（凝聚态物理专业论文）两分量玻色爱因斯坦凝聚系统的稳定性和混沌行为.pdf

摘要 玻色一爱因斯坦凝聚是近几十年来倍受关注的课题它不仅提供了一 个研究量子力学基本问题的宏观系统，而且在原子激光，量子计算等领 域有着广泛的应用。而玻色一爱因斯坦凝聚系统中内在的非线性以及与 外场相互作用，使其成为一个典型的混沌系统本文在平均场理论的框 架下以g r o s s - p i t a e v s k i i 方程为主要模型，讨论了外势阱中两分量玻色一爱 因斯坦凝聚系统的稳定性，宏观量子自囚以及混沌特性。同时对激光控 制下的混沌区域进行了讨论。 本文共包括了四个部分第一章简单介绍了平均场理论以及玻色一爱 因斯坦凝聚领域中有关混沌的研究历史，现状和应用。第二章研究了定 态解的稳定性和在含时势阱情况下系统的混沌行为。用线性稳定性定理 分析了相对粒子数布居的定态解的稳定性其结果表明当物理参数满足 一定关系时，定态相对粒子数布居将出现音叉分岔，两个分支分别对应 着不同的定态解，这种情况称为亚稳定，对应的两个态分别称为亚稳态， 它们描述定态盼宏观量子自囚。我们也考察了初始条件、跃迁系数和相 对能量对非定态宏观量子自囚的影响，得到了周期的宏观量子自囚。最 后，我们研究了势阱含时条件下，相对粒子数布居从倍周期分岔到混沌 的演化过程。随着含时相对能量的增加，相对粒子数布居的振动周期也 变大。当相对能量达到( 或大于) 一个临界值时，相对粒子数布居的振动 周期将趋近于无穷大，此时，系统出现混沌同时我们发现系统存在混 沌的宏观量子自囚。 第三章用直接微扰理论求解了此系统的m e l n i k o v 混沌解和有界性条 件，由此我们得到了参数的混沌区域发现混沌区域与初位相有关，而且 不同于以往的m e l n i k o v 混沌参数区域的是，这个混沌区域直接与系统的 初始条件相关而b e c 系统的初始条件通常不能被精确确定，但是我们 发现通过变化初始相位、激光的频率等可调的参数可以改变混沌区域。 由此我们得出结论：可以调节激光的频率来控制系统从有序到混沌( 或 从混沌到有序) 的变化过程 最后，我们在第四章中对本文做了简要的总结，并对该领域前景作了 一点展望。本文中，作者的研究工作集中在第= 章和第三章。 关键词：玻色一爱因斯坦凝聚，稳定性，混沌，分岔 p a c s ：0 3 7 5 l m ，0 5 4 5 a c ，3 2 8 0 p j ，0 5 3 0 j p i i a b s t r a c t b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o nh a sb e e na na t t r a c t i v es u b j e c t si nr e c e n td e c a d e s i tn o to n l yo f f e r st h ep e r f e c tm a c r o s c o p i cq u a n t u ms y s t e m st oi n v e s t i g a t em a n y f u n d a m e n t a lp r o b l e m si nq u a n t u mm e c h a n i c sb u ta l s oh a se x t e n s i v e l ya p p l i c a t i o n f o r e g r o u n d ss u c ha 8i na t o ml a s e ra n dq u a n t u mc o m p u t a t i o n i t si n t r i n s i cn o n l i n - e a r i t ya n dt h ei n t e r a c t i o nw i t he x t e r n a l l ya p p l i e df i e l d sm a k e i tak i n do fc l a s s i c a l c h a o t i cs y s t e m ，i nt h ef r a m e w o r ko fm e n u f i e l dt h e o r yt h eb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e sa r eg o v e r n e db yt h eg r o s s p i t a e v i s k i ie q u a t i o n w ei n v e s t i g a t et h es t a b i l i t y ， m a c r o s c o p i cq u a n t u ms e l f - t r a p p i n g ( m q s t ) a n dc h a o t i cp r o p e r t i e so fap e r i o d i c a l l y d r i v e nb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e ( b e c ) w i t ht w oh y p e r f i n es t a t e si na s i n g l ew e l l w ea l s og i v eas c h e m ef o rc o n t r o l l i n gt h ec h a o t i cr e g i o no ft h es y s t e mb yu s i n ga l a s e rf i e l d t h i sp a p e rc o n s i s t so ff o u rp a r t s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w es h a l lg i v eas i m p l ei n t r o d u c t i o nt ot h em e a n - f i e l dt h e o r ya n di t sh i s t o r y , r e s e a r c hs t a t u sa n d a p p l i c a t i o n s o fc h a o si nb e c i nt h es e c o n dp a r t ，w es t u d yt h es t a b i l i t yo fs t a t i o n a r ys t a t e sa n d c h a o t i cb e h a v i o ro ft h et w o - c o m p o n e n tb e c s y s t e m t h es t a b i l i t i e so ft h es t e a d y - s t a t es o l u t i o n sa r ea n a l y z e dw i t hl i n e a rs t a b i l i t yt h e o r e m t h er e s u l ts h o w st h a tt h e s t e a d y - s t a t er e l a t i v ep o p u l a t i o nw i l la p p e a rt h et u n i n g - f o r kb i f u r c a t i o n ，w h e nt h e p h y s i c a lp a r a m e t e r sh o l dac e r t a i nr e l a t i o n a n dt h et w ob i f u r c a t i o n so ft u n i n g - f o r k d e n o t et h et w os t e a d y - s t a t e so fr e l a t i v ep o p u l a t i o n t h e ya r ec r i t i c a l l ys t a b l e ，t h a t i sa s s o c i a t e dw i t ht h em e t a s t a b l es t a t i o n a r ym q s t t h e d e p e n d e n c eo ft h em q s t o nt h ei n i t i a lc o n d i t i o n s 、t h ep o p u l a t i o nt r a n s f e ra n dt h er e l a t i v ee n e r g yi sr e v e a l e d ， a n dt h ep e r i o d i c a lm q s ta r ef o u n d f i n a l l y ，w en u m e r i c a l l yf i n dt h a tt h er e l a t i v e p o p u l a t i o no s c i l l a t i o nw i l lu n d e r g oap r o c e s sf r o mo r d e rt oc h a o s t h r o u g has e r i e s o fp e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o n s t h eo s c i l l a t i n gp e r i o do ft h er e l a t i v ep o p u l a t i o n i n c r e a s e sg r a d u a l l yw i t ht h ei n c r e a s eo ft h et i m e d e p e n d e n tr e l a t i v ee n e r g yw h e n t h er e l a t i v ee n e r g yi se q u a lt oo rg r e a t e rt h a nac r i t i c a lv a l u e ，t h eo s c i l l a t i n gp e r i o d o ft h er e l a t i v ep o p u l a t i o nt e n d st oi n f i n i t y ，c h a o se m e r g e s m e a n w h i l e ，w ef i n dt h e c h a o t i cm q s t i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h em e l n i k o vc h a o t i cs o l u t i o na n db o u n d e d n e s sc o n d i t i o n s a r ed e r i v e df r o mad i r e c tp e r t u r b a t i o nt h e o r yt h a tl e a d st ot h ec h a o t i cr e g i o n si n i i i t h ep a r a m e t e rs p a c e d i f f e r i n gf r o mt h eu s u a lr e s u l t s ，t h ec h a o t i cr e g i o n sd e p e n do n t h ei n i t i a lc o n d i t i o n sd i r e c t l mt h e r e f o r e ，w ec a i lc h a n g et h ec h a o t i cr e g i m et h r o u g h v a r y i n gt h e i n i t i a lp h a s e ，f r e q u e n c ya n da m p l i t u d eo fl a s e ra n dt h eo t h e rp a r a m e t e r s p a r t i c u t a r l y jw ep r o p o s e a s i m p l em e t h o dt oc h a n g et h ea r e a so ft h ec h a o t i cr e g i o n s a n dt oc o n t r o lt h ec h a o s - o r d e rt r a n s i t i o n sb yt u n i n gt h el a s e rf r e q u e n c y i nt h el a s tp a r to ft h i sp a p e r ，w e 舀v eas i m p l es u m m a r ya n dd i s c u s s i o nt ot h e a b o v e - m e n t i o n e dw o r k h e r e ，o u rm a i nw o r ki si n v o l v e di nc h a p t e r st w oa n dt h r e e ， k e y w o r d s ：b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e ，s t a b i l i t y , c h a o s lb i f u r c a t i o n p a c s ：0 3 7 5 l m ，0 5 4 5 ，a c ，3 2 8 0 p j ，0 5 3 0 j p i v 第一章绪论 1 - 1引言 1 9 2 4 年，印度的物理学家b o s e 将光子作为其数量并不守恒的全同粒子 处理而成功地导出了p l a n k 黑体辐射定律f 1 1 在b o s e 子构成的系统中， 容许不止一个粒子占有同一量子态基态，因而在t = 0 时，所有粒子将趋 向于占有最低动量态，亦为最低能量态，这样就形成了动量( 或波失) 空 间的凝聚体e i n s t e i n 从理论上预言，理想b o s e 气体在降温过程中达到 一临界温度时，宏观数星的粒子将占有基态，即发生玻色一爱因斯坦凝 聚( b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ，缩写为b e c ) 而处于这种新状态的物质 被称为玻色爱因斯坦凝聚体( b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e s ，缩写为b e c s ) 。 在凝聚体中，宏观数量上的b o s e 原子通过宏观的方式表现相同的量子特 性。b e c 思想提出以后，许多科学家纷纷设计实验探索b e c 的迹象。 1 9 3 8 年，f l o n d o n 将4 h e 于2 1 7 k 转变为超流态解释为相互作用b o s e 系 统的b e c 和低温液氦中的阻尼力消失形成的超流相似，某些金属在低 温下会失去电阻而形成超导由于在低温条件下，金属中的自旋相反的电 子会形成很强的与b o s e 子相似的c o o p e r 电子对，于是超导的相变和b e c 相似但是在以上的b e c s 中，或相互作用太强，或是强关联，在理论上不 容易处理。而气态原子b e c s 属弱相互作用b o s e 气体，相互作用在理论上 较易处理。于是，人们就把注意力放在利用碱金属气体原子实现b e c 。 碱金属原子都是b o s e 子，非常适合b e c 现象的研究；同时他们有磁矩， 这使他们能够被磁场囚禁；他们有单电子结构，其内部结构非常适合于 激光冷却至极低温度2 0 世纪8 0 年代激光技术，例如激光制冷和磁光 囚禁，被发展用于冷却和囚禁中性原子【2 】，这为后来最终实现b e c 打下 了基础。1 9 9 5 年e a c o r n e l l 与c f w i e m a n 等采用激光冷却再加上蒸发冷 却的技术首先将8 7 r 6 气体冷却到1 0 0 n k 的量级，观测到了b e c ；随后又 有人在n a ，l i 和h 等原子气体中观察到类似的现象实际上，b e c s 的超 流性质只能通过一些特征反映出来，如持续的j o s e p h s o n 遂穿流。于是， b e c 系统的类j o s e p h s o n 效应吸引了许多物理研究者的兴趣1 9 9 6 年， 考虑b o s e 原子的多体相互作用，d a l f o v o ，p i t a e v s k i i 和s t r i n a r i 建议了一个 实现j o e p h s o n 效应的实验：囚禁于耦合双势阱中的b o s e 凝聚原子气体中 间存在着足够高的势垒，从而可以忽略在经典禁止区中波函数的重叠部 分。当两个势阱中的化学势不同，那么两个势阱之间将产生中性原子流。 而两个势阱中的化学势之间的差异能够通过调节两个势阱中的原子数量 的不同来实现，并对简单的一维情况下的j o s e p h s o n 流作了分析1 3 】3 1 9 9 8 年，z 叩a t a ls o l s 和l e g g e t t 研究了两个弱关联的b o s e - e i n s t e i n 原子系统之 间的j o s e p h s o n 效应，和在高低势垒两种极限情况下，原子间的相干，并 运用上述框架于3 维相互作用的b o s e e i n s t e i n 凝聚系统，推导出了小振幅 j o s e p h s o n 流的具体形式【4 ，他们的分析结果表明，系统中的j o s e p h s o n 效 应可能可以在实验中观察到。但是，如果粒子数量超过临界值，系统中的 j o s e p h s o n 效应被抑制 5 如果双势阱系统中参数适当，s m e i z i 等人认为 会出现两种新型的j o s e p h s o i l 效应【6 】_ ( 7 i ：一种是丌位相j o s e p h s o n 效应， 耦合的两凝聚体的相对位相的时间平均值为丌另一种是宏观量子自囚 效应，两阱中凝聚的b o s e 原子数之差的时间平均值不妁零基于s i p e i z i 等人的工作，j e w i l l i a m s 分析了实验上观察j o s e p h s o n 效应的最优参数 条件 8 】。l m k u a n g 等人将这一物理情况进行了推广，研究了系统中存 在的两种相互作用，即不同凝聚体之间的作用和凝聚体中原子之间的相 互作用，以及它们对系统j o s e p h s o n 效应的影响他们的结果显示，凝聚 体之间的非线性相互作用显著地影响宏观量子自囚效应，导致原子布居 数和j o s e p h s o n 流的崩塌和回复现象【9 。由于两个超精细态分布b o s e 凝 聚原子的实验实现 1 0 ，1 9 9 9 年，w i l l i a m s 等人建议了一个在单势阱中 的两个超精细态布居b o s e 凝聚原子的实验他们通过一个弱场驱动论证 了在单势阱中的两个超精细态之间存在着j o s e p h s o n 效应 1 1 1 l e g g e t t 将 上述两种物理情景区分为外部和内部j o s e p h s o n 效应 1 2 】。光缔和 1 3 】与 f e s h b a c h 共振实验预示了在实验上产生分子凝聚体的可能性【1 4 】一 1 9 。而 最近人们已经观测到了分子玻色一爱因斯坦凝聚【2 0 】耦合的原子b e c 和 分子b e c 之间的大振幅的相干遂穿运动已经在理论上被预测v a u g h a n 等人研究了耦合的原子一分子玻色爱因斯坦凝聚中孤子的特性【2 1 1 如将b e c s 载入光学驻波形成的光格中，可以形成j o s e p h s o n 节长链一 维情况下的原子相干和原子遂穿流相继在实验中被观察到【2 2 1 一1 2 3 尤 其在2 0 0 2 年，在实验上观察到三维j o s e p h s o n 节长链中的原子相干遂穿 流 2 4 】对于势阱不随时间变化的情况，即静态势阱，温度也多被认为处 于绝对零度，b o s e 原子全部处于凝聚状态。然而，在实验上，我们可以 控制激光，例如振动激光的位置和调节激光的强度，使势阱能够随时间 周期变化同时，由于实验是在有限温度。( 约n k 量级) 下进行的，所以 系统也存在阻尼 3 2 】【3 3 】，例如非凝聚原子对凝聚原子的碰撞散射，两个 凝聚体之间的相互作用当考虑这些影响，混沌会出现。这是一个很多 研究者共同关注的课题 随着实验技术的发展，科学家开始进入到b e c 与其他科学的交叉区 域的研究。在近f e s h b a c h 共振条件下，两分量超冷费米原子气体的实现 开启了研究b e c 到b a r d e e n c o o p e r s c h r i e f f e r ( b c s ) 交叉区域超流性质的可 能性。由6 肌和4 4 【2 6 f 3 0 】的f e r m i o n i c 原子组成的分子b e c s 是一个实 验上研究从b e c 到b c s 交叉区域的系统，而且这两个实验【2 9 1 ，【3 0 已经 证实了在交叉区域f e r m i o n i c 原子对的凝聚本质具有两超精细态的简并 费米气体在b c s b e c 的交叉区域中，当准分子键的阈值降低，连续超流 相变将从b c s 型变到b e c 型【3 1 】，在b e c 区域，根据分子与f e s h b a c h 共 振和c o o p e r 对相关，他们解释了超流相变 自从非线性科学产生以来，它渗透到自然科学甚至社会科学的各个 领域凝聚态物理学中也存在大量的非线性问题。非线性科学也包括非 平衡过程中的一些重要概念，如孤子，分岔，混沌，突变和自组织等正 越来越为凝聚态物理学家所熟悉作为上世纪- - i - 新兴的科学，混沌已 经吸引了人们的广泛兴趣，早在1 9 世纪末，庞加莱( h p o i n c a r d ) 在研 究三体系统的稳定性时就发现，即便是只有两个自由度的保守系统，都 能做出难以想象的复杂运动。随着计算机技术的发展，人们开始用数值 计算的方法来求解一些解析方法不能解决的非线性问题。1 9 6 3 年，气象 学家洛伦兹( e l o r e n z ) 在对大气热对流模型的数值分析中发现了确定 性非周期流1 9 6 4 年，天文学家埃农( m h d n o n ) 与海尔斯( c h e i l e s ) 在星系中星体轨道的数值研究中再次发现了当年庞加莱发现的不规则运 动。所有这些研究结果表明，在经典力学中普遍存在着一种尚未为人们 所认识的运动形式一确定性 昆沌自从认识到 昆沌普遍存在于经典系统 当中这一事实后，人们开始明白了运动的确定性并不等于运动的可预测 性的道理同时人们开始用新的眼光来看待各个科学领域中的不规则运 3 动。从而出现了上世纪7 0 年代以后的混沌科学的蓬勃发展时期。混沌的 许多研究成果已经在不同的领域得到了广泛的应用，诸如在化学，生命 科学，通讯等领域混沌的大量研究最初集中于经典动力学系统。在经 典意义上人们对混沌的概念达成了共识，即在确定性系统中其动力学行 为出现不可预测性，并且敏感依赖于系统的初始条件。在认识到混沌在 经典力学中的重要地位后，人们自然的将确定性混沌的概念推广到量子 力学中去。按照玻尔的对应原理，将量子力学应用到宏观运动上所得的 结果应该和经典力学的结果一致，因此力学系统的混沌特征也必然要在 其量子力学性质上有所表现然而，到目前为止人们并不清楚由量子力 学描述的微观世界混沌运动的详情。因此，人们对量子混沌的概念还有 所争论。目前量子混沌研究的一个主要方向是研究经典混沌系统在量子 力学处理中的混沌特征【3 4 】 使用经典混沌的定义，人们研究了非线性效应给凝聚体系统带来的 时间混沌，空间混沌，甚至是时空混 屯性质。其亡p 畋寸时间混沌性质的研 究主要采用的方法为两模【6 】或多模近似【2 5 并且集中于凝聚原子的 j o s e p h s o n 混沌遂穿等性质上比如a b d u l l a e v 和k r a e n k e l 利用两模近似的 方法研究了两弱耦合玻色一爱因斯坦凝聚原子的相对布居数在遂穿幅度 含时 3 5 和8 一波散色长度随时间变化两种情形下的非线性共振和混沌振 荡。另外，l e e 【3 6 】和h a i 【3 7 】等人在相同的近似框架下还讨论了两弱耦 合凝聚体系统相对布居数随时间演化的m e l a i k o v 混沌，频率锁定，以及 混沌的几率密度等。p c o u l l e t 3 9 】讨论了两耦合凝聚体中的l o r e n z 混沌 和混沌自囚的性质同时，人们也研究了热粒子对凝聚体的补充以及三 体重组对凝聚体的耗散作用 3 8 】。最近，人们对两分量的玻色一爱因斯坦 凝聚也特别关注。n a r a y a n a n 等人研究了在强耦合情况下的两分量玻色一 爱因斯坦凝聚的动力学演化，证明了塌缩、r a b i 振荡都与失谐及势的位 置有关 4 0 】。同时，人们也发现在强共振磁场驱动下的局域原子数密度 超过一个临界值时，玻色爱因斯坦凝聚体的序参量将出现不稳定。这种 不稳定性与空间相关，而不稳定性是由玻色一爱因斯坦凝聚原子间的短 程相互作用决定的【4 1 接着g e n k i n 又研究了在r a b i 共振下强驱动两分 量玻色一爱因斯坦凝聚的元激发光谱结果表明，光谱出现两个类声子 分支。由于散射长度不同，两个分支的b o g o l i u b o v 声速不同于无驱动下玻 4 色一爱因斯坦凝聚的b o g o l i u b o v 声速，这导致了超流性的改变【4 2 】。谐振 子势中弱耦合的两分量玻色一爱因斯坦凝聚的转晕态引起人们的兴趣， 【4 3 给出了当总的角动量为0 到3 时的转晕态和能量本征值，解释了角动 量为奇数，偶数时本征态的差异随着光学技术的发展，它被广泛应用 于玻色一爱因斯坦凝聚的研究中o s t r o v s l m y a 等人研究了一维光学晶格 中的两分量玻色一爱因斯坦凝聚的非线性局域化。结果表明：与自旋相 关的光学晶格能有效地控制玻色一爱因斯坦凝聚体分量间的非线性相互 作用f 4 4 。k u k l o v 等人利用r a m s e y 光谱学知识来探测超导流得出处于 光学晶格中两分量超冷原子可以形成超导流相在准分子玻色一爱因斯 坦凝聚模型下，单分量的玻色一爱因斯坦凝聚体是不存在的，净原子流 也是禁锢的 4 5 】。 除了对两态或双阱系统的研究外，人们还研究了三耦合凝聚体动力 学中的混沌遂穿，混沌自囚，动力学不稳定性等【4 6 ，【4 7 】性质。在对这个 宏观量子系统的研究中，人们发现当原子间相互作用的8 一波散射长度远 小于原子间的平均距离，并且凝聚原子数足够大时，平均场方法是一类 有效而又方便的方法1 4 8 】平均场方法作为本文的出发点，我们有必要 对其要点做一简单回顾 1 2 g r o s s p i t a e v s k i i ( g p ) 方程 对于稀薄气体b e c ，可以用已有的理论来很好的描述它，该方程被 称为g p 方程。利用该方程可以分析b e c 的特性并预言b e c 的许多新特 征。在二次量子化方法中，n 个相互作用的玻色原子系统的h a m i l t o n i a n 能够表示为 4 8 疗= d 面【_ 罴v 2 + ( 而】蛔 + ；d 蒯踯+ ( 力矿( 1 = ；) 附一) 娴西( 力 其中西+ ( 而和1 】5 ( 力分别表示为产生和湮灭场算符。 系 【每+ ( 力，西( 力 = 6 ( r r 7 ) 5 他们满足b o s e 对易关 ( 1 2 ) k 。( 砷是外场囚禁势。v ( e 一声) 是两体相互作用势1 9 4 7 年，b o g o l i u b o v 提出了稀薄玻色气体的平均场理论，其后被b e l i a e v 推广，其关键思想是 西( 刁分离为凝聚和非凝聚部分 砂( 刁= ( 妒( 刁) + 砂7 ( 刁 其中 渺( 而) 兰西( 而 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 这里妒( 而为玻色子宏观波函数，即是场算符的期待值如果系统的温度 极低，币，( 力是小量，即非凝聚部分非常少，我们可以把硒，( 力看成微扰。 将多体h a m i l t o n i a n ( 1 1 ) 代入h e i s e n b e r g 方程，得场算符妒( ff ) 满足的方 程 托甍审( t t )；嘶e t ) ，日1 = 【一羔v 2 + 印( 巧1 每喊t ) + + 痧移+ ( 1 = ；，t ) y ( 1 = ；一固移( ，= ；，) 每( 一t ) ( 15 ) 在实现b e c 的条件中，原子间的相互作甩起很重要的作用。虽然原子间 的相互作用很复杂，但是通过赝势法，将相互作用转变为有效作用势， 可简化到只用低能相移参数来表示在量子力学中，低能散射相移与势 的形状无关，而只依赖于一个参数。，称为散射波长。用刚球模型处理稀 薄气体原子，y ( 一一司可以用一个有效作用势来表示 矿( 尹一囝= 9 6 ( 7 = ；一而( 1 6 ) 这里g 为耦合常数，与s 波散射长度n 相关。理论表明，s 波散射长度 和作用于原子的磁场有关，在一定的磁场条件下，a 可以为正也可以为 负，正表示两体作用相互排斥，负表示两体作用相互吸引。n 的大小和 正负可通过f e s h b a c h 共振【4 9 】 8 1 技术来调节。一般n 的符号任意，即可 正可负 ：了4rh2ag ( 1 7 ) 2 【l ，j 这里m 是玻色原子的质量。在温度为零的条件下， 以得到宏观波函数西( 而满足的方程 岳西( ct ) = 一罴v 。+ m ，印( 动+ g ( f 驯2 曲( t f ) 6 将( 1 6 ) 代入( 1 5 ) 可 ( 1 8 ) 这就是著名的g r o s s p i t a e v s k i i ( g p ) 方程1 9 6 1 年，g r o s s 和p i t a e v s k i i 分别 独立完成其推导这也是用平均场理论处理b o s e e i n s t e i n 凝聚系统的基本 方程绝大多数研究b o s e - e i n s t e i n 凝聚的工作都是在上述基本方程的基 础上展开的当然，本文的工作也是以( g p ) 方程为基本出发点，只是由 于两分量系统是在两光子脉冲的驱动下耦合而成，所以在方程的右边就 含有失谐项。这是( g p ) 方程在具体系统的一个应用。 1 3 本文的主要内容 随着激光技术的发展，实验条件的改善，激光被有效地运用于玻色一 爱因斯坦凝聚的研究中也正是激光技术的加入，为玻色一爱因斯坦凝 聚的研究开拓了新的方向，使我们对玻色一爱因斯坦凝聚的宏观量子自 囚 7 】，【9 、混沌f 3 5 一【3 9 j 、塌缩等有趣特性的研究增添了强有力的工具 在本文中，光场控制下的b o s e - e i n s t e i n 凝聚体是我们所关注的系统。 我们考虑了两分量b o s e e i n s t e i n 凝聚体定态解的稳定性和周期驱动下系 统的混沌特征。本文的主要结构如下：第一章为绪论，主要列出了我们 对相关课题的调研情况。第二章中，我们考虑了系统定态解的稳定性和 在含时势阱情况下系统的混沌行为。用线性稳定性定理求解了相对粒子 数布居的定态解。其结果表明当物理参数满足一定关系时，定态相对粒 子数布居将出现音叉分岔，两个分支分别对应着不同的定态解，原来的 定态已经不再稳定，这种情况称为亚稳定，对应的两个态分别称为亚稳 态，它们描述定态的宏观量子自囚。同时，我们也考察了初始条件、跃迁 系数和相对能量对非定态宏观量子自囚的影晌，得到了周期的宏观量子 自囚。最后，我们研究了势阱在含时的情况下，相对粒子数布居从倍周 期分岔到混沌的演化过程随着含时相对能量的增加，相对粒子数布居 的振动周期也变大当相对能量达到( 或大于) 一个临界值时，相对粒子 数布居的振动周期将趋近于无穷大，此时，系统出现混沌。同时我们发 现系统存在混沌的宏观量子自囚在第三章中，我们用直接微扰理论求 解了此系统的m e l n i k o v 混沌解和有界性条件，由此我们得到了参数的? 昆 沌区域。不同于以往的m e l n i k o v 混沌参数区域的是，这个混沌区域直接 与系统的初始条件有关而初始条件可以通过变化初始相位、激光的频 7 率和振幅等可调的参数来改变。由此我们就可以通过只调节激光的频率 来控制系统从有序到混沌( 或从混沌到有序) 的变化过程。另一方面， 激光频率、跃迁常数等其它参数也将直接影响混沌区域的大小最后在 第四章中对本文做了简要的总结和展望。本人的主要工作集中在第二章 和第三章。 8 第二章定态解的稳定性与周期驱动下的混沌 2 1引言 从理论上预言玻色爱因斯坦凝聚体 1 】_ ? 】 到1 9 9 5 年利用弱相互作 用碱金属气体在磁囚禁势阱中实验实现，人们对超冷玻色气体的研究取 得了重大突破。自此以后的十年间，人们对该领域做了广泛的研究。其 中包括了诸如凝聚体的尺寸，形状【4 8 】，【5 5 】，稳定性【5 6 【5 9 等静态特征 和集体激发 6 0 ，涡旋【6 1 等动力学性质。许多研究者还研究了凝聚物质 中的有趣的含时行为，比如象凝聚体的塌缩和混沌1 3 5 一【3 9 ，宏观量子自 囚【7 ，【9 】以及凝聚体内爆【6 2 1 等近来，两弱耦合玻色一爱因斯坦凝聚体 之间的宏观量子特性倍受关注r o b e r t s 等人研究了吸引相互作用的玻色 一爱因斯坦凝聚体的稳定性他们发现，利用f e s h b a c h 共振调节原子间的 相互作用，使之从排斥相互作用到吸引相互作用，则玻色爱因斯坦凝 聚体会发生塌缩，奇怪的是，当原子数目达到一个临界值时，原子会从 凝聚体中发射出来最后他们通过改变吸引相互作用强度得到系统稳定 性条件【8 1 。a b d u l l a e v 也考虑了初始条件对稳定性的影响f 8 2 由于应 用的需要，人们首先关心的是系统的稳定性。本章在第二节中对两分量 的玻色一爱因斯坦凝聚体的稳定性进行了分析 如前所述，平均场理论是研究玻色一爱因斯坦凝聚体问题的一个成功 而有效的方法 4 8 。在这一理论框架下，系统的动力学行为主要由非线性 的g p 方程来描述由于它包含了由多体相互作用导致的非线性项，所以 它可以描述这一宏观量子系统中许多有趣的非线性效应，比如分岔，t 昆 沌等等基于以前的工作，我们将还用平均场方法来解决文中的问题。在 本章中，我们研究的是两分量玻色一爱因斯坦凝聚体系统的稳定性和时 间混沌关注相对位相和相对粒子数布居的非线性动力学，我们首先用 线性稳定性定理分析了定态解的稳定性发现对应于特定的物理参数， 相对粒子数布居的定态是临界稳定的。定态相对粒子数布居出现一个典 型的音叉分岔而且此时系统出现定态的宏观量子自囚。接下来，我们 考虑了非定态的宏观量子自囚数值结果表明，跃迁系数，相对能量 9 7 和参数u 都分别对这个周期的宏观量子自囚产生影响实验上，可以 通过振动激光的位置和调节激光的强度 6 一 7 来施加一个含时外势项 最后，我们用数值的方法考察了含时势阱情况下，系统的混沌效应。我 们发现，随着相对能量7 的增加，相对粒子数布居将从周期振动经倍周 期分岔而进入混沌。 2 2磁光阱中的两态系统 考虑到j i l a 所做的实验 1 1 】，处于单势阱中的b e c 的两个超精细态 可分别写成1 f = 1 ，m = 一1 ) ，l f = 2 ，m = 1 ) ，这里f 、m 分别表示 总的角动量和磁量子数【5 1 】为了书写方便，我们把这两个态分别写成 1 1 ) = 1 1 ，一1 ) ，1 2 ) = 1 2 ，1 ) 在弱外磁场中，这两个态被两光子脉冲耦合，同 时采用旋波近似忽略原子与场相互作用的高频项。我们就得到耦合平均 场中两超精细态的g p 方程f 1 1 ，【3 6 】 z 掣：旧+ 砰f + ：i 皿l i f , t ) + n 皿2 ( 碱 ，“i 、。土 i 掣：l h o + h m ，一：l 雪2 ( f t ) + q 皿l ( f 西， ( 2 1 ) u “ lj 其中，皿- t ) 、皿。( ( t ) 是1 1 ) 、1 2 ) 态的波函数，它们的模方在全空间的 积分给出每个态的粒子数l ( ) ，总的粒子数n = l + n 2 是一个常数。 h o = 譬+ k ( r ) ( z = 1 ，2 ) 是自由演化哈密顿量，聊f = 划峨1 2 + 九j l 皿，m = 1 ，2 ) 是平均场相互作用哈密顿量 。，= a i j z 舶为平均场强度，它与散射 波长。玎成正比，而与谐振子长度。= 川可i 并面成反比，m 为r b 原子 的质量q 为耦合脉冲的r a b i 频率，失谐量d = u d 一叫。，u d 是两光子 脉冲的驱动频率，u 。为两态间的跃迁频率。这里，我们把波函数写成分 离变量的形式皿。t ) = 蛾( t m ( 而，西i ( t ) = 棚寸丽e 协t ( t ( i = 1 ，2 ) 蛾( t ) 是波 函数皿。( ft ) 的含时部分；蛾( 力与时间无关，描述了波函数第i 个分量的 空间分布，啦( ) 为凝聚体的相位。把这个分离变量后的波函数代入到方 程( 2 1 ) 中，并对整个坐标空间积分，得到含时部分蛾( t ) 满足的非线性方 1 0 槎 3 6 】 i 掣= 阻；+ 砜+ 飓巩z 卜m 喇， i 掣= 障一；+ 2 啪1 巩扣牡炳， ( 2 z ) 其中 霹= 惦( 力碰协( 力d t ( 2 3 ) = 导1 讥( 即1 2 l 咖( 力1 2 d 尹= u j 。 ( 2 4 ) o s n oj ：q 厂妒；( 囝咖1 ( 雨d 尹：n 厂妒；( 神妒2 ( 习d 矿 ( 2 5 ) 霹为每个态的零点能，描述原子间的平均场相互作用，k 描述两态 间的跃迁粒子数。同时，忽略有限温度效应和阻尼，引入相对粒子数变 量 叩( t ) ；( 2 ( t ) 一l ( t ) ) ，( 2 6 ) 和相对倚相 毋( ) ia 2 ( t ) 一n 1 ( f ) ， 联合方程( 2 6 ) 、( 2 7 ) 与方程( 2 2 ) 满足的动力学方程 日= 一2 k 、研s i n ， ( j ；= 7 + u q + 2 k q ( 1 一卵2 ) 一 c o s 咖 其中参数，y ，u 分别为 7 = e ? 一聊+ 半“ u = - 塑半， ( 2 7 ) 我们得到相对粒子数和相对位相所 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 方程( 2 8 ) 、( 2 9 ) 暗示了q ( t ) 和( ) 为一对正则变量，他们满足正则方程 竹= 一鬻，函= 鬻。这里守恒量为系统的等效哈密顿量 日训+ 筹牡2 卿c o s ( 2 1 2 ) 从上面的表达式，我们发现不对称度和失谐产生了相对能量1 ，平均场 相互作用产生了参数u ，耦合决定了跃迁常魏 3 6 1 。因此，改变不对 称度、失谐、平均场相互作用以及耦合，系统的动力学演化都将发生改 变。在对称的情况下( 1 = o ) ，也就是两超精细态的相对能量达到平衡 时( e 0 _ 霹，u 1 - = u 2 。，d = 0 ) ，我们能得到一些有趣的性质。下面我们 将讨论对称情况下定态的稳定性。 2 3定态解的稳定性分析 稳定性是我们在应用中对系统的基本要求，定态则是系统在时间演 化中自发趋近的状态，因此人们对定态的稳定性很感兴趣一般来说， 有两种方法研究非线性系统的稳定性：线性稳定性定理 5 3 】和l y a p u n o v 直接分析法。本文中我们采用第一种方法分析系统的稳定性。 当方程( 2 8 ) 、( 2 9 ) 等于0 时，我们就能得到系统的定态解而当相 对能量吖0 时，定态解的形式非常复杂为了能简单的说明问题，我们 取7 = 0 ，对应着两个超精细态的相对能量达到平衡的情况所以， 日= ，1 ( 卵，曲) ：一2 k 撕j 孑s i n 咖，( 2 1 3 ) 函= ，2 ( ，毋) = ，q + 2 k q ( 1 一叩2 ) 一 c o s 曲，( 2 1 4 ) 其守恒能量为 = i u ，2 2 k 研c 。s i j 5 令竹= 0 ，函= 0 ，方程( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 变为 一2 k 们= 币s i n 曲= 0 ， u q + 2 k 7 1 ( 1 一”2 ) 一 c o s 妒= 0 1 2 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 由方程( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) 我们就能得