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时滞反应扩散神经网络的稳定性分析 摘要 人工递归神经网络是国内外广泛关注的一个异常活跃的研究领域。根据系统 基本变量选取的不同，递归神经网络可分为局域神经网络和静态神经网络两类， 现有的关于递归神经网络研究大多集中于局域神经网络，关于静态模型的研究较 少，尤其对带反应扩散项的静态神经网络鲜有报道。然而，静态神经网络模型却 具有广泛的代表性，许多重要的神经网络归结于静态模型。对此，本文讨论了反 应扩散静态神经网络的全局鲁棒稳定性和反应扩散局域神经网络的绝对指数稳 定性。本文共讨论下面四个问题： 1 离散变时滞反应扩散静态神经网络全局鲁棒稳定性 2 分布时滞反应扩散静态神经网络全局鲁棒指数稳定性 3 离散时滞反应扩散局域递归神经网络绝对指数稳定性 4 分布时滞反应扩散局域递归神经网络绝对指数稳定性 本文结构如下： 第一部分介绍了神经网络的背景和研究所需理论知识。 第二部分首先研究了离散变时滞反应扩散静态神经网络全局鲁棒稳定性，其 次研究分布时滞反应扩散静态神经网络全局鲁棒指数稳定性，通过利用拓扑度理 论证明了系统平衡点的存在性，通过构造合适的l y a p u n o v 函数，不等式技巧， 得到系统平衡点全局鲁棒稳定的充分条件，最后的实例说明了条件的有效性。 第三部分重点研究了离散时滞反应扩散局域递归神经网络绝对指数稳定性， 对一类激活函数，得到了系统唯一存在平衡点和绝对指数稳定的充分必要条件， 然后用所得结论考虑了分布时滞情形，最后用数值例子说明了所得结果。 第四部分对本文进行了总结，并提出了进一步研究的问题。 关键词：反应扩散；神经网络：全局鲁棒稳定性；绝对指数稳定性 s t a b i l i t ya n a l y s i so fr e a c t i o nd i f f u s i o nn e u r a ln e t w o r k s w i t ht i m ed e l a y a b s t r a c t a r t i f i c i a lr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sa r eav e r ya c t i v er e s e a r c ha r e ai nt h e s ey e a r s r e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sc a i lb ed i v i d e di n t ot w ot y p e sa c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n c e o fb a s i cv a r i a b l e s ：l o c a lf i e l dn e u r a ln e t w o r ka n ds t a t i cn e u r a ln e t w o r k , h o w e v e r , m o s t c u r r e n tr e s e a r c h e sa b o u tr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sf o c u s e do nt h el o c a lf i e l dm o d e l s ， l i t t l ea b o u tt h es t a t i c o n e s ，n o tt o m e n t i o nt h es t a t i cn e u r a ln e t w o r k sw i t h r e a c t i o n d i f f u s i o nt e r m s h o w e v e r , s t a t i cm o d e l sa r e 晰d e l yr e p r e h e n s i v e m a n y u s e f u ln e u r a ln e t w o r k sa l em o d e l e da ss t a t i cm o d e l s i nt h i sp a p e r , w ew i l li n v e s t i g a t e t h e 舀o b a lr o b u s ts t a b i l i t yo fs t a t i cn e u r a ln e t w o r k sw i t hr e a c t i o n - d i f f u s i o nt e r m sa n d a b s o l u t e l ye x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o fl o c a lf i e l dn e u r a ln e t w o r k s p r e c i s e l y , f o u r p r o b l e m sa r ec o n s i d e r e d ： 1 蕾o b a lr o b u s ts t a b i l i t yo fs t a t i cn e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y sa n d r e a c t i o n - d i f f - u s i o nt e r m s ： 2 g l o b a lr o b u s te x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fs t a t i cn e u r a ln e t w o r k sw i t hd i s t r i b u t e d d e l a y sa n dr e a c t i o n - d i f f u s i o nt e r m s ； 3 a b s o l u t e l ye x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o fl o c a l f i e l dn e u r a ln e t w o r k sw i t h t i m e - v a r y i n gd e l a y sa n dr e a c t i o n - d i f f u s i o nt e r m s ： 4 a b s o l u t e l ye x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo f l o c a lf i e l dn e u r a ln e t w o r k sw i t hd i s t r i b u t e d d e l a y sa n dr e a c t i o n d i f f u s i o nt e r m s t h ep a p e ri sd i v i d e di n t of o u rp a r t s ： t h eb a c k g r o u n do fn e u r a ln e t w o r k sa n dm a t h e m a t i c a lk n o w l e d g en e e d e da r e i n t r o d u c e di ns e c t i o n1 i ns e c t i o n2 ，g l o b a lr o b u s ts t a b i l i t yo fs t a t i cn e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m e v a r y i n g d e l a y sa n dr e a c t i o n - d i f f u s i o nt e r m si sf i r s t l yi n v e s t i g a t e d ，a n dt h e ng l o b a lr o b u s t e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o fs t a t i cn e u r a ln e t w o r k s 、析n ld i s t r i b u t e d d e l a y s a n d r e a c t i o n - d i f f u s i o nt e r m si sc o n s i d e r e dw i t ht h es i m i l a rm e t h o d ，t h ee x i s t e n c eo f e q u i l i b r i u mi sp r o v e db yu s i n gt o p o l o g yd e g r e e ，a n das u f f i c i e n tc o n d i t i o ni so b t a i n e d f o rt h eu n i q u e n e s sa n dg l o b a lr o b u s ts t a b i l i t yb yc o n s t r u c t i n gas u i t a b l el y a p u n o v f u n c t i o na n di n e q u a t i o ne s t i m a t i o n f i n a l l y , t w oe x a m p l e sa l eg i v e nt oi l l u s t r a t et h e r e s u l t s i ns e c t i o n3 ，a b s o l u t e l ye x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fl o c a lf i e l dn e u r a ln e t w o r k s i t h t i m e - v a r y i n gd e l a y sa n dr e a c t i o n - d i f f u s i o nt e r m si si n v e s t i g a t e d , as u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o ni so b t a i n e d t og u a r a n t e et h ee x i s t e n c eo fe q u i l i b r i u ma n d a b s o l u t e l ye x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , t h e nt h em o d e l 、 r i md i s t r i b u t e dd e l a y si sc o n s i d e r e d b yt h es a m er e s u l t s f i n a l l yan u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt os h o w nt h er e s u l t s t h ec o n c l u s i o n so ft h ep a p e ra r es u m m a r i e d , a n ds o m ep r o b l e m st h a tn e e dt h e f u r t h e rr e s e a r c ha r ep u tf o r w a r di ns e c t i o n4 k e yw o r d s ：r e a c t i o n d i f f u s i o n ；n e u r a ln e t w o r k s ；g l o b a l r o b u s t s t a b i l i t y ； a b s o l u t e l ye x p o n e n t i a ls t a b i l i t y 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 ( 逵! 垫逡查基他霞要挂别虚明鲍! 奎拦亘窒2 或其他教育机构的学位或证书使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：圣，l 磐 签字日期：2 p 口缉j 月 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息 研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公 众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：刮岩 签字日期：如d g 年i 朋日 i 导师签字弓p 圣 签字眺峙月矽日 时滞反应扩散神经网络的稳定性分析 0 引言 世界著名的人工智能专家h e r b e r ta s i m o n 教授指出“人类已经被四大难所吸 引住了，即物质之本质、宇宙的起源、生命的本质和智力来源于物质。我们从 事认知科学研究的全体人员的殊荣就是花费毕生的精力去研究这四个问题中的 最后一个。 实际上，人工神经网络是以对大脑的生理研究成果为基础的，其目的在于模 拟大脑的某些机理与机制，实现某个方面的功能。国际著名的神经网络研究专家， 第一个神经计算机公司的创立者与领导人h e c h tn i e l s e n 给人工神经网络下的定 义是：“人工神经网络是由人工建立的以有向图为拓扑结构的动态系统，它通过 连续或断续的输入作状态响应而进行信息处理。 这一定义以“信息处理这一 用词作为“智力活动 的代名词，虽然似乎有弱化的倾向，但是前者似乎更技术 化，因而更贴切，而后者更加哲理化，所以人工神经网络更加为工程技术者青睐。 人工神经网络的产生与发展，经历了一个曲折艰难的历程。神经网络领域的 研究始于1 9 世纪末和2 0 世纪初，它源于物理学、心理学和神经生理学的跨学科研 究，主要代表人物有h e r m a nv o nh e l m h o l t s ，e r n s tm a t h 和i v a np a v l o v 。这些早期研 究主要着重于有关学习、视觉和条件反射等理论，并没有包含有关神经元工作的 数学模型。 现代神经网络的研究可以追述n 2 0 世纪4 0 年代，1 9 4 3 年，心理学家w a r r e n m c c u l l o c h 和数理逻辑学家w a l t e rp i t t s 的工作，他们合作发表在“数学生物物理 学会刊 ( b u l l m a t h b i o p h y s ) 杂志上的一篇文章n 1 。他们总结了生物 神经元的一些基本生理特性，提出形式神经元的数学描述与结构方法，第一次从 原理上证明了人工神经网络可以计算任何算术和逻辑函数，建立了现在称之为 m p 模型的数学模型，通常认为他们的工作是神经网络领域研究工作的开始。在 w a r r e nm c c u l l o c h 和w a l t e rp i t t s 之后，1 9 4 9 年，心理学家d o n a l dh e b bn 1 通过对大 脑神经细胞学习和条件反射的观察，提出了突触联系效率可变的假设和以他名字 命名的学习模型，其学习规律为：神经元之间的连接是可以变化的，第f 个和第_ 个神经元的连接权重可由这两个神经元的兴奋加以调节，从而建立了神经网络的 基础，在各种神经网络模型的建立中起了重要作用。 1 时滞反应扩散神经网络的稳定性分析 人工神经网络第一个实际应用出现在2 0 世纪5 0 年代后期，1 9 5 7 年，f r a n k r o s e n b l a ! t t 发展了m p 模型，首次提出了感知机和联想学习规则。r o s e n b l a t t 和他的 同事构造了一个感知机网络，试图模拟动物和人脑的感知和学习功能，并公开演 示了它进行模式识别的能力。这也是第一次将神经网络的研究从理论转入工程实 现阶段，这些早期的成功引起了许多人对神经网络研究的兴趣。不幸的是，后来 研究表明基本的感知机网络只能解决有限几类问题。此后，b e m m dw i d r o w 和t e d h o 鹧i 入了一个新的学习算法用于训练自适应线性神经网络。它在结构和功能上 类似于r o s e n b l a a 的感知机。w i d r o w h o f f 学习规则至今仍然还在使用。尤其值 得指出的是：m i n s k y 和p a p e r t 于1 9 6 9 年出版的感知器一书从数学上证明感知 器不能实现异域逻辑问题而使神经网络的研究陷入低估，使神经网络的研究进入 停止的阶段。直到上世纪8 0 年代，或得了关于人工神经网络切实可行的算法，以 及以v o nn e u m a n n 体系为依托的传统算法在知识处理方面日益显露出来的力不 从心后，人们才重新对神经网络产生兴趣。 直到8 0 年代，随着个人计算机和工作站计算能力的急剧增强和广泛的应用， 以及不断引入新的概念，克服了摆在神经网络研究面前的障碍，人们对神经网络 的研究的热情空前的高涨。标志人工神经网络第二次研究高潮到来的是美国加州 工学院物理学家j o h i lh o p f i e l d 教授于1 9 8 2 年和1 9 8 4 年发表在美国科学院院刊上 的两篇举世瞩目的文章3 一。h o p f i e l d 教授把神经元等价地用r c 电路网络描述， 并构造出由大量这种神经元构成网络时的能量函数为l y a p u n o v i 函数，证明了在连 接权矩阵对称时网络能稳定于若干平衡点。这类神经网络它有四大特点：1 h o p f i e l d 神经网络有联想记忆功能，联想记忆是人脑具有的特殊功能；2 h o p f i e l d 神经网络可以在集成电路上实现，这是应用的基础；3 有网络能量定律，这是理 论研究的依据；4 有描述网络的动力方程，这是研究网络的动力行为的基础。正 是由于h o p f i e l d 神经网络的四个特点赋予了这种网络的极强的生命力，引起了众 多学者研究h o p f i e l d 0 经网络的热潮，理论和应用成果层出不穷。 近十几年来，许多具备不同信息处理能力的神经网络已被提出来并应用于许 多信息领域，如模式识别、自动控制、信号处理、决策辅助、人工智能等领域。 神经计算机的研究也为神经网络的理论研究提供了许多有利条件，各种神经网络 模拟软件包、神经网络芯片以及电子神经计算机的出现，体现了神经网络领域的 2 时滞反应扩散神经网络的稳定性分析 各项研究均取得了长足的进展。同时，相应的神经网络学术会议和神经网络学术 干0 物的大量出现，给神经网络的研究者们提供了许多交流的机会。 时滞反应扩散神经网络的稳定性分析 1 概述 1 1 神经网络的分类 人工神经网络的分类多种多样，例如可以按照实现方式、连接方式、应用对 象、拓扑分类和学习规则划分。但是基本分类方式是按拓扑结构和学习规则分类， ( 1 ) 前馈网络：前馈神经网络是多层网，是一种有师指导下的神经网络，这种网 络的信息处理原理是基于从输入到输出的变换机理，神经网络的实现是从一个输 入向量空间x 到输出向量空间y 的非线性变换t ：x y 。前馈网络没有反馈，输 出不能返回调节输入而建立动态关系。( 2 ) 反馈网络：反馈神经网络中神经元之 间互相连接，一个神经元即接收其他神经元的输入，同时也输出给其他神经元信 号。反馈网络是反馈系统，输出返回调节输入而建立动态关系，反馈网络通常称 之为递归人工神经网络。 递归人工神经网络可分为离散型和连续型，其模型分别对应了离散动力系统 和连续动力系统。根据基本变量的不同选择，连续型递归神经网络的数学模型 又可细分为局域递归神经网络模型( l o c a lf i e l dr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r km o d e l s ) 和静态神经网络模型( s t a t i cr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r km o d e l s ) 两类。 使用局域状态( 神经元内部状态) 作为基本变量的递归神经网络模型被称为 局域递归神经网络，其基本形式为： 亟d t = - a ，x i + 喜崦讹h 扣1 2 ，z ( 1 _ 1 ) 其中，z 代表神经元的个数，表示从神经元到神经元f 的连接权重，乃表示神 经元的激活函数，表示神经元的偏流。 静态神经网络模型使用神经元的外部状态作为基本变量，基本形式为 亟d t = - a t x ，+ 乃( 喜嘞啪) f - 1 2 玩 ( 1 - 2 ) 其中理代表神经元的个数，表示从神经元j 到神经元f 的连接权重，表示神 经元，的激活函数，表示神经元的偏流。 4 时滞反应扩散神经网络的稳定性分析 由于人工神经网络在实现过程中不可避免会产生时间延迟现象，所以，人们 又把这种方程推广到如下类型的时滞微分方程： 1 离散时滞递归神经网络 警= 1 而+ 善讹( ，一枷，i - - l , 2 , - - - n 2 分布时滞递归神经网络 誓= 嘲+ 善n 坳乃( j c d 乃o ) x j ( t 一 2 ，玎 其中k j ( s ) 为核函数。 3 蝴布时滞递归神经网络 d m x _ f = - a i x i + 喜嘞乃( 吼。) x j ( t + d ) + ，f = 1 ，2 疗 其中砚( j ) 为有界变差函数。 4 反应扩散递归神经网络 由于电子在非均匀电场中运行会出现扩散现象，因此，廖晓昕等首先研究 了如下反应扩散h o p f i e l d 递归神经网络模型 詈= ；| ；毒卜嚣) - q 娟一+ 嘉嘞z c 吩p ，功+ 五，嘲 其中玩为反应扩散算子。 5 时滞反应扩散递归神经网络 鲁一- - 喜i 毒( n i k 妻) _ 帆 小芸嘞彳c 吩9 一勺+ ，堋 6 具m a r k o v 跳变参数的递归神经网络 鲁一吡( f ) ) 葺+ 喜呐( f ) ) 讹( r ) h 小1 ，2 ，疗 其中r ( t ) 为右连续的m a r k o v 过程。 7 随机扰动的递归神经网路 时滞反应扩散神经网络的稳定性分析 电= ( 一q 毛+ 乃( _ o ) ) + ) 出+ 毋吒( f ) ) 衄( ，) ，i = l ，二 2 堋 j | 1 其中b ( t ) 为b r o w n 运动。类似可以在模型卜6 中增加随机扰动项。 注1 当勺= 乃o ) 时，模型为变时滞神经网络模型。 2 对于静态神经网络模型也可以做相应推广。 1 2 本文研究的内容 本论文主要从神经网络的数学模型出发，利用应用数学的观点，从理论上进 行神经网络平衡点的稳定性研究，以便利于在实际应用中更好的设计稳定的网 络。具体地说，主要研究时滞反应扩散静态神经网络平衡点的全局鲁棒稳定性和 一类递归神经网络的绝对稳定性。事实上，已有文献大多研究的是递归神经网络 的动力学行为，而对静态神经网络的研究较少，由于静态神经网络的广泛代表性， 对其进行研究具有理论和应用两方面的价值。对于绝对稳定性，大部分文章还限 于模型1 和模型2 的情形，对于具有反应扩散项的网络模型研究较少。基于此，本 文主要利用m 矩阵理论、拓扑度理论，通过构造合适的l y a p u n o v 函数，研究下 面四个问题： ( 1 ) 离散变时滞反应扩散静态神经网络的全局鲁棒稳定性 詈= 喜毒b 薏 - q 吡一+ z c 喜吩( 卜勺( ，) ，x ) + ， 詈= c 。( 詈，善 = 。t t o _ o x 魂 ( 岛+ s ，z ) = 仍( j ，x ) 一气( t o ) - s - o ，o s 乃0 ) 乃x q ，i = l ，2 ，刀 ( 2 ) 分布时滞反应扩散静态神经网络的全局鲁棒指数稳定性 鲁= 善毒( 巩差) - 嗍以小z ( 喜嘞l 吩( 蹦) 巧( f s p + ) 笔i 勘= o 灿x 讹 扰i = 馋( s ，x ) - o o o x m “，( 气+ s ，x ) = 仍( s ，x ) 一f 占s o ， x q ，i - - 1 ，2 ，刀 ( 4 ) 分布时滞反应扩散局域递归神经网络的绝对指数稳定性 鲁= 喜毒( 玩玺) - q ( 纠+ 喜以砌+ 喜勺毋c l 吻( 蹦) 巧( 阳脚+ 娑l 越= 0 t ox 讹 o n z = 仍( 占，z )- o o s 0 ； ( 3 ) 存在一个向量孝= ( 磊，磊，己) r 0 ，使得鸳 0 ； 1 3 2 拓扑度理论 在研究系统 x = 厂( ) 7 时滞反应扩散神经网络的稳定性分析 的平衡点的存在性时，往往化为b a n a c h 空间上的算子方程 f c x ) = 0 的解的存在性。在四”空间中，对拓扑度理论的一个描述的解释是：对于四”中的 有界开集uc 四”，设f ：u 一届”，其中u = u u o u 表示u 的闭包，o u 表示u 的 边界。若f c o u ) 0 ，则用整值函数d ( f ，u ，o ) 记函数在u 上关于0 的度。 d ( f ，u ，0 ) 表示方程厂( x ) = 0 在u 内解得某种“计数个数 。假若d ( f ，u ，0 ) = l ， 则方程f ( x ) = 0 在u 内至少有一个解，因此可以用拓扑度理论研究平衡点的存在 性问题。 引理1 2 若d ( f ，u ，p ) 0 ，则厂( x ) = p 在u 内至少有一个解。 时滞反应扩散神经网络的稳定性分析 2 时滞反应扩散静态神经网络全局鲁棒稳定性 2 1 引言 时滞反应扩散递归神经网络是用偏泛函微分方程描述的一类递归神经网络， 这类神经网络具有很强的应用背景。如果考虑递归神经网络模型的动力行为仅依 赖于时间，则此时的神经网络模型是一个常微分方程。如果不仅考虑动力行为依 赖于时间，而且还要考虑时间的延迟，那么，这时的递归神经网络模型是一个时 滞微分方程。然而，严格地讲，当电子在一个非均匀的电磁场中运行时，在神经 网络中，扩散现象是不可避免的，是不能忽视的。因此，研究递归神经网络的动 力行为时，不仅要考虑时间延迟，还要研究空间随时间的涨落。廖晓昕等在文献 i s - 6 中首先研究了如下不含时滞的反应扩散h o p f i e l d 递归神经网络模型： l 警= 喜毒h 玺) - q 比一+ 荟n 嘞乃卅 【詈= “( 詈，妻 - 。， 岛 o 艇讹 然而，发生在神经元之间相互作用而产生的时滞，由此产生的振动和不稳定 性现象往往影响一个网络的稳定性。因此，王林山和徐道义在文献 7 中首先研 究了如下时滞反应扩散递归神经网络的动力行为 詈= 喜丢卜善 - q 嘶+ 喜乃( u f i t - r u ( ，) 瑚+ 詈= c o ( 差，妻) - 。t t o _ o x 加 ，( 岛+ 晶x ) = 仍( s ，x )一乃( ，o ) j o ，o 乃( f ) 乃xe g l ，i = l ，2 ，刀 其中q 0 ，乃( f ) 和光滑函数d o ( t ，x ，”) 0 分别表示轴突信号传输过程中的延迟 和扩散算子，表示神经元之间相互连接的权值，五分别表示状态变量和空 间变量，是外部输入，z 为激活函数，q 是具有光滑边界的紧集，并且在四肼 中的测度m c a s q 0 ，在上述条件下系统的解是存在唯一的。 9 时滞反应扩散神经网络的稳定性分析 当神经网络用来求解方程或用来求解最优控制等问题时，要求队外部输入有 一个唯一的全局渐近稳定的平衡点。关于局域递归神经网络模型，已有很多结果， 如 8 2 0 。相对来说，时滞静态神经网络的全局指数稳定性结果较少，尤其对于 反应扩散神经网络的研究很少有报道。在实际应用中，往往对系统的系数不能精 确测量，或者由于计算机的储存问题，使得不能精确储存系数的大小，因此研究 系数不确定系统的鲁棒稳定性更符合实际要求：另外，信息传输过程中引起的时 滞也不总是一个常数，因此研究变时滞的系统比常时滞系统更有意义。基于以上 考虑，本部分研究分别具有离散变时滞和分布时滞的反应扩散静态神经网络的全 局鲁棒稳定性。 2 2 离散变时滞反应扩散静态神经网络全局鲁棒稳定t l 生 本节考虑如下变时滞反应扩散静态神经网络 詈= 喜毒( 巩薏) - 小z c 嘉嘞“疋一毛( f ) ，x ) + ， 警= c o - ( 善，妻 = 。t t o _ o x 勰c 2 舢 u i ( t o + s ，x ) = 仍( 以x ) 一( 岛) j o ，o 气( r ) z q ，i = 1 ，2 ，珂 其中q o ，乃( f ) 和光滑函数岛o ，x ，甜) o 分别表示轴突信号传输过程中的延迟 和扩散算子，表示神经元之间相互连接的权值，坼，一分别表示状态变量和空 间变量，是外部输入，z 为激活函数，q 是具有光滑边界的紧集，并且在四研 j 4 = 卜蚓q ) ；捌螽 i e 舻q s i 肚么“、 ( 2 - 2 ) l 彬= w = ( w ：l ) 。跏；芝矿，i 点兰墨s 瓦，v 形形 定义范数：= 【卜( x 1 2 出 ，h 表示向量“四“的欧氏模。 定义2 1 对于具有条件( 2 2 ) 的系统( 2 1 ) ，若对任意的么4 ，w 形，系统 ( 2 1 ) 的唯一的平衡点甜。- - 0 4 ，迸，屯) 是全局稳定的，则称系统( 2 1 ) 是全局鲁 时滞反应扩散神经网络的稳定性分析 棒稳定的。 定理2 1 如果系统( 2 - 1 ) 满足如下条件： ( h ，) 存在常数q o ( f = 1 ，2 ，刀) 使得( j ) 一石( f ) 卜ql s r l v s ，tei 2 ( h ：) c = 4 一讲臂为m 一矩阵，其中瞄= 9 弼l 。柚) ， i , j = 1 ，2 ，以。 4 = d i a g ( a 。，红) ， d ：= d i a g ( q ，) ，i 屹i = ，瞰也l ，i 巧l 则系统( 2 1 ) 存在唯一全局鲁棒稳定的平衡点。 证明：第一部分：平衡点的存在性。 由( h 1 ) 有 定义 l f , ( s ) l - o 使 一嘶妇 o 令 u ( 民) = 扰：p 】+ r = o + ( 鸽一们付) 。1 叮r + 厂( o ) ) ( 2 - 7 ) 则u ( 风) 非空且由( 2 - 6 ) ，( 2 7 ) 知，对坛a u ( 蜀) 有 日+ ( 1 一旯) p 】+ + a ( 4 一仃w ) p 】+ 一( 4 一仃瞄) 。1 仃r + 厂+ ( o ) = ( 1 一兄) 阱+ 力( 4 一口瞄) q o 见【o ，1 】 即h ( u ，旯) o ，v u a u ( r ) ，允【o ，1 】。因此，由同伦不变性知 d ( 乃，u c e , o ) ，o ) = d ( h ( ”，1 ) ，u ( r ) ，o ) = d ( ( 甜，o ) ，u ( r ) ，o ) = 1 其中d ( 办，u ( r ) ，o ) 表示拓扑度。由拓扑度定理知，h ( u ，j ) = o 在u ( r ) 上至少有 一个解，即系统( 2 1 ) 至少有一个平衡点。 第二部分：平衡点的唯一性和全局鲁棒稳定性。 假设甜= 0 ：，甜；，u ：7 是( 2 - 1 ) 的一个平衡点，并且 “( ，) = 0 。( f ，z ) ，“：( ，x ) ，( r ，x ) ) r 是系统( 2 7 1 ) 异于“+ 的一个解。把系统( 2 - 1 ) 1 2 时滞反应扩散神经网络的稳定性分析 改写为： 掣= 钭玩掣训协8 ， + z ( 壹嘞吩( f 一勺 0 ，使得 定义l y a p u n o v 函数 矿( f ) =喜巧0 坼( ，) 一矿o ：+ q 姜i i 【拍，8 叶( 晶x ) 一矿o ：出) 则矿o ) 沿系统( 2 - 1 ) 的解的右上d i n i 导数为 。+ 矿o ) l ：。喜i 一q i i 一“那：+ q 窆j = l f w i l l l 叶( f 一勺( ，) ，x ) 一矿o ： + q 萎l 坳i i l 吩( ，z ) 一z c l i ：一q 芸l 嘞l l l 叶( r 一乃( f ) ，x ) 一“；o ：) = 喜 一巧q i i 珥一甜那：+ 呒喜1 l i i 叶( l x ) 一z c i i ：) 喜卜嚆巳州i i i l f t ll 户i 一吼 芝 一堡+ 羔乃，：i 屹一“棚： 庙1 l 。l j 州磐刮： 1 4 ( 2 1 2 ) 0 o w 0 仃 。同 一 q 一 时滞反应扩散神经网络的稳定性分析 其中k - - m 。蛐i n 墨一言乃，：，以 。由c 2 一，2 ) 知，系统c 2 - ，) 的平衡点“是稳 定的，且有 y ( ，) + k 国吼d s y ( 。) ( 2 1 3 ) 即j 芝i = 1 一鼯川：幽 o w叮一 吒 时滞反应扩散神经网络的稳定性分析 c 击阳蚓+ 嘉q 吣- b 。) ， 则系统( 2 - 1 ) 存在唯一的全局鲁棒稳定的平衡点。 事实上，( h 3 - - h 。) 中的任何一个都可推出c 为m 一矩阵。 注：1 若d 雎= 0 ，则系统( 2 1 ) 为时滞静态递归神经网络。 2 若q = i = 丝，嘞= 堕= 瓦，则系统( 2 1 ) 的全局鲁棒稳定性化为全 局稳定性。 3 在本文中，去掉了激活函数的有界性，单调性及光滑性。 4 由本节定理可以看出，反应扩散项对系统的稳定性并不产生影响。 2 3 分布时滞反应扩散静态神经网络全局鲁棒指数稳定性 本节考虑如下分布时滞反应扩散静态神经网络 警= 喜毒b 差) - q 嘶+ z ( 窆1 = 1 峋l 吩( 蹦) ( 灿+ ) 罢l = o f ox a q( 2 1 5 ) d 甜，= 仍( j ，x ) 一o o s o ，x e 【 l ，i = l ，2 ，刀 其中核函数满足：f 巧( s ) 曲= l ；r ( f ) 出 + ；r 纪k u ( t ) d t = 1 。系数仍然 f4 = 么= d i a g ( 口j ) ；4 4 i e 一a ， 0 使得关于模l i i i ：，有 1 6 时滞反应扩散神经网络的稳定性分析 u ( t ，x ) - u 1 1 2 _ o ，使得，l 彳( 5 ) 一z ( f ) 卜qi s r i v s ，f 四； ( h ：) c = 4 一硼吁为m - 矩阵，其中w = 0 弼i 。研) ，f ，j f = 1 ，2 ，刀。 4 = d i a g ( a 1 ，鱼) ，盯= d i a g ( o 。，吒) ，j 吩。i = m 觚 l 丝l ，i 习) ，则系统( 2 1 5 ) 存在唯一全局鲁棒指数稳定性的平衡点。 证明：第一部分：平衡点的存在性 定义 乃 ，) = a u 一厂甜+ ，) 其中厂c w “+ j ，= ( 石( 喜m ，叶+ 五) ，五( 喜，叶+ 厶 ，z ( 喜吩+ 厶 ) 类似 定理2 1 的证明知，系统( 2 - 1 5 ) 至少存在一个平衡点。 第二部分：平衡点唯一性和全局鲁棒稳定性。 假设狂= g ：，“；，甜：厂是系统( 2 - 1 5 ) 的一个平衡点， 且 o ) = 0 。o ，x ) ，“：o ，x ) ，o ，x 矿是系统( 2 1 5 ) 异于甜的任一解，把( 2 - 1 5 ) 改 写成 掣= 埘玩掣h 卅 + 彳( 窆l 巧( f s h ( s ，x ) 出+ ) 一z ( 宝巧+ l ) 用”，一甜；乘以( 2 1 6 ) 式两端，积分得 1 7 时滞反应扩散神经网络的稳定性分析 圭舢训2 血= 善l ”矿) 毒卜 由( 2 1 0 ) 得 + rr n 叭丢 d x q ( 坼一矿) 2 d x 哟( ( f ) ，x ) + 卜陲嘞巧+ 洳州一兰k - ! 巩( 掣卜叱州出 + m 窆 z - i 从而由( h 1 ) 及h s l d e r 不等式得 昙她( r ) 一u i i ：2 = 一2 窆k = l 量圾 + 2 ( 嘶 ) 叽) 碘二灿+ 卜陲巧+ 、f n 一矿) l j = l 卜州i i u , - u ；： 坳z 。( ，一乃。) ，x ) + ) 一彳陲 ( 一矿) 出 ( 2 1 7 ) 肛咖 帕卅 = 之q i i 嘶一就川：+ 2 ( 嘶一西) 喜i 峋i q i l k , , f s ) ( 咋( j ) 一巧 之q i i 一西哐+ 2 i i 一坼, 8 2 ：善n i q i ql 局( r j ) 忱一酊贬出 因为c = 厶一硼吁为m - 矩阵，所以存在 o ( f = 1 ，2 ，刀) 使得 定义函数 e ( 刁) 2 乃( 蚋) 一喜q ，：f 蚓p ( j 灿 ) i 字 文一 掣 o 嵋0 盯 。川 一 q 一 巧 即 0 、， 2 ，l巧 得使 o见 在存以所 0 嵋0町 片m q r 1 = 、l ， o ，l 巧 = m 童( 时滞反应扩散神经网络的稳定性分析 睦一见) 一窆乃，： j l i 屹if 口加o 灿 0 定义1 , y a p t m 。v 函数y ( f ，x ) = e 刀窆圳甜， 号l d i n i 导数为 d + 矿 ( 2 - 1 8 ) 一甜 i i ：，则v 沿系统( 2 - 1 5 ) 的解的右上 仁。，= 知m 喜，：，一矿l l ：+ 口m 喜。丢慨一“训： p 刀 兄喜，：，o 甜，一甜川：一喜 qu 一矿o ： + 喜l 嘞i ql 巧。一圳i 一矿0 ：凼 ) e 刀 一喜( 口j 一五) i i 咋一“川：+ 喜芸i i ql 巧( f s ) 一巧i i ：出 s p m 一喜( q 一名) i i 坼一酊i l ：+ 喜喜q ，：i 嘞ll 巧( r s ) 忱一w i i ：出 注意到l 巧o s ) 恢( s ) 一甜川：出= r 杨( s ) 忱( r s ) 一 i i ：出，所以 矿( r ) 一p - 喜( q 一无) ，：i i 吣) 一矿1 1 2 + 勘i=1j = li b l 尚叫叫叫揪呻吲2 1 因为 f e 刀窆i = l 窆j = iq ，：i ll 巧( j ) 忱( f j ) 一刎：衄r = 喜喜i 屹i r 乃，：，巧( j ) f 矿i i 约( f s ) 一u ：1 1 2d , 出 = 喜喜1 i 乃。j c o 巧( s ) f - j p “什( f ) 一u ：1 1 2 d , 出 f 巧( s ) p 以f + f 慨( f ) 一矿l i ：d r d s + j c o 巧( j ) f p “f + j 忆( f ) 一u ：l l ：d r & = j c o ( j ) p 知f s e 2 ri k ( f )