（电机与电器专业论文）表面磁钢永磁无刷电机二维气隙磁场解析法研究.pdf

海人学城l 论父英史摘蔓 a b s t r a c t d e s i g na n da p p l i c a t i o no fp e m l a n e n tm a g n e tm o t o r sh a v eb e e naf o r w a r dr e s e a r c h t o p i ci nt h es t u d yo f e l e c t r i c a lm a c h i n e s f r o mt h eb a s i ce l e c t r o m a g n e t i cf i e l dt h e o r y ， t h i st h e s i sp r e s e n t sa na n a l y t i c a lt e c h n i q u ef o rp r e d i c t i n gt h ei n s t a n t a n e o u sm a g n e t i c f i e l dd i s t r i b u t i o ni nt h ea i r g a p r e g i o n o ft h es u r f a c em o u n t e dp e r m a n e n tm a g n e t m o t o r ss y s t e m a t i c a l l y t h em o d e li sd e p e n d e n to n l yo ng e o m e t r i c a la n dm a t e r i a l sd a t a ， w h i c hm a k ei ts u i t a b l ef o ri n s e r t i o ni n t od e s i g n p r o g r a m s ，a v o i d i n gl o n g f i n i t e e l e m e n ta n a l y s i s ( f e a ) c a l c u l a t i o n s w i t hs o m eh y p o t h e s e sc o m m o n l yu s e di n a n a l y t i c a lm o d e l s ，t h eg o v e r n i n g f i e l de q u a t i o n si np o l a rc o o r d i n a t e sa n dt h es o l u t i o n s a r eo b t h i n e d t h i st h e s i sc o n t a i n st h ef o l l o w i n gf o u r a s p e c t s 1 ) d e v e l o p i n g t h em a t h e m a t i c a lm o d e lo fo p e n c i r c u i tf i e l df o rt h es u r f a c em o u n t e d p e r m a n e n tm a g n e tm o t o r sa n do b t a i n i n g t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n 2 1 d e v e l o p i n gt h em a t h e m a t i c a lm o d e lo fa r m a t m e - r e a c t i o n f i e l df o rt h es u r f a c e m o u n t e d p e r m a n e n tm a g n e tm o t o r sa n do b t a i n i n g t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n 3 ) c o n s i d e l l i n ge f f e c to f s t a t o rs l o t t i n ga n dc a l c u l a t i n gt h ec o g g i n gt o t q u e 4 ) c a l c u l a t i n gm a g n e t i cf i e l do n l o a da n da n a l y z i n gt h ee l e c t r o m a g n e t i ct o r q u e t a k i n gs l o t si n t oa c c o u n t ，t h ea r m a t u r er e a c t i o nm a g n e t i cf i e l d d i s t r i b u t i o na n dt h e l o a d e d r e s u h a n tm a g n e t i cf i e l dd i s t r i b u t i o n a t a r b i t r a r y t i m ea r ec a l c u l a t e d t h e i n s t a n t a n e o u se l e c t r o m a g n e t i ct o r q u ea ta r b i t r a r yt i m ei si n v e s t i g a t e d ，t o o b a s e do n t h ea b o v ew o r k ，t h ee l e c t r o r n a g n e t i ct o r q u er i p p l ea n dt h ec o m m u t a t i o nt o r q u er i p p l e c a nb ea n a l y z e dq u a n t i t a t i v e l yt h ep r e s e n t e dm e t h o dc a nf u n c t i o na sap o w e r f l f lt o o l t oa n a l y z ep e r f o m a a n c e ，v i b r a t i o na n dn o i s eo fas u r f a c em o u n t e dp e r m a n e n tm a g n e t m o t o r t h er e s u l t sw i t hh i g ha c c u r a c yc a nb ee a s i l y a c h i e v e db yt h ec ol l p u t e r ，w h i c h p r o v i d e s ap o w e r f u lt o o lf o rt h ed e s i g na n do p t i m i z a t i o no ft h ep e r m a n e n tm a g n e t m o t o ra l s oi ti sh e l p f u lf o ru st oc h o o s et h ec o n t r o ls t r a t e g y 文摘受 k e yv v o r d s ：p e r m a n e n tm a g n e t m o t o r sw i t hs u r f a c em o u n t e d m a g n e t s ，a i r g a p m a g n e t i cf i e l d ，a n a l y t i c a lm e t h o d ，o p e n c i r c u i t ，a r m a t u r e r e a c t i o n ，r e l a t i v ep e r m e a n c e f u n c t i o n ，l o a d ，c o g g i n gt o r q u e ，e l e c t r o m a g n e t i ct o r q u e y6 7 7 2 79 上海大学 本论文经答辩委员会全体审查，确认符合上海大学硕士学位 擞质量要求。 答辩委员会签名： 主仟 委员 委员 委员 委员 委员 导师 答辩日期： 工作单位 工作单位 工作单位 工作单位 工作单位 工作单位 职称 职称 职称 职称 职称 职称 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除r 文- p 特别加以标注和致训的地方外，沦文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对奉研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许沧文被查阅和借阅：学校i i 丁 以公布呛文的全部或部分内容。 ( 保密的论文征解密后麻遵守此规定) 签名：拯勘 导师签名：盔堡兰日期 洲班2 ，参 卜海大学颁 。论文第一章 i ! c 述 第一章概述 1 1 课题的研究背景及意义 一、永磁电机的发展“q 1 电动机作为机电能量转换装置，其应用范围已遍及国民经济的各个领域以及 人们的f 常生活之中。目前使用的电机的品种已经越来越多，除了同步电动机、 异步电动机与直流电机，这些常用电动机的主要类型之外，永磁无刷电机作为传 统电动机的发展，同益普及地使用在国民经济的各个部门。举例来说，永磁无刷 直流电动机既具备交流电动机的结构简单、运行可靠、维护方便等一系列优点， 且具备直流电动机的运行效率高、无励磁损耗以及调速性能好等诸多特点。所以， 永磁无刷直流电动机在航空航天、医疗器械、仪器仪表、化工轻纺和家用电器等 方面，应用越来越多。 电机方面的这种可喜发展，尤其是汽车行业在我国的快速发展，电动机的应 用还会更加普及。 众所周知，电机是以磁场为媒介进行机械能和电能相互转换的电磁装置。为 了在电机内建立进行机电能量转换所必需的气隙磁场，可以有两种方法。一种是 在电机绕组内通以电流来产生磁场，例如普通的直流电机和同步电机。这种电励 磁的电机既需要有专门的绕组和相应的装置，又需要不断供给能量以维持电流流 动；另一种是由永磁体来产生磁场。由于永磁材料的固有特性，它经过预先磁化 ( 充磁) 以后，不再需要外加能量就能在其周围空间建立磁场。这既可以简化电 机结构，又可以节约能量。 世界上的第一台电机是由b a r l o w 于1 8 3 1 年发明的。但是，由于当时采用的 天然磁铁磁性能太差，电机的磁能积不足而很快被电励磁电机所取代。到上世纪 2 0 年代，美国g e 公司利用铁氧体磁钢研制出一批微型永磁同步电动机，但功率 很小。到了六七十年代，第一代和第二代稀土钐钴永磁材料s m c 0 5 ，s m c 0 7 相继问 世，其优异的磁性能使得永磁电机的发展呈现出新的、繁荣的生机。但是，钐、 钻均为稀有金属，价格昂贵，给实际广泛的应用带来了困难。1 9 8 3 年，同本住 友特殊金属公司、美国通用汽车公司分别研制成功稀土钕铁硼( n d f e b ) 永磁材 卜海= j ；= 学碳i 论义第一帝概述 料，国际上称为第三代稀土永磁材料。n d f e b 磁钢磁能积高，性能优越，而且原 材料丰富，价格较便宜，尤其我国是稀土大国，总储量占世界的8 0 ，因此，研 制、丌发n d f e b 永磁电机更具有得天独厚的条件。从1 9 8 4 年起，各工业发达国 家竞相研制高性能永磁电机。同本住友公司、美国通用公司分别批量制造用于计 算机外存储器的音圈电机及n d f e b 永磁汽车起动机；德国西门子公司经过t 多年 努力，采用多种结构，研制成功用于化纤工业的高速永磁电动机和用于交流调速 系统的i u a 3 系列永磁同步电动机。与传统的电励磁电机相比，稀土钕铁硼永磁 电动机的优点在于： ( 1 )明显的节电效果。效率表示电机运行时有功功率的利用率：而功率因数则 表示电动机运行时的无功功率的利用率。效率与功率因数的乘积综合反应 了电动机在能量转换过程中的电能利用的有效性，是衡量电动机能力水平 高低的重要指标。永磁同步电动机用永磁体取代电励磁，无励磁损耗，而 且不需要从电网吸取滞后的励磁电流，从而大大节约了无功，极大地提商 了电机的功率因数。 ( 2 ) 稀土永磁n d f e b 磁钢具有很高的磁能积，它的剩余磁感应强度日，、矫顽 力，都较大，用较少的永磁磁钢就能产生足够的电机磁能积，因此电机 体积、尺寸可以大为减少，成为高效率、高密度电机。 ( 3 ) 对于采用n d f e b 的永磁电动机，转子上不需要电励磁装置，大大简化了转 予结构，提高了电机运行的稳定性。 f 因为n d f e b 永磁材料具有如此优异的性能，因此它的问世被认为是稀土永 磁材料研究的一次重大突破。n d f e b 永磁材料是1 9 8 3 年问世的高性能永磁材料。 它的磁性能高于稀土钻永磁。室温下剩余磁感应强度b ，现可达1 4 7 ，r ，磁感应矫 顽力h 可达9 9 2 k a m ( 1 2 4 k o e ) ，最大磁能积高达3 9 7 9 k j z 3 ( 5 0 m g o e ) ，是 目前磁性能最高的永磁材料。出于钕在稀土中的含量是钐的十几倍，资源丰富， 铁、硼的价格便宜，又不含战略物资钴，因此n d f e b 永磁材料的价格比稀土钻永 磁材料便宜得多，问世以来，在工业和民用得永磁电机中迅速得到推广和应用 二、电机电磁场的研究现状 从g i 产发展的需要来看，对电机的分析和计算要求从“细”、“深”、“精”方 【：海人学颂i 。论立第一章概述 面提高，于是电机电磁场的分析和研究就成了当前电机工业中的重要课题。气隙 中的磁场是耦合定子和转子的磁场。电机运行时，在气隙磁场作用下，电枢绕组 就会感应电动势，转子上就会受到电磁力的作用，从而实现机电能量的转换。 研究电机电磁场问题的方法，一般归结为某些偏微分方程的求解。求解偏微 分方程结合具体问题中的特定边界条件爿能获得唯一的解答。 当前研究表面磁钢永磁电机气隙磁场的主要方法有电磁场解析法、等效磁路 法、磁网络法、电磁场数值分析法和场路结合分析法。 l 、电磁场解析分析法 电磁场解析分析法具有很长的历史，在早期就有很多文献论述电磁场解析分 析永磁电机的磁场参数以及性能。g uq i s h a n 等发表了采用解析方法计算永磁电 机电磁场的文章“1 ，对永磁电机气隙磁场、永磁体边缘效应及开槽效应进行了 研究，为永磁电机磁场解析分析奠定了基础。z h l lz q 等在i e e e 上发表的一系 列文章1 7 1 0 1 采用解析方法对永磁无刷直流电动机的空载磁场、电枢反应磁场、 开槽效应以及负载磁场进行了系统的分析。近年来，国际上a m u l i ub o g d a np r o c a 等学者在i e e e 上发表文章”，解析法分析了永磁同步电机的磁场分布，给出了 齿槽定位转矩、电磁转矩的波形和反电势的计算公式：国内也有学者发表文章2 、 ”1 ，计算了永磁无刷直流电动机的磁阻转矩和负载情况下的电磁转矩。 2 、等效磁路法1 等效磁路法是传统的电机分析方法，将永磁体处理成磁势源或磁通源，其 余按照通常的电机的磁路计算来进行。其优点是形象、直观、计算量小。但山于 永磁电机磁场分布复杂，仅依靠少量集中参数构成的等效磁路模型难以描述磁场 的真实情况。 3 、等效磁网络法 等效磁网络法根据电机的几何结构和预测的磁通走向，把磁场区域划分为若 干串联或并联支路，每条支路由磁导或者磁势源等单元组成，单元之间通过节点 相联，构成磁网络。该方法是一种介于等效磁路法和有限元法之间的分析方法， 原理简单，实现方便。 4 、电磁场数值计算法 电磁分布边值问题的数值方法包括有限差分法、有限元法、积分方程法和边 3 i ：海大学硕l 论文箱一章概述 界元法等四种基本类型。采用数值计算法以后，针对实际工程问题的处理的思想 方法也有了明显的改变，过去是尽量简化物理和数学模型以求获解，现在的标准 是达到更合理的模型选择以保证解的精确度，往往选择比较复杂的模型。其中， 有限元法占有绝对主要的地位，具有较大的应用范围“6 0 。目前，有限元法的 这种优势越来越显著。 j 、场路结合分析方法 利用电磁场数值计算求出磁路法计算中不易准确计算的一些参数，然后将这 些参数结合到磁路法的计算中，这样可以提高磁路法计算的准确性1 3 1 o 以上分析方法各有其特点，有各自的应用场合。由于本课题是用解析法分析 表面磁钢永磁电机的气隙磁场分布，下面就分析解析分析方法的特点 三、解析分析方法的特点 其主要特点：1 、理论方面，概念直观，应用于比较特殊的边界条件下，解 析法能获得精确的解，这对于理解场域中参数变化对磁场的影响很有帮助，并可 以借此进行场域中参数的调整。2 、计算方便，有的解析法所得的解冗长而复杂， 以致难以手工计算，但现在可以通过计算机而得到其结果。因此，解析法和计算 机应用相结合是一种有效的方法。3 、虽然有限元方法是目前的主要计算方法， 但是有限元方法是在场域尺寸确定的前提下进行的，假如先用解析法预测一下， 对电机的分析和设计是会有所帮助的。4 、在求电机的电磁转矩时，有限元法对 气隙区域的剖分有一定的要求，而使用解析法则相当方便。5 、与磁路方法设计 电机相结合，这对于传统的电机设计是一个技术上的提升。以前磁路法在处理电 机气隙磁场时往往耿其主要的部分即径向的磁感应强度作为电磁计算时的参数， 从而忽略了其切向分量。现在，使用解析法可以获得更加精确的计算结果。 作为传统的电机行业，我国的科技人员经过努力，取得了很大的进步，但现 在差距还是存在。国外的一些公司，比如a n s o f t 、美国磁力等公司的产品，既 给我们提供了电机设计方面的方便，也使我们感到不知其内核的不方便。设计电 机使用这些软件产品，不但经费贵，而且在使用时还需要得到它们的技术支持。 因此我们既要重视计算机在应用方面给我们提供的方便，也要重视计算机在理论 研究方面的作用，因为原来由于计算手段受到限制而忽略的某些因素，现在得到 解决。使用现代的计算工具，提高我们的理论水平，对电机设计和应用的实践也 4 ：拇大学删l + 论文第一章概述 是有所帮助的。本文相对磁导函数的求取和电机电磁转矩的具体分析，对电机电 磁场的解析分析方法是一个进一步的完善过程。 1 。2 课题的研究内容 1 2 1 表面磁钢永磁无刷电动机的结构 表面磁钢永磁无刷电动机也由定子、转子和端盖等部件构成。定子与普通感 应电动机基本相同，也采用叠片结构以减少电动机运行时的铁耗。转子铁心用叠 片叠压而成。图l 一1 是一台表面磁钢永磁无刷电动机( 永磁同步电动机) 的示 意图。 图1 1表面磁钢永磁无刷电动机横截而示意图 电枢绕组既有采用集中整距绕组的，也有采用分稚短距绕组的。一般来说， 矩形波永磁无刷电动机通常采用集中整距绕组，而f 弦波永磁无刷电动机更常采 用分布短距绕组。按照永磁体在转子上位置的不同，永磁无刷电动机的转子磁路 结构一般可分为三种：表面式、内置式和爪极式。本课题研究表丽式转子磁路结 构。这种结构中，永磁体通常呈瓦片形，并位于转予铁心的外表面上，永磁体提 供磁通的方向为径向。图1 一l 中的转子即为这种结构的典型代表。对于这种表 面凸出式的表面式转子磁路结构，由于永磁材料的相对时复磁导率接近1 ，所以 表面凸出式转子在电磁性能上属于隐极转子结构。 海人学坝i 。论文第一章概述 1 2 2 使用解析法求解表面磁钢永磁无刷电机磁场分御 以具 、 使用解析法求解表面 体分析。 i 、空载磁场分布。 负载的磁场分布。 磁钢永磁无刷电机的磁场分布，主要从以下四个方面予 i i 、电根反应的磁场分布。i i i 、定子齿槽效应的处理。 1 2 3 本课题进一步完成的相关内容。 整个气隙区域相对磁导函数的计算。计算机不仅在应用方面提供了方便，而 且在理论研究方面起的作用也越来越大。在文献9 中，由于计算手段受到限制， 使用的气隙磁导是一个分段函数，它近似地反映了永磁电机中单个槽时的气隙磁 导。在本课题之中，气隙磁导是应用许一克变换，利用m a t l a b 语言+ 中的复数计 算的强大功能，全面地把单个槽时列应的整个气隙区域的气隙磁导给求了出来。 这样得到的相对磁导函数直接反映了定子开槽对气隙磁场的影响程度，而且可以 对整个气隙区域的磁场分斫j 进行修f 。 应用麦克斯韦应力张量法计算和分析齿槽定位转矩和负载运行时的电磁转 矩。文献1 2 中使用虚位移的方法计算了齿槽定位转矩，文献l1 和文献1 4 中使 用b 1 】法计算出电机负载运行时的电磁转矩。本课题应用麦克斯韦应力张量法不 仅计算出电机负载运行时的电磁转矩，而且对其中的各个分量进行了定量的计算 和分析。 1 3 本文所完成的主要工作 根据课题内容，表面磁钏永磁无刷电机二维气隙磁场解析法研究。要做的丁 作如下： 1 ) 、表面磁钢永磁无刷电机的空载磁场数学模型的建立和解析解的推导。 2 ) 、表面磁钢永磁无刷电机的电枢反应磁场数学模型的建立和解析解的推导。 3 ) 、表面磁钢永磁无刷电机在有定子齿槽时磁场分布的数学模型的建立和解析解 的推导。 4 ) 、表两磁钢永磁无刷电机负载时的磁场分和，其数学模型的建碲利解析解的推 海人学硕卜论文第一章概述 导。 5 ) 、表面磁钢永磁无刷电机的齿槽定位转矩的计算，负载运行时的f 巳磁转矩分析。 以上五部分都用m a t l a b 语言+ 编制成相应计算程序。 海人学坝i 论文第一二章袤商继铡永碰无刹l u 机气隙磁场解析法分析的璀奉理论 第二章表面磁钢永磁无刷电机气隙磁场解 析法分析的基本理论 2 1 分析表面磁钢永磁无刷电机气隙磁场的理论基础 2 1 。1 麦克斯韦电磁定律 反映电磁场性质的基本方程是建立在实验定律基础上的，库仑定律、高斯定 理、毕一沙定律、安培环路定理、法拉第电磁感应定律。电磁场理论最高概括的 数学模型是麦克斯韦方程组，它有微分和积分两种形式。 积分形式： 厅击= j 了d a 全电流定律 2 1 e 撕= 一a p ，d a s t 电磁感应定律( 2 - 2 ) ( f 西d i = f v 电场高斯定理 ( 23 ) c f 画施：0 磁通量连续性原理 ( 24 ) 彤撕：0 电流连续性原理 ( 2 - 5 ) 式中豆一磁场强度( a m ) ， 豆一磁感应强度( t ) ， e 一电场强度( v m ) 7 一电流密度( a m ! ) ， f 线积分，i 一面积分 jh 微分形式： 西一电位移( c m ! ) p 一电荷密度( c m 5 ) j 一体积分。 e ；x ( 2 一1 ) 、( 2 - 2 ) k 端，用斯托克斯定理4 j 击= i v x j d a 4 弋a t 得 v xh = j 可x e = 一8 b f 敏 在式( 2 一： ) 、( 2 - 4 ) 、( 2 5 ) 左端，用高斯定理q ：j 而= v j r l ，代入，得 ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) 海人学1 i ! j ii 。论文掉二章表面磁俐水磁无别l u 机气隙磁场解析法分析的捧奉理论 vd = p vb = 0 一 日j = 0 2 1 2 媒质方程 媒质为各向同性时， 西= 正 ( 一电容率，真空中乳= 1 ( 3 6 ，r ) 1 0 _ 9 ) 占= ，店( 一磁导率，真空中。= 4 zx 1 0 。) 7 = 面( 盯一电导率) 媒质为各向异性时，以画和厅的关系为例， ， oo o 。 o 0 0 = ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 一1 2 ) ( 2 一1 3 ) ( 2 1 4 ) 媒质为非线性时，以百和曰的关系为例，画和宙的关系用磁化曲线表示。 2 1 3 交界条件 静电场的交界条件： e 。：氏d = 一p 、 ( 2 一1 5 ) 电流场的交界条件： e 。、= e ：，j 。= j 。 ( 2 1 6 ) 静磁场的交界条件： = l 旧t 一、， b , o = b 。 ( 2 1 7 ) 式中t 一切向，n 一法向，j 。的方向与h ：。的绕行方向符合右手螺旋定则。 海人学坝l 论文第二章表面磁铡永磁无刷电机气隙磁场解析法分析的幕牟理论 2 2 稀土永磁材料的工作特性 永磁材料首先用磁滞回线来反映和描绘其磁化过程的特点和磁特性，即 用b = f ( h ) 曲线来表示永磁体磁感应强度b 随磁场强度h 改变的特性。磁滞回 线在第二象限的部分称为退磁曲线，它是永磁材料的基本特性曲线。退磁曲线 中磁感应强度b 。为正值而磁场强度h 。为负值。这说明永磁材料中磁感应强度 b 。与磁场强度h 。的方向相反，磁通经过永磁体时，沿磁通方向的磁位差不是降 落而是升高。这况明，永磁体是一个磁源。当b h 曲线的b 。乘上永磁体的截 面积s 。时，就是通过永磁体的磁通( w b ) 的坐标，将横坐标乘以永磁体的厚 度h 1 ( m ) ，得磁动势f ( a 或a 匝) 的坐标。图2 1 显示了稀土永磁线性去磁曲线 磁钢工作图。这就是永磁体的工作特性曲线。其回复线和磁滞回线在第 二象限的退磁曲线是相同的。 f d 审 毒 o 图2 1线性去磁曲线磁铡工作图 在各向同性磁性材料中，磁感应强度豆( 单位：t ) 、磁化强度厨( 单位： a m ) 和磁场强度宙( 单位：a m ) 之白_ 】的关系是 否= ，z 。厨+ ，f 。疗 ( 2 一i s ) 定义内禀磁感应强度 云，=，乇庸(2-19) 永磁材料的磁化强度厨：廊，+ 翘，式中露，为剩余磁化强度，厨，= “疗，对 于一定的永磁材料来说是一个常量；z 为永磁材料的磁化系数，与相对可逆磁导 率，f ，的关系为以= 1 + z ，n 止l n n 1 n 塑叁兰塑1 堡义第二市表面磁俐永磁光刷u 扫【气隙磁场解析法分析的斗奉碰论 = 味面? + 羽、叠 定义画。= ，f 。府，则上式变为 吾= 吾；? + u 。u ? a = 吾；? + u ，a 2 3 分离变量法 ( 2 - 2 0 ) ( 2 2 1 ) 所讨论的磁场问题，当确立了由拉普拉斯方程或泊松方程描述的数学模型 后，问题将是如何求解这类边值问题。分离变量法是解边值问题的一种基本方法， 势函数随两个或三个坐标变量变化且场域边界与坐标曲面一致的边值问题一般 可以用分离变量法求解，应用于求解拉普拉斯方程时，其具体步骤如下： 1 、根据问题给定的边界情况，选择适当的坐标系，写出边值问题在该坐标系中 的拉普拉斯方程和定解条件。一般来说，场域边界若是平面、圆柱面、蹦球 面，则分别选用直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 2 、将待求势函数进行分离，使之成为两个或三个函数( 每个函数仅含一个坐标 变量) 的乘积，将此形式的势函数代入拉普拉斯方程，从而将多变量的偏微 分方程转化为两个或三个仅含单变量的常微分方程。 3 、由单变量的常微分方程的通解得到偏微分方程的通解，通解中含有待定的特 征函数的特征值和待定常数。 4 、出边界条件确定待定的特征值和积分常数，得出边值问题的唯一确定解。 如果方程是非齐次的泊松方程，则其通解可从对应的齐次方程( 拉普拉斯方 程) 的通解加上非齐次方程的一个特解而得到。 分离变量法常常借助于傅里叶级数、傅罩叶积分、贝塞耳函数和勒让德多项 式等来求解一些变系数的微分方程。 1 ，2 ，3 步骤在数学物理方法有关书中均有介绍，第四步骤是针对具体问题 的边界条件进行的，是关键的一步，需要耐心和细致，通常是逐对边界条件加 以考虑。 海人学f i | ； i j 论文 第二章表血磁俐永磁无刷电机气隙磁场解析 圭分析的璀奉璀论 2 4 用保角变换法解二维恒定磁场 上面介绍了用分离变量法解恒定磁场中的拉普拉斯方程。对二维空间中具有 多边形边界和曲线边界的许多恒定磁场问题( 例如电枢开槽后的气隙磁场分布) ， 也可用保角变换法来求解。 2 4 1 共轭函数和保角变换 a ) 共轭函数 设z = x + j y 为一复数，w 为z 的函数，即w ( z ) 为一复变函数；w ( z ) 的实数和 虚数部分分别为u 和v ， w ( z ) = w ( x + 纱) = “( ，y ) + j v ( x ，y ) ( 2 - - 2 2 ) 若。( z ) 在一定的区域内为单值的连续函数，其导数_ d w 在区域内各点存在 d z d w ：1 ；。坐：1 ；m 堕竺垒幽 ( 2 2 3 ) 一d z 2 坦婴石2 坦毋i 一 “ 则称w ( z ) 在该区域内是“解析的”。 若w ( z ) 为解析函数，则无论令止= 血或令缸：j a y ，求出的导数t d w 应是 “ 一致的( 即与血- - 0 的方式无关) ，即 了d w ：呈+ ，譬( w h 彻止：缸) ：一兰+ 罢( w “z = j a y ) ( 2 2 4 ) d zo xa x巩m 于是可得 塑：堡塑：一丝 ( 2 2 5 ) a x 。y 瓠弛 式( 2 2 5 ) 称为柯希一黎曼( c a u c h y r i e m a n n ) 方程。“，v 在定义域内任一点 可微，且满足柯希一黎曼方程，是函数w = + j v 在所定义域内解析的充分和必 要条件。 根据柯希一黎曼方程可知，若w ( z ) 为解析函数，则 海大学硕i 。论文第二章表瑶磁铡永磁无刷f 乜机气隙磁场解析法分析的璀奉理论 窘+ 寄一o ，睾+ 窘= 。( 2 - - 2 6 ) 即u 和v 都满足拉普拉斯方程。这种构成复变函数w ( z ) 的实数部分和虚数部分、 且同时满足拉普拉斯方程的函数u 和v ，就称为共轭函数。 共轭函数的一个重要特点是：u ( x ，_ y ) = 常值的这族曲线和v ( x ，y ) = 常值的这 族曲线互成正交。这点可以这样来证明：在u ( x ，y ) = 常值的曲线上 d u ( 。：c s r ) = 竺出+ 譬痧= o o xo y 所以 f 譬l ( u = c o n s t ) c l x 鼬 叙 o u o v 在v ( x ，y ) = 常值的曲线上 c r y ( v ：鲫例) = 字出+ _ d v 咖= o 靠 o y 所以 a v 删哟一萎 砂 干帚根据柯希一黎量方程可知，在交点处有 f 立 ( 1 f ：。州) ： l d x f 笔 ( v = c o n s t ) c x ( 2 2 7 ) 这表明两组曲线的斜率互成倒数，所以它们是互相正交的。这样，如把“( x ，y ) = 常值的这组曲线当作标量等磁位线，则v ( x ，y ) = 常值的这组曲线就可作为磁力 线；反之，如把。( 。，y ) ：常值的这组曲线当作标量等磁位线，则“( x ，y ) = 常值的 这组曲线就可作为磁力线。 海人学坝i 。论文第二章表面磁钢水磁无刷t l n jl 气隙磁场解析法分析的拱奉理论 若以。z 表示标量磁位，则磁场强度应为 ”一警；一一詈；h = 肛面=幽d v 厕丽= 厕丽= 吲 l2 2 8 ) 即磁场强度的幅值就等于表征该恒定磁场的复变函数w ( z ) 的导数的模。 由于给定边界条件后拉普拉斯方程的解答是唯一的，所以如能找到一个解析 函数w ( z ) ，在边界上其实数部分u ( 或虚数部分v ) 能与给定的边界条件相符合， 则这一复变函数w ( z ) 就可以表征所研究的磁场。 给定边界条件以后要找相应的w ( z ) ，没有一般的方法。对具有多边形边界、 边界为等位线或磁力线的情况，可以直接找出所需的变换；列其他具有曲线边界 的问题，通常要先对各个解析函数分别加以研究，然后确定该函数可以用来解决 那一类问题。 b ) 保角变换 由共轭函数所组成的复变函数还有一些重要的性质。设z = x + j y 为 一复数，w ( z ) = “+ i v 为一复变函数：则z 平面内若有一点p ，在w 平面内一定 可以找到一个对应点p ，当p 点在z 平面内移动画出曲线s ：时，p 点将在w 平面内 画出对应的曲线s 。( 图2 - - 2 ) ；线段出和咖的对应关系为 d w ：( 半) d z ( 2 2 9 ) y z 半面 s 2 、 v、! 里 厂 f 图( 2 2 ) w 平而和z 平面的对应关系 设函数w ( ：) 在所研究的区域内时解析的，i d w 存在， 坐：r e 舻 ( 2 3 0 ) d z 4 l j 海火学顺i j 论文 第j 二章表面避t 刊永磁无刷电机气隙磁场解析法分析的赫本理论 则 d w = r e ”d z( 2 3 1 ) 所以只要把z 平面内的小线段印放大r 倍、转以庐角，就可以得到w 平面的对 应线段p p 。同理，把z 平面内的小线段印”放大r 倍、转以角，就可以得到w 平面的对应线段p p ”( 图2 3 ) 。不难看出，p 。p p “= z p 刀“，即变换具有“保 角”的性质。 v v 平面 口 如墨 纱 p 图( 2 3 )变换w ( z ) 的保角性质 从以上分析可知，通过函数w = w ( z ) 把z 平面内的曲线组变换到w 平面中时， 除非坐等于。或。o ，否则所有原来曲线间的夹角都将保持不变，所以这种变换 d z 也称为保角变换。 由于变换具有保角的特性，所以z 平面内的两组f 交曲线( 等位线和磁力线) 将变换为w 平面内的两组正交曲线( 等位线和磁力线) 。这样，我们就可以从一 利，边界形状比较简单的已知图形内的磁场分布出发，通过变换z ) ，求出另外一 个边界形状比较复杂的图形内的磁场分布。关键在于如何找到所需要的变换 z ) 2 4 2 许瓦兹一克利斯多非尔变换 在保角变换中，对电机工程最有用的变换是许瓦兹一克利斯多非尔 ( s c h w a r z c h r i s t o f f e l ) 变换，简称许一克变换。许一克变换为一微分方程， 其含意为将w 平面实数轴上( 从一o 。到+ 。o 之间) 的连续线段变换为z 平面中一 个多边形的边界，把w 平面的上半平面变换为多边形的内部( 图2 - 4 ) 。这样， 海人学坝卜论文第二章表面嫩毫| 4 水磁无刷i 醐【气隙磁场解析法分析的螭本理论 给定多边形的形状和尺寸，根据许一克变换，即可写出变换的微分方程；再进行 积分，即可得到所需要的变换。 vw 平面 f 咖 口 占cd1 j 翟 a g 石7 9 图2 4许一克变换 前面已经提到，z 平面和w 平面之间具有一、一对应的关系；把z 平面中的 出放大放大r 倍、转以角，就可以得到w 平面的咖。设w 平面的实数轴上有 一系列的点a 、b 、c 、d ( a b c d ) ，在a b 、b c 、c d 等区间段内，黑的幅 值分别等于不同的常值，而在a 、b 、c 、d “等转折点处，熹等于。或。；则在 z 平面内，对应的线段a b 、b c 、c d 将为一系列具有不同斜率的直线段，而在a 、 b 、c 、d 等顶点处，斜率将发生突变。若使此倾斜角的突变分别等于口、。、 y ，则w 平面的实数轴即可变换为所需多边形的边界。这就是许一克变换的基 本思想。 2 , 5 电磁转矩的理论 电机是实现电能与机械能相互转换的装置，因此了解它产生多少力或转矩是 一个很基本的问题。这里所说的转矩是指电机的定子与转子之间的电磁转矩。计 算转矩的公式是多种多样的，针对着不同型式的电机，或者针对着不同的运行方 式。例如稳态运行中的平均转矩，稳态运行中的脉振转矩，稳态不对称运行中的 转矩，稳态运行中的谐波转矩，电动机的肩动转矩，瞬态过程( 各种突然短路或 海夫学坝l 。论文 第一章表面磁例永磁无刷叱甘l 气隙磁场解析法分析的摧奉璀论 负载突变时) 的转矩，牵入i 司步的转矩等等。f 面部分不准备具体讨论每一种情 况下的转矩公式，而仅是讨论一下计算电磁转矩的原则。 在计算电磁转矩之前，必须先知道气隙磁通密度的分布情况和电枢绕组中电 流分布的情况。因为气隙磁通密度的分布决定于定子和转子绕组的电流分布，所 以也可以说，首先必须知道定子和转子的电流分布。对永磁电机而言，就是知道 永磁体的情况和绕组的电流分布。这些电流可以是瞬态过程中的瞬时值，也可以 是稳态运行中的瞬时值或者恒定值。不论如何，所算出的转矩将对应于所用的电 流值。计算的方法很多，但基本上可归为下列三类。 1 、b i i 法 先用微分形式来表达电磁力。设d v 是体积元，它处在磁密为画的地方，其 中电流密度为7 ，这个体积元将受到电磁力。 矿= ( 7 百) 咖 ( 2 3 2 ) 如果d v 是细导线的一段，那么乃v = i 讲，得 方= ( i 西) d ， ( 2 3 3 ) 沿导线积分可得 歹：f ( i 舌) d f ( 2 3 4 ) 如果i 和雪沿导线不变，得 7 = ( i 云) f ( 2 3 5 ) 式中，为导线长度。这就是常用的计算导线受力的公式。 在电机里使用这个公式时，是设电枢没有齿槽，导线放在平滑的电枢表面上 的。计算每根导线的b l i 力，然后总加起来得到b l i ，为电机电枢表面上的总 切向力。求转矩时，应当用相应于b 所在处的那个半径，一般可取电枢表面的半 径。 2 、虚位移法( 里c 3 0 法) 虚位移法是电磁转矩计算中的一个经典原理，被广泛应用。其含义是转矩的 大小为能量对角位移的变化率，即丁= 一亩w t 3 ，这旱形为磁场储能。 f = 】= 人学坝i ：论文 第二章表面磁刑永磁无刷l u 机气隙磁场解析往分析的基奉理论 3 、麦克斯韦应力张量法 麦克斯韦应力张量法是由力学理论推导出的转矩计算方法。在二维电磁场 中，作用于电机定子或转子上的切向电磁力密度工= 二日。b ，电磁转矩由切向 o 力产生，如果沿半径r 的圆周积分，则电磁转矩的表达式为 乙= 兰生扣2 日，b 目d o ( 2 3 6 ) ，f o 式中r _ 位于气隙中的任意圆周半径； b ，、b 一分别为半径r 处气隙磁密的径向和切向分量。对于选定的半径，r 作为 常数放到积分号外。实际上，因气隙中没有载流导体和铁磁物质，其力密度为0 ， 体积分为0 ，因而圆柱面可取任意一个半径，其结果是相同的。 如果以一个极距的范围为求解域，则 乙，：丝8 沁，b o d o ( 2 - 3 7 ) o矗 式中p 一电机极对数5 el ，o 厂求解区域的起、止角( 机械弧度) 。 海人学颂l 论文第二章表面磁锏永磁_ 光刷电机卒载磁场 第三章表面磁钢永磁无刷电机空载磁场 3 1 数学模型的建立 准确计算永磁电机参数和性能的重要前提是获得正确的磁场分布，用电磁场 分析取代传统的磁路计算f 是实现这一目标的有效手段。能否f 确提出具体问题 的数学模型是电磁场分析的关键所在。在永磁电机电磁场分析中，正确建立永磁 体数学模型是进行后续分析的基础。 在永磁电机的解析分析中，按照对永磁体的处理方法分类，可以分为傅立叶 级数法、等效电流法和等效磁荷法。本文采用傅立叶级数法分析。傅立叶级数法 有直角坐标系和极坐标系两种模型。下面予以阐述和比较。 3 1 1 直角坐标系下的傅立叶级数模型1 9 1 在直角坐标系下对永磁电机采用分离变量法进行求解。求解的位函数采用标 量磁位。认为电机的半径为无穷大，永磁体径向均匀磁化。分析模型如图3 1 所示。 g 图3 1直角坐标系下永磁体模型 永磁体中的磁特性满足下面的公式： 百= ，z 。，z ，疗+ ，f 。麝 ( 3 1 ) 式中疗一永磁体工作点的磁场强度：西一永磁体工作点的磁感应强度：，一相 对回复磁导率：庸一剩余磁化强度。图中永磁体磁化方向与y 轴平行，各个物 理量只有y 轴分量，上式可简化为： f ：海人学硕卜论文 第兰幸表嘶磁俐永磁无刷f 乜机空载磁场 b 、= ，o o 十o m 、， ( 3 - - 2 ) 在处理永磁体励磁作用时做以下两点假设： ( 1 ) 永磁体的磁导率与空气的磁导率相同，即相对回复磁导率# = 1 ： ( 2 ) 永磁体极性交替分布，呈现周期性，但是极间还是断丌的。假设永磁体极 间部分也是由永磁体充满，只是极涮永磁段未被磁化。 其中第二点假设非常巧妙，而第一点是第二点的前提。根据以上两点假设，可以 把永磁体的磁化强度在设想的连续分布的永磁区内展开成傅立叶级数，表示为： 肌，= 昙喀志s i n 卜，手爿c o s 卜，纠 c s 叫 式中口。为永磁体的极弧系数。 对于均匀磁化的永磁体，其内部无体电流分布，电磁场问题可以归结为求解 包含两层场域( 气隙区域和假想连续分布的永磁区域) 的拉普拉斯方程： 窘+ 窘= 。 边值条件：( x ，g ) = 0 ，( 一 。) = 0 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 平口y = 0 ：。= 2 ，b 、1 = b ，! ( 3 6 ) 其中g 和 。分别为气隙长度和永磁体厚度。 按照分离变量法求解上述拉普拉斯方程，可以得到通解的表达式。由于源函 数吖( x ) 为与y 轴对称的偶函数，拉普拉斯的通解表达式可以表示为： 一c x ，y ，= 善 一。s 一 ( 2 n - 1 ) 手y + b 。c 一 ( 2 n - 1 ) 詈y ) c 。s ( 2 n - 1 ) 等z ( 3 - - 7 ) 其中a 。和b ，为待定系数。 根据式( 3 - - 5 ) 和式( 3 6 ) 确定待定系数，可得出气隙区和永磁区各自的 标量磁位解析表达式。由标量磁位求梯度，就可以得到永磁电机的各部分磁场。 在直角坐标系下，采用傅立叶级数来表达永磁体的励磁作用，方程为拉普拉 斯方程，求解形式简单。永磁体的作用只体现在媒质交界处的连续性条件上，这 是一种简单有效的处理方法。但是分析中认为电机半径无穷大，其结果不能真实 - 二曼堡苎竺堡：燮笙三皇塞塑丝塑查壁垄型! 业! 至墼壁墨 反映电机的磁场分布，并且设永磁体相对回复磁导率为】，与实际不符，也会引 入误差。 为了解决上述