（应用数学专业论文）年龄相关随机种群扩散系统的最优控制和ε最优控制.pdf

宁夏大学硕十学位论文巾文摘要 摘要 本文研究了具有随机扰动的年龄相关种群扩散系统的最优生育率控制和最优生育率控制问 题主要研究内容有以下几方面： 1 、简要总结了随机最优控制的主要方法给出了有关方面的文献，介绍了种群系统及其最优 控问题的发展背景及研究成果并在年龄相关随机种群扩散系统的允许控制集为弱列紧集的基础 上，主要运用i t 5 公式、b a r k h o l d e r d a v i s g u n d y 不等式及g r o n w a l l 引理证明了其对应解 的强收敛性，进而讨论了年龄相关随机种群扩散系统的最优控制问题，并证明了最优生育率控制 的存在性 2 、由于考虑突发事件的影响我们在原来的年龄相关随机种群扩散系统中加入了泊松跳，使得 该数学模型能更准确地描述人口密度的发展变化。并讨论了带跳的年龄相关的随机种群扩散系统 最优控制问题，得到了最优控制的存在性 3 、无限维空问的控制问题和与之相对应的有限维空间的控制问题紧密相联我们通过构造一 个随机种群扩散系统有限维问题的最优解序列，使得该序列的极限收敛到对应无限维空间的最优 控制，最终得到了年龄相关随机种群扩散系统的5 最优控制问题，并证明了该问题最优控制的存 在性 关键词：种群扩散系统；p o s s i o n 一跳；最优控制；最优控制；i t 5 公式 一i 一 宁夏大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rs t o c h a s t i ca g e d e p e n d e n tp o p u l a t i o ns y s t e mw i t hd i f f u s i o na l es t u d i e d w em a i n l y i n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fo p t i m a la n de - o p t i m a lb i r t hc o n t r o lo fs t o c h a s t i ca g e d e p e n d e n tp o p u l a t i o n s y s t e mw i t hd i f f u s i o n a n dt h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e ri sc o n s t r u c t e da sf o l l o w i n g 1 、t h em a i ni n v e s t i g a t em e t h o do fs t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o la n dr e l a t i n gr e f e r e n c ea l es u m m a - n z e db r i e f l y ，t h ed e v e l o p m e n tb a c k g r o u n da n da c h i e v e m e n to fp o p u l a t i o ns y s t e ma l ea l s oi n t r o d u c e d a n dw ep r o v et h a tt h es e to fa d m i s s i b l ec o n t r o l si sw e a ks e q u e n t i a l l yc o m p a c t ，b yu s i n gi t 5f o r m u l a ， b a r k h o l d e r d a v i s g u n d y si n e q u a l i t ya n dg r o n w a l ll e m m aw ep r o v et h a tt h ew e a kc o n v e r g e n c e i m p l ys t r o n gc o n v e r g e n c eo ft h ec o r r e s p o n d i n gs o l u t i o n b a s e do nt h i sr e s u l tt h ee x i s t e n c eo fo p t i m a l b i r t hc o n t r o lo fs t o c h a s t i ca g e d e p e n d e n tp o p u l a t i o ns y s t e mb e i n gd i s c u s s e d ，a n dw ep r o v et h a tt h e r e e x i s tao p t i m a lb i r t hc o n t r o lf o rs t o c h a s t i ca g e - d e p e n d e n tp o p u l a t i o ns y s t e m 2 、w ea d d sp o s s i o nj u m pi n t ot h eo r i g i n a ls t o c h a s t i ca g e d e p e n d e n tp o p u l a t i o ns y s t e mb yc o n s i d e r a b r u p te v e n t s ，s ot h a tt h i sm a t h e m a t i c a lm o d e lc a l ld e s c r i b i n gt h ed e v e l o p m e n to fp o p u l a t i o nd e n s i t ym o r e a c c u r a t e l y t h e nw ed i s c u st h e e x i s t e n c eo fo p t i m a lb i r t hc o n t r o lo fs t o c h a s t i ca g e - d e p e n d e n tp o p u l a t i o n s y s t e mw i t hp o s s i o nj u m p ，a n dp r o v et h a tt h e r ee x i s tao p t i m a lb i r t hc o n t r o lf o ri t 3 、t h ec o n t r o lp r o b l e mi ni n f i n i t ed i m e n s i o ni sr e l a t e dw i t ht h ec o r r e s p o n d i n gp r o b l e mi n f i n i t e d i m e n s i o nc l o s e l y b yc o n s t r u c tas e q u e n c eo fo p t i m a ls o l u t i o n sf o rt h ef i n i t ed i m e n s i o n a lp r o b l e ms u c h t h a tt h el i m i to ft h e i rc o s t sc o n v e r g et ot h eo p t i m a lc o s to ft h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lp r o b l e m ，w eg e tt h e c o r r e s p o n d i n ge - o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m f i n a l l y , w ep r o v et h a tt h e r ee x i s ta ne - o p t i m a lb i r t hc o n t r o lf o r t h es t o c h a s t i ca g e d e p e n d e n tp o p u l a t i o ns y s t e mw i t hd i f f u s i o n k e yw o r d s ：a g e d e p e n d e n tp o p u l a t i o ns y s t e m ；o p t i m a lc o n t r o l ；p o s s i o n - j u m p ；e - o p t i m a lc o n t r o l ，i t 5 f o r m u l a 一一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：时 间：砂口g 年6 月弓e t 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名：趣堕趋 导师签名： 时 间：砌f 年乡月弓e l 时 f b - ：山c ，年月牛日 宁夏大学硕十学位论文第一章引言 第一章引言 1 1 最优控制问题的研究方法概述及研究现状 最优控制理论是2 0 世纪6 0 年代迅速发展起来的现代控制理论中的主要内容之一，它研究和 解决的问题是：按照控制对象的动态特征选择允许的控制，使得被控对象按照技术要求运转，同 时使性能指标达到最优就其本质来说，最优控制乃是一个变分学问题然而，经典变分理论所能 解决的，只是其允许控制集属于开集的一类最优控制问题，而实际上遇到更多的却是允许控制 集属于闭集的一类最优控制问题，这就要求人们探索求解最优控制问题的新途径在解决最优控 制问题的各种方法中，有两种方法最富成效：一种是动态规划原理；另一种是最大值原理动态 规划是美国学者贝尔曼在1 9 5 3 1 9 5 7 年间逐步创立的，他以最优性原理发展了变分学中的哈密 顿雅可比理论，构成了动态规划最大值原理是前苏联学者庞特里雅金等人在1 9 5 6 1 9 5 8 年逐步 创立的，他们受到力学中的哈密顿原理的启发，先是推测出最大值原理随后又提供了一种证明方 法 在古典控制理论中，主要研究系统的反馈控制，把系统的输出和给定的目标值相比较，根据比 较结果而作出控制动作，以消除偏差，使系统被控制在给定值附近近几十年来，实际生活中要求在 使某种指标达到最优时完成控制过程，有最短时间、最小消耗等控制论在发展过程中由频率法 迈向时域法，由单变量迈向多变量，由线性扩展到非线性，由连续系统伸长到断续系统，由集中参数 扩伸到分布参数，涵盖了人类社会和自然的方方匝面，控制论这些成就和思想方法，吸引了许多不 同行业技术专家和社会科学家，他们用控制论的思想方法，去研究他们各自所从事的科学，又形成 了许多新的分支，如经济控制论、人口控制论、生物控制论和生态环境控制论等等如文献【l 】用 积分方程的理论和泛函分析方法对固定资产投资系统的解的存在性和唯一性和最优控制问题进行 了研究；文献【2 】和【3 】将林木总和长消率作为控制变量，分别讨论了非线性森林发展系统和时变 森林发展的最小范数控制问题特别是控制论和社会科学的结合，造福于人类是无法估量的 随机控制理论作为现代控制理论与随机优化理论的重要组成部分，近二十多年来也有了迅速 发展它主要研究随机系统受控状态过程在随机控制作用下的特征以及在一定消费结构下最佳随 机控制的存在性及其作用形态，由于其自生的特点和广泛的应用背景使得愈来愈多相关领域的专 家学者从事这一工作很多学者综合运用随机过程、随机分析、最优控制、随机微分方程以及变 分方程的理论解决了卫星遥控跟踪、金融决策、证券投资、风险管理、信号处理等领域的实际问 题文献【4 】讨论了带跳消费投资问题的随机最优控制问题，运用随机最大值原理得到了最优控制 的充分必要条件；文献【5 】用鞅方法讨论了有随意停时的随机控制问题( 最大值原理) 得到充分 必要条件；文献【6 】讨论了带时滞随机微分方程的随机控制；文献【7 】讨论了二次线性问题的最优 控制问题，得到了随机最大值原理和r i c c a t i 方程的有关结论 1 2 随机微分方程概述 较之确定性微分方程，随机微分方程因为考虑随机因素而显的更加贴近实际生活随机微分 方程的研究是随着随机过程理论与常微分方程理论的发展而迅速发展起来的1 8 2 7 年，英国生物 一l 一 宁夏大学硕十学位论文第章引言 学家布朗首先注意到浸入液体中的胶体微粒或质点的永不停歇的不规则运动，这就是著名的布朗 ( b r o w n ) 运动b r o w n 运动的起囚是粒子受到周围液体分子不平衡的碰撞，由于分子极微小，因此 粒子每秒钟所受到的碰撞次数很多，达到1 0 2 1 次，碰撞又极为不规则，故而微粒的精确路径不能详 细得到，但能进行统计描述，可以认为粒子因受到很多微小的随机力的作用而作随机运动 1 9 0 5 年e i n s t e i n 首次对这一现象的物理规律给出了一种数学描述，使这一课题有了显著的发 展这方面的物理工作在s m o l u c h o w s k i ，f o k k e r ，p l a n c k ，b u r g e r ，f u r t h o r n s t e i n ，u b l e n b e c k 等 人的努力下迅速发展起来了，但数学方面却由于精确描述太困难而进展缓慢直到1 9 1 8 年才由美 国数学家维纳( w e i n e r ) 对这一现象在理论上作出了精确的数学描述并进一步研究了布朗运动 轨道的性质，提出了在布朗运动空间上定义测度与积分这些工作使对布朗运动及其泛函的研究 得到迅速而深入的发展，并逐渐渗透到概率论及数学分析的各个领域中，使之成为现代概率论的重 要部分 二十世纪四十年代i t 5 和j g i h m a n 分别独立研究了随机微分方程的基本理论，之后在电 子工程学的控制问题、生物学的人口动力问题等实际需要的推动下，随机微分方程的基本理论 得到不断完善和发展i t 5 方程是目前随机微分方程研究的一个重要的方面。因为它的解过程是 m a r k o v 过程，因此它对随机过程理论和控制理论的应用都具有重大的意义 1 3 种群系统及其最优控制问题的发展背景和研究现状 由于地球人口数量的迅速膨胀、生存空间的限制，人口数量与生态系统之间的平衡等问题已 成为决定社会生活条件的最基本因素某一种群系统年龄密度成为人们在生活中更为关心的一个 问题，因为对它的研究能为人们怎样更好地繁殖、利用和控制这一种群、提高经济效益和保护生 态平衡提供重要信息自1 9 7 8 年开始，我国著名的控制论科学家宋健和他的助手于景元用控制论 方法研究我国人口增长规律，不仅为正确制定我国人口政策提供了科学依据，也为为控制世界人 口盲目增长做出卓越的贡献 随着全球生态环境的恶化愈来愈严重，引起人们对种群生长对其生存空间情况依赖性的重 视，吸引了一些生态学者和数学工作者对其进行研究，建立了具有空间扩散和年龄结构的种群系 统的数学方程 f 镑+ 而o p 一七p + p ( r ，t ，z ) p = ，( 7 ，t ，z ，p ) + 9 ( r ，t ，z ，p ) 甏， p ( o ，t ，z ) = 口p ( r ，t ，x ) p ( r ，z ) d r ， i p ( r ，0 ，z ) = p or ，z ) 并在此基础上对其进行了深入研究其中文献【8 】【11 1 研究了其周期解及解的存在唯一性、稳定 性；文献【1 2 】【1 4 】讨论了该系统的最优控制问题，同时文献【1 5 1 - 【2 7 也对确定性种群系统的系 统解的存在唯一性和最优控制率开展了很多研究工作，其中文献【2 6 】是针对年龄相关的时变种群 系统，而文献【2 5 1 、【1 5 一【2 4 、【1 2 1 、【2 7 】是加入了考虑具有空问扩散的年龄相关时变种群系统 文献【2 5 】给出了带扩散的种群系统模型，并讨论了系统解的存在唯一性；文献【1 5 】研究了具有空 间扩散且与年龄相关的时变种群系统的最优边界控制；文献【2 2 、【1 7 】讨论了该系统最优生育率 控制的非线性问题，证明了最优生育率控制的存在性，并给出了控制为最优的必要条件及其由偏微 分方程组和变分不等式组成的最优性组，这些结果可为时变种群扩散系统最优控制问题的实际研 一2 一 宁夏大学硕士学位论文 第章引言 究提供理论基础；文献【2 3 】利用l i o n s z l 的偏微分控制理论和先验估计，讨论了一类非线性时 变种群扩散系统的最优分布控制问题，证明了最优分布控制的存在性；文献f 1 2 】利用压缩不动点 原理讨论了一类非线性时变种群扩散系统的适定性和最优收获控制的存在性，获得了最优控制的 唯一性和所满足的必要条件；文献【2 6 】运用m a z u r 定理，证明了一类具年龄结构种群线性动力 系统最优控制问题最优解的存在性，同时借助于法锥概念，得到了最优控制最优解存在的必要条 件；文献 2 7 】讨论关于生物种群的一个非线性扩散系统和线性系统，得到了非线性扩散系统弱解 的存在性，系统最优生育率的存在性和关于边界扰动最优解的存在唯一性 由于考虑到自然灾害及环境等随机因素对人口密度的影响，文献【2 8 首次在原来确定性系统 上，给出了带随机项的随机微分方程组，并讨论了在考虑随机因素下系统解的存在性、唯一性和指 数稳定性；文献【2 9 ，3 0 】分别对年龄相关的随机种群模型数值解的收敛性进行了研究；文献【3 l 】对 时滞的年龄相关随机种群系统的指数稳定性进行了讨论；文献【3 2 讨论了年龄相关的随机种群系 统数值解的收敛性 我们认为波动幅度小的连续时间过程可以用布朗运动来表示，不过从理论上讲布朗运动对由 于外部信息引起的突然和稀少的变化就不再适用目前，带跳得随机微分方程已经在金融、工程 和一些科学领域都有应用，如：文献m e r t o n 【3 3 】介绍了金融的带跳扩散过程；a t h a n s 【3 4 】认为混 合系统将会成为提出和解决战争指挥命令、控制及通讯系统控制问题的基本框架；g u k h a l 【3 5 1 研 究了带跳扩散的基础资产分析性估价方程；文献【3 8 】介绍了跳扩散随机微分方程的线性二次控制 问题；李容华【3 6 】给出了带跳的时滞随机微分方程的收敛；文献【3 7 】讨论了带跳的随机种群系统 的数值解并证明了数值逼近解收敛到精确解，然而，对带跳的随机种群扩散系统最优控制问题的 研究工作目前还未见到本文主要运用i t 6 公式和b a r k h o l d e r d a v i s g u n d y 引理，研究了有 随机项于扰的种群系统的最优生育率控制和最优控制问题，得到了最优生育率的存在性 1 4 论文的主要内容与创新点 抛物型方程的最优控制和 最优控制问题在g r e e k s c h 的书【3 9 中做了详细的介绍很 多学者对该问题的最优控制存在性问题也做了一些研究，如：t u d o r 4 0 ，4 1 】，d a p r a t o 和 i c h i k a w a 【4 2 ，g a t a r e k 和s o b c z y k 4 3 】本文的出发点是对年龄相关随机种群扩散系统以及带 跳的随机扩散系统的最优控制和g 一最优控制问题进行讨论和相应结论证明，有一定的实际意义 论文主要有以下几部分组成： 第一章简要总结了最优控制的主要方法给出了有关方面的文献，并介绍了随机微分方程和种 群系统及其最优控问题的发展背景及研究成果，总结了随机最优控制主要方法和有关方面的文献 第二章重点给出随机微分方程的预备知识以及论文中要用到的i t 6 公式、b a r k h o l d e r d a v i s g u n d y 不等式、g r o n w a l l 引理等相关预备知识 第三章主要运用i t 6 公式、b a r k h o l d e r d a v i s g u n d y 不等式及g r o n w a l l 引理证明了 年龄相关的随机种群扩散系统最优生育率的存在性，并找到了最优控制p 第四章由于考虑突发事件的影响我们在原来的随机种群扩散系统中加入了泊松跳，使得该数 学模型能更准确地描述人口密度的发展变化并讨论了带跳的年龄相关的随机种群扩散系统最优 控制问题得到了最优控制的存在性 第五章通过构造一个随机种群扩散系统有限维问题的最优解序列，使得该序列的极限收敛到 一3 一 宁夏大学硕- ：学位论文 第一章引言 无限维空间的最优控制进而得到了年龄相关随机种群系统的e 最优控制问题，并证明了年龄相关 随机种群扩散系统的最优控制的存在性 本文的创新点在于： 第一，讨论了年龄相关的随机种群扩散系统的一最优控制，并证明了该问题最优控制的存在 性 第二，把p 0 8 8 i 帆一跳考虑到了随机扩散种群系统中，使得该数学模型更加符合实际意义，并 在此基础上研究了带跳的随机种群扩散系统的最优控制的存在性 一4 一 宁夏大学硕十学位论文第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 随机微分方程的预备知识 随机微分方程是概率论、随机过程与常微分方程相结合发展而成的- - f 边缘学科，涉及的知 识面很广，理论严谨，基础深厚因此，在研究随机种群扩散系统最优控制问题之前，我们将随机微 分方程的基本概念作一简单介绍 1 9 1 8 年，美国数学家维纳对b r a w n 运动给出了如下精确的数学描述以w ( t ) 表示它在t 对所 在位置的一个坐标，若( t l ，t 2 ) 与( t 3 ，t 1 ) 不相交，则位移w ( t 2 ) 一w ( h ) 与w ( h ) 一w ( t 3 ) 相互独 立，由于w ( t 2 ) 一w ( h ) 是许多的小位移之和，由中心极限定理知w ( t 2 ) 一w ( h ) 服从正态分布 设液体是均匀的，则e w ( t 2 ) 一( t 1 ) ) = 0 ，d w ( t 2 ) 一w ( t 1 ) ) = 仃2lt 2 一t ti ，其中仃 0 是仅 依赖于液体性质的常数由b r a w n 运动的数学模型产生以下定义： 定义1 。1 若一个随机过程 w ( ) ，t o ) 满足 ( i ) w ( o ) = 0 ； ( i i ) w ( t ) 是独立增量过程，即对任意0 t o t l t n ，随机变量w ( t k ) 一w ( t k 一1 ) ( 1 k n ) 相互独立； ( i i i ) 若0 s t ，则w ( t ) 一w ( s ) 一( p 一s ) ，盯2 ( t s ) ) ， 则称 w ( d ，t o ) 为b r a w n 运动，也称为w i e n e r 过程常数弘称为偏移系觐o r 2 称为过程 的强度 若p = 0 ，o r 2 = 1 ，则称 ( t ) ，t o ) 为标准b r a w n 运动今后我们只考虑标准b r a w n 运 动，并把它简称为b r a w n 运动 定义1 2 在【n ，翻上定义的随机过程f ( t ) 称为阶梯函数，如果存在【口，用的划分o t = t o t 1 t 。= p ，使得 f ( t ) = f ( t i ) ，如果t i t t i + t ，0 i n 一1 定义1 3 设 w c t ) ，t o ) 是标准b r a w n 运动，y c t ) 为在l 乞【d ，用中的阶梯函数，则称随机变 量 ，口 n - - 1 e f ( t ) d w ( t ) = f ( t k ) w ( t k + t ) 一w ( t k ) l o o t k = o 为f ( t ) 关于b r a w n 运动w ( t ) 的随机积分，又称为i t 5 积分 现在我们已经有了i t 5 积分的定义，那么它是怎么样计算的呢? 通常直接利用积分得定义来进 行计算是非常困难的因此，接下来我们将介绍i t 5 积分的一个重要法则一i t 5 公式它可以看作 是与通常微积分中的复合函数求微分相对应的法则，但i t 5 公式与通常的复合函数求导法则在形 式上有很大不同 一5 一 宁夏大学硕十学位论文第二章预备知识 定义1 4 设随机过程 z ( t ) ，o ) ，对所有0 t o t t 的满足如下的i t 5 积分 邢h ) = 肛) d s + 石巾m ) ， 则餮z ( t ) 有随机微分 d x ( t ) = b ( t ) d w ( t ) + 盯( t ) d w ( t ) 定理1 5设随机过程 z ( t ) ，t o ) 具有随机微分，又设二元函数，( z ，t ) 具有关于( z ，t ) r 【o ，。o ) 连续的偏导数甏，甏，貉，那么过程， ( t ) ，t ) 具有随机微分，并由下式给出 州蚺t ) = l 差( 地卅) 蕊o f ( 碱t ) + 扣t ) 象( m 纠出 + 盯( t ) 瓦o f ( z ( 帅) d 伽( t ) ， 这就是著名的j 幻公式它用附加项0 - 2 ( t ) 貉( z ( t ) ，t ) 修正了经典的链式法则 d r ( z ( 帅) = 瓦o f ( z ( 蚰) d z + b ( t j 瓦o f ( z ( 蚰) m = u o z f ( ) ，而d 抖) 州纠出+ 筹( 邢”) d t 2 2 主要引理和不等式 在对随机种群扩散系统最优控制存在性的证明中，我们要用到随机分析的一些知识，因而我们 就对鞅和妒鞅的概念、b u r k h o l d e r d a v i d s g u n d y 不等式以及我们定理证明中所用到的引 理和不等式作一简单的介绍 定义1 6 一个可积f 适应过程x = 五，t 冗+ ) ) 若当s ，t r + ，s t 时有 咒= e ( 也1 只) n s ， 则称x 为f 鞅；若在上式中分别以或代替等号，则分别称x 为f 上鞅或下鞅( 当f 固定时， 有时略去f ；当不提及f 时，一般指相对于由过程本身产生的仃一代数流f x 而言) ；若对见 ， 有五1 2 白1 ) ，则称x 为驴鞅( 或下鞅，上鞅) 定义1 7 设p 【1 ，) ，m = 尬，t r + ) 为f 适应过程，若存在f 停时序列下o 。a s 使得对于每一个几n ，停时过程m h 三 朋 t ，t 耳) 为妒鞅，则称m 为局部p 鞅， ) 称为m 的一个局部化停时序列，局部l 1 鞅简称为局部鞅 引理1 8 ( b u r k h o l d e r d a v i d s g u n d y 不等式) 对于一切0 0 ，使得每一个连续局部鞅 m 和任意的停时r 。有 a p e ( m ，m ) 多】e ( is u p 尥i p ) g e 【( m ，m ) 多】， 0 s 粤s r 一6 一 宁夏大学硕士学位论文第二章预备知识 特别的，有 c p = ( p 2 ) p c p21 ， 勺= ( 2 p ) 一p 2 ， q = ( 3 2 p ) p 2 c p = 4 q = + 1 2 ( p 一1 ) p 一1 ) p 2 若0 0 ，实函数g 0 及 于【o ，卅l e b e s g u e 可积，若存在常数k 0 ，对于v t 【0 ，卅有 9 ( t ) 九( t ) + 南菇9 ( s ) d s 则对v t 【o ，卅有 9 ( t ) ( t ) + 七0 2 e 七( 汹) ，l ( s ) d s 引理1 1 0 ( f a t o u 弓 理) 设z 。为随机变量序列，且每个z 。的期望存在 ( 1 ) 若存在随机变量y ，使e l y l 一o o ，且对每个z n ya s 则l i mi n f x 。的期望存在，且有 n - - - 0 0 e 1 i m i n f x ni 吲l i m i n f e x ni 吲 ( 2 ) 若存在随机变量y ，使e l y 】 0 是种群的空间扩散系数；为l a p l a c e 算子：p ( r ，t ，z ) 表示时刻 t 年龄为r 于点z 处的种群生育率，p ( r ，t ，z ) 是时刻t 年龄为r 于点z 处的种群死亡率；由于系统 受到的外界影响通常是随机的，为了更好地描述系统的种群分布，外界扰动函数( 如人口迁移、 地震等突发性灾害所造成的死亡) 由确定的 变为带随机项的，( n ，z ，p ) + 9 ( r ，t ，z ，p ) 鬻( 其中 是布朗运动) ；p o ( r ，z ) 0 表示时刻t = 0 时的种群年龄一空间密度的初始分布 在实际研究中主要关注生育率对种群发展的影响，因此，在本文中我们选取口为随机种群 扩散系统( 3 1 ) 的控制量显然系统中的p ( r ，厶z ) 非线性地依赖于展所以我们记为昂( r ，t ，z ) 对 v s ，t 【o ，邪，v a ，r 【o ，a i ，v z ，矽q 我们给出允许控制集为 若控制量口满足 ( o ，0 ，o ) 1 1 2g ， ( 3 2 ) 【l l p ( r ，t ，z ) 一p ( 口，s ，暑，) 0 2 a o r n 0 2 + 一y o t s 0 2 + p i i z 一暑1 1 2 ， 则p 属于允许控制集彩，其中n ，y ，p 0 为给定常数 引入性能指标泛函 够( p ) = e ( 髟【s ，昂( s ) 】+ 【p ( s ) 】) d s + e 乡纩【昂( t ) 】 p 彩，( 3 3 ) 其中2 ：【0 ，卅xv _ r 十，形：h _ r + ，澎：日_ r + 假设映射形，澎和 p z e 孑 o ，卅5 岁【s ，p ( s ) 】d s r + 一8 一 宁夏大学硕十学位论文第i 章年龄相关随机种群扩散系统的最优控制 为弱序列下半连续且在( 3 3 ) 式中的积分存在并且有界，这样问题( 3 1 ) 及寻求p 彩使得指标 泛函够( p ) 取最小值就构成了随机种群最优生育率控制系统的数学模型，以下我们用( 汐) 表示 该控制问题 当不考虑扩散因素时，文献【2 8 】讨论了随机种群系统( 3 1 ) 解的存在性、唯一性和指数 稳定性，文献【2 9 ，3 0 】分别对年龄相关的随机种群模型( 3 1 ) 数值解的收敛性进行了研究文 献【3 l 】对时滞的年龄相关随机种群系统的指数稳定性进行了讨论本文丰要利用i t 8 公式和 b a r k h o l d e r d a v i s g u n d y 不等式及g r o n w a l l 证明了年龄相关的随机种群扩散系统的最优 生育率控制和e 最优控制的存在性 3 2 预备和假设 ( i ) ( q ，罗，p ) 为全概率空间，其中 莎) t 【o ，t 】为右连续滤波( u ( ) ) t 6 1 0 ，卅为实值标准玩维纳 过程 ( i i ) 令鄙【o ，卅黼- b 0 ，列可测函数7 ：【o ，卅_ v 所组成的空间，且眉ur ( t ) i 滢d t 0 ，使得对坳l 、化c 有 ( 3 4 ) g ( t ，p 1 ) 一g ( t ，耽) 1 1 2vi l f ( t ，p 1 ) 一( t ，船) 0vl i h ( t ，p 1 ) 一h ( t ，p 2 ) 0s 奴i l p l 一p 2 1 1 。( 3 5 ) ( v ) 假设p ( r ，t ，z ) ，卢( r ，t ，z ) 非负可测，且 0 脚p ( r ，t ，z ) 0 ，f 0 ，a r 和非负连续函数，y ( t ) ，t r + 使得 2 ( f ( t ，) + a , h ( t ，l ，) ，l ，) + 09 ( ，) 屺+ i i h ( t ，v ) 1 1 2 一q 0 1 1 2 + a i 1 2 + 7 ( t ) e 一缸， 其中，对任意的6 0 ，7 ( t ) 满足，y ( t ) = o ( e 乳) ，a s t _ o o ，i e ，l i r a 扣一y ( ) e 乳= 0 9 ( 3 6 ) ( 3 7 ) 宁夏大学硕十学位论文第三章年龄相关随机种群扩散系统的最优控制 ( v i i ) 因为l a p l a c e 算子a 是线性算子，所以对v u ，u v 我们有( a u ，t ，) = ，札) ，且 ( a u ，缸) l | 钆| | 移( 3 8 ) 其中 0 为常数 定理3 1 ：当假设条件( i v ) ( v i ) 成立时，年龄相关的非线性种群扩散系统( 3 1 ) 存在唯一解 p ( r ，t ，z ) v 具体证明参考文献【2 8 3 3 最优控制的存在性 令( 风) 为问题( 汐) 的一个极小化序列以下由引理3 。1 我们得到该序列存在一个子序列且弱 收敛于卢彩，在定理3 2 中我们证明方程组( 3 1 ) 的解收敛到昂 引理3 1 ：序列( n ) 存在一个子序列( n ，) 对p 彩和任意的7 【0 ，a i ，t 【o ，卅，z q 有 1 i e 风，( r ，t ，z ) = 卢( r ，t ，z ) ，l 证明： 令 t 1 ，t 2 ) 为【0 ，列的稠密子集， r 1 ，r 2 ) 为【0 ，a 】的稠密子集，且x i ，x 2 】为在 q 中的稠密子集，序列( 风( t l ，r l ，z 1 ) ) 。是9 中的有界序列，则存在( n ) 的一个子列( 他1 1 ) 和 耐1 勿使得 熙( t 加) = z 同理令序列( 风( r 1 ，t l ，z 2 ) ) n n 为9 中的有界序列，则存在( n ：1 ，1 ) 的子列( 礼：1 2 ) 和乏1 勿使 得 熙- ，：( r l $ 1 , x 2 ) = 乏1 若我们对所有的z l ，z 2 重复以上步骤则可以得到对角序列( 扎：1 七) 知n ，使得对所有i n 熙& ： t ( 亿t l ，戤) = 露1 当然序列( 礼：1 ) 依赖r l 和t 1 同样，我们对序列r l , r 2 和t l ，t 2 重复这个过程就会得到对 角序列( n ) 七n ，以下我们用符号( n 7 ) 代替( n ) 七n ，则对，j ，z n 我们有下式成立 其中p ( n ，甄) ：= 乏” 0 磐b 风，( r l ，t j ，z t ) = p ( n ，勺，x i ) ( 3 9 ) 令t 【0 ，刁 l ，t 2 ) 、，【o ，刎 r l ，r 2 ) 、z q z l ，z 2 则存在序列 一1 0 宁夏大学硕+ 学位论文第i 章年龄相关随机种群扩散系统的最优控制 ( t i k ) k n 、( r l k ) k e n 和( x j k ) k e n 使得 由( 3 2 ) 式和( 3 9 ) 式得 故存在 1 i m 岛知= t ， ，l i mr l k = r ，l i mx j k = z k - - - - - 詹+ 。k 。d l i p ( t 诸，r l k ，x j k ) 一p ( i 。，r l m ，x j 。) 1 1 2 l i 珥i n fi l 风，( 屯七，r t k ，吻知) 一风，( t 伽，n m ，。) 1 1 2 n + o o 7 l i t 七一t 伽。1 1 2 + a 0r l 七一r l 。1 1 2 + 肛l l z j k 一m l l 2 j b ( r ，t ，z ) = 1 i mp ( r z 知，t 七，奶j c ) ( 3 1 0 ) c - - - f h ( 3 2 ) 、( 3 1 0 ) 和( 3 9 ) 式，我们有对v e 0 存在k n 和扎：n 使得vn n ：= 有下式成立 因此，我们有 1 1 3 ( r ，t ，z ) 一风，( r ，t ，z ) | l 0 卢( r ，t ，z ) 一p ( n 知，t i k ，z j 七) i i + i i p ( r l 奄，t i k ，x j k ) 一风，( n 知，t i k ，知) 删风，( n 知，t i k ，j c ) 一风，( r ，z ) ) 0 巴oc + j + 百2 g 。 结合( 3 1 1 ) 式和( 3 2 ) 式得 和 因此p a h , 和( 3 1 ) 成立 1 i m ( 风，( n t ，z ) ) = 卢( r ，t ，z ) n 1 1 3 ( r ，t ，z ) 一卢( 口，8 ，y ) 1 1 2 sl i r a i n f0 风，( r ，t ，z ) 一风，( n ，s ，剪) 1 1 2 n + o o sa l l , - 一n 0 2 + - t i l t s l l 2 + p i i z y i l 2 l l s ( o ，o ) 1 1 2sl i r a i n fl i 艮，( o ，o ) i | 2 ，7 n _ 0 0 为了方便，在以下证明中我们仍以符号( n ) 代替引理中得到的( n ，) 定理3 2 ：下面两式成立 n l 。i r a 。e i i p p ( t ) 一p a ( t ) 1 1 2 = 0 ，熙e 上i i p 口( 沪( 啪拈m n _ n _ ，n ( 3 1 1 ) 宁夏大学硕十学位论文 第i 章年龄相关随机种群扩散系统的最优控制 证明： 对l l p z p z 。1 1 2 运用i t 5 公式得 其中 因此 l i p z ( t ) 一魄( t ) 1 1 2 =2f o t ( - - a ( p z p a 卜掣叫喇一( 昂一) ，昂一) d 5 + 2 ( ，( s ，昂一只) ，昂一p a = ) d s + 1 1 9 ( s ，昂一p a ) l l ；d s f t + 2 ( 昂一昂。，9 ( 8 ，昂一魄) 山。) 劫foot懈一pa1l移ds-2fo。(掣，papa)dsdo u ， 一2 伽( 昂一昂。，昂一) 幽+ 2 ( ，( s ，昂一) ，昂一) d s ，0，0 + l i 夕( s ，p a p o ) t 1 d s + 2 ( p a 一只9 f l ，9 ( s ，昂一j f j ) 反如) 一l i m 0 有 e ( 昂一，夕( s ，昂一魄) 幽。) 3 e 【s u po 昂一i i ( 怕( s ，昂一昂。) | i d s ) 言】 1， 砉e 【s u pi i 昂一1 1 2 】+ k o 夕( s ，昂一p a ) l l ；d s ( 3 1 5 ) 哇0 s t 0 妄es u pi i 昂一场。1 1 2 + 2 k 2 e i i p 口一p a 1 l ：d s 1，c q0 s t 1 0 结合( 3 1 4 ) 、( 3 1 5 ) 式可得，对v t 【0 ，列有 u mes u pi i p a ( t ) 一( 圳2 7 1 , - - + 0 0 0 a t 2 。t 熙z e 。翼。o 昂一1 1 2 幽 其中d l = i a 口2 2 1 1 , o 一豢l + 1 + 2 k + 1 2 k 2 所以由g r o n w a u 引理我们得到 熙e i i p a c t ) 一p a ( t ) 1 1 2 = 0 ，v t 【o ，t i 因此我们得到定理的第一个式子成立 卫巴e 0 昂( t ) 一( t ) 1 1 2 = 0