（信号与信息处理专业论文）基于全相位dct的图像内插方法研究与方向滤波器组设计.pdf

中文摘要 随着数字信号处理技术的发展，数字图像处理技术不断发展。近年来，数字 图像处理技术已经深入到人类生活的各个方面，比如在军事，医学，工业，地质 等领域，发挥着巨大的作用。 图像内插是通过离散化的数字图像恢复出原始连续图像的过程。数字信号处 理中，由于离散化的信息存储方式，图像内插更有意义的做法是改变数字图像的 抽样率，也就是说由原始具有较低分辨率的图像数据再生出具有更高分辨率的图 像数据。图像是一种典型的二维数据，图像内容是具有方向性的。近年来，基于 图像方向性的研究和图像多分辨率处理的研究逐渐增多。 本文详细介绍了二维可分离全相位d c t 图像内插方法，设计了相对公平的 内插实验，并将该方法与最近邻域内插、线性内插、立方b 样条内插、立方卷 积内插、高频置零的小波内插、边缘检测的内插方法进行了比较。同时，指出小 波内插方法的不合理性，给出一种保持灰度的小波插值方法。实验结果表明，全 相位d c t 图像内插方法有着十分优异的内插性能。 本文的后半部分介绍了全相位滤波器的设计方法，并设计了两种全相位d c t 方向滤波器组。一种是基于扭转结构的实现任意精度频率划分的全相位滤波器 组；另一种是水平和竖直方向频率划分更加精确的全相位滤波器组，本文中实现 了该方法的8 方向和1 6 方向滤波器组。 关键词：图像内插；方向滤波器组；离散余弦变换( d c t ) ；全相位d c t a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fd i g i t a l s i g n a l p r o c e s s i n gt e c h n o l o g yd e v e l o p sg r a d u a ll y i n t e c h n o l o g yh a sc o m ei n t oa l la s p e c t so fh u m a n i n d u s t r y ，g e o l o g ya n do t h e rf i e l d s p r o c e s s i n gt e c h n o l o g y , d i g i t a li m a g e r e c e n ty e a r s ，d i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g l i f e ，f o re x a m p l e ，i nm i l i t a r y , m e d i c i n e ， i m a g ei n t e r p o l a t i o ni sap r o c e s st h a tc o n t i n u o u ss i g n a l sa r er e c o v e r e dt h r o u g h d i s c r e t ed i g i t a li m a g e i nt h ef i e l do fd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n g ，b e c a u s eo ft h ed i s c r e t e s t y l eo fi n f o r m a t i o ns t o r e ，m o r em e a n i n g f u la p p r o a c ho fi m a g ei n t e r p o l a t i o ni st o c h a n g e t h e s a m p li n g r a t eo fd i g i t a l i m a g e ，t h a t i st o s a y , t or e g e n e r a t ea h i g h e r - r e s o l u t i o ni m a g ef r o mt h eo r i g i n a ll o w r e s o l u t i o no n e i m a g ei sat y p i c a l t w o 。d i m e n s i o n a ld a t a ，a n dt h ec o n t e n to ft h ei m a g eh a sd i r e c t i o n a l p r o p e r t y n o w a d a y s ，m o r ea n dm o r ep e o p l ed or e s e a r c hb a s e do n i m a g e d i r e c t i o n a l r e p r e s e n t a t i o na n dm u l t i - r e s o l u t i o ni m a g ep r o c e s s i n g t h i sp a p e rd e s c r i b e sa n i m a g ei n t e r p o l a t i o nm e t h o db a s e do nas e p a r a b l e t w o - d i m e n s i o n a la l lp h a s ed c t , d e s i g n sar e l a t i v e l yf a i ri n t e r p o l a t i o ne x p e r i m e n t ， a n d c o m p a r e s t h i sm e t h o dw i t hn e a r e s t n e i g h b o r h o o di n t e r p o l a t i o n ，li n e a r i n t e r p o l a t i o n ，c u b i cb - s p l i n ei n t e r p o l a t i o n ，c u b i cc o n v o l u t i o ni n t e r p o l a t i o n ，w a v e l e t i n t e r p o l a t i o nw i t h z e r oc o e f f i c i e n t s h i g h - f r e q u e n c ys u b b a n d ，a n de d g e d e t e c t e d i n t e r p o l a t i o n i nt h em e a n w h i l e ，t h i sp a p e rp o i n t so u tt h eu n r e a s o n a b l ea s p e c to f w a v e l e ti n t e r p o l a t i o n ，a n dg i v e saw a v e l e ti n t e r p o l a t i o nm e t h o dw i t hg r a ym a i n t a i n e d e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a ti m a g ei n t e r p o l a t i o nm e t h o db a s e do na l lp h a s ed c t h a sav e r yg o o dp e r f o r m a n c e t h el a t t e rp a r to ft h i sp a p e ri n t r o d u c e sd e s i g nm e t h o do fa l l p h a s ed c t , a n d d e s i g n st w ok i n d so fa l lp h a s ed c t d i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k o n ei st h ea l lp h a s ed c t d i r e c t i o nf i l t e rb a n kw i t hr o t a t i o ns t r u c t u r e ，w h i c hd i v i d e st h ef r e q u e n c yw i t ha n y p r e c i s i o n ；t h eo t h e rh a sm o r ea c c u r a t ef r e q u e n c yd i v i s i o ni nh o r i z o n t a la n dv e r t i c a l d i r e c t i o n ，a n de i g h t - d i r e c t i o na n ds i x t e e n d i r e c t i o nf i l t e rb a n k sa r ei m p l e m e n t e di n t h i sp a p e rw i t ht h i sm e t h o d k e yw o r d s ：i m a g ei n t e r p o l a t i o n ；d i r e c t i o n a lf i l t e r b a n k ；d i s c r e t ec o s i n e t r a n s f o r m ；a l lp h a s ed c t ( a p d c t ) 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 罚r j 签字日期：) p 护孑年易月，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 可r 签字日期：夕口矿子年占月厂日 导师签名：1 袭酗乏 导师签名： 7 】天1 毳 签字日期：伽8 年6 月厂日 第一章绪论 1 1 选题背景 第一章绪论 视觉是人类感知世界最直观的方式之一，是人类在日常生活、社会活动、工 作学习、科研生产中时时刻刻进行着的活动。科学研究表明，人类获得外界信息 大约有7 5 来自于图像。图像是人类获取外部信息，了解世界的最主要的途径之 一。从2 0 世纪6 0 年代以来，随着数字信号处理技术的发展，数字图像处理技术 不断发展。近年来，数字图像处理技术已经深入到人类生活和发展的各个方面， 比如军事、医学、工业、地质等领域，发挥着巨大的作用。 图像内插是数字图像处理的一个分支，是通过离散化的数字图像恢复出原始 连续图像的过程。对于数字信号处理来讲，由于信息存储的离散化，更有意义的 做法是通过内插的过程改变数字图像的抽样率，也就是说由原始具有较低分辨率 的图像数据再生出具有更高分辨率的图像数据。图像内插方法在数据压缩、图像 去噪、视频编码、医学图像处理、卫星遥感图像处理等很多领域中有着广泛的应 用。 内插理论与信息论中的采样理论、信号处理中的滤波理论、信号重建理论、 多率处理理论、数学中的数值逼近理论等密切相关，可以从相应的不同的角度去 构造内插方法。因此，研究和发展数据内插理论对于多个学科领域都具有重要的 学术意义。 图像是一种典型的二维数据，图像内容中的边缘细节是具有方向性的。近年 来，随着数字图像处理技术的发展，基于图像方向性的研究和图像多分辨率处理 的研究逐渐增多。1 9 9 2 年b a m b e r g e r 和s m i t h 提出了方向滤波器组( d f b ： d i r e c t i o n a lf i l t e rb a n k ) ，并应用于图像处理。这种方向滤波器组可以有效地将图 像频谱分解为2 7 个楔状频率分割。2 0 0 1 年，m i n hn d o 在他的博士论文中对 b a m b e r g e r 和s m i t h 提出的方向滤波器组进行了改进，使得新的d f b 扩展更具规 律性，并归结为多通道的形式，结构也更加简单，并在此基础上结合拉普拉斯金 字塔，提出一种c o n t o u r l e t 变换。 全相位思想是一种重叠的思想。由于数字信号处理中往往都是进行有限长的 数据处理，全相位的方法就是利用包含待处理位置数据的所有数据段，对待处理 位置数据进行处理，然后将所有输出值的平均值作为这个位置的最终处理值的方 法。从信息论的观点看，全相位的思想充分利用了有限长序列所提供的信息；从 第一章绪论 信号处理的角度看，不同相位的吉布斯效应具有相互抵消的作用，因此全相位滤 波能够有效抑制吉布斯效应。 实验中和理论上都已经验证，全相位方法设计的滤波器具有很好的滤波特 性，可以有效地削弱吉布斯效应。 1 2 本文的主要工作 本论文选题来自于天津市应用基础研究计划项目“基于全相位延拓d c t 和 方向子带的数据内插方法研究”( n o 0 7 j c y b j c l 3 8 0 0 ) 的一部分。 首先对目前应用比较广泛的内插方法进行了比较研究。在相同的情况下，对 最近邻域内插、双线性内插、立方b 样条内插、4 点和6 点立方卷积内插、高频 置零的小波内插和基于边缘检测的图像内插方法进行了实验仿真，然后详细地介 绍了二维可分离全相位d c t 内插方法，并与以上方法进行了比较。在相对公平 的内插比较条件和边界填充方法下，可以看到全相位d c t 内插方法有着十分优 异的内插性能。 本文在后半部分介绍了全相位滤波器的设计方法，并提出了两种基于全相位 d c t 的方向滤波器组的设计方法。一种是基于扭转结构的实现任意频率精度划 分的方向滤波器组；另一种是水平和竖直方向频率划分更加精确的全相位滤波器 组，该方法可以实现8 方向和1 6 方向滤波器组的设计。 本文共分五章，具体安排如下： 第一章简要介绍了本文的选题背景和主要工作。 第二章介绍了对连续信号进行抽样时所要求的采样定理，抽样率转换的时 域与频域特性和频率无混叠的要求，并在最后介绍了几种数值分析中的插值方 法。 第三章介绍了几种常用的图像内插方法：最近邻域内插、线性内插、立方b 样条内插、立方卷积内插方法。通过对小波方法的分析，给出了高频置零的小波 插值方法，并指出其不合理性，提出了一种保持灰度的小波内插方法。最后介绍 了一种根据双线性内插方法改进的边缘检测的内插方法。 第四章首先介绍了离散余弦变换，并详细介绍了二维可分离的全相位d c t 内插方法。然后，设计了相对公平的实验方法，对第三章中介绍的内插方法进行 了实验方针，并与二维可分离的全相位d c t 内插方法进行了比较。 第五章介绍了全相位滤波器组的设计原理，并设计了两种可以完全重构的 全相位d c t 方向滤波器组。 第二章多抽样率数字信号处理 第二章多抽样率数字信号处理 从2 0 世纪6 0 年代以来，随着信息科学和计算机技术的高速发展，数字信号 处理这一门学科蓬勃的发展起来了。数字信号就是对连续信号以某一特定的采样 率进行采样、量化得到的。而在有些应用中，单一的采样率不能满足信号处理的 要求，这就需要将给定抽样率的信号转化为具有不同抽样率的其他信号。多抽样 率数字信号处理就是由此产生的。 本章首先介绍由连续信号得到数字信号对采样率的要求，然后介绍多抽样率 系统的时域分析和频域分析，最后在数值分析的角度上给出数据内插的方法。 2 1 采样定理 在文献【1 ，2 q h ，n y q u i s t 和s h a n n o n 先后对连续信号与离散信号的关系进行了 阐述和完善，并提出了由离散信号恢复连续信号时对采样率的要求。下面分析一 下理想抽样的情况。 2 1 1 连续时间信号的抽样 冲激函数序列曩( f ) 为 t ( f ) = 8 ( t - m t s ) ( 2 1 ) 其中，z 为采样周期，8 ( 0 为单位冲激 万c ，= l ，：主吕 c 2 2 ， 那么抽样关系可表示为 袁( t ) - x o ( 砂t ( ，) ( 2 3 ) 其中，毫( f ) 为抽样信号，x o ( f ) 为连续信号，将式( 2 - 1 ) 代入式( 2 3 ) ，得 免( 0 - - x o ( t ) 6 ( t - m z ) ( 2 - 4 ) 由于占( f - m r , ) 只在f = m l 时不为零，故 意( ，) = x o ( m t ，) 8 ( t - m t 。) ( 2 5 ) 第二章多抽样率数字信号处理 2 1 2 抽样信号的频谱分析 下面分析一下频谱关系。对艺( f ) 做傅里叶变换得到以( j q ) ， 变换符，k ( j n ) 可表示为 咒( j q ) = 矿k ( f ) ) = 艺( f ) e 一口d f 矿为傅里叶 ( 2 6 ) 磊。( f ) 为周期函数，可表示为傅里叶级数的形式，即 磊( f ) = e 他，k e z ( 2 7 ) 2 1 5 其中，g = 孚为采样角频率，那么磊；( f ) 的傅里叶变换矿( 矗( ，) ) 可表示为 矿( 西，( 纠= l 下e j k t l d e - j t m d 忙q 万( q q ) ( 2 - 8 ) 那么毫( f ) 的傅里叶变换以( j n ) 可表示为， 2 0 ( j a ) = 寺罗( 吒( ，) ) x oo n ) 1厂 2 去卜丕万( 皿媲) 木以( j q ) i = 导五( j f ) 妻万( q 一七q f ) d f = 导主e 艺( j f ) 万( q k n , 一f ) d f = 等x 。( j q j 媳) ( 2 - 9 ) 其中木表示卷积。由上式看出，一个连续时间信号经过理想抽样后，其频谱将以 抽样频率q 为间隔而重复，这就是频谱产生的周期延拓，如图2 - 1 所示。因此只 要各延拓分量与原频谱分量不发生频率交叠，就能从抽样后的信号恢复出原信 号。也就是说( f ) 是限带信号，其最高频率分量g 不超过q 2 ，那么原信号 的频谱和各延拓分量彼此不重叠。这时采用一个截止频率为q 2 的理想低通滤 波器，就可以不失真地还原出原来的连续信号。 由此得出结论：要想抽样后能够不失真地恢复原信号，采样频率必须大于连 续信号最高频率的2 倍，即 q 2 q ( 2 一1 0 ) 这就是n y q u i s t 采样定理。 为了避免混叠，一般在抽样前加入一个保护性的截止频率为q 2 的前置低 通滤波器，以便除掉高于q 2 的频率分量。 4 第二章多抽样率数字信号处理 i 。u “月 i z 厂、 一 以 0 q 7 l x 。【瑚月 口c 八厂、nn 一 一q 0 q2 r 7 阻( j 2 月 口t 飞厂m 一 咄 0 2 q3 q4 q 7 ( c ) 图2 - 1 采样后频谱 ( 口) 原限带信号；( b ) g 2 9 ；( c ) g 2 9 2 1 3 连续信号的恢复 由式( 2 9 ) 可知，如果连续信号满足采样定理，即信号频谱的最高频率小于采 样频率的一半，则抽样后不会产生频谱混叠。所以将抽样信号免( f ) 通过一个理 想低通滤波器1 3 】 即卟雌季 就可以得到原信号频谱 t o ( i n ) = 宠o n ) z o n ) = x o ( j n ) 所以，输出端即可得到原连续信号 y o ( t ) = x o ( f ) 下面给出如何由抽样值来恢复原来的连续信号。 理想低通滤波器的冲激响应为 坼) ：去聃蹦：磊舻协掣： ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 )、，一 里i一， 忙盯r e n 第二章多抽样率数字信号处理 那么理想低逋滤波器的输出为 此( ，) = 艺( f ) = 毫( f ) 宰办( ，) = 毫( f ) h ( t - f ) d f = l 矗( r ) 万( f 一所z ) 一f ) d f = 窆e ( f ) h ( t - f ) 艿( f 一所五) d f m 2 m ， = 艺( 川i 弘o m 正) = , o ( m z ) 号( i ) m z ( 2 - 1 5 ) 这就是抽样内插公式，由信号的抽样值艺( m i ) 经此公式得到连续信号艺( ，) 。其 中，s i n i 詈。一研i ) i 詈( f 一聊1 ) 称为内插函数，如图2 2 所示，在抽样点所i 上， 5 5 函数值为1 ，在其余抽样点上，函数值为零。也就是说，艺( f ) 等于各艺( 删i ) 乘 上对应的内插函数的总和。在每一个抽样点上，只有该点所对应的内插函数不为 零，这使得各抽样点上信号值不变，而抽样点之间的信号则由各加权抽样函数波 形的延伸叠加而成。 i ? 厂 1 、 厂一| 一、 mm ； ( m 一2 ) e ( m 一1 ) i 川i ( 搠+ 1 ) i ( 聊+ 2 ) c 图2 2 内插函数 2 2 抽样率的转换 为了改变数字信号的抽样率，多抽样率数字信号处理系统使用了下抽样器和 上抽样器这两种基本的抽样率转换器件。本节将分别分析上采样器和下采样器的 时域输入输出关系和频谱响应。 6 第二章多抽样率数字信号处理 这里给出一些符号之i 司的对应关系。由于 毫( f ) = 吒( f ) 万( ，- 删z ) = x o ( m t ) 8 ( t - m t ) ( 2 - 1 6 ) 离散序列x ( 胛) 与连续信号x ( f ) 有如下关系 x ( m ) = 免( t ) t t = m t , = x o ( t ) l t = r a t s = 心( m t ) ，m z ( 2 1 7 ) 这就是离散序列与连续时间信号的对应关系。 对于x ( m ) 的z 变换有 一 x ( z ) = x ( m ) z ( 2 1 8 ) 当研究其在单位圆上的关系时，有 z ：e j o 瓦：e j 。( 2 1 9 ) 其中国= q z 称为数字频率，对于l 州以这段频率， 阱阱例兀 协2 。， 所以，x ( e 。) 是以缈【一兀】为一个周期延拓的周期函数。这就是连续频率和数 字频率之间的关系。 2 2 1 时域特性 上抽样因子为三( i e 整数) 的上抽样器生成的输出序列毛( ，? ) 的抽样率是输 入序列x ( 疗1 的三倍。上抽样运算实际上就是按照式( 2 2 1 ) 的关系，在输入序列 x ( n 1 的两个连续样本问插入一1 个等距的零值样本 拍) ：h 渺肛0 ，虬越l ( 2 2 1 ) l0 ， 其它 图2 - 3 ( a ) 给出了上抽样器的框图。实际上，为了使生成的高抽样序列中没有 其他多余的频谱成分，在上抽样过程中常用滤波器来处理插入的零值样本，这一 过程称为内插。 下抽样因子为m ( 正整数) 的下抽样器生成的输出序列y ( n ) 的抽样率为输 入序列x ( n 1 的l m 倍。下抽样运算的关系如下，即每次抽样保留输入序列的第 m 个样本，而除去中间的m 一1 个样本 y ( n ) = x ( m n ) ( 2 - 2 2 ) 结果是，序号等于肘整数倍的输入样本在输出序列中被保留，而其他的样本 被丢弃，下抽样器的框图如图2 - 3 ( b ) 所示。 第二章多抽样率数字信号处理 小，互卜柏， ( a ) 上抽样器框图( b ) t 抽样器框图 图2 - 3 抽样率转换过程 图2 4 给出了抽样率转换与连续时间信号的对应关系。 工( 门) = ( 疗z ) 口吒( 疗) = 耄刀z7 姜著上，2 三，“ 输入抽样率= 输出抽样率= 詈 z ( ”) = 屯( 门t ) 一j rm 卜_ 一y ( 刀) _ ( 盯幄) 1 一j 1 输出抽样率2 云f ；- 图2 - 4 抽样率转换关系图 2 2 2 频域特性 首先推导2 倍上抽样器的输入和输出频谱之间的关系。由式( 2 2 1 ) 可知，2 倍上抽样器的相应关系为【4 】 艺( 力) ： x ( 三，) ， n 2 0 ，2 ，4 ” ( 2 2 3 ) 10 ， 其他 所以，其z 变换输入输出关系为 五( z ) ：羔艺( 行) z 一：杰x f 引z ” 罩 = - h 为偶数 = x ( m ) z 勘= x ( z 2 ) ( 2 - 2 4 ) 用同样的方法，对于三倍上抽样器 以( z ) = x ( z ) ( 2 - 2 5 ) 在单位圆上研究式( 2 2 5 ) 关系的含义。对于z = e j 。，式( 2 2 5 ) 变为 x 。( e 细) = x ( e 越) ( 2 2 6 ) 如图2 - 5 所示，2 倍的抽样率扩展可导致x f e 伽) 的2 倍折叠重复，从而得到 了输入频谱的一个额外的镜像。对于三倍的抽样率扩展，在基带上会有三一1 个额 外的输入谱的镜像。上抽样后，由于在x ( n 1 的样本之间插入了零值，使得本为 第二章多抽样率数字信号处理 带限到低频部分的咒( e 。) 谱看起来不像是一个低频谱。经过低通滤波器，可以 除去咒( e 。) 中的一1 个镜像，并且用有效的内插样本值代替零样本值。 x ( e ，。j 一 八f八八一 -2z正0芤2 耳3 x4 氕 ( a ) 输入信号的频谱 丘i e ”j 一 工= 2 入入_l 一 ( b ) 三= 2 时输出的频谱 图2 5 上抽样频谱 下面讨论下抽样器输入信号和输出信号之间的关系。由式( 2 2 2 ) 给出的输 入输出关系，进行z 变换得 】，( z ) = x ( 胁矿 ( 2 - 2 7 ) 上式的右边表达式不能直接用x ( z ) 表示，为了解决这个问题，我们定义一个中 间序列( 玎) ，当 为m 的整数倍时，它和x ( ”) 的样本值相等；当玎为其他值 时，其值为零 。( ”) = 誉力其n - - 他o + m ，垃m ， c 2 2 8 ) 于是有 y ( z ) = 石( 胁矿= ( m n ) z ” 通过。( 胛) = c ( 刀) x ( 刀) ， 由于c ( 聆) 可以表示为 = 吒。( k ) z _ m = 瓦( z “m ) ( 刀) 可与x ( 即) 相关联，其中c ( 刀) 定义为 小) = 氍蒜上删 式中= e - j 2 删。从而有 c ( 门) = 万| m 毛- i 唁 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 第二章多抽样率数字信号处理 = 玄型” m 荟- i 昭少 x ( 刀) z h = 面1 m 刍- i i f 丕* ox ( ，z ) 唁z 一刁= 万| m 刍- i x ( z ) ( 2 抛) 将式( 2 3 2 ) 代入式( 2 2 9 ) ， 】，( z ) ：一1、 m ( 2 3 3 ) 现在考虑一f2 倍卜抽样器的频谱特性。将z = e 坤，m = 2 代入式( 2 - 3 3 ) ， 有 y ( e 伽) = 2 1 - e x ( e , d 2 ) + x ( - e j m l 2 ) = 三 x ( e 徊胆) + x ( e j p 2 霄) 佗) ( 2 - 3 4 ) 图2 - 6 和图2 - 7 显示了两种下采样的情况。由于式( 2 - 3 4 ) 中x ( e j ( a - - 2 x ) 2 ) 是x ( e 俐2 ) 右移2 兀得到的，所以只有当x ( e j 埘) 在h 北时为零，才不会出现混叠。 x ( e 。i 。 a 八r八a 。 0 ( a ) 输入频谱 、x 一 ( b ) 输出频谱出现的混叠 图2 - 6 下采样频谱混叠 x i c 。j 。 口 入厂lj j 。 02 z ( a ) 输入频谱 1 0 羹脚 第二章多抽样率数字信号处理 y 【e j j 。 m ：2 o r ，2 r 、r 广、。入一 i l 7 、 - 2 z1 2 2 3 内插器与抽取器 0 霄2 耳3霄4z ( b ) 输出无混叠的频谱 图2 7 下采样无混叠的频谱 由于以整数三倍上抽样会引起频谱的压缩和周期重复，因此以整数倍增加抽 样率的基本内插器是由一个上抽样器再接一个截止频率为r d l 的低通滤波t ( z 1 组成的，如图2 - 8 ( a ) 所示，此低通滤波器又称为内插滤波器，可以除去上抽样后 信号x ，( 1 1 1 的频谱中所不期望的一1 个镜像。另一方面，因为以整数倍m 下抽样 会产生混叠，所以以整数倍减少抽样率的基本抽取器结构是由一个截至频率为 r u m 的低通滤波器h ( z 1 紧接一个下抽样器组成的，如图2 - 8 ( b ) 所示。这里，低 通滤波器( z 1 又称为抽样滤波器，把输入信号v ( 刀) 在下抽样前限制在 圳 r d m ，以确保没有混叠。 小，卫型岖卜小， ( a ) 内插器 小，固翌咂卜m ， ( b ) 抽取器 图2 - 8 内插器与抽取器 抽样因子为有理数的分数倍抽样率变换可以用三倍内插器和m 倍抽取器级 联而成。内插器的位置必须在抽取器之前，如图2 - 9 所示。由于内插滤波器和抽 取滤波器都工作在相同的抽样率上，一次可以用一个单独的滤波器来代替它们， 这个滤波器既能避免下抽样引起的混叠，又要能除去上抽样产生的多余镜像。 小，一l 互卜叵乎矩 廿小， ( a ) l m 倍因子抽样率框图 小，一匝卜匝卜匝卜小， ( b ) 等效形式 图2 - 9 分数倍抽样率变换框图 第二章多抽样率数字信号处理 2 3 内插 在原理上，抽样信号恢复连续信号都可以简单地将输入信号通过理想模拟重 构低通滤波器来实现。若模拟低通滤波器的冲激响应用g 。( f ) 表示，类似式( 2 1 5 ) ， 滤波器的输出为 y o ( 4 = x ( 1 ) g 。( f 一饵) ，e z ( 2 - 3 5 ) ，= 啪 见( f ) 即是内插出的连续信号。再对输出信号以满足采样定理的采样周期正。进行 采样，即可实现抽样率的转换。令t = 刀z 。，有 y ( ，z ) = 虬( f ) ，：。瓦= x ( ，) g 口( 玎i 。一，i ) ( 2 - 3 6 ) ，皇 由于理想低通模拟滤波器的冲激响应岛( t ) 具有无限持续时间，所以用上式 实现带限内插算法并不现实。因此，在实际中通常使用这种理想内插算法的逼近 算法来求任意位置的内插值。通常的方法是取插值点前后若干个采样点的值进行 多项式逼近，得到差值点的值，进而可以得到一个有限长的内插核函数逼近理想 模拟低通滤波器，方便进行工程计算。 在本节中，将给出数值分析里多项式逼近的方法，内插核函数的方法将在下 一章中介绍。 2 3 1 多项式逼近 连续曲线( x ) 为定义在【口，6 】上的函数5 1 ， ) 二为区间上刀+ 1 个不同的点， 为给定的某一函数类。上的函数g ( x ) 来逼近厂( x ) ，满足 g ( t ) = 厂( 誓) ，i = 0 ，” ( 2 - 3 7 ) 如图2 1 0 所示。设 g ( x ) = a o o o ( x ) 4 - + a n q k ( x ) g ( ) = 厂( 一) = 死( ) + + 口。九( 誓) ( 2 - 3 8 ) ( a o ，a 。) 有解系数行列式不为零 对应于西= p ”( x ) = s p a n 1 ，x ，x 2 ，x ” ， 所以，差值函数存在唯一解。 靠i ；i = f il x , - x j o ( 2 - 3 9 ) 群l 哟幽 第二章多抽样率数字信号处理 x i她 - 、 图2 1 0 函数逼近 2 3 2l a g r a n g e 型多项式插值 取基函数 t ( x ) ) 二cp ”，使得 l , ( x i m = 髂多 则有 g ( x ) = 厶( z ) = t ( 石矿( ) 构造t ( x ) ，使其满足式( 2 - 4 0 ) ，有 t ( x ) = q ( x x o ) ( x 一葺一1 ) ( x 一“) ( z 一矗) 其中2 再可瓦i 意i 万百习 。 ( 一而) ( 一薯一i ) ( 一+ 1 ) ( 一k ) 当刀= 1 时，为线性插值 t o ( x ) ：三丑，( x ) ：三玉 x 0 一工ix 1 一x o 厶( x ) = f ( x o ) l o ( x ) + f ( i q ) l i ( x ) 当，? = 2 时，为二次插值 lo(x，=器(xox ox 2一而八 一 j m ，= 等畿等x 2l 五一八五一 ) 厶( x ) ：j 兰二墨塾盟 ( x 2 一而j ( 毪一x i ) ，( x ) = ( x o ) l o ( x ) + f ( x 。) ，。( z ) + f ( x 2 ) 厶( x ) 2 3 3 三次样条插值 ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 - 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 分段低次插值的优点是具有收敛性与稳定性，缺点是光滑性较差，不能满足 实际需要。例如高速飞机的机翼形线、船体放样形值线、精密机械加工等都要求 有二阶光滑度，即二阶导数连续，通常三次样条函数即可满足要求。 1 3 第二章多抽样率数字信号处理 设【d ，b 】上给出一组节点口 x o x i x 2 6 ，若函数s ( x ) 在每一个 【x 1 一+ 。】( ，= o ，1 ，力一1 ) 上是三次多项式，乍ts ( x ，) = 厂( x ，) ，则称s ( x ) 是【口，6 】上的 三次样条函数。 由于s ( x ) 在b ，x 川】上是三次多项式，它有4 个待定系数，【口，6 】上共有玎个 d , 区l ；- j ，故待定系数有4 船个。在j c l ，x 2 ，一。这( 门一1 ) 个点上满足 s ( - 0 ) = s ( + o ) s i ( 一- 0 ) = s rx ，+ o ) s 。( - 0 ) = s 。( 一+ o ) ( 2 - 4 5 ) 这就给出了3 ( 胛一1 ) 个条件。而且有 s ( 一) = ( 一) ，i = o ，搬 ( 2 - 4 6 ) 提供( + 1 ) 个条件，所以一共有( 4 托一2 ) 个条件。求三次样条函数j ( x ) 还需要补 充两个边界条件 问题1 s 7 ( 而) = 厂7 ( ) ，s ( x n ) = 厂( ) ( 2 - 4 7 ) i h - 题2 s ( ) = 厂”( ) ，s ”( ) = 厂。( 以) ( 2 - 4 8 ) 根据不同的情况选用不同的边界条件。 下面解关于s ( x ) 的方程。设s ( z ) 在节点口 x o x i x ： _ 6 上的二阶导 数s 。“) = m ，囊= 薯+ 。一x 。由于s ( x ) 是三次多项式，故s 。( 玉) 在【誓，五+ l 】是一次 函数，可表示为 s 。( ) = 竿m 一等帆t ( 2 - 4 9 ) 对上式两次积分，代入s “) = 厂( 一) ，s ( + 。) = 厂( + 。) 可得 水) = 掣”簪 等( z 一剖+ 寻卜缸) 协5 。， 其中，m ，是未知量，由s i ( 薯一0 ) = ，( + o ) 得到m o ，m ，m 。的方程组。对式 ( 2 5 0 ) 求导得 5 b ) - - 譬m + 譬+ 丘一鱼( m r m ) ，x 【，1 (2-51)6忽 、”1 由此得 s ( 一+ 。) = 每m + 竿一鲁( 心，一m ) ( 2 5 2 ) 当x k 。，】时， 1 4 第二章多抽样率数字信号处理 “删) = m ，+ 警一抛叱) 由于s “- 0 ) = s b + o ) ，可得 鸬m 一。+ 2 m + 五m + i = z ， i = l 2 埘一1 其中 其中，f x o ，五】- ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) 鸬= 靠 纠一心= 去( 2 - 5 5 ) z = 6 【誓一。，薯，+ 。】，i = 1 ，2 ，刀一1 i ( x ) - y ( x o ) 五一称为1 阶差商，j x o , x , , x 2 = 上b 掣 杯为2 阶差陶。 式( 2 - 5 4 ) 是关于坛，m 坂的( 刀一1 ) 个方程，对于问题1 ，由式( 2 - 4 7 ) 补充两个方程，他们可由式( 2 5 2 ) 当i = 0 时及式( 2 5 3 ) 当i = ”时得到，即 2 a + t2 丢( 【，_ 卜名) = 哦( 2 5 6 ) 卜+ 2 心2 亡( 刀一他书艺】) = 以 将式( 2 5 4 ) 和式( 2 5 6 ) 合并，得到关于尥，m m 。的方程组 2l “ 2 以一l2 乃一 12 m b m l ： 鸠一。 m n 对于问题2 ，可直接由式( 2 4 8 ) 得到 m o = 保mn = 将它代入式( 2 5 4 ) ，可得 2 五 鲍2五 以一2 通过求解纸，m ，坂，代入 p i ( 2 5 0 ) 以一： 2 m l m 2 ： m ，一2 m 。一l 以 4 ： d d 。 d 。一氓冗 以 以一： d n 4 一丸n 、f ： 就可得到【口，b 】上的三次样条s ( x ) 。 1 5 ( 2 5 7 ) ( 2 5 8 ) ( 2 5 9 ) 第三章图像内插方法 第三章图像内插方法 图像可以被定义为一个二维函数f ( x ，y ) ，其中x 和y 是平面坐标，厂在点 ( x ，y 1 处的振幅表示图像在该点的亮度。图像关于x 和y 以及振幅连续。数字图 像就是通过离散化坐标和振幅得到的。 在图像处理中，有些时候需要由数字图像恢复出原始的二维连续信号 f ( x ，y 1 ，这一过程就称为图像的内插。对于信号处理来讲，连续信号是很难表 示的，更有意义的做法就是通过内插的过程增加数字图像的抽样率，也就是说由 原始具有较低分辨率的图像数据再生出具有较高分辨率的图像数据。 图像的内插和一维信号的内插有着紧密的联系。简单的，通过对数字图像的 行和列分别做一维内插，就可以实现图像像素数的改变。由上一章知道，在原理 上，满足采样定理的离散信号是可以完全恢复的。但是，频带有限的信号在时间 上是无穷的，而时间有限的信号又具有无限宽的频带，这两种情况按照采样定理 都需要无穷长的离散样点才能无失真地内插出原始连续信号。然而我们实际处理 的离散信号都是有限长的，在根据有限长的样点内插原始连续信号时必然存在误 差。内插技术就是要研究如何根据有限长的离散时间序列，以尽可能小的误差复 原出该时间段内任意时刻的数据。 在内插技术发展的初期，简单的最近邻域和线性内插算法被用于重采样问 题。二十世纪4 0 年代以后，随着s h a n n o n 信息理论的提出，s i n c 函数被选做内 插函数。然而这一理想的内插核有无限脉冲响应，不适合于局部内插。于是，截 断的、加窗的s i n c 函数被引入内插。数学家的介入使内插理论进一步发展， l a g r a n g e 多项式被认为是s i n c 函数的逼近，从而各种多项式逼近方法，如代数 多项式二次逼近内插方法，以及采用立方多项式的立方内插方法等发展起来。后 来又相继将样条函数和高斯核函数引入内插。随着图像处理技术的发展，基于图 像边缘增强的自适应内插算法被不断提出。不管何种内插方法，都或多或少存在 着平滑效应，因此，基于形状和对象的内插方法逐渐发展起来。 在这一章里首先介绍几种基本的图像内插方法：最近邻域内插、线性内插、 立方卷积内插和b 样条内插。然后介绍两种基于最近发展的基于图像边缘方向 的内插方法：小波内插和n e d i 内插方法。 第三章图像内插方法 3 1 最近邻域内插 由式( 2 1 5 ) 可知，理想内插是采样信号与理想低通滤波器冲激响应在各个 位置的乘积再求和。由于s i n e 是无限长的，使得计算上无法实现，各种逼近s i n e 内插核的内插方法逐渐发展起来。 最近邻域内插是一种最简单的逼近s i n c 函数的方法【6 】。它是最早也是最简单 的灰度插值算法。使用这种方法时，每一个内插的输出像素都是由输入图像的最 近采样点的值来确定的。这种方法又叫做点平移算法或像素复制。最近邻域算法 的内插核心定义为： 坼) = 巍卜0 5 z 1 厅( f ) )g o 6 d4 o2 i - 3，23 0 123 一c 2 图3 - 1 最近邻域内插核函数 ( 3 1 ) 图3 1 显示了最近邻域内插的核函数。由于最近邻域内插只是简单的重复临近 点的幅度，使得内插不光滑，在图像放大倍数较大的情况下会产生明显的块效应。 3 2 线性内插 线性内插就是用两个采样点之间的直线近似连续信号的方法，由式( 2 4 3 ) 可知，线性内插就是1 阶l a g r a n g e 型多项式插值。相应的内插核函数可以表示 为 坼) = 1 - p i 。裴i 协2 ， 1 7 第三章图像内插方法 r 乏 卜产 3 2 1 0 123 一o 2 图3 2 线性内插核函数 由于线性内插方法简单，运算速度快，且性能大大优于最近邻域内插，半像 素精度的双线性内插已被国际视频编码标准h 2 6 3 采用。但是由于线性内插仅仅 是用两