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摘要 数字信号的模糊平滑方法 摘要 在系统测试过程中，由于各种干扰的存在，使得测试系统采集到的数据偏离其真 实值。而干扰因素不仅包括一般意义下的测量误差，还包括测量理念的差异，例如在 社会经济学的统计中常出现的一种测试误差：混合数据就是由于测量理念的歧义以及 测量误差共同造成的。混合数据信号造成相邻测量结果间的混叠，使得离散数据绘成 的振动曲线上呈许多毛刺，很不光滑，为了消弱干扰信号的影响，提高振动曲线光滑 度，常常需要对采样数据进行平滑处理。 一般较常采用的信号平滑滤波方法有：中位值滤波法、加权均值滤波法、滑动平 均滤波法、防脉冲干扰平均滤波法及限幅滤波法等，这些方法各有适用的范围和优 缺点。本文针对混合数据信号的特征，提出一种新的模糊平滑法，沿用加权平均的思 想，对信号相邻的点之间进行加权运算。但是权因子的确立是通过建立信号尖端点的 隶属度函数以此评价信号在每一点的尖端程度，更准确实际地反映信号混合的程度。 另外，基于模糊变量的期望值算子做出新的评价标准用来评价信号的平均尖端度。 关键词：信号平滑，混合数据，隶属度函数，模糊变量。 i a b s t r a c t 数字信号的模糊平滑方法 a b s t r a c t i nt e s t i n gp r o c e d u r e ，d u et ot h ee x i s t e n c eo fv a r i o e l si n t e r f e r e n c e ，e x p e r i m e n t a ld a t a r e c o r d sc o l l e c t e db ys y s t e mt e s ta l w a y sd e v i a t ef r o mo r i g i n a lt r u ed a t a t h ei n t e r f e r e n c e f a c t o r sd on o to n l yc o n t a i nm e a s u r e m e n te r r o r sb u ta l s oc o n t a i na m b i g u i t yo fm e a s u r i n g c o n c e p t s ，f o re x a m p l e ，“m i x e dd a t a i st h el e t t e rc o n d i t i o nw h i c hu s u a l l ye x i s t si nh u m a n s c i e n c e m i x e dd a t am a k ec o n t i g u o u ss a m p l ev a l u e sb em i x e du pa n da l s om a k ed a t a c u l v e 8v i b r a t es t r o n g l y , w h i c hw i l lp r o d u c eu n e x p e c t e ds h a r ps i g n a l s ，w en e e ds m o o t ht h e s h a r ps i g n a l si no r d e rt ow e a k e ni n t e r f e r e n c ef a c t o r sa n de n h a n c et h ec u r v e ss m o o t h n e s s u s u a l l y , w ea d o p tt h ef o l l o w i n gs i g n a ls m o o t h i n gf i l t e r s ：m e d i a nf i l t e r ，w e i g h t e d m e a nf i l t e r ，m o v i n ga v e r a g ef i l t e r ，a n t i p u l s ei n t e r f e r e n c em e a nf i l t e r ，a m p l i t u d el i m i t f i l t e ra n ds oo n ，t h e s em e t h o d sa l lh a v et h e i ro w na p p l i c a b l es c o p e a c c o r d i n gt om i x e d d a t a sc h a r a c t e r ，t h i sp a p e rp r o p o s e dan e wf u z z ys m o o t h i n gm e t h o d 、c o n t i n u i n gt ou s e w e i g h t e dm e a ni d e a ，s h a r i n gt h en e i g h b o r i n gs a m p l e s d a t av a l u e b u tt h ew e i g h tf a c t o r s a r ec o n f i r m e db yb u i l d i n gm e m b e r s h i pf u n c t i o no fs i g n a l ss h a r pd e g r e e ，m o r ew e l la n d t r u l yr e f l e c t sm i x e dd e g r e ed fs i g n a l b e s i d e s b a s e dd nt h ee x p e c t a t i o no p e r a t o ro ff u z z y v a r i a b l e ，w eg a i nan e wn o r mt oe s t i m a t et h es i g n a l sa v e r a g ea n g l e i i s i g n a ls m o o t h i n g ，m i x e dd a t a ，m e m b e r s h i pf u n c t i o n ，f u z z yv a r i a b l e 声明尸明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名：，唯参月髟日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 产多月诟 硕士学位论文数字信号的模糊平滑方法 1 1数字信号处理的发展 第一章引言 数字信号处理是起源于数学的一个学科，但其真正的发展是在计算机出现以后。 近2 0 年来由于大规模集成电路的出现更促进该学科的发展，使人们有了快速的计算工 具，并不断地研究出一些新的处理计算方法，从而使数字信号处理的范围越来越广 大。在测量仪器从模拟时代进入数字时代后，许多测量仪器都用到了数字信号处理技 术。数字信号处理技术现已成为许多专业所需要的共同基础之一了。 1 9 5 5 年，美国麻省理工学院的斯托克思最早提出了数字滤波器闯题，6 0 年代中期 发展了数字滤波器的设计方法。随着电子计算机、大规模集成电路技术的发展，数字 滤波器已可用计算机软件实现，也可用大规模集成数字硬件实现。数字滤波是用数字 处理的方法按预定的要求滤除干扰信号，获取有效信号。其最初的设想是代替模拟滤 波。因而，其设计所采用的方法是利用模拟滤波器中研究出来的设计方法，并根据模 拟设计公式建立起一整套数字滤波器的设计方法。 对于一般的测量仪器，检测现场传感器所测到的信号不可避免地要混杂一些干扰 信号，尤其在长线传输时更是如此，在模拟控制系统中，都是由硬件组成各种各样的 滤波器滤除干扰。在数字控制系统里，除一些必要的硬件滤波器外，很多滤波任务可 由数字滤波器来承担，数字滤波器实质上是一种数字处理方法，是由程序实现的数学 运算。 数字滤波器将输入数字序列通过一定的运算后转变为输出数字序列的数字信号处 理器。数字滤波器的输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含 频率成分的相对比例或消除某些频率成分。与模拟滤波器相比，数字滤波器的主要优 点是：( 1 ) 精度和稳定性高；( 2 ) 系统函数容易改变，因而灵活性高；( 3 ) 不存在 阻抗匹配问题；( 4 ) 便于大规模集成；( 5 ) 可以实现多维滤波。它不仅能实现模拟 处理的大部分功能，而且还能完成模拟处理由于成本、可靠性等原因而无法具体实现 1 第1 章引言硕士学位论文 的功能。数字滤波器按频率特性的不同分为高通、低通、带通和带阻滤波器，按冲激 响应的宽度又可划分为有限冲激响应滤波器( f i r ) 和无限冲激响应滤波器( 1 1 r ) 。 上个世纪的后半期，滤波设计的基本理论主要是支持一种滤波器实现方法，像无 源l c r 滤波器。有源r c 滤波器，数字滤波器及开关电容滤波器，从指标要求到实际设 计的第一步，主要基于o j z o b e l ，r m f o s t e r ，w c a u e r ，o b r u n e ，s d a r l i n g t o n 等许 多前人的基础工作。由此而产生的设计理论把给定的指标( 如最大通带和最小阻带损 耗，过滤带。阻抗电平等) 转化为s 域或之域的传递函数( 取决于滤波器是工作在连续 时间系统还是离散时间系统) ，或转化为l c 滤波器结构。进行这一步时，设计者可以 选择滤波器类型，如切比雪夫滤波器，巴特沃思滤波器，椭圆滤波器，贝塞尔滤波器 或其他类型。这使得滤波器初始设计有些程式化。2 0 0 1 年，由m i r o s l a v d l u t o v a c 等人 编著的。f i l t e rd e s i g nf o rs i g n a lp r o c e s s i n gu s i n gm a t l a ba n dm a t h e m a t i c a 一一书， 第一次提出了滤波器设计的多样性。此书的精髓在于根据选择和优化，放宽了翦面所 说的“初始设计模式 中所要求的苛刻条件，因此书中讲解的技术对后面的各种滤波 器实现( 如l c 滤波器，有源r c 滤波器，数字滤波器及开关电容滤波器) 都可以作为一 种新的多功畿的初始设计方法。 数字滤波是对数字进行滤波，因此它不仅适用于测量仪器的现场测量，也同样适 用于其它用到数据处理的领域，如图象信息，地形地貌信息等庞大数据的数据处理。 模糊数学是运用数学方法研究和处理模糊性现象的- - f 数学新分支。它以“模糊 集合一论为基础。模糊数学提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描 述人脑思维处理模糊信息的有力工具。它既可用于硬”科学方面，又可用子“软 科学方面。 模糊数学由美国控制论专家l ，a 扎德( l a z a d e h ，1 9 2 1 一) 教授所创立。他 于1 9 6 5 年发表了题为1 【模糊集合论 ( f u z z ys e t s ) 的论文，从而宣告模糊 数学的诞生。1 9 7 4 年，英国的m a m d a n i 首先把模糊逻辑用于工业控制，取得了良好的 效果。此后2 0 多年来，模糊逻辑及其应用发展十分迅速。在图象识剐、人工智能、自 2 硕士学位论文数字信号的模糊平滑方法 动控制、信息处理、经济学、心理学、社会学、生态学、语言学、管理科学、医疗诊 断、哲学研究等领域中，都得到广泛应用。在数字滤波器方面也有很大实质性的发 展，基于模糊准则的一系列操作被引入到滤波器的设计中，实验表明非常有效的消除 干扰噪音，并有效的保留原信息。例如将模糊逻辑运用到自适应滤波方法中，通过模 糊逻辑技术来控制估计误差方差矩阵的系数，从而能不断调整滤波器增益，而且模糊 控制器的加入对滤波实时性影响不大，将两者结合起来，通过对滤波发散趋势的分 析，来选择采取哪种方法，这样既可以抑制滤波发散，又可确保滤波精度和效率。又 如在图像处理领域中，利用模糊数学建立隶属函数将图像变换到模糊域，然后对需要 处理的噪声图像进行滤波，起到更好的效果。模糊滤波的应用越来越广泛，在处理不 确定性因素的方面发挥了愈来愈大的优势。 1 2本文的主要内容 对于一维混合数据振荡信号，本文提出了一种简单易操作的平滑滤波方法。根据 混合数据信号的特征，可以通过数据曲线的尖端程度来反映数据混合的程度。因此， 我们可以选取样点的角度作为评价尖端程度的指标。由于尖端程度没有明确的界定， 呈现不确定性，所以可令样点角度值为模糊变量，通过建立模糊变量( 角度) 的隶属 度函数来反映样点的尖端程度。即样点的隶属度可作为反映样点混合程度及样点所占 权重的指标。此外，基于模糊变量的期望值算子，我们提出一种新的指标用来表征信 号的平均尖端角度，相比较s h a k o u r i 【1 1 中仅仅计算角度的简单平均值，能够更准确合 理的反映平滑后的效果。故本方法的思路是：对于离散的随机测试信号，首先计算出 所有数据样点的角度值，令角度为模糊变量并建立隶属度函数，以此反映样点的尖端 程度。对超出预期尖端程度的样点进行平滑处理，沿用加权平均的思想，权因子的确 定根据样点的隶属度来设置。另外，为确保整个曲线的积分和不变，再对相邻点进行 适当的调整。最后，通过时间域与频率域上的实验比较验证所提方法的优越性。 3 第2 章数字滤波理论基础硕士学位论文 第二章数字滤波理论基础 2 1数字滤波器的一般概念 与模拟滤波器相对应数字滤波器在离散系统中有着广泛的应崩。它的作用是利 用离散时间系统的特性对输入信号波形或频率进行加工处理。或者说，把输入信号变 成一定的输出信号，从而达到改变信号频谱的目的。数字滤波器一般可以用两种方法 来实现；一种方法是甩数字硬件装配成一台专门的设备，这种设备称为数字信号处理 机；另一种方法就是直接利用通用计算机，将所需要的运算编成程序让通用计算机来 完成，即利用计算机软件来实现。例如描述某一离散时间系统的差分方程为 3 ( 七) = 丢【z ( 后) 一z ( 七一1 ) 】 即输出是输入序列相邻两点差值的平均。此系统的离散系统函数为 日( z ) = 三( 1 z - i ) 频率响应为 h ( e ”) = j 1 ( 1 一一叫) = 歹e - j 警s i n 詈 可见，此系统是一个高通滤波器。再如某一系统，其输出! ( 七) 是输入z ( 七) 的三点移动平 均值，即 可( 七) = 三p ( 七十1 ) + z ( 后) + 正( 七一1 ) 】 则系统的频晌特性具有低通滤波器的特性 日( 一) ；丢( 1 + 2 c 。s 叫) 数字滤波器也可以对连续时间信号进行处理，不过需要首先对连续信号进行量 化，使用模拟一数字转换器( a d 转换器) 使其变为离散序列，经数字滤波后，再经 数字一模拟转换器( d i a 转换器) ，再把数字输出信号转换成模拟输出信号。 4 硕士学位论文数字信号的模糊平滑方法 数字滤波器可以用差分方程、单位函数响应h ( 七) 或离散系统函数日( z ) ( 包括频响 特性日( e j ) ) 来描述。 与模拟滤波器相比，数字滤波器具有更高的精确度和可靠性，使用灵活、方便， 己经成为数字信号处理技术中的重要手段。 数字滤波器的分类方法很多。若按照其幅频响应的通常特性，可分为低通滤波 器、高通滤波器、带通和带阻滤波器等；若按照对确定信号和随机信号的数字处理来 说，可分为卷积滤波和相关滤波；若根据数字滤波器的构成方式，可分为递归型数字 滤波器、非递归数字滤波器以及用快速傅里叶变换( f f t ) 实现的数字滤波器；若根 据其单位函数响应的时间特性，又可分为无限长单位函数响应( i i r ) 数字滤波器和有 限长单位函数响应( f i r ) 数字滤波器。它们各有几种具体的设计方法，前者包括冲激 响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法等；后者包括窗口法、频率抽样法等。 2 1 1递归型数字滤波器 递归型滤波器的特点是输出可( 七) 不但取决于输入值( 包括即时输入和过去输 入) z ( 蠢) z 辑一1 江p 一2 ) ，而且还取决于输出值芗( 南一1 ) y ( k 一2 ) ，所以递归型数 字滤波器的差分方程可以写成 f nn ”( 七) = b j x ( k - j ) 一啦y ( k i ) ( d o = 1 )( 2 1 ) j = o i = 1 此时，相应的离散系统函数为 酢，= 崭= 怒 i = 1 ( 2 2 ) 所谓数字滤波器的实现，可以通过离散系统函数写成数字滤波器的差分方程，然 后按差分方程编写计算机程序，通过计算机完成所要求的数字滤波任务。这种实现方 法称为软件实现法。也可以使用模拟离散系统的三种基本运算单元构成离散系统函数 的模拟框图，也能完成所要求的数字滤波任务。这种实现方法称为硬件实现法。 5 第2 章数字滤波理论基础硕士学位论文 从己知离散系统函数作出框图的方法即数字滤波的硬件实现方法，根据实现的结 构不同，可分为并联实现和级联实现等不同方式。 并联实现是把式( 2 2 ) 展开成部分分式的形式；可以写成 酢，= 氐+ 喜南 若其中有m 1 对共扼复根，再将它们合成为二阶实系数的部分分式，即得 ( 2 3 ) 抒( 孑) = + 甄( 2 ) ( 2 4 ) i = 1 式中玩( z ) 为一阶或二阶子滤波器。式( 2 4 ) 表明，整个数字滤波器可以由一个乘法器 和一些子滤波器的并联组成。 级联实现是将离散系统函数分成若干一阶或二阶子系统之积，可参见式( 2 1 ) ， 即 h ( z ) = h 日1 ( z ) 玩( 孑) 竭( z )( 2 5 ) 式( 2 5 ) 表明，整个滤波器可以由一个乘法器和一些滤波器的级联组成。 由于递归型数字滤波器含有反馈环路因此，系统的单位函数响应h ( k ) j l t l 常是无限 长的，所以递归型数字滤波器一般属于i i r 型滤波器。 2 1 2 非递归型数字滤波器 当式( 2 1 ) 中o i = o 时，差分方程为 ( 惫) = b j z ( k - j ) j = o 其离散系统函数为 上式表明，非递归滤波器的h ( z ) 除z = o 点外，只有零点没有极点，因此，它属“全零 点数字滤波器”。当然，这种系统总是稳定的，由于| z ( 后) 的长度是有限的，因此这类滤 波器属于f i r 型滤波器。 6 一 z b 伽 = z日 硕士学位论文 数字信号的模糊平滑方法 这种结构类似于抽头延迟线系统，所以，通常又称为“抽头延迟线滤波器”或 “横向滤波器。 2 。2常用数字滤波算法 2 2 1 算术平均值滤波 算术平均值滤波是要寻找一个y ，使该值与各采样值x ( 七) ，( k = 1 一) 之间误差的 平方和为最小，即： nn e = m i n e 召= m i n f ( y x ( 老) ) 2 】 ( 2 6 ) 七= 1 k = l 由一元函数求极限原理得： ， y = 丙1 x ( 忌) ( 2 7 ) k = l 这时，可满足式( 2 6 ) 。式( 2 7 ) 便是算术平均值滤波的算法。设第二次测量的测量 值包含信号成分& 和噪声成分g ，则进行次测量的信号成分之和为： ( 2 8 ) 噪声的强度是用均方根来衡量的，当噪声为随机信号时，进行次测量的噪声强度之和 为： ：娟c ( 2 9 ) 式( 2 8 ) 和式( 2 9 ) 中，s 、c 分别表示进行次测量后信号和噪声的平均幅度。这样 对n 次测量进行算术平均后的信噪比为： 丽n s = 何唔 ( 2 1 0 ) 其中，s c 是求算术平均值前的信噪比。因此采用算术平均值后，使信噪比提高 了姻镪。 7 c ，) = 鼠 ：i 第2 章数字滤波理论基础 硕士学位论文 算术平均值法适用于对一般具有随机干扰的信号进行滤波，这种信号的特点是有 一个平均值，信号在某一数值范围附近作上下波动，此时仅取一个采样值作依据显然 是不准确的，如压力、流量、液平面等信号的测量。但对脉冲性干扰的平滑作用尚不 理想，因此他不适用于脉冲性干扰比较严重的场合。由式( 3 0 ) 可知，算术平均值法 对信号的平滑滤波程度完全取决于。当较大时，平滑度高，但灵敏度低，即外界信 号的变化对测量计算结果y 的影响小；当较小时，平滑度低，但灵敏度高。应视具 体情况选取，以便既少占用计算时间，又达到最好的效果，如对一般流量测量，可 取n = 8 1 6 ，对压力等测量，可取n = 4 。 2 2 2 加权平均值滤波 算术平均值法对每次采样值给出相同的加权系数，民p l n 。但有些场合为了改进滤 波效果，提高系统对当前所受干扰的灵敏度，需要增加新采样值在平均值中的比重， 即将各采样值取不同的比例，然后再相加，此方法称为加权平均值法。一个项加权平 均式为： y = g x ( 七) k = l 其中，q ，g ，g 均为常数且应满足下式： 誉= 翼 常数q ，岛，珊的选取是多种多样的，其中常用的是加权系数法，即： q = 去，伤= 罢，= e 芈 其中，= 1 - 4 - e r + e - 2 r + + e - ( n - d r ，7 为控制对象的纯滞后时间。 8 硕士学位论文 数字信号的模糊平滑方法 加权平均值法适用于系统纯滞后时间常数t 较大、采样周期较短的过程，他给不同 的相对采样时间得到的采样值以不同的权系数，以便能迅速反应系统当前所受干扰的 严重程度。但采用加权平均值法需要测试不同过程的纯滞后时间t ，同时要不断计算 各权系数，增加了计算量，降低了控制速度，因而他的实际应用不如算术平均值法广 泛。 2 2 3 滑动平均值滤波 以上平均滤波算法有一个共同点，即每计算1 次有效采样值必须连续采样次。 对于采样速度较慢或要求数据计算速率较高的实时系统，这些方法是无法使用的。例 如a d 数据，数据采样速率为每秒1 0 次，而要求每秒输入4 次数据时，则不能大于2 。 滑动平均值法只采样1 次，将本次采样值和以前的n 一1 次采样值一起求平均，得到当 前的有效采样值。滑动平均值法把个采样数据看成一个队列，对列的长度固定为， 每进行一次新的采样把采样结果放入队尾，而扔掉原来队首的一个数据，这样在队 列中始终有个“最新”的数据。计算滤波值时，只要把队列中的个数据进行平均， 就可得到新的滤波值。 滑动平均值法对周期性干扰有良好的抑制作用，平滑度高，灵敏度低；但对偶然 出现的脉冲性干扰的抑制作用差，不易消除由于脉冲干扰引起的采样值的偏差。因此 他不适用于脉冲干扰比较严重的场合，而适用于高频振荡系统。通过观察不同值下滑 动平均的输出响应来选取值，以便既少占用时间，又能达到最好的滤波效果。其工程 经验值为：流量取1 2 ，压力取4 ，液面取4 1 2 ，温度取1 4 。 2 2 4 中值滤波 中值滤波是对某一被测参数连续采样次( 一般取奇数) ，然后把次采样值从 小到大，或从大到小排队，再取其中间值作为本次采样值。 中值滤波对于去掉偶然因素引起的波动或采样器不稳定而造成的误差所引起的脉 9 第2 章数字滤波理论基础硕士学位论文 冲干扰比较有效，对温度、液位等变化缓慢的被测参数采用此法能收到良好的滤波效 果，但对流量、速度等快速变化的参数一般不宜采用。 2 2 5 防脉冲干扰平均值滤波 在脉冲干扰比较严重的场合，若采用一般的平均值法，则干扰将“平均 到计算 结果中去，故平均值法不易消除由于脉冲干扰而引起的采样值偏差。防脉冲干扰平均 值法先对个数据进行比较，去掉其中的最大值和最小值，然后计算余下的一2 个数 据的算术平均值。即： 1 n - 1 y = 志x ( 七) 其中，x ( 1 ) x ( 2 ) x ( ) ， n 3 。 在实际应用中，可取任何值，但为了加快测量计算速度，一般不能太大，常取 为4 ，即四取二再取平均值法。他具有计算方便、速度快、存储量小等特点，故得到了 广泛应用。 2 2 6 程序判断滤波 工程实践表明，许多物理量的变化都需要一定的时间，相邻两次采样值之间的变 化有一定的限度。程序判断滤波就是根据实践经验确定出相邻两次采样信号之闻可能 出现的最大偏差a y ，若超出此偏差值，则表明该输入信号是干扰信号，应该去掉；若 小于此偏差值，则可将信号作为本次采样值。 当采样信号由于随机干扰，如大功率用电设备的启动或停止，造成电流的尖峰干 扰或误检测，以及变送器不稳定而引起的严重失真等，可采用程序判断法进行滤波。 程序判断滤波根据滤波方法的不同，可分为限幅滤波和限速滤波2 种。 1 限幅滤波 限幅滤波把两次相邻的采样值相减，求出其增量( 以绝对值表示) 】厂，然后与两 次采样允许的最大差值( 由被控对象的实际情况决定) 进行比较，若小于或等于a y ， 1 0 硕士学位论文 数字信号的模糊平滑方法 y = ： ：! - 1 ，l i y y 。( 后k ，) 一- y y 。( 七k 一- 1 1 ，) i i y 且i y ( 3 ) 叫2 ) i y 2 2 7 低通滤波 将普通硬件r c 低通滤波器的微分方程用差分方程来表示，便可以用软件算法来模 拟硬件滤波的功能。经推导，低通滤波算法如下： y ( k ) = q x ( k ) 4 - ( 1 一d ) y ( 七一1 )( 2 1 1 ) 1 1 第2 章数字滤波理论基础硕士学位论文 其中，x ( ) 为本次采样值：y ( k 一1 ) 为上次的滤波输出值：a 为滤波系数，其值通常 远小于1 ；y ( k ) 为本次滤波的输出值。 由式( 2 1 1 ) 可以看出，本次滤波的输出值主要取决于上次滤波的输出值( 注意不 是上次的采样值，这和加权平均滤波是有本质区别的) ，本次采样值对滤波输出的影 响是比较小的，但多少有些修正作用。 这种算法模拟了具有较大惯性的低通滤波功能，当目标参数为变化很慢的物理量 时，效果很好，但他不能滤除高于1 2 采样频率的干扰信号。除低通滤波外，同样可用 软件来模拟高通滤波和带通滤波。 2 2 8 模糊控制滤波 上述几种常用的数字滤波算法中，平均法的基本计算公式可以概括为： g = l ，2 ，m ) 式中，z 是采样数据，可为平滑处理后的数据，m 为数据点数，2 n + 1 为选择的窗i ：1 宽度， h 为加权平均因子，且必须满足下式： 对于简单平均法，有 ( n ) 2 夏玎，即： 娟) 2 赤三砸哪) 坳，= ：，_ 掣= 训 砖 一 00 妻一 = 0 = n 壹一 硕士学位论文 数字信号的模糊平滑方法 式中，z m 是窗函数中z ( t ) 的中位值，z 一由下式定义 z 咖= m a x ( im a x ( x ) 一z mi ，im i n ( x ) 一x mi ) s h a k o u r i 在s h a k o u r i 【1 】1 中提出了最新的一种信号模糊滤波算法。作者运用单一模糊 准则平滑混合数据信号的尖端点，特殊的j f t h e n 模糊准则结构得到广泛的改进， 相比较中值滤波器、自适应加权( 模糊) 均值滤波器、s a v i t z k y - g o l a y 滤波器等传统的 加权均值滤波器表现出了较大的优越性。本文中，基于模糊隶属度函数及模糊变量的 期望值算子，我们将提出一种新的模糊平滑方法。通过与s h a k o u r i 【1 】中的方法在时间 域和频率域上的比较，可看出此方法的优越性。 本文主要是针对社会经济学研究领域内数据统计过程中常出现的混合数据。混合 数据信号是由于样点的数据值与相邻的样点值混淆而导致的误差，这种误差产生的原 因包括测量理念的歧义及测量系统无法完善的辨别相邻的样点值。例如，对一个国家 的年度电能需求的统计，由于评价指标的不同，无法形成一种统一的定义方法。又 如，国民财富生产总值的界定也没有统一的定义。事实上，在经济学领域中除了农 业，大多生产统计在相邻的两年间都没有一个非常清晰的界定，从而造成相应的数据 出现混叠的现象。因此，这种不确定性使得数据记录曲线呈现不规则的振荡。 1 3 第3 章数字信号的模糊平滑方法( n f s ) 硕士学位论文 第三章数字信号的模糊平滑方法( n f s ) 3 1混合数据信号 在详细介绍所提的方法之前，我们有必要先了解混合数据信号的意义。一般有多 种形式的解释，在这里我4 f 弓l x s h a k o u r i 【1 】中对混合数据信号的解释。 假定对于所有的样点。o ( t ) ，本期望是光滑的信号，由于受相邻两点z o o 一1 ) 和z o ( 亡+ 1 ) 的随机干扰，导致： x ( t ) = x o ( t ) + 一z o 一1 ) + c z o ( t4 - 1 )( 3 1 ) 式中，z o ( t ) 表示信号在时亥l j t 的原始数据值，专一和毒+ 是两个未知的随机数。此外，相邻 两点的值可表示为： x ( t 一1 ) = ( 1 一一) z d 一1 ) z ( t4 - 1 ) ；( 1 一+ ) z o + 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 这种预期的事件可能频繁的发生在干扰信号中，我们称之为混合数据信号，当然 不会期望这种信号是光滑的。但是，如果经过合理的设计，信号平滑滤波器能够修复 原始的信号在社会经济学领域的统计中，这种类型的数据采集经常发生，建模者在 将这些数据应用到建模过程之前，需要进行预处理过程，保证数据信号的平滑度。文 中，我们选取数据曲线的尖端角度作为数据混合程度的指标，并通过建立角度的隶属 度函数区分尖端点。 1 4 硕士学位论文数字信号的模糊平滑方法 3 2建立隶属度函数 图1 实验测试信号 为获得数据曲线中每点的尖端度，首先应计算出每点的角度值。在图1 中，是一个 典型的混合数据信号曲线，每一样点的角度记作以。我们可以容易得到角度计算的公式 为： 0 k a u r c t a n i t ki - - t k 五- 1i + a u r c t 衄i t k + _ 二l - - i t k x k + l i z 七一z 七一l 。一z 七 如果考虑到时间和幅度坐标轴尺度的改变，需要对上述公式进行适当的调节， 以避免坐标轴尺度改变的影响。我们可以通过选取一个适当的参数划分z ( ) 的增 值，z ( t ) ，如果时间变量t 是均匀分布的，则这个选取的参数需要满足与z ( t ) 的绝对变 化的均值成比例的条件。实际上，这是一步归一化预处理的过程，能够使得样点角度 值相对独立于坐标轴的尺度。因此上述公式可以调整为如下情形： 以：a r c t a ni ) ( t k - - t k - 1 ) o 七一$ k - 1 + 砌a ni 糕i ， ，y = a e i a x l 式中，7 是一个归一化系数，e ) 表示平均算子。如果时间变量t 是均匀分布的，则a 是 一个常系数，即指a t = t 七一t k - 1 对于每一时刻t 都是不变的；否则的话，我们需要借助 1 5 第3 章数字信号的模糊平滑方法( n f s )硕士学位论文 一个时变参数代替它。 夕o 图2 尖端角度的隶属度函数 我们令样点角度0 为模糊变量。隶属度函数代表模糊变量对某些指定值的隶属程 度。下一步是根据样点的角度值估计尖端程度。图2 描述了角度在0 至霄范围时尖端度 的分布。其中，当角度越接近0 值时，则尖端程度越高，相应的隶属度越接近l ；相反 的，当样点的角度越接近丌值时，则尖端程度越低或者称为非尖端点，相应的隶属度也 就越接近0 。例如，当隶属度取值为l 时，我们可以称对应的样点完全隶属于尖端点。 目前确定隶属函数还没有一种成熟有效的方法，仍然停留在依靠经验确定，然后再通 过实验，试验或者计算机模拟得到的反馈信息进行修正。在这方面国内外学者已经 进行了大量的研究，并正在努力设法解决这个难题，提出了各种各样的确定方法，诸 如模糊统计法，函数分段法，二元对比捧序法，对比平均法，滤波函数法，示范法和 专家经验法等等方法。但是这些探索至今只能对特定的情况解决部分的问题，而不是 从根本上解决问题的一般方法。因此，我们可以根据图2 所描述的大致分布选取一种分 布函数作为隶属度函数用来描述这种关系，然后再通过实验及计算机模拟得到的反馈 信息进行修正在这里，我们选取降半岭形分布： 1 6 硕士学位论文 数字信号的模糊平滑方法 p c p ，。t 茎一丢甑nf 笔c p 一竺笋，三茎三三三 c3 4 ， c r _ 【b ) = 去( s u p p ( z ) + l s u pp ( ) ) 二z bz b c 刚=厂佃州rdr一c咏rdrj0 j e 传】= c r 一 c r 一 p ( 口) = p 1 ，i fp p 1 肚2 ，i fu 4 = 如 p 2 ，l t2 眈 ，i fp = 1 7 第3 章数字信号的模糊平滑方法( n f s ) 硕士学位论文 由定义3 ，2 1 可得出口的期望值是 其中，权因子由下式给出 刚= 似以 = 1 咄2 互1 。詈要 心易以) 一；。罂翌 心i 岛 巩) ( 3 5 ) 式中，i = 1 ，2 ，m 。我们容易验证所有的咄0 并且所有权重的总和为1 ， m 即岫= 1 。在图1 中，测试信号的平均尖端角度或者说p 的期望值是o 7 5 9 2 。在第四章 = 1 的实验对比中，我们将比较信号平滑处理后的平均尖端角度值。 3 3信号平滑滤波 隶属度函数p ( p ) 代表模糊变量咿隶属于尖端点的程度。但为了更好的保留信号原信 息，不能一概的平滑所有的尖端点。因此，有必要设置一个阈值a ，仅仅对于超过预期 阈值范围的尖端点进行平滑处理。 a a = o p a ( o ) a ，口 0 ，7 r 】) ( 3 6 ) 称为氐的久水平截集。 在a 集合中，所有样点的尖端隶属度大于入，我们仅需要平滑集合a a 中的样点。 基于( 3 1 ) ( 3 3 ) 中混合数据信号的特征及相关的理论，并且通过尖端点的隶属度衡 量数据样点所占的权重，从而确定权因子对信号进行平滑处理。在这里，我们选择窗 口为3 ，即信号在t 点的输出值是由信号在此点及相邻两点的输入值经过加权运算得到 的。得出如下平滑公式； 1 8 硕士学位论文数字信号的模糊平滑方法 i = 七+ 1 ( 1 一弘( 如l l x c t t ) y ( t 七) = 坐上面百一 3 一p ( 岛) i = k - 1 ( 3 7 ) 式中，p ( 如) 【0 ，1 】是信号在时刻屯的尖端隶属度，( 1 一p ( 如) ) 代表样点所占的权重。不 失一般性，尖端隶属度越大，则相应的权重越小。当随着口( 如) 的值逼近。时，p ( 如) 的值 将趋向于最大值1 ，也就是说，3 ，( 屯) 的值将完全由z ( 如一1 ) 和z ( 件1 ) 的值确定；相反的， 当随着o ( t i ) 的值逼近7 r 时，p ( 厶) 的值将趋向于最小值0 ，则平滑处理的样点值保持不 变，即可( 如= z ( 如) 。 此外，为了保持整个信号曲线的积分和不变，需要调整相邻样点的输出值。因 此，在时刻t 七一l 和t 七+ 1 的样点数据需要做相应的调整： y ( t k 一1 ) = z ( “一1 ) + 【x ( t k ) 一妙( “) 】2 y ( t k + 1 ) = x ( t k + 1 ) + 【x ( t k ) 一y ( t k ) 2 易证( 3 7 ) 一( 3 9 ) 式均是收敛的。 ( 3 8 ) ( 3 9 ) 接下来的工作是通过实验验证所提方法的有效性。由于在s h a k o u r i 【1 】中，作者将 所提出的m f s 滤波器与中值滤波器【2 】、加权模糊均值滤波器【5 1 、s a v i t z k y g o l a y 滤波 器【6 】、自适应加权模糊均值滤波器【7 】、l e e s i g m a 滤波器【8 】等传统的加权均值滤波器 进行了实验比较，表现出了m f s 滤波器的优越性。因此，本文中主要将所提出的新方 法( n f s 滤波器) - 与s h a k o u r if 1 】所提出的方法( m f s 滤波器) 进行比较，不再具体的 与其它传统的平滑滤波方法进行比较了。 1 9 第4 章实验对比硕士学位论文 第四章实验对比 在这一章，我们将分别从时间域与频率域两个方面的实验来比较n f s 滤波器 与m f s 滤波器的特性。 4 1时域实验对比 首先，我们先从信号平滑处理后的直观图来比较两种方法的平滑效果。图3 直观的 表明，本文所提出的方法( n f s ) 平滑随机测试信号的效果优先于s h a k o u r i 【1 】提出的 方法( m f s ) 。由于衍生一些额外的尖端点，m f s 滤波器破坏了部分原始信号；相对 来说，n f s 滤波器更多地保留了原始信号。我们还将透过计算模糊变量p 的期望值来比 较这两种方法平滑处理( 迭代相同次数) 后的信号平均尖端角度。当然，如果期望值 ( e ) 越大，则表明平均角度值越大，则信号相对就越平滑。表格1 是两种方法分别平 滑处理后的期望值( e ) ，我们可以看到基本上每次迭代实验后，n f s 滤波器平滑的结 果大于m f s 滤波器，或者说要达到相同的平滑效果，则m f s 滤波器需要迭代更多的次 数。 图3 n f s 滤波( 入= o ，5 ) 与m f s 滤波的平滑结果。 硕士学位论文 数字信号的模糊平滑方法 i t e r a t i v et i m e 12 345 6 7 8 n f s0 7 5 9 20 7 9 8 50 9 0 5 61 0 1 0 40 9 8 0 01 2 3 4 31 2 3 5 41 2 7 6 0 e m f s0 7 5 9 20 7 6 4 40 8 7 2 90 9 2 4 0 0 9 6 3 91 0 4 0 91 1 3 5 41 ，1 5 3 6 另外，我们还需要引入不同的，且更具代表性的评价指标进一步验证所提方法 的平滑效果。目前，验证时域上滤波器的处理效果，较普遍采用的指标是均方差 ( m s e ) 或者百分差( p e ) ，以及最普遍采用的信噪比( s n r ) 。均方差的定义如 下： m s e = i l u z 与均方差相对应的百分差( p e ) 公式是： 信噪比的公式为： p e 圳。木锗 跗月= 1 。宰l g 矿1 1 z 研1 1 ( 4 1 ) ( 4 ，2 ) ( 4 3 ) ( 4 1 ) 一( 4 3 ) 式中的z 与y 分别表示初始信号与去噪信号，| | 表示2 范数。经过信号 处理后，如果( 4 2 ) 式中的p e 值越小，则表明去噪算法能更有效地提取信号；相反 的，如果( 4 3 ) 式中的s n r 值越大，则表明去噪算法的效果越好。下面我们将从这两 个方面来比较所提方法与m f s 滤波方法的实验效果。图4 中的原始信号是一正弦波， 加噪信号是在原始信号的基础上加上方差为0 2 的白高斯噪音。现在分别用n f s 滤波器 与m f s 滤波器平滑处理图4 中的加噪信号。 2 1 第4 章实验对比硕士学位论文 图4 初始信号与加噪信号( 初始信号+ 方差为0 2 的白高斯噪音) 如图5 与图6 ，分别是n f s 滤波器与m f s 滤波器平滑处理图4 中的加噪信号后的结 果。表格2 中的数据是两种滤波器平滑不同次数后，对应的百分差值( p e ) 与信噪比 值( s n r ) 。我们可以看到，n f s 滤波器每次平滑处理后的p e 值均小于m f s 滤波器， 如迭代1 6 次后，n f s 滤波器处理后的p e 值减小到1 3 2 2 5 0 ，而m f s 滤波器处理后的p e 值 仅减小到1 4 3 4 0 0 ；另一方面，n f s 滤波器每次平滑处理后的s n r 值均大于m f s 滤波 器，如迭代1 4 次后，n f s 滤波器处理后的s n r 值增大到1 7 2 2 7 2 ，而m f s 滤波器处理后 的s n r 值仅增大到1 6 8 0 6 2 。由此可以看到n f s 滤波器相比较m f s 滤波器的优越性。 图5 n f s 滤波器的信号去噪结果 硕士学位论文 数字信号的模糊平滑方法 图6 m f s 滤波器的信号去噪结果 i t e r a t i v et i m e 24681 01 21 41 6 n f s1 8 4 0 4 3 1 5 6 9 6 21 4 6 4 4 91 4 0 3 0 21 3 8 2 8 21 3 7 7 0 21 3 。7 6 0 61 3 2 2 5 0 p e m f s1 8 8 0 8 81 6 5 8 9 81 5 2 8 8 91 4 7 6 7 21 4 5 3 8 91 4 4 6 1 51 4 4 4 0 21 4 3 4 0 0 n f s1 4 7 0 1 61 6 0 8 4 11 6 6 8 6 31 7 0 5 8 71 7 1 8 4 71 7 2 2 1 21 7 2 2 7 21 7 5 5 3 0 s n r m f s1 3 2 9 4 21 5 1 5 5 71 6 0 7 3 31 6 5 1 6 01 6 6 9 5 51 6 7 7 8 61 6 8 0 6 21 6 8 6 9 0 4 2频域实验对比 通过上述实验比较，说明了本文所提出的模糊平滑方法在时域特性上的优越性。 事实上，所提出的方法在频域上也有良好的特