游戏(game of life)”的程 序12。程序将平面 ca 划分成方格，每个方格代表一个自动机，每个元胞在下一时 刻的状态由当前时刻该元胞状态及临近的八个元胞状态共同决定，由几条简单的规 则控制，这些简单规则的组合的 ca 可以产生无法预测的延伸、变形和停止等复杂 的模式，能够模拟生命活动中的生存灭绝、竞争等复杂现象。这种意想不到的奇妙 3 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 结果引起许多计算机科学家的浓厚兴趣10。 80 年代末，a.k.dewdney和 c.bays 在 conway 的生命游戏的基础上，构造了 三维生命游戏，并对其规则作了具有普遍性的扩展。lee meeker 进一步构建了四维 的生命游戏。并且，conway 的生命游戏可以证明与图灵机等价，最终证明若给定 适当的初始条件，ca 模型可以模拟任何一种计算机10。 1983 年，s.wolfram引入动力系统的思想理论和研究方法，对 ca 进行了系统 的研究，用嫡来描述其演化，并发现非常简单的系统可以产生包括分形在内的复杂 结构，从而证明 ca 方法可以为众多的基础理论在动态演化方面的探索提供有效的 技术手段10。 9,13wolfram认为，连最初等的 ca 都有能力产生复杂的运动状态，这 说明 ca 的意义非常重大。 80 年代后期，随着分形、混沌、复杂性理论和计算机图形学等相关理论的兴 起，ca 理论的问世直接导致了遗传算法、人工生命和神经网络等复杂性思想、理 论和方法的诞生，并且很快成为非线性前沿科学的重要分支领域，作为一种应用技 术向其他学科渗透10。 几十年来，元胞自动机已经从一开始涉及的纯数学和逻辑渗透到数学、物理、 化学、生物、地理等广泛的科学领域。例如，在信息学中，ca 用于研究信息的保 存、传递、扩散过程；在生物学中，可以用 ca 模拟人类大脑的机理探索，艾滋病 病毒的 hiv 感染过程14，自组织、自复制等生命现象的研究和最新的克隆技术的研 究等15；在物理学中，ca 用于模拟磁场、电场、热扩散、机械波，以及处理热力 学系统16、流体力学中的 navier- stokes 方程17等等2, 10；在计算机科学中，由于 ca 的并行处理能力，被用做高度并行的乘法器、分类器等；在医学上，可用 ca 模拟癌细胞的生长和扩散现象，药物在人体组织细胞中的渗透、扩散过程，从中可 以得到有用的信息来更好的控制病情的发展；在社会学中，ca 可用于研究经济危 机的形成与爆发过程、个人行为的社会性，流行现象等2, 10。 1.2.2 结构拓扑优化 近代结构优化是从20世纪50年代末60年代初伴随着计算机技术、有限元法和数 学规划法的发展，迅速发展起来的一门学科5。结构拓扑优化是二十年来从结构优化 研究中派生出来的新分支，它在计算结构力学中己经被认为最富挑战性的一类研究 4 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 工作。目前有关结构拓扑优化的工程应用研究还不成熟，处在发展的初期18。 结构拓扑优化的研究史是从桁架结构开始的。 maxwell 在 1854 年首次进行了应 力约束下最小桁架的基本拓扑分析。1904 年提出的 michell 桁架理论，被认为是结 构拓扑优化设计理论研究的一个里程碑，但是，这一理论只能用来解决一些载荷和 边界支承均较简单的桁架结构问题，并不能应用于工程实际。真正使结构拓扑优化 具有可操作性的研究工作是 1964 年 dorn、gomory、greenberg 等人提出的基结构 方法(ground structure approach)，以及 40 多年来发展起来的有限元理论，将数值方 法引入拓扑优化领域，拓扑优化研究重新活跃起来4, 5。然而 80 年代初，程耿东和 n.olhoff在弹性板的最优厚度分布研究中19首次将最优拓扑问题转化为尺寸优化问 题， 他们开创性的工作引起了众多学者的研究兴趣。 1988 年 bendsoe20和 kikuchi21 发表的基于均匀化理论的结构拓扑优化设计，开创了连续体结构拓扑优化设计研究 的新局面18。1993 年 xie y m 和 steven g p 提出了渐进结构优化法22，这种方法简 单有效，可以被广泛地用于静力和动力问题。1999 年 bendsoe 和 simgund 证实了变 密度法物理意义的存在性23。 2002 年罗鹰等提出三角网格进化法24，该方法不仅能 够同时进行拓扑、形状与截面变量优化设计，而且在优化过程中实现了退化和进化 的统一，提高了优化效率18。 结构拓扑优化中的奇异最优解现象是 sved 和 ginos(1968)首先发现的；程耿东 和蒋铮25(1992)揭示产生奇异最优解的根本原因是应力约束函数在零截面处的不连 续性；程耿东和郭旭在 1997 年提出用 e- relaxed 算法改进拓扑优化模型来解决奇异 最优解问题4, 26- 28。 虽然结构拓扑优化的概念已提出 100 多年了，但直到近十几年来才得到迅速的 发展，结构拓扑优化可以广泛应用于建筑、机械、航空、航天器、海洋工程及船舶 制造等领域29。 目前，国外有一些关于元胞自动机理论与应用方面的研究，但利用元胞自动机 方法进行结构拓扑优化的研究还是比较少的；与此相比，元胞自动机的理论与方法 研究在我国还处于介绍国外研究成果、进行初步研究的时期，国内许多学者正在各 自的领域推进元胞自动机及其应用的研究，但其研究深度有待不断加强3。 5 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1.3 本文的研究内容和章节安排 1.3.1 研究内容 1、 本文研究了元胞自动机的基本理论及结构拓扑优化的一般方法， 分析了混合 元胞自动机(hca)算法1的求解特点，并应用该方法对建立在结构拓扑优化中的数 学模型，以及相应的解决方案进行了分析探讨，结合具体算例给出结构拓扑优化设 计的步骤。 2、 基于 hca 算法， 本文做了些改进， 并将其应用于研究平面结构拓扑优化中， 考虑工程实际中常遇到的问题，如约束条件(应力约束、位移约束)、载荷情况(多载 荷工况、变载荷)等，建立元胞自动机模型，使之能够更有效地应用到结构的拓扑优 化设计中，并与其他算法作比较。 3、 在 2 中已经完成的考虑应力约束的二维结构拓扑优化设计基础上， 研究考虑 应力约束的三维结构的拓扑优化设计。 1.3.2 章节安排 本文在引言中简要介绍了本文的研究目的和意义，并论述了当前国内外元胞自 动机、结构拓扑优化的发展和研究现状。第二章介绍了结构优化设计和结构拓扑优 化的基本理论；第三章介绍了元胞自动机方法的构成及特点，优势与不足；第四章 介绍 hca 算法的优化原理及计算步骤，有限元分析软件和优化程序的接口处理， 并验证了 hca算法的有效性；第五章对文献1中 hca算法加以改进，从工程实际 问题的角度出发，考虑了不同约束条件、不同载荷情况等对结构拓扑优化结果的影 响，并结合具体的算例，对结构进行了拓扑优化设计和分析；最后对全文进行了总 结和展望。 6 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 结构拓扑优化设计 2.1 结构优化设计的分类 目前，最优化设计理论和方法在机械结构设计中得到了深入的研究和广泛的应 用。所谓优化设计就是根据具体的实际问题建立其优化设计的数学模型，并采用合 适的优化方法及计算机程序，然后再通过计算机的计算，自动寻找获得既满足约束 条件又使目标函数最优的设计方案。 根据设计变量的类型，结构优化设计可以分为三个层次：(1)尺寸优化(sizing optimization) ； (2) 形 状 优 化 (shape optimization) ； (3) 拓 扑 与 布 局 优 化 (topology optimization)。其中，拓扑优化难度最大，但它是优化设计中最具生命力的研究方向4。 2.1.1 结构尺寸优化 结构尺寸优化是在给定结构的类型、材料、拓扑布局和几何外形的情况下，通 过具体优化算法确定结构的截面尺寸参数使结构重量、体积或造价最小。尺寸优化 是结构优化设计中最基本的优化方法，已广泛应用于各种结构的设计过程中30。 在尺寸优化设计中，不改变结构的拓扑形态和边界形状，只是对特定的尺寸进 行调整，相当于在设计初始条件中增加了拓扑形态的约束29。设计变量可以是杆的 横截面积、惯性积、板的厚度或是复合材料的分层厚度和材料方向角度等。常用的 尺寸优化方法有准则法和数学规划法两种，这方面的研究己比较成熟。优化的对象 已涵盖杆系结构和板壳结构30。 2.1.2 结构形状优化 结构形状优化是指在给定的结构拓扑前提下，通过调整结构内外边界形状来改 善结构的性能。其主要特征是，待求的设计变量是所研究问题的控制微分方程的定 义区域，所以是可动边界问题31。连续体结构形状优化方法大体可归纳为两类：解 析法和数值法。亦有二者结合，先用解析法将优化问题公式化，再用数值法对简化 了的问题搜索寻优30。 在形状设计中内外边界形状可以改变，但边界不能增加和减少，设计区域的拓 扑关系不能改变。相对于尺寸优化，形状设计对边界形状的改变没有约束，其初始 7 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 的条件得到了一定的放宽，应用的范围也得到了进一步的扩展，但其敏度分析计算 量大很多。目前，结构形状优化理论已经基本建立，但对于解决实际应用工程问题， 还存在很多不足，需要进一步完善31。 2.1.3 结构拓扑优化 拓扑优化又称形态优化，是在给定材料品质和设计域内，通过优化设计方法可 得到满足约束条件又使目标函数最优的结构布局形式及构件尺寸。拓扑设计的初始 约束条件更少，设计者只需要提出设计域而不需要知道具体的结构拓扑形态。拓扑 设计方法是一种创新性的设计方法，能提供一些新颖的结构拓扑30, 32。 结构拓扑优化是探讨结构构件的相互联结方式，结构内有无空洞、孔 洞的数量、 位置等拓扑形式，使结构能在满足有关强度、刚度和稳定性等约束条件下，将外荷 载传递到支座，同时结构的某种性能指标(如刚度、重量)达到最优30。 结构优化设计的三个分类， bendsoe和sigmund33用图2- 1的结构作出了形象的表 示34。 (a)桁架的尺寸优化；(b)形状优化；(c)拓扑优化 图2- 1 结构优化设计的三种分类示意图 2.2 结构优化设计的基本术语和数学模型 工程设计问题的优化，可以表达为优选一组参数，使其设计指标达到最佳值， 且须满足一系列对参数选择的限制条件。这样的问题在数学上可以表述为：在以等 式或不等式表示的约束条件下求多变量函数的极小值或极大值问题，即 8 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 求： x= (x1，x2，xn) trn 使： minf(x) = f(x*) (2- 1) 满足： gj(x) = 0 j=1，2， ，m hk(x) = 0 k=1，2， ，nq 式中 x设计变量； f(x)目标函数； gj(x)不等式约束； hk(x)等式约束； m不等式约束的个数； n不等式约束的个数。 优化设计都应按此形式将工程实际问题做出数学上的描述， 适应采用优化设计 方法求解的需要，这就是所谓优化设计的数学模型。 结构优化设计中常用的几个基本术语有：设计变量(如结构各构件的尺寸，截 面的几何参数等，这些代表设计方案，而在优化设计过程中可调整的变化的参数称 为设计变量。在实际工作中，应尽量减少设计变量的数目)，目标函数(目标函数是 设计变量的函数，在工程设计中，既有单目标设计问题，也有多目标设计问题)，约 束条件(如几何约束，应力约束，位移约束，频率约束等)35；还有可行域、工况、 约束优化设计问题的最优解等，这里不详细介绍了。 2.3 结构拓扑优化设计方法 目前常使用的拓扑优化设计方法可以分为退化法和进化法两大类18。 2.3.1 退化法 退化法即传统的拓扑优化方法， 一般通过求目标函数导数的零点或一系列迭代 计算过程求最优的拓扑结构。目前常用于解决连续体结构拓扑优化的退化法有变厚 度法、均匀化方法、变密度法等18, 35, 36。 1、 变厚度法是较早采用的拓扑优化方法，属于几何描述方式，其基本思想是以 基结构中单元厚度为拓扑设计变量，通过删除厚度为尺寸下限的单元实现结构的拓 扑变更，是尺寸优化方法的直接推广。优点是简单；缺点是不能用于三维连续体结 9 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 构拓扑优化，一般适用于平面结构(如膜、板、壳)35, 36。 2、 均匀化方法是连续体结构拓扑优化中应用最广的方法，属材料描述方式，其 基本思想是在拓扑结构的材料中引入微结构，微结构的形式和尺寸参数，决定了宏 观材料在此点处的弹性和密度， 优化过程中以微结构的单细胞尺寸为拓扑设计变量， 以单细胞尺寸的消长实现微结构的增删，并且产生由中间单细胞构成的复合材料， 以拓展设计空间，实现结构拓扑优化模型与尺寸优化模型的统一和连续化35, 36。用 于二维、三维连续结构体拓扑优化设计，并且用于复合材料的设计中。 3、 变密度法是连续体结构拓扑优化的比较常用方法， 基本思想是引入一种假想 的相对密度在 01 之间的可变材料， 定义一个经验公式来表达材料物理参数(如许用 应力， 弹性模量)与材料密度间的假定函数关系， 优化时以材料密度为拓扑设计变量， 结构的拓扑优化问题就变成了材料的最优分布问题35, 36。 变密度法比均匀化方法设计变量少，在实际工程中大多采用密度法来解决问 题，简化了计算求解过程，提高了消除棋盘格现象和数值稳定性35, 36。 变密度法是一种比较流行的力学建模方式，与采用尺寸变量相比，它更能反映 拓扑优化的本质特征。变密度法中常用的插值模型主要有：固体各向同性惩罚微结 构模型(solid isotropic microstructure with penalization， 简称 simp)和材料属性的合理 近似模型(rational approximation of material properties，简称 ramp)35, 36。simp 或 ramp 通过引入惩罚因子对中间密度值进行惩罚，使中间密度值向 0/1 两端聚集， 使连续变量的拓扑优化模型能很好的逼近 0- 1 离散变量的优化模型，这时中间密度 单元对应一个很小的弹性模量，对结构刚度矩阵的影响变得很小。目前变密度法在 多工况应力约束下平面结构、三维连续体结构、汽车车架设计以及磁场等拓扑优化 设计问题中，取得了一定的成效35, 36。 此外，两相法、内力法、泡泡法等退化法也开始被应用于拓扑优化设计上18。 2.3.2 进化法 进化法是一类全局寻优方法，目前常用于拓扑优化的进化法主要有遗传算法、 模拟退火算法、双向渐进结构拓扑优化法(beso)等18, 36。以 beso 法为例介绍。 双方向进化优化方法(bi- directional evolutionary structrual optimization，简称 beso)，是对 eso 法(渐进结构优化方法)的重要改进。eso 方法在优化中只有删除 10 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 无效或低效单元的操作，存在单元删除后不能恢复的缺陷，使得优化的最终结构局 限在前面优化迭代得到的结构中，存在奇异性，beso 方法克服了这个缺点，可以 在材料“高效能”(如材料应力较高)区域添加单元37。在优化迭代过程中，通过删 除低应力单元，可以提高结构的平均应力水平，而增加单元，则降低了最大应力单 元的应力，也使结构的应力分布更均匀，所以通过 beso 法，可以更容易降低最大 应力和应力集中，获得应力分布比较均匀的结构。beso 法由于在对单元的处理方 式上的完善，比传统 eso 法更容易获得全局最优解31, 37。可用 beso 法优化的结 构为桁架、刚架、板壳或三维连续体等，优化的约束条件包括应力、刚度、位移、 频率、临界压力及动响应等。目前 beso 法己被成功应用于热应力优化、热传导优 化、触应力优化、可变荷载结构优化以及机床床身的优化等18, 36。 另外，神经元网络法、自然生长方法、节点增加方法以及极大嫡原理法、软杀 法和硬杀法等进化法也开始被应用于拓扑优化上，并取得了瞩目的进展18, 36。 此外，为了克服退化法和进化法各种算法自身的不足，一种有效的方法就是采 用混合策略，即将两种或两种以上优化方法相结合，如三角网格进化法24、复合型 遗传算法等等，这里就不再一一介绍了18。 2.4 拓扑优化算法概述 按优化算法的理论基础划分，主要有以下 3 种类型： 1、 准则法，如优化准则法(optimality criteria，简称 oc 法)； 2、 数学规划方法， 如序列线性规划法(sequential linear programming， 简称 slp 法)和二次规划法(sequential quadratic programming，简称 sqp 法)、罚函数法、 拉格 朗日乘子法等； 3、 人工智能类方法，包括遗传算法(genetic algorithms，简称 ga 法)、神经网 络法、蚁群法等。 详细介绍见文献30, 36。 2.5 本章小结 本章简要介绍了结构优化设计的概念，基本术语和数学模型，综述了结构拓扑 优化设计的一些基本方法，其中比较详细地介绍了变密度法。 11 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 元胞自动机理论 3.1 元胞自动机的构成及特征2, 3 3.1.1 元胞自动机的构成、范式 元胞自动机最基本的组成是一个由元胞、元胞空间、邻域和状态更新规则构成 的四元组。用数学符号可以表示为： a = (l，d，s，n，r) 这里，a 代表一个元胞自动机系统；l 表示元胞空间；d 表示元胞自动机内 元胞空间的维数，是一正整数；s 是元胞有限的、离散的状态集合；n 表示某个邻 域内所有元胞的集合；r 表示局部映射或局部规则2, 3。 元胞是构成元胞自动机的最基本单元。元胞空间是元胞所分布的空间网点集 合。在元胞空间位置上与元胞相邻的细胞称为它的邻元，由所有邻元组成的区域称 为它的邻域2, 3, 10。 在一维元胞自动机中，通常以半径 r 来确定邻域，距离某个元胞 r 内的所有元 胞均被认为是该元胞的邻域2, 3： (a) r=1 (b) r=2 图 3- 1 一维元胞自动机的邻域 在二维元胞自动机中，通常有以下几种类型的邻域：冯 诺依曼型(von neuman neighborhoods) ； 摩 尔 型 (moore neighborhoods) ； 马 哥 勒 斯 型 (margolus neighborhoods)； 它是每次将一个 2 2 的元胞块做统一处理， 而上述前两类邻域中， 每个元胞是分别处理的2, 3。本文研究中，邻域尺寸选用图 3- 2 中的(b)，即4n = 。 12 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 (a) (b) (c) (d) (e) 图3- 2 二维元胞自动机的邻域：(a)空，0n = ；(b)冯 诺依曼型，4n = ； (c)摩尔型，8n = ；(d)放射型，12n = ；(e)扩展型(马哥勒斯型)，24n = 。 同样，也可以定义二维以上的高维元胞自动机的邻域。 理论上，元胞空间是在各维向上无限延展的，但实际中无法在计算机上实现。 因此，需要定义不同的边界条件。元胞空间的边界条件主要有三种类型：周期型、 映射型和定值型2, 3。有时，在应用中为更加客观、自然地模拟实际现象，还有可能 采用随机型，即在边界实时产生随机值，亦称绝热型。如图 3- 3 所示，本文选用图 中的(a)固定边界，即设计区域边界外的状态为 0。 (a) (b) (c) (d) 图3- 3 元胞自动机的边界条件：(a)固定边界；(b)绝热边界；(c)映射边界；(d)周期边界。 通常在某一个时刻一个元胞只能有一种元胞状态，而且该状态取自一个有限集 合，如0，1，生，死或 12 0,., n a aa 。在社会科学领域中，元胞状态可以用来 代表个体所持的态度，个体特征或行为等2, 3。 状态更新规则是指根据元胞当前状态及其邻域元胞的状态决定下一时刻该元 胞状态的动力学函数。状态更新规则可以写为1, 3： ()( )( )( )()tttt ni ii j i j i 1 ,.,r1 + + =+ (3- 1) 式中 ( )( )tt ni i 1 ,., + + 表示邻胞的状态； r 元胞自动机的局部规则。 13 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3.1.2 元胞自动机的基本特征2, 3 1、 离散性：元胞自动机的空间、时间及状态都是离散的。 2、 齐性、同质性：元胞空间中每个元胞的分布方式相同，并且决定各个元胞状 态变化的规则是相同的。 3、 并行性：元胞空间中各个元胞的状态变化是独立、同步进行的，互相没有任 何影响，这与其他串行工作方式的模型有很大的不同，特别适合于并行计算，可以 提高模拟的速度。 4、 局部性： 一个元胞在下一时刻 t+1 的状态由其周围给定半径 r 的邻域内元胞 的当前时刻 t 状态决定，因此，在时间、空间上都存在着局部性。 5、 维数高：在动力系统中一般将变量的个数称为维数，ca 是一类无穷维动力 系统。在具体应用中，一般总是处理数量很大的元胞组成的系统2, 3。 3.2 标准元胞自动机的优势与不足3 3.2.1 优势 1、 ca 方法是立足于复杂系统的特征去模拟和描述复杂性的，因而更具有针对 性、典型性和准确性。 2、 ca 采用典型的“自下而上”的建模方法，符合复杂系统的形成规律，是复 杂科学所倡导的复杂性研究方法。 3、 ca 的离散性使许多复杂问题得以简化，易于完成从概念模型到计算机物理 模型的转变。 4、 ca 方法以元胞作为基本单元描述复杂系统的整体行为，演化的规则可以预 设，许多过程可以通过计算机来完成，所以具有直观性及可控性3。 5、 ca 方法以新的设定表征了复杂系统“确定性中的内在随机性”，体现了随 机性与确定性两者结合的非线性系统的基本特征。 6、 ca 中的状态更新规则不依赖于数学函数，甚至可用语言简单描述亦可达到 相同目的，因此元胞自动机模型的表达更为直观、简单。 7、 ca 具有应用的广泛性、灵活性和开放性3。 14 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3.2.2 不足 1、 元胞形态。在标准 ca 中，元胞具备规则一致的形状，有规律地排列在元胞 空间中。但是在现实世界中很少有如此规则的状态。 2、 元胞空间的几何形状。 在标准 ca 中， 二维元胞空间可按照三角形、 四边形、 六边形等几种网格排列。三角形网格的缺点是在计算机显示与表达时困难, 须转变 成四方网格；四方网格缺点是不能较好地模拟各向同性现象；六边形网格的能较好 地模拟各向同性现象，模型更加自然而真实，但是表达和显示上较困难、复杂3。 图 3- 4 二维元胞自动机常用网格排列 图 3- 5 混合多边形元胞组成元胞空间 3、 元胞邻域的定义。如图 3- 4，3- 5，这直接导致元胞状态更新规则不能应用于 更远的单元。 4、 元胞状态更新规则的确定：(1)规则中的因素过于单一；(2)没有考虑宏观作 用因素；(3)状态更新规则往往是确定的，但在实际复杂系统中，系统元素的行为往 往是随机的，表现出某种倾向性和可能性；(4)状态更新规则的定义较难；(5)设计不 当的状态更新规则会产生一些人为制造的错误后果3。 3.3 本章小结 本章主要参考文献1, 3，阐述了元胞自动机的基本理论。 随着研究的深入，其他领域的一些方法将不断地被引入 ca 模型，ca 与其他 15 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 方法的不断结合将使元胞自动机的功能越来越强大，成为一种研究复杂系统的越来 越有效的方法与工具3。如将遗传算法和 ca 集成，使状态更新规则具有遗传性， 形成遗传自动机；将状态更新规则模糊化，则可以有模糊规则，形成模糊元胞自动 机；元胞的状态可以根据神经网络的阈值函数来更新，形成神经元胞自动机3；还 有下面将详细介绍的，将有限元法与 ca 结合，形成混合元胞自动机等。 16 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 4 基于混合元胞自动机算法(hca)的结构拓扑优化设计 4.1 hca 算法 第 2 章 2.3.1 节的内容已经比较详细的介绍了变密度法，这里就不再赘述。 常用的 simp 模型是指数模型，按(4- 1)式所示，每个单元的弹性模量 ei用单元 相对密度 xi的幂指数函数表示1，即： 0 ()e p iii e xx= (p=1) (4- 1) 0 ( )? iii xx= (0= i x =1) (4- 2) 式中 0 e 单元相对密度 xi =1 的实体材料的弹性模量； 0 ? 实体材料密度； i 单元 i 的密度； p 惩罚因子或称幂指数。 simp 模型的物理意义是很明显的，当单元相对密度 xi为 1 时，单元是由实体材 料组成，可以承受和实体材料组成的结构同样的载荷；当单元相对密度 xi为 0 时， 可以认为该单元没有材料，即不承担任何载荷35。 在 hca 算法里，每个元胞 i 的状态，由设计变量 xi确定(如密度，几何尺寸， 弹性模量)和场变量 si (如应力，应变，应变能密度)定义。元胞的状态可以表示为： ( ) ( ) ( ) = ts tx t i i i (4- 3) 设计变量 xi根据材料模型确定，本文将单元相对密度作为设计变量，场变量 si的定义取决于要解决的优化问题，对一个刚性结构的设计来说，总应变能 u 可量 化为变形所储存的机械能， 结构刚度越大， 它能储存的应变能越低。 在一离散区域， 结构整体的应变能可以表示为： n 1 u=v ii i= u (4- 4) 式中 i u ca 中元胞单元 i 内由于变形而储存的应变能密度(strain energy density，简写为 sed)； vi 元胞单元 i 的体积。 17 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 其中， 1 2 t i u = (4- 5) 式中 t zxyzxyzyx ,=； t zxyzxyzyx ,=。 由应变能的计算式(4- 4)、(4- 5)可见，应变能与应力、应变等单一指标相比具有 显著的优点38： 1、 综合性强，可综合考虑到应力、应变等方面。 2、 能量是标量，不涉及方向问题，容易计算和比较分析。 3、 从应变能出发，考虑结构的性能更加全面38。 因此，sed 是结构的局部刚性指标，是目前研究工作使用的场变量。最优化标 准指应变能密度的均匀分布(the uniform strain energy density distribution，简写为 usedd)。由这一标准，ca 状态可定义为： ( ) ( ) ( ) i i i x t t u t = (4- 6) usedd 标准遵循一种满应变能密度设计的原则，即用最少的材料达到最大的 刚度。优化问题可表示为： min i i x e s.t. min 01 ii xx = 1。在优化过程中，每迭代一步，按式(5- 1)计算性能指标 pi 的值。当 结构单元的最大应变能密度越小，结构的质量越小时，pi 的值越大，结构的优化性 能越好，可通过 pi 的值来选择最优拓扑。用性能指标公式不仅能反映拓扑设计的效 率，也能综合反映设计域的质量和单元最大应变能密度的变化水平38。 5.2 可变载荷作用下的平面结构拓扑优化设计 算例 2：如图 5- 1 所示为长度 16 m，宽度 6 m的各向同性的弹性设计域。设计 域用于模拟位于水深 10 m处的挡水结构的平切面。初始设计域的边界条件为两端 固结，荷载条件为初始区域上部处于上游，受到法向均布水压力面荷载的作用，初 始荷载集度为 98 kpa，后期荷载集度随上游的拓扑变化而变化，荷载大小随上游水 的深度变化而变化； 区域下部处于下游，不受水压力作用。材料弹性模量为 21 gpa， 泊松比为 0.2，结构划分为 8030 个矩形单元34。 29 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 图 5- 1 算例 2 的基结构 5.2.1 拓扑可变载荷自动加载技术 详见文献34： 拓扑可变载荷作用下连续体拓扑优化组合准则法， 第二章之 2.4.1。 5.2.2 hca 算法的结构拓扑优化结果 同样地，利用 matlab(编 ca 法优化程序)与 ansys(有限元分析)两个软件， 相互调用数据，输入相关参数，运算结果如下： (a) case1： * 0 * u=u，f =0.613 (b) case2： * 0 * u10=u，f =0. 342 图 5- 2 不同 sed 目标值 u*得到的拓扑优化构形 30 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 (a) sed 目标值 u* (b) 质量比 f (c) 最大 von mises 应力 (d) 最大位移 (e) 性能指标 pi 图 5- 3 基于图 5- 2 中(a)、(b)两种情况得到的结构拓扑优化过程相关曲线图 基于本文 4.6 节的结论 2 可知，在本章节中，采用 hca算法，当提高 sed 目标 31 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 值 u*时，结构拓扑优化结果质量减小，由图 5- 3 中(b)的质量比曲线图可知，结果与 结论是符合的；再比较图 5- 3 中(e)性能指标的曲线图，pi11pi2，(pi1表示 case1 最 终对应的性能指标，pi2表示 case2 最终对应的性能指标)，显然，case2 的拓扑优化结 果远不如 case1；再看图 5- 2，(b) case 2 ( * 0 * u10=u)的拓扑构形太粗糙，且最大位移 太大，(a) case 1 ( * 0 * u=u)，体积比太大